DE102009019443A1

DE102009019443A1 - Kinematischer Annäherungsalgorithmus mit Regelfläche

Info

Publication number: DE102009019443A1
Application number: DE102009019443A
Authority: DE
Inventors: Jörg Dr. Schulze; Yayun Zhou
Original assignee: Siemens AG
Current assignee: Siemens AG
Priority date: 2009-04-29
Filing date: 2009-04-29
Publication date: 2010-12-16
Also published as: CN102422232A; US20120046782A1; EP2425307A1; WO2010124959A1

Abstract

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zum Erzeugen mindestens einer Fläche auf einem Werkstück mittels eines Material-Abtragewerkzeugs und eine entsprechende Material-Abtragevorrichtung. Es ist Aufgabe der vorliegenden Erfindung ein Verfahren zum Erzeugen einer beliebigen Fläche auf einem Werkstück, derart bereitzustellen, dass die Fläche schnell und kostengünstig erzeugt wird. Ein Fehler zwischen beliebiger, zu erzeugender Fläche und einer erzeugten Regelfläche soll klein sein. Die Erfindung zeichnet sich dadurch aus, dass ausgehend von einer beliebigen, zu erzeugenden Fläche ein Bewegungspfad des Materialabtragewerkzeugs zur Erzeugung einer der beliebigen Fläche angenäherten Regelfläche gesteuert wird, wobei der Bewegungspfad in Form einer Kurve auf einer dualen Einheitskugel bereitgestellt wird, wobei ein Punkt auf der Kurve einem Ort und einer Orientierung des Materialabtragewerkzeugs entspricht. Die Kurve kann ausgehend von Linierungsgeraden erzeugt werden, die mittels mathematischer Transformationen in Punkte auf der dualen Einheitskugel umgewandelt werden. Es erfolgt ein Interplieren dieser Punkte mittels eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus zur Erzeugung der Kurve. Diese kann nun in die herzustellende Regelfläche zurücktransformiert werden oder kann direkt zur Steuerung des Bewegungspfads des Materialabtragewerkzeugs verwendet werden. Ebenso können mittels des Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus Direktrixkurven der Regelfläche bestimmt ...

Description

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zum Erzeugen mindestens einer Fläche auf einem Werkstück mittels eines Material-Abtragewerkzeugs und eine entsprechende Material-Abtragevorrichtung.
Werkstücke können beispielsweise Bestandteile von technischen Maschinen sein, insbesondere von Strömungsmaschinen, wie beispielsweise Propeller, Flügelräder von Zentrifugalkompressoren, Rotoren von Pumpen, Gasturbinen oder Turboladern. Werkstücke können allgemein zu bearbeitende Teile sein.
Herkömmlicherweise sind der Geometrie-Entwurfteil und der Herstellungsteil getrennt. Während der Entwurfsphase konstruieren Ingenieure eine Regelfläche und liefern die Oberfläche zur Herstellung aus. Eine Regelfläche kann einer Freiformoberfläche angenähert oder gemäß Entwurfserfordernissen optimiert worden sein. In der Herstellungsphase werden bestimmte Verfahren zur Herstellung der Regelfläche angewendet. Beispielsweise weist das Fünfachsen-Flanken-Fräsen die folgenden Schritte auf: Zuerst werden die Fräser-Kontaktpfade aus den Eingangsoberflächendaten erzeugt. Dann werden die Fräser-Positionierungsdaten aus den Fräser-Kontaktdaten erhalten. Beruhend auf den Fräser-Positionierungsdaten werden Bewegungsabläufe für Materialabtragewerkzeuge geplant. Abschließend werden bestimmte Nachbearbeitungen zum Erhalten eines numerischen Steuerungscode angewendet.
Nachteiliger Weise weist der Stand der Technik folgende Nachteile auf, und zwar gibt es keine globale Kontinuitätsgarantie, es sind mehrere Optimierungsschleifen erforderlich, eine Schleifenberechnung ist aufwändig, der Zeitaufwand ist erheblich, Werkzeugpositionierungsdaten können lokale Fehler aufweisen und ausreichend Werkzeugpositionierungsdaten sind erforderlich.
Es ist Aufgabe der vorliegenden Erfindung ein Verfahren zum Erzeugen einer beliebigen Fläche auf einem Werkstück, derart bereit zu stellen, dass die Fläche schnell und kostengünstig erzeugt wird. Ein Fehler zwischen beliebiger, zu erzeugender Fläche und einer erzeugten Regelfläche soll klein sein.
Die Aufgabe wird durch ein Verfahren gemäß dem Hauptanspruch und eine Materialabtragevorrichtung gemäß dem Nebenanspruch gelöst.
Eine Regelfläche oder sogenannte „ruled surface” ist eine Fläche, die durch Bewegen einer geraden Linie (Gerade) im dreidimensionalen Euklidischen Raum erzeugt werden kann. Auf diese Weise kann eine Regelfläche einfach durch Materialabtrag entlang einer bewegten geraden Linie erzeugt werden. Eine gerade Linie einer Regelfläche kann als Linierungsgerade, Linierung oder „ruling” bezeichnet werden. Der Materialabtrag kann beispielsweise mittels Flankenfräsen mit einer CNC-(Computer-Numerical-Control-)Maschine, elektrisches Entladungs-Drahtschneidebearbeiten oder Laserschneiden ausgeführt werden.
Gemäß einem ersten Aspekt der vorliegenden Erfindung, wird eine Fläche auf einem Werkstück mittels eines Materialabtragewerkzeugs erzeugt, wobei ausgehend von einer beliebigen, zu erzeugenden Fläche ein Bewegungspfad des Materialabtragewerkzeugs zur Erzeugung einer der beliebigen Fläche angenäherten Regelfläche gesteuert wird, wobei der Bewegungspfad in Form einer Kurve auf einer Dualen Einheitskugel bereit gestellt wird, wobei ein Punkt auf der Kurve einem Ort und einer Orientierung des Materialabtragewerkzeugs entspricht. Es kann eine geglättete Einparameter-Pfad-Darstellung hinsichtlich einer Verschiebung des Werkzeuges bereitgestellt werden. Dies ist eine genaue Darstellung des Betriebs eines Material-Abtragevorrichtungssystems. Es kann eine analytische Darstellung des Bewegungspfads des Material-Abtragewerkzeugs bereitgestellt werden, sodass eine globale Fehlersteuerung für die Herstellung ermöglicht wird. Es werden die Theorien von Regelflächen mit einer Schraubentheorie und Dualzahl-Algebra kombiniert. Unter Verwendung des Algorithmus kann jede gegebene Oberfläche oder diskrete Geradenabfolge, so genannte Fräser-Positionierungsdaten, durch eine Regelfläche angenähert werden. Die beliebige, zu erzeugende Fläche kann als Freiform-Oberfläche oder als diskrete Materialabtragewerkzeug-Positionierungdaten bereitgestellt sein. Die beliebige, zu erzeugenden Fläche kann beispielsweise aerodynamisch optimiert sein.
Die Vorteile eines erfindungsgemäßen Verfahrens sind eine glatte Einzelparameterpfaddarstellung durch eine Kurve auf einer Dualen Einheitskugel, insbesondere eine Dualkugelsplinekurve; eine kompakte Datenstruktur für 5-Achsen-Fräsen hinsichtlich Position und Orientierung; Kontinuität und Konvexivität; einfache Beurteilung, ob das Werkzeug in dem Arbeitsraum liegt oder nicht; Echtzeit; globale Fehlerüberprüfung und kleiner kinematischer Fehler; wenige Schneidpositionsdaten (CL-; Cutterlocation-Daten); geeignet für verschiedene Herstellungsverfahren.
Gemäß einem zweiten Aspekt weist eine Material-Abtragevorrichtung zur Ausführung eines erfindungsgemäßen Verfahrens eine Recheneinrichtung, eine Steuereinrichtung und das Materialabtragewerkzeug auf. Das Material-Abtragewerkzeug wird mittels der Steuereinrichtung angesteuert, und zwar auf der Grundlage des durch die Recheneinrichtung berechneten Bewegungspfades.
Weitere vorteilhafte Ausgestaltungen werden in Verbindung mit den Unteransprüchen beansprucht.
Gemäß einer vorteilhaften Ausgestaltung kann die Kurve auf der Dualen Einheitskugel als kontinuierliche und glatte Splinekurve definiert sein. Die Splinekurve kann als duale Kugelsplinekurve bezeichnet werden. Es kann die Kurve auf der dualen Einheitskugel als dualer Kugel-Spline definiert sein.
Die Kontinuitätseigenschaft des Spline vermeidet eine Verbindungsberechnung in der herkömmlichen Bewegungspfaddarstellung. Der Berechnungsalgorithmus des Spline ist schnell genug für Echtzeitanwendungen. Es wird eine neue Art von Splines definiert und als ”Dualer Kugel-Spline” bezeichnet. Eine Regelfläche wird als ein dualer Kugel-Spline auf der dualen Einheitskugel dargestellt. Dieser Spline hat vorteilhafte Eigenschaften hinsichtlich Kontinuität und Konvexität. Ein Punkt auf diesem Spline entspricht einer Position und Orientierung einer Gerade im euklidischen Raum. Die Berechnung dieses Spline ist sehr schnell, sodass ein Echtzeiterfordernis erfüllt ist. Dieser Spline verringert die Anzahl der Parameter auf ein Drittel, verglichen zu herkömmlichen Parametrisierungsverfahren für Regelflächen, wie das beispielsweise die Tensor-Produkt-B-Spline-Oberfläche ist.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung können folgende Schritte zur Bereitstellung der Kurve erfolgen:

