EP2425307A1 - Kinematischer annäherungsalgorithmus mit regelfläche - Google Patents

Kinematischer annäherungsalgorithmus mit regelfläche

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Publication number
EP2425307A1
EP2425307A1 EP10718527A EP10718527A EP2425307A1 EP 2425307 A1 EP2425307 A1 EP 2425307A1 EP 10718527 A EP10718527 A EP 10718527A EP 10718527 A EP10718527 A EP 10718527A EP 2425307 A1 EP2425307 A1 EP 2425307A1
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
dual
discrete
curve
sphere
material removal
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Withdrawn
Application number
EP10718527A
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
Jörg SCHULZE
Yayun Zhou
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Siemens AG
Original Assignee
Siemens AG
Siemens Corp
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Siemens AG, Siemens Corp filed Critical Siemens AG
Publication of EP2425307A1 publication Critical patent/EP2425307A1/de
Withdrawn legal-status Critical Current

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B19/00—Programme-control systems
    • G05B19/02—Programme-control systems electric
    • G05B19/18—Numerical control [NC], i.e. automatically operating machines, in particular machine tools, e.g. in a manufacturing environment, so as to execute positioning, movement or co-ordinated operations by means of programme data in numerical form
    • G05B19/4093—Numerical control [NC], i.e. automatically operating machines, in particular machine tools, e.g. in a manufacturing environment, so as to execute positioning, movement or co-ordinated operations by means of programme data in numerical form characterised by part programming, e.g. entry of geometrical information as taken from a technical drawing, combining this with machining and material information to obtain control information, named part programme, for the NC machine
    • Y—GENERAL TAGGING OF NEW TECHNOLOGICAL DEVELOPMENTS; GENERAL TAGGING OF CROSS-SECTIONAL TECHNOLOGIES SPANNING OVER SEVERAL SECTIONS OF THE IPC; TECHNICAL SUBJECTS COVERED BY FORMER USPC CROSS-REFERENCE ART COLLECTIONS [XRACs] AND DIGESTS
    • Y02—TECHNOLOGIES OR APPLICATIONS FOR MITIGATION OR ADAPTATION AGAINST CLIMATE CHANGE
    • Y02P—CLIMATE CHANGE MITIGATION TECHNOLOGIES IN THE PRODUCTION OR PROCESSING OF GOODS
    • Y02P90/00—Enabling technologies with a potential contribution to greenhouse gas [GHG] emissions mitigation
    • Y02P90/02—Total factory control, e.g. smart factories, flexible manufacturing systems [FMS] or integrated manufacturing systems [IMS]

Definitions

  • the present invention relates to a method for producing at least one surface on a workpiece by means of a material removal tool and a corresponding material removal device.
  • Workpieces may for example be components of industrial machines, in particular of turbomachines, such as propellers, impellers of centrifugal compressors, rotors of pumps, gas turbines or turbochargers. Workpieces can be general machined parts.
  • turbomachines such as propellers, impellers of centrifugal compressors, rotors of pumps, gas turbines or turbochargers.
  • Workpieces can be general machined parts.
  • the geometry design part and the production part are separated.
  • a ruled area may have approximated a free-form surface or been optimized according to design requirements.
  • certain processes for the production of the control surface are used. For example, five-axis flank milling involves the following steps: First, the router contact paths are generated from the input surface data. Then the
  • the object is achieved by a method according to the main claim and a material removal device according to the independent claim.
  • a ruled surface is a surface that can be created by moving a straight line (straight line) in three-dimensional Euclidean space, so that a ruled surface can be created simply by removing material along a moving straight line
  • Ruled surface can be called a ruling line, ruling, or ruling.
  • the removal of material can be carried out, for example, by means of flank milling with a CNC (Computer Numerical Control) machine, electrical discharge wire cutting or laser cutting.
  • a surface is formed on a workpiece by means of a material removal tool, controlling from a random surface to be generated a path of movement of the material removal tool to produce a control surface approximating the arbitrary surface, the path of movement being in the form of a curve on a dual unit ball, where a point on the curve corresponds to a location and orientation of the material removal tool.
  • a smoothed one-parameter path representation with respect to a displacement of the tool can be provided. This is an accurate representation of the operation of a material
  • An analytical representation of the movement path of the material removal tool can be provided, so that a global error control for the Production is made possible.
  • the theories of rule surfaces are combined with a screw theory and a binary number algebra.
