JPS597990B2 - Ｎ点離散的フ−リエ変換演算装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 本発明は離散的フーリエ変換を効率的に行なうためのＮ
点離散的フーリエ変換演算装置に関する。

離散的フーリエ変換（ＤｉｓｃｒｅｔｅＦｏｕｒｉｅｒ
Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ、以後ＤＦＴと略称する）は有限個
の離散的な信号系列の周波数スペクトルを求める数学的
操作として知られ、ディジタル的に信号処理を行う上で
極めて重要な役割を担つている。Ｎ点の離散的なサンプ
ル値系列ｆｎ（０≦ｎ≦Ｎ−１）のＤＦＴＦｋ（０≦に
≦Ｎ−１）は次式で定義される。Ｎ−１２π Ｆｋ＝Σ ｆｎ−ｅ−ｊ−ｋｎ（１）ｎ■０Ｎ逆にＦｋ
からｆｎを求めることもでき、この操作を離散的フーリ
エ逆変換（ＩｎｖｅｒｓｅＤｉｓｃｒｅｔｅＦｏｕｒｉ
ｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ・ 以後ＩＤＦＴと略称する）
と呼んでいる。

前記ＤＦＴ（７）ＩＤＦＴは次式によつて定義される。
ＩＮ−１２π ｆｎ■− Σ Ｆｋ−ｊ−ｋｎ（２）Ｎｋ■０ｅＮ離散
的フーリエ変換演算装置とは式（１）および式（２）で
定義されるＤＦＴおよびＩＤＦＴを計算するための装置
である。

ところで式（１）と式（２）を比較すると、係数（ｌ／
Ｎ）と指数関数の符号が異なるのみで、本質的には同じ
演算である。したがつて、式（１）または式（２）の何
れか一方に対する演算装置があれば、ＤＦＴとＩＤＦＴ
の何れの演算をも行なうことができる。以後本発明では
、ＤＦＴおよびＩＤＦＴ何れにも適用できるよう便宜上
式（３）の演算を対象とするがこれによつて一般性が失
なわれるものではない。

Ｎ−１２πｆｎ■ΣＦｋ−ｅｊ−ｋｎ（３） に＝０Ｎ ＤＦＴまたはＩＤＦＴを求めるために式（３）をそのま
ま計算しようとすると、Ｎ回の乗算を必要とし、ｎ＝０
、１、・・・・・・、Ｎ−１の全ての離散的なサンプル
値（系列）ｆｎを求めるためにはＮ２回の乗算が必要で
ある。

したがつて、Ｎが大きくなると、所要乗算回数は指数関
数的に増大することになり、実時間処理を行なう離散的
フーリエ変換演算装置の規模は極めて大きなものとなる
。

しかしながら、Ｎが整数の積に分解できるときには）高
速フーリエ変換（ＦａｓｔＦＯｕｒｉｅｒＴｒａｎｓ一
ＦＯｒｍ，以後ＦＥＴと略称する）として知られる算法
を用いて所要乗算回数を大幅に低減することができる。

特に、Ｎが２のべき乗のとき乗算回数が効率的に低減で
き、Ｎ＝２ｎとすると、前記所要乗算回数は（Ｎ／２）
１０ｇ２Ｎ迄に減少する。さらに、本乗算回数は、１０
ｇ２Ｎ段あるＦＦＴ演算過程のうち、２段は１，ｊを単
に乗算するだけの乗算であるから実際には乗算が不要と
なり、】｛１０ｇ２Ｎ−２｝まで減少する。このような
ＦＦＴの算法およびＦＦＴを用いた離算的フーリエ変換
演算装置については既に多くの公知文献（例えば、１９
７５年に米国のＰＲＥ一Ｎ−ＴＩＣＥ−ＨＡＬＬ，ＮＣ
．より発行された刊行物「ＴＨＥＯＲＹＡＮＤＡＰＰＬ
ＩＣＡＴＩＯＮＯＦＤＩＧＩＴＡＬＳＩＧＮＡＬＰＲＯ
ＣＥＳＳＩＮＧ］）に詳細に説明されているので、ここ
ではこれ以上の説明は省く。

ＤＥＴ（ＩＤＦＴも含めて）は一般的には入出力共に複
素データであるが、適用形態によつては入力が実数に限
定されている場合や複素出力の内の実数部のみしか必要
としない場合も多い。

このような制限条件があつても、従来のＦＦＴの算法で
は所要乗算回数はいくらも減少しない。本発明の目的は
一般的な複素人力データの離散的フーリエ変換において
実数もしくは虚数何れか−方のみの出力を求める場合に
所要乗算回数を大幅に低減できる効率的なＮ点離散的フ
ーリエ変換演算装置を提供することにある。