– Bereitstellen einer der beliebigen, zu erzeugenden Fläche angenäherten Abfolge von diskreten Linierungsgeraden;
– Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Linierungsgerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study-Mapping-Algorithmus;
– Interpolieren der diskreten Punkte mittels Erzeugen der die diskreten Punkte aufweisenden Splinekurve mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus.

Auf der Grundlage des neuen Typus von Splines wird eine Serie von Algorithmen zur Interpolation und Berechnung eines dualen Kugel-Spline auf der dualen Einheitskugel entwickelt. Folglich wird ein kinematischer Regelflächen-Approximationsalgorithmus entwickelt.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann
– eine Linierungsgerade der Gleichung x(u₀, ν) = (1 – ν)p(u₀) + νq(u₀) entsprechen;
– der Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus folgende Gleichungen aufweisen:
als Gleichung der Splinekurve, wobei f_i Basisfunktionen und p ^_i Steuerungspunkte auf der dualen Einheitskugel in ID³ sein können, mit
gewichtete Mittelwerte auf der Dualen Einheitskugel folgender Gleichung entsprechen können:
zur Erzeugung der Splinekurve eine Minimierung nach folgender Formel ausgeführt werden kann:
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann ein Berechnen der der beliebigen Fläche angenäherten Abfolge von diskreten Linierungsgeraden mittels mathematischem Least-Square-Minimieren von Abständen zu der beliebigen Fläche ausgeführt werden.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann die Kurve mittels eines inversen Study-Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein-Mapping-Algorithmus in die Regelfläche im dreidimensionalen Euklidischen Raum umgewandelt werden. Diese Umwandlung ist nicht erforderlich, wenn eine Materialbearbeitungsvorrichtung die Daten der Kurve direkt in einen Bewegungspfad des Materialabtragewerkzeugs wandeln kann.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung können die Steuerungspunkte als Parameter für die Annäherung der Regelfläche an die beliebige, zu erzeugende Fläche verwendet werden. Ein dualer Kugel-Spline kann mittels einer Vielzahl von Steuerungspunkten festgelegt werden. Der Spline kann durch mehrere Steuerungspunkte bestimmt werden. Es können die Steuerungspunkte als Parameter für eine Optimierung verwendet werden.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann der Einzelparameter u eine Vorschubrate oder Zeit hinsichtlich einer Verschiebung des Materialabtragewerkzeugs sein.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung können weiterhin folgende Schritte zur Ermittlung von Direktrixkurven der ausgehend von den Linierungsgeraden bestimmten Regelfläche ausgeführt werden:

– ausgehend von der beliebigen, zu erzeugenden Fläche und den diskreten Linierungsgeraden, zusätzlich zu jeder diskreten Linierungsgeraden eine erste und eine zweite diskrete Referenzgerade bestimmt wird, wobei eine erste diskrete Referenzgerade durch einen Schnittpunkt der diskreten Linierungsgeraden mit einer ersten zu bestimmenden Direktrixkurve und eine zweite Referenzgerade durch einen Schnittpunkt der Linierungsgeraden mit einer zweiten zu bestimmenden Direktrixkurve verläuft, und die Orientierungen dieser Referenzgeraden jeweils den Oberflächennormalen der zu erzeugenden Fläche an den Schnittpunkten entsprechen, wobei ein Abstand der beiden Schnittpunkte einer jeden diskreten Linierungsgerade der Lange des Materialabtragewerkzeugs entspricht;
– Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Referenzgerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study-Mapping-Algorithmus, wobei zu der ersten Referenzgeradenabfolge eine erste diskrete Punkteabfolge und zu der zweiten Referenzgeradenabfolge eine zweite diskrete Punktabfolge erzeugt wird;
– Interpolieren der beiden diskreten Punktabfolgen mittels Erzeugen zweier weiterer die jeweiligen diskreten Punktabfolgen aufweisenden Splinekurven mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus;
– Umwandeln aller drei Splinekurven mittels eines inversen Study-Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein-Mapping-Algorithmus in drei Regelflächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum, wobei die zwei Schnittlinien der zwei Regelflächen der ersten und zweiten Referenzgeraden jeweils mit der Regelfläche der Linierungsgeraden die erste und zweite glatte und kontinuierliche Direktrixkurve der Regelfläche der Linierungsgeraden bestimmen, und wobei die zwei Direktrixkurven durch p(u) und q(u) der Gleichung x(u, ν) = (1 – ν)p(u) + νq(u) (2)mathematisch beschrieben sind.

Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann eine Überprüfung erfolgen, ob der Bewegungspfad innerhalb eines Arbeitsraums des Material-Abtragewerkzeugs ist, unter Verwendung der kinematischen Eigenschaften einer geforderten Bewegung und unter Anwendung einer Robotikanalyse.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann das Verfahren für einen Formentwurf und eine Formoptimierung verwendet werden. Aufgrund der Reduzierung der Anzahl der Parameter im Vergleich zum Stand der Technik, eignet sich der Algorithmus bevorzugt für eine derartige Verwendung.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann das Materialabtragewerkzeug Bestandteil einer CNC-(Computer-Numerical-Control-)Fräsmaschine, einer elektrischen Entladungs-Drahtschneide-Bearbeitungsmaschine oder einer Laserschneidmaschine sein.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann das Werkstück ein Bestandteil einer Strömungsmaschine, beispielsweise ein Propeller oder ein Rotor sein.
Die vorliegende Erfindung wird anhand von Ausführungsbeispielen in Verbindung mit den Figuren näher beschrieben. Es zeigen:
1 ein Ausführungsbeispiel einer Regelfläche;
2 ein Ausführungsbeispiel eines Erzeugnisses mit Regelflächen;
3 ein Ausführungsbeispiel eines erfindungsgemäßen Verfahrens;
4a bis 4d ein weiteres Ausführungsbeispiel eines erfindungsgemäßen Verfahrens.
1 zeigt ein Ausführungsbeispiel einer Regelfläche. Eine Regelfläche ist dadurch definiert, dass die Oberfläche durch Bewegung einer geraden Linie (Gerade) im euklidischen Raum überstrichen werden kann. Regelflächen sind einfach und kostengünstig herzustellen. Regelflächen treten bei vielen Herstellungsabläufen auf.
Eine Regelfläche ist eine bevorzugte Wahl für eine Fertigung. Eine Regelfläche ist eine spezielle Art von Oberfläche, die durch Bewegen einer geraden Linie im Raum erzeugt werden kann. Regelflächen treten bei verschiedenen Anwendungen, wie beispielsweise Elektrisches Draht-Entladungsbearbeiten (EDN) und Laserschneiden auf, die das Schneidewerkzeug als eine sich bewegende gerade Linie steuern. Außerdem ist es bekannt, dass eine Regelfläche wirksam unter Verwendung eines Flanken-Fräsverfahrens bei CNC-Bearbeitung hergestellt werden kann. Zur Verringerung der Herstellungskosten ist es eine typische Entwurfsstrategie, eine Freiform-Oberfläche als eine Regelfläche anzunähern. Folglich besteht in der Industrie ein Bedarf für einen wirksamen Regelflächen-Annäherungsalgorithmus.
Eine Regelfläche ist ein einfaches Objekt bei einem geometrischen Modellieren. Im euklidischen Raum IR³ besitzt eine Regelfläche Φ folgende parametrische Darstellungen: x(u, ν) = a(u) + νr(u), u ∊ I, ν ∊ IR (1)
Wobei a(u) die Direktrixkurve genannt wird und r(u) ein Erzeugungsvektor ist. Alternativ kann eine Regelfläche Φ durch zwei Direktrixkurven p(u) und q(u) parametrisiert sein: x(u, ν) = (1 – ν)p(u) + νq(u) (2)
Die mit x(u₀, ν) = (1 – ν)p(u₀) + νq(u₀) bezeichnete gerade Linie wird Linierungsgerade (ruling) genannt. Eine Regelfläche ist eine Gesamtheit von geraden Ein-Parameter-Linien.
Obwohl Regelflächen in der klassischen Geometrie intensiv studiert worden sind, werden sie nicht vollständig für Anwendungen beim geometrischen Entwurf und der Fertigung genutzt. Es wurden Konzepte von Sezier-Kurven und Oberflächenentwurf zur Konstruktion einer Regelfläche verwendet. Die Eigenschaften von Regelflächen in der Geradengeometrie wurden sorgfältig studiert. In der Geradengeometrie wird eine Regelfläche als eine Kurve in einer Quadrik im P⁵-Raum beschrieben. Beruhend auf diesen Eigenschaften wurden gemäß der vorliegenden Erfindung Algorithmen zur Interpolation und Annäherung von Regelflächen entwickelt.
2 zeigt ein Ausführungsbeispiel eines Erzeugnisses mit Flächen, die mittels Regelflächen angenähert werden können. Derartige Flächen können beispielsweise Flächen von Schaufeln einer Radturbine sein. Andere Erzeugnisse können beispielsweise Propeller oder Turbolader sein.
3 zeigt ein Ausführungsbeispiel eines erfindungsgemäßen Verfahrens. Es erfolgt ein Bereitstellen einer der beliebigen, zu erzeugenden Fläche angenäherten Abfolge von diskreten Linierungsgeraden. Dem schließt sich ein Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Linierungsgerade im drei dimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study-Mapping-Algorithmus an. Es folgt ein Interpolieren der diskreten Punkte mittels Erzeugen der die diskreten Punkte aufweisenden Dualkugelsplinekurve mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus:
Dualer Kugel-Spline und dessen Anwendung in einer Regelflächenannäherung
Unter Verwendung von dualen Zahlen zur Darstellung von geraden Linien (Geraden) wird eine Regelfläche als eine Kurve auf einer dualen Einheitskugel (DEK) beschrieben. Es wird ein Verfahren zur Berechnung von gewichteten Mittelwerten auf der DEK, beruhend auf einer Minimierung nach einer Methode der kleinsten Quadrate, gezeigt. Es werden das Vorhandensein, die Eindeutigkeit, Kontinuität und Konvexivitätseigenschaften der gewichteten Mittelwerte auf der DEK diskutiert. Dies führt zu einer neuartigen Definition eines dualen Kugel-Spline auf der DEK. Es wird ein schneller, iterativer Algorithmus einer dualen Kugel-Spline-Interpolation entwickelt. Beruhend auf diesem Algorithmus wird ein kinematischer Regelflächen-Annäherungsalgorithmus eingerichtet, der eine Freiform-Oberfläche mit einer Regelfläche annähert. Dieses Verfahren kann zum Entwurf von Regelflächen und zur Annäherung sowie zur Planung eines Bewegungspfades eines Werkzeugs, beispielsweise für eine computernumerische Steuerungs(CNC)-Maschine verwendet werden.
Herkömmlicherweise wird die Geradengeometrie in der Kinematik zusammen mit der Schraubentheorie zur Beschreibung geometrischer Eigenschaften der Schraubenachse eines sich bewegenden steifen Körpers verwendet, die den Fertigungsablauf für Regelflächen beschreibt. Unter Verwendung von dualen Zahlen wird eine Regelfläche erneut beschrieben als eine Kurve auf einer dualen Einheitskugel (DEK). Die kinematisch erzeugte Regelfläche verbindet den Pfad und die physikalische Bewegung des Werkzeugs. Ein Annäherungsalgorithmus beruhend auf dieser Darstellung liegt noch nicht vor. Der Schlüsselalgorithmus beruht auf der linearen Interpolation eines allgemeinen dualen Quaternions. Es ist das Ziel, eine gegebene Regelfläche mit einer zylindrischen Werkzeug-Bewegungskurve anzunähern.
Gemäß der vorliegenden Anmeldung wird ein neuer kinematischer Regelflächen-Annäherungsalgorithmus eingeführt. Dieser Algorithmus wurde beruhend auf der Dualzahldarstellung einer Regelfläche entwickelt. Das Problem der Annäherung der Regelfläche im euklidischen Raum wird in ein Kurven-Annäherungsproblem auf der dualen Einheitskugel umgewandelt. Die Schwierigkeit des Kurvenapproximationsproblems auf der dualen Einheitskugel ist die Nichtlinearität des Raumes. Herkömmliche lineare Interpolationsverfahren sind im Raum der dualen Einheitskugel nicht anwendbar.
Ausgehend von der Definition von gewichtetem Mittelwert im realen Kugelraum, wird zuerst ein gewichteter Mittelwert auf der dualen Einheitskugel definiert. Der gewichtete Mittelwert auf der dualen Einheitskugel wird als ein Ergebnis einer Minimierung nach der Methode der kleinsten Quadrate definiert. Dies erlaubt ein neuartiges Verfahren zur Definition von Bezier- und Spline-Kurven auf der dualen Einheitskugel. Es konnte bewiesen werden, dass das Problem der Minimierung nach der Methode der kleinsten Quadrate eine eindeutige Lösung hat, falls die Eingabepunkte sich auf einer dualen Halbkugel befinden. Die Kontinuitäts- und Konvexivitäts-Eigenschaften des dualen Kugel-Spline werden ebenso diskutiert. Beruhend auf diesen Definitionen wird ein kinematischer Regelflächen-Annäherungsalgorithmus entwickelt. Das Wesen dieses Algorithmus ist ein schneller Algorithmus einer dualen Kugel-Spline-Interpolation auf der dualen Einheitskugel. Dieser Algorithmus kann zum Entwurf von Oberflächen auf verschiedenen Gebieten verwendet werden, insbesondere für Strömungsmaschinen, wie beispielsweise Propeller, Flügelrad eines Zentrifugalkompressors, Gasturbine und Turbolader. Dieser Algorithmus kann ebenso zum Entwurf des Bewegungspfades und zur Planung der Werkzeugbewegung für CNC-Maschinen verwendet werden.
Im Folgenden wird der theoretische Hintergrund dieser Annäherung beschrieben. Des Weiteren werden neuartige Definitionen eines gewichteten Mittelwerts auf der dualen Einheitskugel, einer Dual-Kugel-Bezier-Kurve und eines B-Spline vorgeschlagen. Zudem werden ein Algorithmus zur Berechnung des gewichteten Mittelwerts auf der dualen Einheitskugel und ein schneller, iterativer Algorithmus zur dualen Kugel-Spline-Interpolation bereitgestellt. Des Weiteren wird ein kinematische Regelflächen-Annäherungsalgorithmus zur Annäherung einer Freiformoberfläche mit einer Regelfläche vorgeschlagen. Abschließend wird eine Schlussfolgerung vorgenommen.
Theoretischer Hintergrund
Plücker-Koordinate einer geraden Linie (Gerade)
Im homogenen kartesischen Koordinatensystem kann eine gerade Linie L algebraisch durch zwei verschiedene Punkte dargestellt werden: X = (x₀, x₁, x₂, x₃)R = (x₀, x)R und Y = (y₀, y₁, y₂, y₃)R = (y₀, y)R auf der geraden Linie: L(t) = (1 – t)X + tY (3)
Gleichwertig kann eine gerade Linie L im 3D-projektiven Raum P³ durch das äußere Produkt zweier Punkte X ∧ Y dargestellt werden, was als die homogene Plücker-Vektorkoordinate LIR = (1,1°)IR bezeichnet wird: (1,1°) = (x0y – y0x, x × y) (4)Im euklidischen Raum, d. h. x₀ = y_p = 1, haben die Plücker-Koordinaten eine geometrische Interpolation, wobei 1 = r = y – x und 1° = x·r = x·y. Dies sind die Plücker-Koordinaten einer orientierten geraden Linie in E³. Offensichtlich sind diese Ko ordinatenelemente nicht unabhängig. Diese Koordinatenelemente erfüllen die Plücker-Relation: Ωq(L) = I·I° = 0 (5)
Die homogenen Plücker-Koordinaten 1,1° definieren einen Punkt in P⁵. Die Länge des Vektors 1 ist beliebig und kann vereinheitlicht werden: 1·1 = 1 (6)Nicht jeder Punkt in P⁵ ist eine Plücker-Koordinate. Nur die Punkte, die die Plücker-Relation Gleichung 5 erfüllen, sind Plücker-Koordinaten. Gleichung 5 definiert eine quadratische Vielfalt in P⁵, die als Kleinquadrik M 4 / 2 bezeichnet wird. Auf diese Weise kann die Bijektionsabbildung γ:L → M 4 / 2 zwischen geraden Linien L ∊ P³ und Punkten LIR E M 4 / 2 eingerichtet werden. Diese Abbildung wird als „Map” beziehungsweise „Abbildung” bezeichnet.
Dualzahldarstellung einer geraden Linie (Gerade)
Eine gerade Linie kann ebenso in einer kompakteren Weise unter Verwendung von Dualzahlen dargestellt werden. Eine Dualzahl kann in der Form a ^ = a + εa° geschrieben werden, wobei a, a° ∊ IR ist und ε das duale Element mit ε² = 0 ist. Dualzahlen können in den Vektorraum ausgeweitet werden, der Raum ID³ ist definiert als ein Satz aller Paare von Vektoren: a ^ = a + εa° wenn a, a° ∊ IR3 (7)Sind zwei duale Vektoren, x ^ = x + εx° und y ^ = y + εy°, so ist das innere Produkt in ID³ folgendermaßen definiert: x ^·y ^ = x·y + ε(x°·y + x·y°) (8)
Folglich ist die Länge eine dualen Vektors definiert als
Ein dualer Vektor der Länge 1 wird als dualer Einheitsvektor bezeichnet. Offensichtlich erfüllt ein dualer Einheitsvektor folgende Gleichungen:
Mit Bezug auf Gleichungen 5 und 6 ist es möglich, eine kompaktere Darstellung einer Gerade zu erhalten: Die Dualzahldarstellung einer Gerade ist einfach das Schreiben der Plücker-Koordinaten als ein dualer Einheitsvektor. Das Berechnungsproblem der Berechnung von Punkten auf einer Quadrik in P⁵ wird auf eine Aufgabe in einer dualen Form einer Kugelgeometrie reduziert. Diese Abbildung beziehungsweise „Map” ist als Study-Map beziehungsweise Study-Abbildung bezeichnet.
Dualzahldarstellung einer Regelfläche
Duale Einheitsvektoren definieren Punkte auf einer Kugel in ID³. Diese Kugel wird als duale Einheitskugel (DEK) bezeichnet. In dieser Form wird eine Regelfläche, die durch Gleichung 1 definiert wurde, als eine Kurve auf der dualen Einheitskugel geschrieben:
Eine Dualzahldarstellung einer Regelfläche kann in eine algebraische Form umgewandelt werden: x(u, ν) = 1(u)° + ν1(u) (12)
Nun wird eine Transformationsabbildung zwischen einer Regelflächendarstellung im euklidischen Raum und einer Kurvendarstellung auf der dualen Einheitskugel eingerichtet. An Stelle der Lösung eines Oberflächenannäherungsproblems im euklidischen Raum wird ein Kurvenannäherungsproblem auf der dualen Einheitskugel gelöst.
Dualer Kugel-Spline
Gewichteter Mittelwert und Spline auf einer realen Kugel.
Ein gewichteter Mittelwert auf einer realen Kugel wird, beruhend auf einer Minimierung, nach der Methode der kleinsten Quadrate definiert. Es seien p₁, ..., p_n Punkte auf einer d-dimensionalen Einheitskugel S^d in IR^d+1, ein gewichteter Mittelwert dieser n-Punkte verwendet Gewichtungswerte ω₁, ..., ω_n derart, dass jede ω_i ≥ 0 und