  • any given surface or discrete straight line sequence, so-called router positioning data can be approximated by a rule surface.
  • the arbitrary surface to be created may be provided as a free-form surface or as a discrete material removal tool positioning data.
  • the arbitrary surface to be produced can be aerodynamically optimized, for example.
  • the advantages of a method according to the invention are a smooth single-parameter path representation through a curve on a dual unit sphere, in particular a dual-sphere splitting curve; a compact data structure for 5-axis milling in terms of position and orientation; Continuity and convexity; simple judgment as to whether the tool is in the working space or not; Real time; global error checking and small kinematic error; few cutting position data (CL-; cutter location data); suitable for various manufacturing processes.
  • the material removal tool is driven by the control means on the basis of the movement path calculated by the calculating means.
  • the curve on the dual unit sphere can be defined as a continuous and smooth spin curve.
  • the spline curve can be called a dual spherical spline curve.
  • the curve on the dual unit sphere can be defined as a dual sphere spline.
  • the continuity property of the spline avoids connection computation in the conventional motion path representation.
  • the spline calculation algorithm is fast enough for real-time applications.
  • a new type of spline is defined and called a "dual sphere spline”.
  • a ruled surface is represented as a dual ball spline on the dual unit sphere. This spline has advantageous properties in terms of continuity and convexity.
  • this spline corresponds to a position and orientation of a line in Euclidean space.
  • the calculation of this spline is very fast, so a real-time requirement is met.
  • This spline reduces the number of parameters to a third compared to conventional ruled surface parameterization techniques, such as the Tensor Product B-Spline surface.
  • the following steps for providing the curve can take place:
  • Interpolate the discrete points by generating the discrete points spline curve by applying a dual-sphere spline interpolation algorithm.
  • weighted averages on the dual unit sphere may correspond to the following equation:
  • a calculation of the sequence of discrete line lines, which approximates the arbitrary surface can be carried out by means of mathematical least-square minimization of distances to the arbitrary surface.
  • the curve can be converted into the control surface in three-dimensional Euclidean space by means of an inverse study mapping algorithm and then an inverse small mapping algorithm. This conversion is not required if a material handling device can convert the data of the curve directly into a path of movement of the material removal tool.
  • the control points can be used as parameters for the approximation of the control surface to the arbitrary surface to be generated.
  • a dual ball spline can be defined by a variety of control points. The spline can be determined by several control points. The control points can be used as parameters for optimization.
  • the individual parameter u may be a feed rate or time with respect to a displacement of the material removal tool.
  • the following steps can further be carried out to determine direct-error curves of the control surface determined on the basis of the linearization line:
  • a first and a second discrete reference line is determined, a first discrete reference line passing through an intersection of the discrete line of linearization with a first direct-line curve to be determined and a second reference line passing through an intersection of the straight line with a second direct-chemical curve to be determined, and the orientations of these reference lines correspond respectively to the surface normal of the surface to be generated at the intersections, where a distance of the two intersections of each discrete line of linearity corresponds to the length of the material removal tool;
  • a check can be made as to whether the movement path is within one
  • Working space of the material removal tool is, using the kinematic properties of a required movement and using a robotics analysis.
  • Method for a shape design and a shape optimization can be used. Due to the reduction in the number of parameters compared to the prior art, the algorithm is preferably suitable for such use.
  • the material removal tool can be part of a CNC (Computer Numerical Control) milling machine, an electrical discharge wire cutting machine or a laser cutting machine.
  • the workpiece may be part of a turbomachine, for example a propeller or a rotor.
  • Figure 1 shows an embodiment of a control surface
  • Figure 2 shows an embodiment of a product with
  • FIG. 1 shows an exemplary embodiment of a control surface.
  • a ruled surface is defined by the fact that the surface can be covered by moving a straight line (straight line) in the Euclidean space. Ruled surfaces are simple and inexpensive to manufacture. Ruled surfaces occur in many manufacturing processes.
  • a ruled surface is a preferred choice for manufacturing.
  • a ruled surface is a special type of surface that can be created by moving a straight line in space. Ruled surfaces occur in various applications, such as electrical wire discharge machining (EDN) and laser cutting, which control the cutting tool as a moving straight line.
  • ESN electrical wire discharge machining
  • a control surface can be effectively produced by using a flank milling method in CNC machining. To reduce manufacturing costs, it is a typical design strategy to approximate a free-form surface as a rule surface. Consequently, there is a need in the industry for an effective ruled surface approximation algorithm.