本発明の他の目的は小形かつ経済的なＮ点離散的フーリ
エ変換演算装置を提供することにある。

本発明のＮ点離散的フーリエ変換演算装置は、Ｎ点の複
素人力データに対しＮ点離散的フーリエ変換回路を用い
る代りに、Ｎ点の複素人力データからＮ／２点の複素中
間データを生成する前処理回路と、前記前処理回路から
得られるＮ／２点複素中間データを人力とする令点離散
的フーリエ変換回路とから構成され、前記？点離散的フ
ーリエＮ変換回路の一点複素出力データから所望のＮ点
離散的フーリエ変換出力の実数部および虚数部のいずれ
か一方のみを得ることを特徴としている。

次に図面を参照して本発明の離散的フーリエ変換演算装
置について詳細に説明する。第１図は本発明の離散的フ
ーリエ変換演算装置の一実施例を示すもので、参照数字
１００，１０１，１０２，・・・・・・・・・，１０Ｎ
−２および１０Ｎ−１はＮ点複素人力データの人力端子
、参照数字１１はＮ点複素人力データＦ。

，Ｆｌ，Ｆ２，・・・・・・，ＦＮ−２ＮおよびＦＮ−
１から？点複素中間データＧ。

，？゛赫苧ｊ胛ｚ１乳５畢二ｉゝ ″゛゛
２ リエ変換回路、参照数字１２０，１２１，・・・・・・
，１２）−２および１２繋−１は前処理回路１１の出力
Ｇ。

，Ｇｌ，・・・・・・・・・，Ｇ？一，および゛ＧＮ−
１Ｎを百点離散的フーリエ変換回路の入力Ｇ。

，：゛。：＝＝＝？コ蒜富。゜局；門！ｊ′．；二″．
′ｊν，′．？：Ｔ！１１・・・・・・・・・，ｇ讐−
２およびｇ讐−１の実数部ｇ困，ｇ？，・・・・・・・
・・，ＧＢＩ−２およびｇ｝−１の出力端子、参照数字
１５０，１５１，・・・・・・，１５讐−２および１５
Ｎ−，は前記複素データ出力Ｇ。

，ｇｌ，・・・・・・ｇ讐一，およびｇ釡−１の虚数部
ＧｌＯ，ｇｌｌ靜″３ｇ〜−２？よびＧｖ−１の出力端
子をそれぞれ示す。本発明の離散的フーリエ変換演算装
置を用いて行なう演算操作は次式の通りとする。Ｎ−１
０，．） 複素人力データＦｋ（ｋ−０，１・・・・・・，Ｎ−１
）が端子１０ｋ（ｋ−０，１，・・・・・・，Ｎ−１）
を介して前処理回路１１に与えられると、前処理回路１
１ではＦｋ（ｋ＝０，１，・・・・・・，Ｎ−１）に対
し次の式（５）〜（７）で示す演算操作を行なつてＮ／
２点Ｎの複素中間データＧｋ（ｋ＝０，１，・・・・・
・リ一１）を生成し、信号線１２ｋ（ｋ＝０，１，・・
・・・・，Ｎ／２−１）に出力する。

９τ また、 である。

また、米は複素共役を取ることを意味し、虚数部の極性
を反転することによつて求められる。従つて、Ｆｋ（ｋ
＝０，１，・・・・・・，Ｎ−１）から式（５），（６
）および（７）によつてＧｋ（ｋ＝０，１，・・・Ｎ・
・・，ｉ−１）を求める操作に必要な複素乗算は、Ｎ・
式（５）計算時に必要とされる〜回のみである。

前処理回路１１によつて複素人力データＦｋ（ｋ＝０，
１，・・・・・・，Ｎ−１）から式（５），（６）およ
Ｎび（７）に従つて内点複素中間データＧｋ（ｋ−０，
１，・・・・・・，Ｎ−１）を求めた後、次にＮ点離Ｐ
？２Ｓ２散的フーリエ変換回路１３において次式
（８）に従つて前記中間データＧｋ（ｋ＝０，１，・・
・・・・，合−１）の離散的フーリエ変換Ｇｎを計算す
る。

このようにして計算されたＧｎ（ｎ＝０，１，・・・・
・・，？−１）に本来求めるべき出力ｆ：５（ｎ′＝０
，１，・・・・・・，Ｎ−１）が含まれている。

ＦＲ′とＧｎの関係は次式（９）および（１０）に示す
通りである。Ｎ たゾしｎ＝０，１，・・・・・・，Σ−１従つて、第１
図の端子１４０，１５０，１４１，および１５Ｎ−１に
求めるべき出力Ｆｒ，ｆ千，Ｆ２Ｒ）ｆ？゛６゜３０゜
Ｆｆ｝４′八一３ツＦｔ−２およびｆ持ョが得られる。