der gewichtete Mittelwert wird bezeichnet als:
Der gewichtete Mittelwert in Gleichung 13 ist nicht einfach eine lineare Kombination der Punkte p₁, ..., p_n, aber ein Ergebnis einer Minimierung nach der Methode der kleinsten Quadrate, nämlich als der Punkt C auf S^d, was den folgenden Wert minimiert:
, wobei dist_s(C, p_i) der Kugelabstand zwischen C und p_i ist. Die Funktion f erreicht ein eindeutiges Minimum, falls die folgende Bedingung erfüllt ist:
Theorem 1. Angenommen die Punkte p₁, ..., p_n liegen alle in einer Halbkugel H von S^d, mit zumindest einem Punkt p_i in dem Inneren von H mit ω_i ≠ 0. Dann weist die Funktion f ei nen einzigen kritischen Punkt C in H auf, wobei dieser Punkt C das globale Minimum von f ist.
Es kann nachgewiesen werden, dass der neu definierte gewichtete Mittelwert vorteilhafte Eigenschaften aufweist. Beruhend auf der Definition eines gewichteten Mittelwerts auf einer realen Kugel, können die Spline-Funktionen, die Werte auf der Einheits-d-Kugel S^d annehmen, analog definiert werden. Es seien nun p₁, ..., p_n die Punkte auf S^d und seien f₁(u), ..., f_n(u) Basisfunktionen, die die folgende Eigenschaft erfüllen:
für u in dem Intervall [a, b]. Die Spline-Kurve s(u), die Werte auf der Einheitskugel annimmt, ist definiert als:
Die am meisten gebräuchlichen Anwendungen von Splines verwenden B-Splines mit den Basisfunktionen f_i(u), die abschnittsweise kubische Kurven mit kontinuierlichen zweiten Ableitungen sind. Von einem Kontinuitätstheorem ist bekannt, dass, falls die Basisfunktionen f_i kontinuierliche k-t Ableitungen aufweisen, die Spline-Kurve ebenso k-t Ableitungen aufweist. In diesem Fall werden die Kugelsplinepunkte s(t) ausreichend definiert, vorausgesetzt, dass jeder von vier aufeinanderfolgenden Steuerungspunkten (Steuerpunkten) in einer Halbkugel liegt.
Gewichteter Mittelwert (weighted average) auf der dualen Einheitskugel
Der Übertragungsgrundsatz von dualen Einheitsvektoren besagt einfach, dass für jede Operation, die für einen realen Vektorraum definiert ist, eine duale Version mit gleicher Interpretation vorliegt. Beruhend auf diesen Übertragungsgrundsät zen von dualen Einheitsvektoren, kann eine ähnliche Definition eines gewichteten Mittelwerts auf der dualen Einheitskugel abgeleitet werden. Da lediglich der Fall für die duale Einheitskugel in ID³ von Interesse ist, kann die Definition folgendermaßen eingegrenzt werden:
Definition 1. Es seien p ^₁, ..., p ^_n auf der dualen Einheitskugel S ^² in ID³. Ein gewichteter Mittelwert dieser n Punkte unter Verwendung realer Gewichtungswerte ω₁, ..., ω_n, sodass jeder ω_i ≥ 0 und Σ_iω_i = 1, der gewichtete Mittelwert dieser n Punkte angegeben wird als:
Er ist definiert als ein Ergebnis einer Minimierung mit der Methode der kleinsten Quadrate, nämlich als der Punkt q ^ auf S ^², das den folgenden Wert minimiert:
wobei
der duale Kugelabstand zwischen q ^ und p ^_i ist.
Der Abstand zwischen zwei Punkten auf der dualen Einheitskugel ist durch einen dualen Winkel zwischen zwei Geraden definiert. Er weist die Form θ ^ = θ + ε·d, wobei θ der Winkel zwischen den Geraden und d der Mindestabstand entlang der gemeinsamen Senkrechten ist. Für zwei Punkte x ^ und y ^ auf der dualen Einheitskugel ergibt sich die folgende Gleichung: x ^·y ^ = cosθ ^ (19)
Die duale Arcus-Cosinus-Funktion ist definiert als:
Ähnlich liegt das Theorem für das Vorhandensein und die Eindeutigkeit der Definition vor.
Theorem 2: Es sei angenommen, dass die Punkte p ^₁, ..., p ^_n alle auf einer dualen Halbkugel H ^ von S ^² liegen, mit mindestens einem Punkt p ^_i im Inneren von H ^ mit ω_i ≠ 0. Dann weist die Funktion f ^ einen einzigen kritischen Punkt q ^ in H ^ auf, wobei dieser Punkt q ^ das globale Minimum von f ^ ist.
Vorhandensein (Existenz) und Eindeutigkeit
Theorem 2 wird bewiesen. Vor dem Beweis werden die exponentiellen und logarithmischen Funktionen für die dualen Vektoren definiert. Diese Funktionen sind nützlich für den Beweis und für die Entwicklung des Algorithmus.
Exponential- und logarithmische Funktionen
Zuerst wird ein Unterraum von ID³ definiert, der folgendermaßen dargestellt wird: T := {x ^|x ^ = (x ^1, x ^2, 0); x ^1, x ^2 ∊ ID} (21)
Offensichtlich ist der Unterraum T ein linearer Raum. Die in Gleichung 9 definierte Norm ist noch gültig zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten in dem Unterraum. Dieser Unterraum kann als eine tangentiale Hyperebene im Hinblick auf einen Punkt q ^ auf der dualen Einheitskugel angenommen werden. Ohne Einschränkung der allgemeinen Gültigkeit wird ein Punkt q ^ := (0, 0, 1) ausgewählt, wobei die Punkte auf der tangentialen Ebene von Punkt q ^ als x ^ := (x ^₁, x ^₂, 1) geschrieben werden können. Unter der Annahme, dass der Punkt q ^ der Ursprung von T_q ist, erhält man exakt den Unterraum T. Dann lässt sich der Abstand zwischen q ^ und p ^_i auf der Hyperebene folgendermaßen berechnen: r ^ = ||x ^ – q ^|| = ||(x ^1, x ^2, 0)|| (22)
Die exponentielle Abbildung bei q ^ wird definiert mit dem Abbilden von Punkten von der tangentialen Hyperebene T_q zu der dualen Einheitskugel, was Winkel und Abstände von q ^ beibehält. Die exponentielle Abbildung wird bezeichnet als
In diesem Fall ist eine Funktion gegeben, die einen Punkt p ^ mit den Koordinaten (x ^₁, x ^₂, 1) auf einen Punkt
abbildet.
Die folgende Bedingung sollte erfüllt sein, um den Abstand beizubehalten: x ^'3 = cos(r ^) (23)wobei r ^ durch Gleichung 22 definiert ist. Da
auf der dualen Einheitskugel lokalisiert ist, wird unter der Annahme der Eigenschaft sin²(r ^) + cos²(r ^) = 1, Folgendes definiert:
Im Fall r = 0, ist der duale Teiler nicht definiert, sodass x ^'₁ = x ^₁ und x ^'₂ = x ^₂ zugeordnet sind.
Die logarithmische Funktion ist die Umkehrfunktion der exponentialen Abbildung, die einen Punkt P ^' = (x ^'₁, x ^'₂, x ^'₃) auf der dualen Einheitskugel auf einen Punkt (x ^'₁, x ^'₂, 1) auf der tangentialen Hyperebene
abbildet, vorausgesetzt, p ^' ist nicht antipodisch zu q ^. Wir bezeichnen die logarithmische Funktion als
und es gilt
Folglich ist die Umkehrabbildung wie folgt definiert:
wobei θ ^ = cos^–1(x ^'₃) der duale Winkel zwischen p ^' und q ^ ist. Es wird dabei angenommen, dass der Hauptteil von θ ^ folgende Un gleichung erfüllt: 0 ≤ θ < π. Im Falle von θ ^ = 0 ist x ^_i = x ^'_i für i = 1, 2.
Beweis des Vorhandenseins
Da f ^ eine kontinuierliche Funktion auf dem kompakten Raum S ^² ist, erlangt f ^ seinen Minimalwert zumindest am Punkt q ^. Es kann bewiesen werden, dass q ^ im Inneren der Halbkugel H ^ liegt.
Unter der Annahme dass q ^ das Minimum von Gleichung 18 und vollständig außerhalb von H ^ liegt, kann ein Punkt q ^' in dem Inneren von H ^ gefunden werden, und zwar durch Reflektieren von q ^ durch die dem Rand von H ^. Offensichtlich ist für den Punkt P ^_i innerhalb der Halbkugel der Abstand zwischen P ^_i und q ^' kleiner als der Abstand zwischen P ^_i und q ^. Für Punkte P ^_i auf dem Rand von H ^ sind die Abstände die gleichen. Der Wert von f ^(q ^') < f ^(q ^) widerspricht der Annahme. Deshalb kann das Minimum q ^ nicht außerhalb von H ^ liegen.
Als nächstes wird bewiesen, dass das Minimum q ^ ebenso nicht auf dem Rand von H liegen kann. Es ist gleichwertig zu beweisen, dass der Gradient von f ^ an dem Rand immer ungleich 0 ist und nach außerhalb von H ^ zeigt. Unter Verwendung der vorstehend verwendeten Abbildungen gilt
für die Punkte s ^ auf der tangentialen Hyperebene
Es werden die Achsen x ^₁, x ^₂ für
gewählt und dann die ersten Ableitungen von f ^ an
definiert. Die beste Beschreibung der Ableitung von f ^ ist Gradientenvektor ∇f ^, dieser ist ein Tangentenvektor zu der dualen Kugel bei q ^:
wobei u →₁ und u →₂ die Einheitsvektoren sind, die in die Richtung der Achsen x ^₁ und x ^₂ ausgerichtet sind. Für den Eindeutigkeitsbeweis gilt es zu verifizieren, dass die zweite Ableitung von f ^ am Punkt q ^ positiv ist. Dessen zweite Ableitungen an q ^ sind gleich
Für den Rest des Beweises wird auf Schraubenberechnungen zurückgegriffen.
Schraubentheorie
Im Sinne einer steifen Bewegung ist eine Schraube eine Möglichkeit, eine Verschiebung zu beschreiben. Die Verschiebung kann als eine Rotation um eine Achse und eine Translation entlang derselben Achse gedacht sein. Eine allgemeine Schraube S ^ besteht aus zwei Teilen, einen echten 3-Vektor S, der die Richtung der Schraube anzeigt, und einen echten 3-Vektor S_p, der, durch Aufzeichnen des Moments der Schraube um den Ursprung, S ^ lokalisiert. In dieser Hinsicht wird eine Schraube als ein dualer Vektor dargestellt: S ^ = S + εSp = S + ε(pS + S0) (27)wobei p der Gewindegang „pitch” der Schraube und S₀ das Moment der Gerade der Schraube um den Ursprung ist. S₀ ist abgeleitet von dem Ursprungsradiusvektor R, oder allgemeiner von jedem Punkt V der Kugel mit S₀ = R × S = V × S. S₀ ist rechtwinklig zu S(S·S₀ = 0).
Offensichtlich ist eine Gerade eine Schraube, bei der der Gewindegang 0 ist, d. h. p = 0. Deshalb kann man Schraubenberechnungen zur Analyse der partialen Ableitungen der Funktion f ^ an den Punkt q ^ auf der dualen Einheitskugel verwenden. f ^ ist eine duale Skalarfunktion der Schraube S ^, die folgende Form aufweist: f ^(S ^) = f ^(s + εs°) (28)
Das Argument hinsichtlich der dualen Vektoren wird in einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit Ursprungspunkt 0 ausgedrückt, wobei dann die Formeln für ein Dualzahlenargument angewendet werden. Die dualen Koordinaten der Schraube sind folgende: S ^x = sx + εs°x, S ^y = sy + εs°y, S ^z = sz + εs°z (29)wobei s_x, s_y, s_z, s°_x, s°_y, s°_z sechs reale Elemente einer Plücker-Koordinate sind. Unter Verwendung der Differentialregeln für Dualzahlenfunktionen wird erhalten:
Die Funktion f ^ wird real, falls alle Variablen real sind, deshalb gilt f ^(s_x, s_y, s_z) = f(s_x, s_y, s_z). Nach Umwandlung in die Vektorschreibweise wird Folgendes erhalten: f ^(S ^) = f(s) + εs°·∇f(s) = f(s) + ε(s°·∇)f(s) (31)
Wenn die vorstehende Gleichung analysiert wird, lässt sich erkennen, dass die Schraubenfunktion f ^(S ^) vollständig durch eine Funktion von dessen Hauptteil f(s) definiert wird. Folglich ergibt sich die folgende Eigenschaft: Es ist bekannt, dass zwei duale Vektorfunktionen F(x ^) und Φ(x ^) folgende Gleichung erfüllen: ∇F(x) = Φ(x) (32)
Es kann folgende Identität gefolgert werden: ∇F(x ^) = Φ(x ^) (33)
Zum Beweis, dass der Gradient von f ^ am Rand immer ungleich 0 ist und nach außerhalb von H ^ gerichtet ist, ist es gleichwertig zu beweisen, dass die reale Vektorfunktion f(x) am Rand immer ungleich Null ist und nach außerhalb von der realen Halbkugel H gerichtet ist. Dies wurde in der Literatur bereits getan. Allgemeiner wird das folgende Theorem abgeleitet:
Theorem 3. Alle Formeln und alle Theoreme der Vektoranalysis verbleiben in Kraft auf dem Gebiet der Schrauben.
Es folgt aus dem Vorstehenden, dass eine Schraubenanalyse gebildet werden kann durch Ersetzen von Schrauben in Vektoren. Der Zusammenhang zwischen geometrischen Objekten, der vorstehend begründet wurde, bleibt offensichtlich erhalten: Der duale Betrag ”modulus” der Schraube entspricht dem Betrag des Vektors und der duale Winkel zwischen den Achsen der Schrauben entspricht dem Winkel zwischen Vektoren.
Anstelle des Beweises, dass die duale Vektorfunktion f ^(x ^) ein eindeutiges Minimum aufweist, wird bewiesen, dass der Hauptteil („principle Part”) von f(x) ein eindeutiges Minimum aufweist. Es folgt genau derselbe Ablauf wie der Beweis für die Eindeutigkeit eines gewichteten Mittelwerts auf der realen Kugel. Der Beweis wird nicht wiederholt, die Details finden sich in der einschlägigen Literatur.
Kontinuitäts- und Konvexitätseigenschaften
Es wurde bewiesen, dass die Ableitungseigenschaft einer Schraubenfunktion vollständig durch deren Hauptteil bestimmt wird. Folglich ergibt sich das gleiche Kontinuitätstheorem wie im Falle der realen Kugel:
Theorem 4. Es seien die Werte für p ^₁, ..., p ^_n und ω₁, ..., ω_n und q ^ derart ausgewählt, dass diese die Hypothesen des Theorems 2 erfüllen. Daraus ergibt sich, eine Nachbarschaft von p ^₁, ..., p ^_n, ω₁, ..., ω_n, in der der gewichtete Mittelwert q ^ eine C^∞-Funktion von p ^₁, ..., p ^_n, ω₁, ..., ω_n, ist.
Es kann ebenso gezeigt werden, dass die Punkte q ^, die als ein gewichteter Mittelwert von p ^₁, ..., p ^_k, geschrieben werden können, einen konvexen Satz erzeugen. Sie erzeugen genau die konvexe Oberfläche der Punkte p ^₁, ..., p ^_k.
Definition von dualen Kugel-Splines
Beruhend auf der Definition eines gewichteten Mittelwerts auf der dualen Einheitskugeln in ID³, können die Spline-Funktionen analog definiert werden, die Werte auf der dualen Einheitskugel annehmen. Genauso wie bei der Definition von Splines auf einer realen Kugel, müssen die Basisfunktionen immer die folgende Eigenschaft erfüllen:

Für u im Intervall [a, b].

Da Bernstein Polgnome und B-Spline-Basisfunktionen beide dieses Erfordernis erfüllen, werden die duale Kugel-Beziers-Kurve oder B-Spline-Kurve s ^₁(t) folgendermaßen definiert, die Werte auf der dualen Einheitskugel annehmen:
p ^₁..., p ^_n sind Punkte auf der dualen Einheitskugel in ID³.
Zur Erfüllung der Eindeutigkeitserfordernis ist für jeden Wert des Parameters u der Satz von Steuerungspunkten p ^_i, für welche f_i(u) ≠ 0 ist, innerhalb einer dualen Halbkugel enthalten. Zumindest ist jeder Wert meistens innerhalb einer Halbkugel enthalten zur Erfüllung der Eindeutigkeitsbedingungen.
Interpolation von dualen Kugel-Splines
Algorithmus zur Berechnung gewichteter Mittelwerte auf der dualen Einheitskugel.
Nachfolgend wird ein neuer Algorithmus zur Berechnung des gewichteten Mittelwerts auf der dualen Einheitskugel vorgeschlagen. Die grundsätzliche Idee dieses Algorithmus liegt in der Verwendung der logarithmischen Abbildung, die alle Punkte p ^_i auf der dualen Einheitskugel auf die tangentiale Hyperebene an q ^ abbildet, dann deren gewichteter Mittelwert in der Hyperebene berechnet und dieses Ergebnis zurück zu der dualen Einheitskugel durch die exponentielle Abbildung abbildet. Die exponentielle Abbildung wird gemäß Gleichungen (23) und (24) definiert. Die logarithmische Abbildung ist gemäß Gleichung (25) definiert. Alle Berechnungsregeln beruhen auf den Berechnungsregeln, die in den dualen Vektorraum ID³ definiert sind.
Da die exponentielle Abbildung und die logarithmische Abbildung lediglich an q ^ = (0, 0, 1) definiert sind, muss für einen allgemeinen Punkt q ^ auf der dualen Einheitskugel der Koordinatenrahmen derart bewegt werden, um zu der Abbildung zu passen. Die Matrix zur Bewegung eines Punktes x ^₁ zu einem Punkt x ^₂ auf der dualen Einheitskugel ist mit folgender Formel gegeben: x ^2 = [R ^]x ^ (36)wobei [R ^] = exp(ω ^[adg ^]) = [I] + sin(ω)[adg ^] + (cos(ω) – 1)([adg ^])2 (37)ω ^ entspricht dem dualen Winkel zwischen den Punkten x ^₁ und x ^₂: x ^1·x ^2 = cosω ^ = x + εx° (38)und die Schraubenachse g ^ wird gewählt, sodass diese senkrecht zu beiden Punkten x ^₁ und x ^₂ ist:
Es ergibt sich der folgende Algorithmus:

• Algorithmus zum Berechnen von gewichteten Mittelwerten auf der dualen Einheitskugel.
• Eingabe: p ^₁, ..., p ^_n auf der dualen Einheitskugel und nicht negative Richtungsfaktoren ω₁, ...ω_n mit der Summe 1;
• Ausgabe: der gewichtete Mittelwert der Eingabewerte;
• Initialisierung: Setze
• Hauptschleife:

Hier ist
die Abbildung, die Punkte p ^_i zu der tangentialen Hyperebene an q ^ abbildet und
bildet das Ergebnis zurück auf die duale Einheitskugel.
Algorithmus zur Spline-Interpolation auf der dualen Einheitskugel
Unter Verwendung des dualen Kugel-Spline, der in Gleichung (35) definiert wurde, kann das duale Kugel-Spline-Interpolationsproblem gelöst werden. Ausgehend von gegebenen Punkten c ^₁, ..., c ^_n auf der dualen Einheitskugel und ausgehend von Parametern u_l < u₂ < ... < u_n, soll eine Glättungskurve auf der dualen Einheitskugel gefunden werden, die durch u parametrisiert ist und zwar derart, dass s ^(u_i) = c ^_i für alle i. Das grundsätzliche Problem ist die Wahl zusätzlicher Knotenposi tionen und Steuerungspunkte p ^_i, die eine Kugel-Spline-Kurve nach Gleichung (35) definieren und diese Bedingungen erfüllen. Hier wird f ^_i(u) als kubische B-Spline-Basisfunktionen gewählt und ein iteratives Verfahren zur Lösung für die Steuerungspunkte p ^_i verwendet. Dies kann einfach auf B-Splines höherer Ordnung ausgeweitet werden.
Definitionsgemäß gibt es n + 2 Steuerungspunkte für n Eingabepunkte. Es sei p ^₁ = p ^₂ und p ^_n+1 = p ^_n+2, wobei α_i, β_i, γ_i die Elemente in einer Basismatrix bezeichnen, die nicht 0 sind.
Basismatrix:
Der Duale-Kugel-kubische-B-Spline-Interpolationsalgorithmus kann wie folgt beschrieben werden:
Algorithmus zur Interpolation von dualen Kugel-kubischen B-Splines:

• Eingabe: Punkte c ^₁; ...; c ^_n und reelle Koeffizienten α_i, β_i, γ_i (o ≤ i ≤ n);
• Steuerungspunkte p ^_i;
• Initialisierung: setze p ^_i := c ^_i für i = 1, ...n
• Hauptschleife:

_i

Wenn die Steuerungspunkte hergeleitet sind, ist der duale Kugel-Spline als gewichteter Mittelwert der Steuerungspunkte zu berechnen. Die Laufzeit des gewichteten Mittelwert-Algorithmus ist um eine Größenordnung kleiner als die Laufzeit des Interpolationsalgorithmus, sodass die Zeit zur Berechnung einer großen Anzahl von Punkten entlang der Kurve die zur Berechnung der Steuerungspunkte benötigte Zeit dominiert.
Simulationsergebnisse
Der Algorithmus wird mit verschiedenen Eingabewerten getestet. Die Eingabegeradenabfolge ist gegeben in der Form von dualen Vektoren I ^_i = I_i + εI ° / i, wobei i = 1, ..., n. Ein Punkt auf der dualen Einheitskugel entspricht einer unendlichen Gerade im euklidischen Raum. Zur Anzeige der Eingabegeradenabfolge wird die duale Vektordarstellung von Geraden in die algebraische Darstellung von Geraden transformiert: Ii(v) = Ii × I°i + v·Ii, für i = 1, ..., n (41)v kann Element des Bereichs [0,1] sein. Zur Anwendung des Interpolationsalgorithmus für Duale-Kugel-kubische-B-Splines muss die Parameter- und Knotenabfolge bestimmt sein. Es wurde die Sehnenlänge zur Definition der Parameter ausgewählt:
Es sei d ^_i die Sehnenlänge zwischen zwei gegebenen Punkten d ^_i = I ^_i·I ^_i-1, i = 1, ..., n so wird die gesamte Sehnenlänge durch
berechnet. Da d ^_i eine duale Zahl ist, wird der Hauptteil von d ^_i als d_i verwendet und die Parameter werden folgendermaßen berechnet:
Dieser duale Kugel-Spline erlaubt die Verwendung von beliebigen Kontenpositionen. Zur Vereinfachung wird die Knotenabfolge entsprechend den Parametern ausgewählt.
Der Algorithmus konvergiert schnell und der Interpolationsfehler ist gering. Das Endergebnis ist als kubischer Dualkugel B-Spline gegeben:
welcher die Bedingung s ^(u_i) = I ^_i erfüllt. Es kann der duale kubische B-Spline als eine Regelfläche, gegeben durch Gleichung 12 dargestellt werden, wobei ν ∊ [0,1] ist. Es können die Eingabegeradenabfolge und die Punkte auf dem interpolierten Spline, gegeben durch s ^(u_i), dargestellt werden. Der Algorithmus konnte verifiziert werden.
Kinematische Regelflächenannäherung und deren Anwendung
Der Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus kann zur Annäherung einer gegebenen Freiformoberfläche mit einer Regelfläche verwendet werden. Für den Regelflächen-Annäherungsalgorithmus ist der erste Schritt, ein diskretes System von Linierungsgeraden (rulings) nahe der gegebenen Oberfläche zu finden. Anschließend wird diese Linierungsgeradenabfolge, die in dem ersten Schritt abgeleitet wurde, in der Form von dualen Vektoren geschrieben, die Punkten auf der dualen Einheitskugel entsprechen. Dann kann der duale Kugel-Spline-Interpolationsalgorithmus zur Ableitung einer kubischen B-Spline-Kurve auf der dualen Einheitskugel angewendet werden, die einer Regelfläche im euklidischen Raum entspricht. Diese Kurve kann, beruhend auf Gleichung 12, zu einer Regelfläche im euklidischen Raum zurück abgebildet werden. Zwei Directrix-Kurven auf einer Regelfläche können folgendermaßen geschrieben werden: p(u) = l(u) × l(u)° + ν1l(u) (43a) q(u) = l(u) × l(u)° + ν2l(u) (43b)
Diese Darstellung beinhaltet zwei zusätzliche Parameter ν₁ und ν₂, sodass eine zusätzliche Information zur Bestimmung der Ränder der Regelfläche erforderlich ist. Für verschiedene Anwendungen kann eine Vielzahl von Verfahren angewendet werden. Hier wird ein kinematischer Regelflächen-Annäherungsalgorithmus vorgeschlagen, der beispielsweise zum Entwurf und zur Herstellung von Zentrifugal-Kompressorschaufeln geeignet ist.
In der Geradengeometrie kann ein Punkt als eine Schnittstelle von zwei Geraden interpretiert werden. Ein Punkt auf dem Rand einer Regelfläche ist durch Schneiden einer Linierungsgeraden mit einer Referenzgeraden definiert. Genauer wird die Referenzgerade dadurch definiert, dass diese durch einen Punkt auf einer Directrix-Kurve läuft und die Orientierung der Referenzgerade mit der Flächennormalen an diesen Punkt übereinstimmt. Diese Definition der Referenzgerade ist inspiriert durch den Herstellungsprozess, wobei die Linierungsgerade (ruling), die Normale der Fläche bzw. Oberfläche und ein zu der Linierungsgerade und der Normalen senkrechter Einheitsvektor ein lokales Koordinatensystem für das sich bewegende Fräswerkzeug bilden. Offensichtlich erzeugt die Bewegung der Referenzgerade ebenso eine Regelfläche. Deshalb kann der Dual-Kugelspline-Interpolationsalgorithmus unter Verwendung der Referenzgeraden als Eingabe verwendet werden. Eine Directrix-Kurve ist durch Schneiden dieser beiden Regelflächen herge leitet. Gleichermaßen kann die andere Directrix-Kurve durch Wiederholen des vorstehenden Ablaufs hergeleitet werden.
Es können folgende Schritte zur Ermittlung von Direktrixkurven der ausgehend von den Linierungsgeraden bestimmten Regelfläche ausgeführt werden:

Mit anderen Worten können die beiden Direktrixkuven der den Linierungsgeraden zugeordneten Regelfläche folgendermaßen beispielhaft ermittelt werden. Es wird ein Rahmen für den kinematischen Regelflächen-Annäherungsalgorithmus erhalten:
Schritt S1. Extrahieren der Linierungsgeraden von der gegebenen Fläche und Bestimmen der Referenzgeraden entsprechend zweier Directrix-Kurven;
Schritt S2. Transformieren der Koordinaten der drei Geradenabfolgen in die Koordinaten der Punkte auf der dualen Einheitskugel; Transformieren von Koordinaten einer diskreten Gerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study-Mapping-Algorithmus;
Schritt S3. Anwenden des Dualkugel-B-Spline-Interpolationsalgorithmus;
Schritt S4. Berechnen des Dualkugel-B-Splines mit dem Algorithmus des Dualkugel-gewichteten Mittelwerts;
Schritt S5. Transformieren der Dualzahl-Darstellung der Regelfläche zurück in den euklidischen Raum; Kurven auf der Dualen Einheitskugel können mittels eines inversen Study-Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein-Mapping-Algorithmus in eine Regelfläche im dreidimensionalen Euklidischen Raum umgewandelt werden.
Schritt S6. Bestimmen der zwei Directrix-Kurven durch Schneiden von Regelflächen.
3 zeigt die Schrittfolge zur Bestimmung einer Regelfläche, die an eine beliebige, zu erzeugende Fläche angenähert wurde.
Dieser Algorithmus wurde beispielsweise zum Entwurf von Schaufelflächen verwendet. Zur Verifizierung des Algorithmus wurde eine Zentrifugal-Kompressorschaufel ausgewählt, die einer Regelfläche angenähert entworfen ist, als die Eingabe für den Algorithmus. Es wurde ein Simulationsergebnis für den kinematischen Kugelflächen-Annäherungsalgorithmus erhalten. Es kann die ursprüngliche Form der gegebenen Schaufel dargestellt werden. Es können drei Abfolgen von Geraden extrahiert werden, die eine Gruppe von, die gegebene Schaufel annähernden, Geraden und zwei Gruppen von Normalen aufweisen. Diese drei Gruppen von Geradenabfolgen können dargestellt werden. Unter Anwendung des Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus und des Geraden-Schnittalgorithmus wird eine angenäherte Regelfläche abgeleitet. Es kann die angenäherte Regelfläche mit der ursprünglich gegebenen Schaufelfläche verglichen werden, wobei sich zeigt, dass der Annäherungsfehler sehr klein ist. Diese Regelfläche wird durch einen Geradenpfad dargestellt, der die Oberfläche erzeugt, sodass eine nahe Verbindung zu dem Herstellungsprozess gegeben ist.
Schlussfolgerung
Vorstehend wurde beschrieben, wie ein Regelflächen-Annäherungsproblem im euklidischen Raum in ein Kurven-Interpolationsproblem auf der dualen Einheitskugel durch Anwendung eines Klein-Map-Algorithmus und eines Study-Map-Algorithmus transformiert wurde. Es wurde ein gewichteter Mittelwert auf der dualen Einheitskugel definiert, der zu der Definition eines dualen Kugelspline auf der dualen Einheitskugel führt. Auf der Grundlage dieser Definitionen werden schnelle, iterative Algorithmen zur Berechnung der gewichteten Mittelwerte und zur Interpolation von dualen Kugelsplines auf der dualen Einheitskugel vorgeschlagen. Diese Algorithmen sind definiert durch verschiedene Eingaben und werden zu einem kinematischen Regelflächen-Annäherungsalgorithmus erweitert. Dieser neuartige Regelflächen-Annäherungsalgorithmus kann zur Annäherung einer Freiformfläche mit einer Regelfläche verwendet werden. Dieser kann zum Entwurf von Oberflächen und zur Planung von Werkzeugpfaden, beispielsweise bei CNC-Maschinen, verwendet werden. Deshalb hat der kinematische Regelflächen-Annäherungsalgorithmus einen hohen Wert für die industrielle Herstellung und weist viele Anwendungsmöglichkeiten auf verschiedenen Gebieten auf. Es können beliebige Flächen auf beliebigen Materialen erzeugt werden.
Ein Verfahren nach dem Hauptanspruch ist für eine Werkstückbearbeitung ausreichend, da das Werkzeug lediglich eine bestimmte Länge aufweist und auf diese Weise eine Regelfläche erzeugt wird. Zusätzlich können erfindungsgemäß die Direktrixkurven bestimmt werden. Des Weiteren kann eine Materialbearbeitungsvorrichtung direkt die Daten der Dualkugelsplinekurve zur Erzeugung einer Regelfläche verwenden. Eine Materialbearbeitung nach einer Umwandlung in eine Regelfläche im Euklidischen Raum ist ebenso möglich. Die beliebige, zu erzeugende Fläche kann aerodynamisch optimiert sein, durch Strukturdaten bestimmt, durch ein Experiment bestimmt oder mittel anderer Kriterien bestimmt sein. Es kann sich eine kurvenförmige Oberfläche ergeben.
4a bis 4d zeigen ein weiteres Ausführungsbeispiel eines erfindungsgemäßen Verfahrens. 4a bis d zeigen die Steuerung einer Flankenfräsvorrichtung mittels Computer Numerischer Steuerung (CNC; computer numerical control). 4a zeigt in einem ersten Schritt eine zu erzeugende untere Fläche und einer Offsetfläche. 4b zeigt in einem zweiten Schritt die diskreten Positionierungen des Materialabtragewerkzeugs. 4c zeigt in einem dritten Schritt die Bewegung der Materialabtragewerkzeuge und die hergestellte Oberfläche. 4d zeigt einen Vergleich zwischen der hergestellten Oberfläche und einer zu erzeugenden gegebenen Schaufel als die zu erzeugende Fläche.

Claims

Verfahren zum Erzeugen einer Fläche auf einem Werkstück mittels eines Materialabtragewerkzeugs, wobei ausgehend von einer beliebigen, zu erzeugenden Fläche ein Bewegungspfad des Materialabtragewerkzeugs zur Erzeugung einer der beliebigen Fläche angenäherten Regelfläche gesteuert wird, wobei der Bewegungspfad in Form einer Kurve auf einer Dualen Einheitskugel bereit gestellt wird, wobei ein Punkt auf der Kurve einem Ort und einer Orientierung des Materialabtragewerkzeugs entspricht.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Kurve auf der Dualen Einheitskugel als kontinuierliche und glatte Dualkugelsplinekurve definiert wird.
Verfahren nach Anspruch 2, gekennzeichnet durch – Bereitstellen einer der beliebigen, zu erzeugenden Fläche angenäherten Abfolge von diskreten Linierungsgeraden; – Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Linierungsgerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study-Mapping-Algorithmus; – Interpolieren der diskreten Punkte mittels Erzeugen der die diskreten Punkte aufweisenden Dualkugelsplinekurve mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus.
Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass – eine Linierungsgerade der Gleichung x(u₀, ν) = (1 – ν)p(u₀) + νq(u₀) entspricht; – der Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus folgende Gleichungen aufweist:
als Gleichung der Dualkugelsplinekurve, wobei f_i Basisfunktionen und p ^_i Steuerungspunkte auf der dualen Einheitskugel in ID³ sind, mit
gewichtete Mittelwerte auf der Dualen Einheitskugel folgender Gleichung entsprechen:
zur Erzeugung der Dualkugelsplinekurve eine Minimierung nach folgender Formel ausgeführt wird:
Verfahren nach Anspruch 3 oder 4, dadurch gekennzeichnet, dass ein Berechnen der der beliebigen Fläche angenäherten Abfolge von diskreten Linierungsgeraden mittels mathematischem Least-Square-Minimieren von Abständen zu der beliebigen Fläche ausgeführt wird.
Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Kurve mittels eines inversen Study-Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein-Mapping-Algorithmus in die Regelfläche im dreidimensionalen Euklidischen Raum umgewandelt wird.
Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass die Steuerungspunkte als Parameter für die Annäherung der Regelfläche an die beliebige, zu erzeugende Fläche verwendet werden.
Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass der Einzelparameter u Vorschubrate oder Zeit hinsichtlich einer Verschiebung des Materialabtragewerkzeugs ist.
Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche 3 bis 8, dadurch gekennzeichnet, dass – ausgehend von der beliebigen, zu erzeugenden Fläche und den diskreten Linierungsgeraden, zusätzlich zu jeder diskreten Linierungsgeraden eine erste und eine zweite diskrete Referenzgerade bestimmt wird, wobei eine erste diskrete Referenzgerade durch einen Schnittpunkt der diskreten Linierungsgeraden mit einer ersten zu bestimmenden Direktrixkurve und eine zweite Referenzgerade durch einen Schnittpunkt der Linierungsgeraden mit einer zweiten zu bestimmenden Direktrixkurve verläuft, und die Orientierungen dieser Referenzgeraden jeweils den Oberflächennormalen der zu erzeugenden Fläche an den Schnittpunkten entsprechen, wobei ein Abstand der beiden Schnittpunkte einer jeden diskreten Linierungsgerade der Länge des Materialabtragewerkzeugs entspricht; – Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Referenzgerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study-Mapping-Algorithmus, wobei zu der ersten Referenzgeradenabfolge eine erste diskrete Punkteabfolge und zu der zweiten Referenzgeradenabfolge eine zweite diskrete Punktabfolge erzeugt wird; – Interpolieren der beiden diskreten Punktabfolgen mittels Erzeugen zweier weiterer die jeweiligen diskreten Punktabfolgen aufweisenden Dualkugelsplinekurven mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus; – Umwandeln aller drei Dualkugelsplinekurven mittels eines inversen Study-Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein-Mapping-Algorithmus in drei Regelflächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum, wobei die zwei Schnittlinien der zwei Regelflächen der ersten und zweiten Referenzgeraden jeweils mit der Regelfläche der Linierungsgeraden die erste und zweite glatte und kontinuierliche Direktrixkurve der Regelfläche der Linierungsgeraden bestimmen, und wobei die zwei Direktrixkurven durch p(u) und q(u) der Gleichung x(u, ν) = (1 – ν)p(u) + νq(u) (2)mathematisch beschrieben sind.
Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch Überprüfen, ob der Bewegungspfad innerhalb eines Arbeitsraums des Materialabtragewerkzeugs ist, unter Verwenden der kinematischen Eigenschaften einer geforderten Bewegung und unter Anwenden einer Robotikanalyse.
Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Verfahren für einen Formentwurf und/oder eine Formoptimierung des Werkstücks verwendet wird.
Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass Materialabtragewerkzeug Bestandteil einer CNC-(Computer-Numerical-Control-)Fräs-Maschine, einer elektrischen Entladungs-Drahtschneidebearbeitungsmaschine oder einer Laserschneidmaschine ist.
Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Werkstück ein Bestandteil einer Strömungsmaschine, beispielsweise ein Propeller oder ein Rotor ist.
Vorrichtung zur Ausführung eines Verfahrens nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass eine Steuereinrichtung ein Materialabtragewerkzeug nach einem Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche ansteuert, wobei eine Recheneinrichtung einen Bewegungspfad des Materialabtragewerkzeugs berechnet.