  • a ruled surface is a simple object in geometric modeling. In the Euclidean space IR ⁇ , a rule surface ⁇ has the following parametric representations:
  • a control surface ⁇ can be parameterized by two direct-chemical curves p (u) and q (u):
  • a rule surface is a set of straight one-parameter lines.
  • ruled surfaces have been intensively studied in classical geometry, they are not fully utilized for geometric design and manufacturing applications.
  • Concepts of Bezier curves and surface design were used to construct a ruled surface.
  • the properties of ruled surfaces in the line geometry have been carefully studied.
  • a rule surface is described as a curve in a quadrilateral in the P space. Based on these characteristics, according to the present invention, algorithms for interpolation and approximation of ruled surfaces have been developed.
  • Figure 2 shows an embodiment of a product with surfaces that can be approximated by ruled surfaces.
  • Such surfaces can be, for example, surfaces of blades of a wheeled turbine.
  • Other products may be, for example, propellers or turbochargers.
  • Fig. 3 shows an embodiment of a method according to the invention.
  • a sequence of discrete line lines approximating the surface to be generated. This is followed by transforming coordinates each of a discrete line of linearity in the three dimensional Euclidean space in coordinates of one discrete point on the dual unit sphere using a small and then a study mapping algorithm.
  • interpolation of the discrete points by generating the dual-sphere spline curve having the discrete points by applying a dual-sphere spline interpolation algorithm:
  • a ruled surface is described as a curve on a dual unit sphere (DEK).
  • DEK dual unit sphere
  • a method of calculating weighted averages on the DEK based on minimized least squares minimization is shown. The presence, uniqueness, continuity and convexity of the weighted averages are discussed at the DEK.
  • a fast, iterative dual ball-spline interpolation algorithm is developed. Based on this algorithm, a kinematic ruled surface approximation algorithm is established which approximates a free-form surface with a ruled surface. This method can be used to design ruled surfaces and to approximate and schedule a motion path of a tool, such as a computer numerical control (CNC) machine.
  • CNC computer numerical control
  • the linear geometry in the kinematics together with the screw theory is used to describe geometric properties of the screw axis of a moving rigid body, which describes the manufacturing process for control surfaces.
  • a ruled surface is described again as a curve on a dual unit sphere (DEK).
  • DEK dual unit sphere
  • the kinematically generated rule surface connects the path and the physical movement of the tool.
  • An approximation algorithm based on this representation is not yet available.
  • the key algorithm is based on the linear interpolation of a general dual quaternion. The goal is to approximate a given rule surface with a cylindrical tool motion curve.
  • a new kinematic ruled surface approximation algorithm is introduced. This algorithm was developed based on the binary representation of a control surface. The problem of the approximation of the rule surface in Euclidean space is transformed into a curve approximation problem on the dual unit sphere. The difficulty of the curve approximation problem on the dual unit sphere is the nonlinearity of the space. Conventional linear interpolation methods are not applicable in the space of the dual unit sphere.
  • a weighted average is defined on the dual unit sphere.
  • the weighted average on the dual unit sphere is defined as a result of least squares minimization. This allows a novel method of defining Bezier and spline curves on the dual unit sphere. It could be proved that the problem of least squares minimization has a clear solution if the input points are on a dual hemisphere.
  • the continuity and convexity properties of the dual sphere spline are also discussed.
  • a kinematic ruled surface approximation algorithm is developed. The essence of this algorithm is a fast dual ball-spline interpolation algorithm on the dual unit sphere.
  • This algorithm can be used to design surfaces in various fields, particularly for turbomachines such as propellers, centrifugal compressor impeller, gas turbine, and turbocharger. This algorithm can also be used to design the motion path and Planning the tool movement can be used for CNC machines.
  • Equation 5 defines a quadratic variety in P, which is referred to as small quadrant M 2 .
  • the bijection map ⁇ : L ⁇ M 2 can be established between straight lines L e P 3 and points LIR e M 2 4. This picture is called "Map" or "Picture”.
  • a straight line can also be represented in a more compact manner using binary numbers.
  • Dual numbers can be extended into the vector space, the space ID is defined as a set of all pairs of vectors:
  • i-y x-y + ⁇ (x ° -y + x-y °) (8)
  • a dual vector of length 1 is called a dual unit vector. Obviously, a dual unit vector satisfies the following equations:
  • Dual unit vectors define points on a sphere in ID. This ball is called a dual unit ball (DEK).