このことが正しいことは、以下に示す通りである。

式（５）に式（６）および式（７）を代入すると、式（
１１）が得られる。

また、 １〜 ２＝−，・・・・・・ ＝ｌと置換すると、 工１ １に対しては一Ｋ となる。

式（１１）および（１２）から式（５）は、と書き表わ
せる。

式（１３）を式（８）に代入し、顧次変形すれば、次の
式（１４）〜（１６）が得られる。＊一方、Ｇｎを式（
１６）から求めると、式（１７）ようになる。

一一 ・
９ｉの従つて、式（８）で計算されるＧｎの実数
部および虚数部はそれぞれ式（１８）および（１９）と
して得られる。

式（４）と式（１８）および式（１９）とを対比させる
Ｆ１式（１８）および式（１９）はそれぞれｆ葦および
ＦＲに等しいことがわかり、式（９）および（１０）２
ｎ＋１が成立する。

Ｎ 以上の説明から、前処理回路１１とフ点離散的フーリエ
変換回路１３とによつてＮ点離散的フーリエ変換の実数
部が求めることができる。

こＮのために必要とされる乗算回路は前對理回路），回
、堡点離散的フーリエ変換回路で（Ｎ）（１０ｇ２−２
Ｎ−２）回の合計（１）（１０ｇ２Ｎ−２）回となり、
Ｎ点離散的フーリエ変換回路を直接使用した場合のＮ乗
算回数フ（１０ｇ２Ｎ−２）と比べて乗算回数が１／２
に減少する。

なお、上述の説明ではＮ点複素人力Ｆｋ（ｋ＝０，１，
・・・・・・，Ｎ−１）に対するＤＦＴ出力の実数部Ｆ
Ｒ（ｎ＝０，１，・・・・・・，Ｎ−１）中の偶数成分
ｆ九′（Ｎ５＝０，１，・・・・・・，？−１）を前記
Ｎ／２点ＤＦＴ出力の実数部ＧＲ′（Ｎ４−０，１，・
・・・・・Ｎｉ−１）としてまた、奇数成分ＦＰＯ年，
（ｎ′＝０，Ｎ１，・・・・・・，−２−１）を虚数部
ｇ吉′（ｎ′＝０，１，Ｎ・・・・・・，−一１）とし
て得たが、式（５）を下に示す式ラ ２
）（５）５に置換することにより式（９）
および式（１０）に示されたｆ汗（ｎ＝０，１，・・・
・・・，Ｎ−１）とｇ′ｎ（ｎ＝０，１，・・・・・・
Ｎ−１）との間の関係を式（９Ｙ，式ラ ２２′（１
０）′のように入れ換えることもできる。

ただし）ｎ／？０ＦＬ２Ｆ１１〕卜１ゝ８１′
１Ｎたマし、ｎ＝０
，１，２，・・・・・・，ソー１式（５）１こおいて、
Ａｋに対してｊなる乗算が必要であるが、この乗算は実
数部と虚数部とを入れ換え、人れかえにより新たに実数
部となつた実数部の極性を反転するだけであるため、式
（５）１こ基づく前処理でも乗算回数は式（５）による
前処理におけるＮ乗算回数一回と変わらない なお式（５）あるいは式（５Ｙにおいて、ＡｋおよびＢ
ｋＮ（ｋ＝０，１，・・・・・・，−一１）に対し、各
々独立ラ Ｆ 弓４ ）に（−１
）を乗すると、出力も各々独立に反転される。

たとえば、式（５）のＡｋおよびＢｋに（−１）を乗ず
れば、式（９）および式（１１は各々ｆ＝一祿およびＦ
Ｐｎ＋１＝−ｇ闇となる。また、以上の説明ではＮ点離
散的フーリエ変換の実数部のみを求める場合であつたが
、虚数部のみを同じ考え方で求めることもできる。

すなわち、式（７）の代りに次式（７）７を考え、Ｎた
だし）Ｍ８Ｏ２Ｌ２ラ１″″ラ２ かつ式（５）の代りに次式（５ビを考え、Ｎ このＣｆｋ（ｋ−０，１，・・・・・・，内−１）から
式（８）によつてｇ′。

を求めれば、となる。

従つて、虚数部のみを求める場合にも式（５）に類似し
た式（的による前処理を適用できる。また、式（４）に
おける指数部の符号が負の場合にＮは前処理回路におけ
る演算の指数部および．点離散的フーリエ変換の指数部
の符号を負に代えればよい。

式（５）、（Ｋおよび（デ）を定義するにあたり使用し
た式（７），（７うおよび（６）の数学的意味は次の通
りである。

Ｆｋ（ｋ＝０，１，・・・・・・，Ｎ−１）を系列とみ
なすと、式（７）は本系列の共役偶対称成分を求めるこ
とに相当し、また、式（ブＸま共役奇対称成分を求める
ことに相当する。

さらに、式（６）は式（７）もしくは式（７）で求めた
系列の最初の半分、すなわち、前半分を新たな系列とし
、この新たな系列を共役偶対Ｎ称成分Ａｌ（ｌ＝０，１
，・・・・・？）ど共役奇対称成分Ｂｌ（ｌ＝０，１，
・・・・・・，内）とに分ける操作を行なう。