  • DEK dual unit ball
  • Equation 1 a rule surface defined by Equation 1 is written as a curve on the dual unit sphere:
  • a binary number representation of a rule surface can be converted into an algebraic form:
  • Weighted mean and spline on a real ball weighted mean and spline on a real ball.
  • a weighted average on a real sphere is beru ⁇ starting defined on minimizing, according to the method of least squares.
  • P 1 , ..., p n be points on a d-dimensional emusivity sphere 5 in IR
  • Equation 13 The weighted average in Equation 13 is not simply a linear combination of the points p lr ..., p n , but a result of least-squares minimization, which is less than point C to 5, which minimizes the following value :
  • the function f reaches a unique minimum if the following condition is met:
  • the newly defined weighted average has advantageous properties.
  • the spline functions taking values on the unit d-sphere 5 can be defined analogously.
  • the spline curve s (u), which takes values on the unit sphere, is defined as:
  • Theorem is for the existence and uniqueness of the definition.
  • Theorem 2 Assume that the points pj, ...., p n are all on a dual hemisphere H of 5, with at least one point p ⁇ inside H with CO 1 ⁇ 0. Then the function f a single critical point q in H, this point q being the global minimum of f.
  • Theorem 2 is proved. Before the proof, the exponential and logarithmic functions for the dual vectors are defined. These functions are useful for the proof and for the development of the algorithm.
  • the subspace T is a linear space.
  • the norm defined in equation 9 is still valid for calculating the distance between two points in the subspace.
  • the logarithmic function lq (.)
  • expq (lq (p ')) p'. Consequently, the reversal ⁇ figure is defined as follows:
  • OX 1 OX j is used for bolt calculations.
  • a screw In terms of stiff motion, a screw is a way to describe a displacement. The displacement may be thought of as rotation about an axis and translation along the same axis.
  • a general screw S consists of two parts, a true 3-vector S indicating the direction of the screw, and a true 3-vector
  • SQ is the moment of the line of the screw around the origin.
  • Theorem 4 Let the values for P 1 , ..., p n and ⁇ ⁇ , ..., ⁇ n and q be chosen such that they satisfy the hypotheses of Theorem 2. The result is a neighborhood of P 1 , ..., p n , a> i, ..., a> n , where the weighted mean q is a C ⁇ function of P 1 , ..., p n , ⁇ ⁇ , ..., ⁇ n , is. It can also be shown that the points q, which can be written as a weighted average of P 1 ..., p k , produce a convex set. They produce exactly the convex surface of the points P 1 , ..., p k .
  • the spline functions assuming values on the dual emusivity sphere can be defined analogously.
  • the base functions must always satisfy the following property:
  • the set of control points p 2 for which f j _ ⁇ u) ⁇ 0 is contained within a dual hemisphere At a minimum, each value is usually contained within a hemisphere to satisfy the uniqueness conditions.
  • a new algorithm for calculating the weighted average on the dual emusivity sphere is proposed below.
  • the basic idea of this algorithm is to use the logarithmic mapping that maps all the points P 2 on the dual unit sphere onto the tangential hyperplane to q, then calculate their weighted mean in the hyperplane and return that result to the dual unit sphere through the exponential mapping maps.
  • the exponential mapping is defined according to equations (23) and (24).
  • the logarithmic mapping is defined according to equation (25). All calculation rules are based on the calculation rules defined in the dual vector space ID ⁇ .
  • Algorithm for calculating weighted averages on the dual unit sphere Algorithm for calculating weighted averages on the dual unit sphere.
  • i ⁇ (p) the mapping that maps points £> to the tangential hyperplane at q and ⁇ p e ⁇ (q + u) is the result ⁇ He returned to the dual unit sphere.
  • the dual ball-cubic B-Spine interpolation algorithm can be described as follows:
  • the dual ball spline is the weighted average of the control points
  • the running time of the weighted average algorithm is an order of magnitude smaller than the running time of the interpolation algorithm, so that the time required to calculate a large number of points along the curve is the time required to calculate the control points.
  • the algorithm is tested with different input values.
  • the dual vector representation of straight lines is transformed into the algebraic representation of straight lines in order to display the input sequence of frames:
  • v can be an element of the range [0,1].
  • the parameter and node sequence must be determined.
  • the chord length was chosen to define the parameters: Let J be the chord length between two given points
  • This dual ball-spline allows the use of beechi ⁇ gen account items.
  • the node sequence is selected according to the parameters.
  • the Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus can be used to Anirri ⁇ tion of a given free-form surface with a ruled surface.
  • the first step is to find a discrete system of rulings near the given surface.
  • this linear line of linear gradation derived in the first step is written in the form of dual vectors corresponding to points on the dual unit sphere.
  • the dual sphere-spline interpolation algorithm can be used to derive a cubic B-spline curve be applied to the dual unit sphere, which corresponds to a rule surface in the Euclidean space. This curve can be mapped back to a rule surface in Euclidean space based on Equation 12.
  • Two Directrix curves 5 on a ruled surface can be written as follows:
  • This representation contains two additional parameters ⁇ and ⁇ , so that additional information is needed to determine the edges of the control surface.
  • ⁇ and ⁇ additional parameters
  • a variety of methods can be applied.
  • a kinematic ruled surface approximation algorithm suitable for, for example, designing and manufacturing centrifugal compressor blades is proposed.
  • a point can be interpreted as an interface of two straight lines.
  • a point on the edge of a ruled surface is defined by cutting a ruling line with a reference line. More precisely, the reference
  • a first and a second discrete reference straight line are determined, starting from the arbitrary surface to be generated and the discrete linearization straight line, a first discrete reference straight line passing through an intersection of the discrete linearizing line with a first directivity curve to be determined and a first discrete reference straight line the second reference straight line passes through an intersection of the linear line with a second direct chemical curve to be determined, and the orientations of said reference line correspond to the surface normal of the surface to be generated at the intersections, wherein a distance of the two intersections of each discrete line straight corresponds to the length of the material removal tool; - Transforming coordinates of a discrete reference straight line in three-dimensional Euclidean space in coordinates of one discrete point on the dual unit sphere by means of a small and then a study mapping algorithm, wherein the first reference straight sequence, a first discrete point sequence and the second
  • the two direct radicals of the control surface associated with the line of lines can be determined as follows, for example.
  • a framework for the kinematic ruled surface approximation algorithm is obtained:
  • Step Sl Extracting the line of linearity from the given area and determining the reference line corresponding to ] _5 of two directrix curves;
  • Step S2 Transforming the coordinates of the three straight line sequences into the coordinates of the points on the dual unit sphere ; Transforming Coordinates of a Discrete 20 Straight Line in Three-Dimensional Euclidean Space into Coordinates of a Discrete Point on the Dual Unit Sphere Using a Small and Then a Study Mapping Algorithm;
  • Step S3. Applying the Dual-Ball B-Spline Algorithm
  • Step S4 Calculating the dual-sphere B-spline using the dual-sphere weighted average algorithm
  • 3Q step S5. Transforming the dual-number representation of the rule surface back into the Euclidean space; Curves on the dual unit sphere can be transformed into a rule surface in the three-dimensional Euclidean scheme using an inverse study mapping algorithm and then an inverse small-mapping algorithm.
  • Step S6 Determine the two Directrix curves by cutting ruled surfaces.
  • FIG. 3 shows the sequence of steps for determining a control surface which has been approximated to any desired surface to be produced.
  • centrifugal compressor blade was selected which is approximately designed to a control surface than the input for
  • This ruled surface is represented by a straight line path that creates the surface so that a close connection to the manufacturing process is given.
  • a method according to the main claim is sufficient for a workpiece machining, since the tool only a
  • the direct-chemical curves can be determined.
  • a material processing device can directly use the data of the dual-sphere spline curve to generate a control surface.
  • the arbitrary surface to be generated can be aerodynamically optimized, determined by structural data, determined by an experiment or determined by other criteria. It can become one
  • Figures 4a to 4d show a further embodiment of a method according to the invention.
  • 4a to d show the control of a flank milling device by means of computer numerical
  • FIG. 4a shows, in a first step, a lower surface to be generated and an offset surface.
  • 4b shows in a second step the discrete positions of the material removal tool.
  • 4c shows in a third step the movement
  • Fig. 4d shows a comparison between the manufactured surface and a given blade to be produced as the surface to be produced.