第１図において、Ｎ／２点離散的フーリエ変換回路１３
は上記文献第５９９頁Ｆｉｇ，ｌＯ，２Ｏに示された公
知のＦＦＴ演算回路によつて実現できるから特別な説明
を要しない。

前処理回路１１は目的に従つて式（５）もしくは式（５
）あるいは式（のを計算するものであり、共役複素数計
算回路と複素加算回路と複素減算回路と複素乗算回路と
を用いて構成できるが、式（５）でＮ＝８の場合につい
てその一例を第２図を参照して説明する。

第２図において、前処理回路１１は、８点複素データ入
力端子２００〜２０７、共役偶対称抽出回路２１０およ
びその出力中間端子２２０〜２２４，共役偶対称・奇対
称分離回路２３０およびその出Ｎ力中間端子２４０〜２
４５、ｌ点中間データ結合回路２５０およびその出力中
間端子２６０〜２６５、スケーリング回路２７０および
複素中間データ出力端子２８０〜２８３から構成される
複素データ入力端子２００，２０１，２０２，２０３，
２０４，２０５，２０６および２０７はそれぞれ第１図
のＮ点複素データ入力端子１００，１０４，１０１，１
０７，１０３，１０５，１０２および１０６に相当し、
また、複素中間データ出力端子２８０，２８１，２８２
および２８３はそれぞれ第１図のＮ点複素中間データ１
２０，１２１，１２２および１２３に相当する。

共役偶対称抽出回路２１０は共役複素数計算回路２１０
０〜２１０４および複素加算回路２１１０〜２１１４に
より構成され、共役偶対称・奇対称分離回路２３０は共
役複素数計算回路２３００〜２３０２、複素加算回路２
３１０〜２３１２および複素減算回路２３２０Ｎ〜２３
２２により構成される。

百点中間データ結合回路２５０は複素乗数人力端子２５
００〜２５０２、複素乗算回路２５１０〜２５１２、複
素加算回路２５２０〜２５２２、複素減算回路２５３０
〜２５３２および共役複素数計算回路２５４０〜２５４
２から構成され、複素数人力端子２５．鼎，２５０１．
蓋び２５０．３？はそれぞれＪ８ｊ屡×０，ｊ８ｊ百×
１，ｊｅｊ百Ｘ勤５入力される。中間端子２６０〜２６
５のうち中間端子２６０と２６１および中間端子２６４
と２６５は各々同一の内容を示すため中間端子２６１お
よび２６５は使用しない。また、スケーリング回路２７
０は１／２を乗する乗算器で、１ビツト算術的にシフト
する回路（スケーラ）２７００〜２７０３から構成され
ている。次に、前処理回路の詳細な動作を以下に示す。

複素データ入力端子２００，２０１，２０２，２０３，
２０４，２０５，２０６および２０７に加えられた複素
データＦ。，Ｆ４，Ｆｌ，Ｆ７，Ｆ３，Ｆ５，Ｆ２およ
びＦ６は共役偶対称抽出回路２１０により式（７）の計
算に相当する演算が行なわれ、中間端子２２０，２２１
，２２２，２２３および２２４にそれぞれ式（７）によ
る演算結果に対応するデータ２Ｈ０，２Ｈ４，２Ｈ１，
２Ｈ３および２Ｈ２が伝えられる。式（７）による演算
結果Ｈｌ（ｌ＝０〜４）が２倍されて出力されるが、こ
れは最終的にスケーリング回路で１／２倍されるため問
題ないが２倍された後、スケーリング回路２７０まで前
記演算結果は２倍されたままになつている。中間端子２
２０〜２２４に現われたデータは、共役偶対称・奇対称
分離回路２３０により式（６）の演算が行なわれ，中間
端子２４０，２４１，２４２，２４３，２４４および２
４５にそれぞれ式（６）の演算結果２Ａ０，２Ｂ０，２
Ａ１，２Ｂ１，２Ａ２および２Ｂ２が現われる。中間端
子２４０〜２４４に現われたＮデータは、一点中間デー
タ結合回路２５０にゝ ２より式（５）の演算が行なわ
れ、中間端子２６０，２６１，２６２，２６３，２６４
および２６５にはそれぞれ式（５）の演算結果２Ｇ０，
２Ｇ８，２Ｇ１，２Ｇ３，２Ｇ２および２Ｇ２が現われ
る。