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Abstract

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zum Erzeugen mindestens einer Fläche auf einem Werkstück mittels eines Material-Abtragewerkzeugs und eine entsprechende Material- Abtragevorrichtung. Es ist Aufgabe der vorliegenden Erfindung ein Verfahren zum Erzeugen einer beliebigen Fläche auf einem Werkstück, derart bereitzustellen, dass die Fläche schnell und kostengünstig erzeugt wird. Ein Fehler zwischen beliebiger, zu erzeugender Fläche und einer erzeugten Regelfläche soll klein sein. Die Erfindung zeichnet sich dadurch aus, dass ausgehend von einer beliebigen, zu erzeugenden Fläche ein Bewegungspfad des Materialabtragewerkzeugs zur Erzeugung einer der beliebigen Fläche angenäherten Regelfläche gesteuert wird, wobei der Bewegungspfad in Form einer Kurve auf einer Dualen Einheitskugel bereitgestellt wird, wobei ein Punkt auf der Kurve einem Ort und einer Orientierung des Materialabtragewerkzeugs entspricht. Die Kurve kann ausgehend von Linierungsgeraden erzeugt werden, die mittels mathematischer Transformationen in Punkte auf der Dualen Einheitskugel umgewandelt werden. Es erfolgt ein Interpolieren dieser Punkte mittels eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus zur Erzeugung der Kurve. Diese kann nun in die herzustellende Regelfläche zurück transformiert werden oder kann direkt zur Steuerung des Bewegungspfads des Materialabtragewerkzeugs verwendet werden. Ebenso können mittels des Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus Direktrixkurven der Regelfläche bestimmt werden. Das Verfahren eignet sich insbesondere zur Herstellung der Flächen von Bestandteilen von Strömungsmaschinen, wie es beispielsweise Flügelräder sind. Es sind beliebige Flächen auf beliebigen Materialien herstellbar.

Description

Beschreibung
Kinematischer Annäherungsalgorithmus mit Regelfläche
Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zum Erzeugen mindestens einer Fläche auf einem Werkstück mittels eines Material-Abtragewerkzeugs und eine entsprechende Material- AbtrageVorrichtung .
Werkstücke können beispielsweise Bestandteile von technischen Maschinen sein, insbesondere von Strömungsmaschinen, wie beispielsweise Propeller, Flügelräder von Zentrifugalkompressoren, Rotoren von Pumpen, Gasturbinen oder Turboladern. Werkstücke können allgemein zu bearbeitende Teile sein.
Herkömmlicherweise sind der Geometrie-Entwurfteil und der Herstellungsteil getrennt. Während der Entwurfsphase konstruieren Ingenieure eine Regelfläche und liefern die Oberfläche zur Herstellung aus. Eine Regelfläche kann einer Frei- formoberflache angenähert oder gemäß Entwurfserfordernissen optimiert worden sein. In der Herstellungsphase werden bestimmte Verfahren zur Herstellung der Regelfläche angewendet. Beispielsweise weist das Fünfachsen-Flanken-Fräsen die folgenden Schritte auf: Zuerst werden die Fräser-Kontaktpfade aus den Eingangsoberflächendaten erzeugt. Dann werden die
Fräser-Positionierungsdaten aus den Fräser-Kontaktdaten erhalten. Beruhend auf den Fräser-Positionierungsdaten werden Bewegungsabläufe für Materialabtragewerkzeuge geplant. Abschließend werden bestimmte Nachbearbeitungen zum Erhalten eines numerischen Steuerungscode angewendet.
Nachteiliger Weise weist der Stand der Technik folgende Nachteile auf, und zwar gibt es keine globale Kontinuitätsgarantie, es sind mehrere Optimierungsschleifen erforderlich, eine Schleifenberechnung ist aufwändig, der Zeitaufwand ist erheblich, Werkzeugpositionierungsdaten können lokale Fehler aufweisen und ausreichend Werkzeugpositionierungsdaten sind erforderlich . Es ist Aufgabe der vorliegenden Erfindung ein Verfahren zum Erzeugen einer beliebigen Fläche auf einem Werkstück, derart bereit zu stellen, dass die Fläche schnell und kostengünstig erzeugt wird. Ein Fehler zwischen beliebiger, zu erzeugender Fläche und einer erzeugten Regelfläche soll klein sein.
Die Aufgabe wird durch ein Verfahren gemäß dem Hauptanspruch und eine Materialabtragevorrichtung gemäß dem Nebenanspruch gelöst.