ここで、中間端子２６″４および２６５に現われる複素
データはともに２Ｇ２であり、また、中間端子２６０お
よび２６１に現われる複素データはそれぞれ２２Ｇ０お
よび２Ｇ８であるが、データ２Ｇ８はＮ＝８の場合、式
（５）から式（７）までの演算がＭＯｄｕｌＯ８の演算
であるため、データ２Ｇ０と一致する。このため、中間
端子２６１および２６５の複素データは冗長であり、使
用されない。中間端子２６０，２６２，２６３および２
６４に現われた各複素デＮータはスケーリング回路２７
０により一倍され、複素中間データ出力端子２８０，２
８１，２８２および２８３には、式（５）の演算結果で
ある。

所望の出力Ｇ。，Ｇｌ，Ｇ２およびＧ３か生じる。共役
偶対称抽出回路２１０、共役偶対称・奇対Ｎ称分離回路
２３０および一点中間データ結合回路２５０の詳細な動
作を説明するにあたり、複素データ人力端子２０２〜２
０５から複素中間データ出力端子２８１および２８２に
至る経路からの出力Ｇ１およびＧ３を求める演算につい
て説明する。

共役偶対称抽出回路２１０は式（７）を計算する。

複算データ人力端子２０３に加えられた複素デ一＊夕Ｆ
７は共役複素数計算回路２１０２よりＦ７となり、複素
加算回路２１１３の被加算入力端子に現われる。

また、複素データ入力端子２０２に与えられた複素デー
タＦ１は複素加算回路２１１３の加算入力端子に与えら
れ、この結果、複素加算回路２１１３の出力を示す中間
端子２２２にはＦ１＋Ｆナつまり式（７）の２Ｈ１が出
力される。他の中間端子２２０〜２２４についても同様
であるが、２Ｈ０を求める径路では、Ｆ，＝ＦＯという
ＭＯｄｕｌＯ８の性質を有する点に注意を要する。この
結果、中間端子２２０，２２１，２２２，２２３および
２２４には、それぞれ式（７）の２Ｈ０，２Ｈ４，２Ｈ
１，２Ｈ３および２Ｈ２が演算されて伝えられる。共役
偶対称・奇対称分離回路２３０は、式（６）を計算する
。中間端子２２３に伝えられた複素データ２Ｈ３は共役
複素数計算回路２３０１により共役複素データ２Ｈ３と
なり、複素加算回路２３１１の加算入力端子と複素減算
回路２３２１の減算入力端子とに送られる。また、中間
端子２２２に与えられた複素データ２Ｈ１（ｔ複素加算
回路２３１１の被加算入力端子および複素減算回路２３
２１の被減算入力端子に与えられる。

この結果、中間端子２４２には、複素加算回路２３１１
の出力データ２（Ｈ，十藏）が、つまり、式（６）の２
Ａ１が生じる。また、中間端子２４３には、複素減算回
路２３２１の出力データ２（Ｈ１一藏）が、つまり、式
（６）の２Ｂ１が生じる。中間端子２４０，２４１，２
４４および２４５にも、それぞれ式（６）の２Ａ０，２
Ｂ０，２Ａ２および２Ｂ２が生じる。Ｎ 一点中間データ結合回路２５０は式（５）を計算する。

中間端子２４３に与えられた複素データ２Ｂ１は、複素
乗算回路２５１１により複素乗数人．２π力端子２５０
１に与えられ、Ｊｅｊｉ刈を乗じ．２πられ、２Ｂ１・
ＪｅｊＳ×１となつて、複素加算回路２５２１の加算入
力端子と複素減算回路２５３１の減算入力端子とに送ら
れる。

また、中間端子２４２に与えられた複素データ２Ａ１は
、複素加算回路２５２１の被加算人力端子と複素減算回
路２５３１の被減算入力端子とに与えられ、この結果、
中間端子２６２には複素力う鼎路２５２１の出力データ
２（Ａ１＋ＪＢｌ・Ｅｊ冨Ｘ１）が、つまり、式（５）
の２Ｇ１が生じる。また、複素減？肥戸２５３１の出力
データ２（Ａ１−ＪＢｌ・ＥｊｉＸｌ）は、共役複素数
計算回路２５４１により式（１２）のＭが行なわれ、出
力データ２（Ａ１＋ＪＢｌｅｊｉ×３）、つまり、式（
５）の２Ｇ３が中間端子Ｎ２６３に生じる。

百点中間データ結合回路２５０の他の部分も同様の演算
を行なうため、中間端子２６０，２６１，２６４および
２６５にはそれぞれ式（５）の２Ｇ０，２Ｇ４，２Ｇ２
および２Ｇ２が生じる。

ここで、データ２Ｇ４はＭＯｄｕｌＯ４の演算結果であ
るためデータ２Ｇ０と等しく、また、中間端子２６４お
よび２６５にはともにデータ２Ｇ２が生じているため、
中間端子２６１および２６５は冗長となる。Ｎ スケーリング回路２７０は複素データを一倍し、実数部
および虚数部を単に１ビツト右にシフトする。

中間端子２６２に与えられた複素デーー
１夕２Ｇ，は、スケーラ２７０１によりΣ
倍され、式（５）で所望の複素中間データＧ１を複素中
間データ出力端子２８１に伝える。

同様に、複素中間データ出力端子２８０，２８２および
２８３には、式（５）で得られた所望の複素中間データ
Ｇ。，Ｇ３およびＧ２が出力される。第２図において用
いた共役複素数計算回路、複素加算回路および複素乗算
回路の一例を第３図に示す。

第３図において参照数字３００は共役複素数計算回路を
示し、参照数字４００は複素加算回路を示し、参照数字
５００は複素乗算回路を示す。まず、共役複素数計算回
路３００について説明する。参照数字３０１は複素デー
タの実数部入力端子、参照数字３０２は複素データの虚
数部入力端子、参照数字３０３は複素データの実数部出
力端子および参照数字３０４は複素データの虚数部出力
端子をそれぞれ表わす。また、極性反転回路は参照数字
３５０で表わされている。複素数Ａ＝ＡＲ−Ｆ−ＪＡＩ
の実数部ＡＲが共役複素数計算回路３００の端子３０１
へ、虚数部ＡＩが端子３０２へ入力された場合、実数部
出力端子３０３にはＡＲが、虚数部出力端子３０４には
極性反転回路３５０により極性が反転された虚数部Ａ１
、つまり、一ＡＩが出力され、結局、Ａ＝ＡＺ−ＪＡＩ
が実行されたことになる。次に、複素加算回路４００に
ついて説明する。

参照数字４０１および４０２はそれぞれ複素被加算数の
実数部入力端子および虚数部入力端子を示し、参照数字
４０３および４０４はそれぞれ複素加算数の実数部入力
端子および虚数部入力端子を示す。参照数字４０５およ
び４０６は複素出力数の実数部出力端子および虚数部出
力端子をそれぞれ表わす。参照数字４５０および４６０
は加算回路である。ここで、複素被加算数Ａおよび複素
加算数ＢをそれぞれＡ＝ＡＲ＋ＪＡＩおよび複素加算数
Ｂ＝ＢＲ＋ＪＢＩとし、ＡＲ，ＡＩ，ＢＲおよびＢ１が
それぞれ端子４０１，４０２，４０３および４０４に加
えられると、加算回路４５０にはＡＲとＢＲが入力され
出力端子４０５にはＡＲ＋ＢＲが現われる。

また、加算回路４６０にはＡＩとＢ１が入力され、出力
端子４０６にはＡＩ＋ＢＩが現われる。従つて、出力複
素数をＣ＝ＣＲ＋ＪＣｌとすれば、Ｃ＝ＣＲ＋ＪＣＩ＝
（ＡＲ＋ＢＲ）＋ｊ（ＡＩ＋ＢＩ）となり、２つの複素
数が加算されたことになる。なお、複素加算回路４００
の加算回路４５０および４６０を通常の減算回路に置換
すれば複素減算回路となる。

次に、複素乗算回路５００について説明する。

参照数字５０１および５０２はそれぞれ複素被乗数実数
部入力端子および虚数部入力端子を示す。参照数字５０
３および５０４はそれぞれ複素乗数実数部入力端子およ
び虚数部入力端子である。参照数字５０５，５０６はそ
れぞれ複素積実数部出力端子及び虚数部出力端子である
。参照数字５３０，５４０，５５０，５６０は通常の乗
算回路、５７０は減算回路、５８０は加算回路である。
いま、複素被乗数をＡ＝ＡＲ−Ｆ−ＪＡＩ．．複素乗数
をＢ＝ＢＲ＋ＪＢＩとして、前記端子５０１，５０２，
５０３および５０４にそれぞれＡＲ，ＡＩ，ＢＲおよび
ＢＩを入力すれば、乗算器５３０は被乗数ＡＲ，乗数Ｂ
Ｒより積ＡＲ，ＢＲを出力し、乗算器５４０は被乗数Ａ
Ｉ、乗数ＢＩより積ＡＩ，ＢＩを出力し、乗算器５５０
は被乗数Ａ１、乗数ＢＲより積ＡＩ・ＢＲを出力し、ま
た、乗算器５６０は被乗数ＡＲｌ乗数ＢＩより積ＡＲｉ
ＢＩを出力する。

従つて、減算器５７０は乗算器５３０の出力ＡＲ，ＢＲ
から乗算器５４０の出力ＡＩ，ＢＩを減算し、（ＡＲ．
ＢＲ−ＡＩ．ＢＩ）なる値を端子５０５に出力する。

また、加算器５８０は乗算器５５０の出力ＡＩ，ＢＲと
乗算器５６０の出力ＡＲ，ＢＩとを加算し、（ＡＩ．Ｂ
Ｒ＋ＡＲ．ＢＩ）なる値を端子５０６に生じる。従つて
、出力複素数をＣ＝ＣＲ＋ＪＣＩとすれば、Ｃ＝ＣＲ＋
ＪＣＩ＝（ＡＲ−ＢＲ−ＡＩ−ＢＩ）＋ｊ（ＡＩ・ＢＲ
＋ＡＩ−ＢＩ）ＡＸＢとなり、Ａ，Ｂ二つの複素数の積
が得られる。

以上のように、第１図の前処理回路１１が構成され、動
作する。ところで、第２図のスケーリング回路２７０の
位置は共役偶対称抽出回路２１０と共役偶対称・奇対称
分離回路２３０との間に置いても、また、Ｎ共役偶対称
・奇対称分離回路２３０と一点中間データ結合回路２５
０との間に置いても、複素中間データ出力端子２８０〜
２８３には所望の信号が得られる。

以上の回路構成はＮ点離散的フーリエ変換の実数部のみ
を求める回路構成であつたが、式（７うおよび式（のを
実現する回路も以下のように、第２図とはぼ同じ回路構
成によつて実現できる。

式（７うを求める回路を共役奇対称抽出回路と称すると
、本回路は共役偶対称抽出回路（第２図の２１０）に含
まれる複素加算回路を全て複素減算回路に置換すること
によつて構成できる。Ｎ 式（５りを求める回路は第２図の一点中間データ結合回
路２５０に相当し、中間端子２４１，２４３および２４
５につづく複素乗算器２５００，２５０１および２５０
２をそれぞれ中間端子２４０，２４２および２４４側に
移すことと、中間端子２４１，２４３および２４５に与
えられたデ―夕は−ｊを乗することとおよび複素減算回
路２５３０〜２５３２の減算入力端子と被減算入力端子
とを置換することで実現できる。

デ「夕に−ｊを乗することは、データの虚数部と実数部
を各各入れ換え、新しく虚数部となる値に対して、極性
を反転するだけでよく複素乗算回路５００は不要である
。第２図で、複素中間データ出力端子２６１および２６
５は冗長なものであるが、このことは、式（５）のＧ。

およびＧ２を求めるための（第２図における）回路が簡
単化できることを示すものである。式（１１）において
、ＧＯを求めると、次の式（２０）が得られる。ただし
、ここでＦ（７）ＭＯｄｕｌＯＮの性質、ち、ＦＯ＝Ｆ
Ｎを用いている。

Ｎ 同様に式（１１）にｋ＝−を代入すると、（２１）が得
られる。

すなわ 次の式 第２図の場合、つまりＮ−８の場合、式（２０）から複
素データ入力端子２００および２０１から複素中間デー
タ出力端子２８０に至るデータＧ。

を求める回路は複素データ入力端子２００および２０１
に加えられた複素データの実部同志の和″と差をそれぞ
れ複素中間データ出力端子２８０の実部および虚部とす
る回路で実現でき、第２図の回路構成に比べて大幅に簡
単化される。また、式（２１）から、複素データ人力端
子２０６および２０７から複素中間データ出力端子２８
３に至るデータＧ，を求める回路は、複素データ人力端
子２０６に加えられた複素データを共役複素数計算回路
を通した後、複素データ入力端子２０７に加えられた複
素データと複素加算回路により和を取つて複素中間デー
タ出力端子２８３に与える回路で実現でき、やはり、第
２図の構成に比べて大幅な回路の簡単化が図れる。式（
５）において、ＧＯ，Ｇ讐以外のＧｌを求める径路も共
役偶対称抽出回路２１０と共役偶対称・奇対称分離回路
２３０の一部を重ね合わせることにより少々簡単化でき
る。

式（６）を計算するにあたり、式（７）で計算されるＮ
Ｈｉ（１＝０，１，・・・．ｉ）のうち後半部のＨｊ（
ｊ−λ，冫＋１，・・・，鈴）（ま必ず共役複素数をと
＊ ． ＮＮＮられ、Ｈｊ（ｊ＝−４，了＋１，・・・
，ｉ）として利用されている。

このため、式（７）を計算する回路である共役偶対称抽
出回路２１０において、Ｈｊ（ｊ＝冫，冫＋１，・・・
，貿）を計算する部分をＨｌｊ（ＪＮＮＮ− 一＋１
・・・ −）を計算するように変更すれＣ４５′２ば、
式（６）を演算する共役偶対称・奇対称分離回路２３０
では、共役複素数を作る必要がなくなる。

さらに、共役偶対称抽出回路２１０において、上．
． ＮＮＮ記のようにＨｊ（ｊ−了，了＋１，・・
・・・・，内）を計算する部分を司（ｊ＝冫，吟＋１，
・・・・・・，畳）を計算するように変更するにあたり
、次の式（２２）が成立している。

このため、データＦ２およびＦＮ−１からデータＨｉを
求めるのも、また、データＨτを求めるのも、ともに一
回の複素共役をとる演算と、一回の加算とで得られる。

従つて、式（７）を計算する共役偶対称抽出回路２１０
の複雑さはこのような変更に対して影響を受けない。上
記第２図の構成に対する変形の説明から、複素データ入
力端子２０４および２０５から共役複素数計算回路２３
０１の出力に至る部分は、以下のように共役複素数計算
回路が１つ省略できる。

ずなわちこの場合、共役複素数計算回路の位置を複素人
力データ端子２０５と複素加算回路２１１３との間から
複素人力データ端子２０４と複素加算回路２１１３との
間へ移すことにより共役複素数計算回路２３０１が省略
される。以上のように回路構成を簡単化しても第２図の
複素中間データ出力端子２８０〜２８３に、式（５）に
よる所望の中間データＧｉ（１＝０〜３）を得ることが
できる。

また、いままではＮを４の倍数として論じたが、ＮＮが
２の倍数であつてもよい。

この場合、−が奇０ ゝ２数となるため、式（５
）および式（６）の添数Ｋ，ｌの打ＮＮち切りが一では
なく、（−一１）／２となるが、４ ゝ ２
このことは式（８）から式（１９）までの各式において
添数の打ち切りが多少異なつてくるだけで、本質的な部
分には影響を与えない。

たマし、この場合は、式（５）におけるＧ平が生じない
ため、先に述べた第２図の回路構成の式（２１）を利用
した簡単化が行なえない。以上のようにＮ点複素データ
の離散的フーリエ変換の実数部もしくは虚数部のみを必
要とする場合、Ｎ点の複素データに対し簡単な前処理を
施すＮことにより一点離散的フーリエ変換回路１３を利
用できる。

従つて、本発明の特徴の部分でも触れたように、所要総
乗算数で比較して、前処理を行なわず、Ｎ点の離散的フ
ーリエ変換回路を利用した場合に比べて約１／４、同様
にＮ点の高速］フーリエ変換回路を利用した場合に比べ
て一となる。

従つて、デイジタルシステムの演算速度は総乗算回数に
比例するため、本発明を利用すると、それぞれ４倍およ
び２倍の速度を達成しうる。また、演算速度を一定とす
るならば、デイジタル・システムの演算部の規模は総乗
算回数に逆比例するため、従来の装置と比べ大幅な規模
の縮少が望め、本発明の演算装置は小型化、低消費電力
化が計れ、大幅に廉価な演算装置となる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例を示すプロツク図、第２図は
第１図の前処理回路１１の一例を示す図および第３図は
第２図の各回路を示す図である。 第１図において、参照数字１００〜１０Ｎ−１はＮ点複
素データ入力端子、参照数字１１は前処理回路Ｎ参照数
字１２０〜１２？−，は百点複素中間デＮータ、参照数
字１３は一点離散的フーリエ変ゝ ″゛゛ ２
換回路および参照数字１４０〜１４繋−，および１５０
〜１５１はそれぞれ離散的フーリエ変換回路１３の実数
部出力端子および虚数部出力端子をそれぞれ表わす。 第２図において、参照数字２３０は共役偶対称抽出回路
、参照数字２３０は共役偶Ｎ対称・奇対称分離回路、参
照数字２５０は５ ゝ ″゛゛
２点中間データ結合回路、参照数字
２７０はスケーリング回路、参照数字２１００〜２１０
４，２３００〜２３０２および２５４０〜２５４２は共
役複素数計算回路、参照数字２１１０〜２１１４，２３
１０〜２３１２および２５２０〜２５２２は複素加算回
路、参照数字２３２０〜２３２２および２５３０〜２５
３２は複素減算回路、参照数字２５１０〜２５１２は複
素乗算回路および参照数字２７００〜２７０３はスケー
ラをそれぞれ示す。

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. １ Ｎ点入力複素データから共役対称成分または共役奇
   対称成分を抽出する手段と前記共役対称成分または共役
   奇対称成分の前または後半分から共役対称成分と共役奇
   対称成分とを分離する手段と前記分離された共役対称成
   分および共役奇対称成分の前または後半分の一方の成分
   に複素変調を行なつた結果に前記複素変調されない他の
   成分を加算しかつ前記結果から前記複素変調されない他
   の成分を減算する手段と前記減算結果の共役複素を取る
   手段とを有し前記Ｎ点複素データからＮ／２点複素中間
   データを発生する前処理回路と、前記前処理回路の出力
   を入力として供給されるＮ／２点離散的フーリエ変換回
   路とから構成され、Ｎ点入力複素データのＮ点離散的フ
   ーリエ変換の結果の実数部出力および虚数部出力のいず
   れか一方のみを前記Ｎ／２点離散的フーリエ変換回路の
   Ｎ／２実数部出力端子およびＮ／２虚数部出力端子の合
   計Ｎ出力端子に出力させることを特徴とするＮ点離散的
   フーリエ変換演算装置。