Eine Regelfläche oder sogenannte „ruled surface" ist eine Fläche, die durch Bewegen einer geraden Linie (Gerade) im dreidimensionalen Euklidischen Raum erzeugt werden kann. Auf diese Weise kann eine Regelfläche einfach durch Materialabtrag entlang einer bewegten geraden Linie erzeugt werden. Eine gerade Linie einer Regelfläche kann als Linierungsgerade, Linierung oder „ruling" bezeichnet werden. Der Materialabtrag kann beispielsweise mittels Flankenfräsen mit einer CNC- (Computer-Numerical-Control-) Maschine, elektrisches Entla- dungs-Drahtschneidebearbeiten oder Laserschneiden ausgeführt werden .
Gemäß einem ersten Aspekt der vorliegenden Erfindung, wird eine Fläche auf einem Werkstück mittels eines Materialabtragewerkzeugs erzeugt, wobei ausgehend von einer beliebigen, zu erzeugenden Fläche ein Bewegungspfad des Materialabtragewerkzeugs zur Erzeugung einer der beliebigen Fläche angenäherten Regelfläche gesteuert wird, wobei der Bewegungspfad in Form einer Kurve auf einer Dualen Einheitskugel bereit gestellt wird, wobei ein Punkt auf der Kurve einem Ort und einer Orientierung des Materialabtragewerkzeugs entspricht. Es kann eine geglättete Einparameter-Pfad-Darstellung hinsichtlich einer Verschiebung des Werkzeuges bereitgestellt werden. Dies ist eine genaue Darstellung des Betriebs eines Material-
Abtragevorrichtungssystems . Es kann eine analytische Darstellung des Bewegungspfads des Material-Abtragewerkzeugs bereitgestellt werden, sodass eine globale Fehlersteuerung für die Herstellung ermöglicht wird. Es werden die Theorien von Regelflächen mit einer Schraubentheorie und Dualzahl-Algebra kombiniert. Unter Verwendung des Algorithmus kann jede gegebene Oberfläche oder diskrete Geradenabfolge, so genannte Fräser-Positionierungsdaten, durch eine Regelfläche angenähert werden. Die beliebige, zu erzeugende Fläche kann als Freiform-Oberfläche oder als diskrete Materialabtragewerkzeug-Positionierungdaten bereitgestellt sein. Die beliebige, zu erzeugenden Fläche kann beispielsweise aerodynamisch opti- miert sein.
Die Vorteile eines erfindungsgemäßen Verfahrens sind eine glatte Einzelparameterpfaddarstellung durch eine Kurve auf einer Dualen Einheitskugel, insbesondere eine Dualkugelspli- nekurve; eine kompakte Datenstruktur für 5-Achsen-Fräsen hinsichtlich Position und Orientierung; Kontinuität und Konvexi- vität; einfache Beurteilung, ob das Werkzeug in dem Arbeitsraum liegt oder nicht; Echtzeit; globale Fehlerüberprüfung und kleiner kinematischer Fehler; wenige Schneidpositionsda- ten (CL-; Cutterlocation-Daten) ; geeignet für verschiedene Herstellungsverfahren .
Gemäß einem zweiten Aspekt weist eine Material-Abtragevorrichtung zur Ausführung eines erfindungsgemäßen Verfahrens eine Recheneinrichtung, eine Steuereinrichtung und das Materialabtragewerkzeug auf. Das Material-Abtragewerkzeug wird mittels der Steuereinrichtung angesteuert, und zwar auf der Grundlage des durch die Recheneinrichtung berechneten Bewegungspfades .
Weitere vorteilhafte Ausgestaltungen werden in Verbindung mit den Unteransprüchen beansprucht.
Gemäß einer vorteilhaften Ausgestaltung kann die Kurve auf der Dualen Einheitskugel als kontinuierliche und glatte SpIi- nekurve definiert sein. Die Splinekurve kann als duale Ku- gelsplinekurve bezeichnet werden. Es kann die Kurve auf der dualen Einheitskugel als dualer Kugel-Spline definiert sein. Die Kontinuitätseigenschaft des Spline vermeidet eine Verbindungsberechnung in der herkömmlichen Bewegungspfaddarstellung. Der Berechnungsalgorithmus des Spline ist schnell genug für Echtzeitanwendungen. Es wird eine neue Art von Splines definiert und als "Dualer Kugel-Spline" bezeichnet. Eine Regelfläche wird als ein dualer Kugel-Spline auf der dualen Einheitskugel dargestellt. Dieser Spline hat vorteilhafte Eigenschaften hinsichtlich Kontinuität und Konvexität. Ein Punkt auf diesem Spline entspricht einer Position und Orien- tierung einer Gerade im euklidischen Raum. Die Berechnung dieses Spline ist sehr schnell, sodass ein Echtzeiterfordernis erfüllt ist. Dieser Spline verringert die Anzahl der Parameter auf ein Drittel, verglichen zu herkömmlichen Paramet- risierungsverfahren für Regelflächen, wie das beispielsweise die Tensor-Produkt-B-Spline-Oberflache ist.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung können folgende Schritte zur Bereitstellung der Kurve erfolgen:
- Bereitstellen einer der beliebigen, zu erzeugenden Fläche angenäherten Abfolge von diskreten Linierungsgeraden;
- Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Li- nierungsgerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study- Mapping-Algorithmus;
- Interpolieren der diskreten Punkte mittels Erzeugen der die diskreten Punkte aufweisenden Splinekurve mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus .
Auf der Grundlage des neuen Typus von Splines wird eine Serie von Algorithmen zur Interpolation und Berechnung eines dualen Kugel-Spline auf der dualen Einheitskugel entwickelt. Folglich wird ein kinematischer Regelflächen- Approximationsalgorithmus entwickelt .
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann eine Linierungsgerade der Gleichung entsprechen; der Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus folgende Gleichungen aufweisen:
als Gleichung der Splinekurve, wobei f± Basisfunktionen und P1 Steuerungspunkte auf der dualen Einheitskugel in ID-^ sein können, mit n (34) £/,(«) = !,/»> 0,Vi , wobei
gewichtete Mittelwerte auf der Dualen Einheitskugel folgender Gleichung entsprechen können:
( 17 ) q = ∑"=o ωiPi mit '∑ G)1 = 1, 0)1 > 0 , wobei zur Erzeugung der Splinekurve eine Minimierung nach folgender Formel ausgeführt werden kann:
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann ein Berechnen der der beliebigen Fläche angenäherten Abfolge von diskreten Linierungsgeraden mittels mathematischem Least- Square-Minimieren von Abständen zu der beliebigen Fläche aus- geführt werden.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann die Kurve mittels eines inversen Study-Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein-Mapping-Algorithmus in die Regel- fläche im dreidimensionalen Euklidischen Raum umgewandelt werden. Diese Umwandlung ist nicht erforderlich, wenn eine Materialbearbeitungsvorrichtung die Daten der Kurve direkt in einen Bewegungspfad des Materialabtragewerkzeugs wandeln kann . Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung können die Steuerungspunkte als Parameter für die Annäherung der Regelfläche an die beliebige, zu erzeugende Fläche verwendet werden. Ein dualer Kugel-Spline kann mittels einer Vielzahl von Steuerungspunkten festgelegt werden. Der Spline kann durch mehrere Steuerungspunkte bestimmt werden. Es können die Steuerungspunkte als Parameter für eine Optimierung verwendet werden .
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann der Einzelparameter u eine Vorschubrate oder Zeit hinsichtlich einer Verschiebung des Materialabtragewerkzeugs sein.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung können wei- terhin folgende Schritte zur Ermittlung von Direktrixkurven der ausgehend von den Linierungsgeraden bestimmten Regelfläche ausgeführt werden:
- ausgehend von der beliebigen, zu erzeugenden Fläche und den diskreten Linierungsgeraden, zusätzlich zu jeder diskreten Linierungsgeraden eine erste und eine zweite diskrete Referenzgerade bestimmt wird, wobei eine erste diskrete Referenzgerade durch einen Schnittpunkt der diskreten Linierungsgeraden mit einer ersten zu bestimmenden Direktrixkurve und eine zweite Referenzgerade durch einen Schnittpunkt der Linie- rungsgeraden mit einer zweiten zu bestimmenden Direktrixkurve verläuft, und die Orientierungen dieser Referenzgeraden jeweils den Oberflächennormalen der zu erzeugenden Fläche an den Schnittpunkten entsprechen, wobei ein Abstand der beiden Schnittpunkte einer jeden diskreten Linierungsgerade der Län- ge des Materialabtragewerkzeugs entspricht;
- Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Referenzgerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study- Mapping-Algorithmus, wobei zu der ersten Referenzgeradenabfolge eine erste diskrete Punkteabfolge und zu der zweiten Referenzgeradenabfolge eine zweite diskrete Punktabfolge erzeugt wird; - Interpolieren der beiden diskreten Punktabfolgen mittels Erzeugen zweier weiterer die jeweiligen diskreten Punktabfolgen aufweisenden Splinekurven mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus ; - Umwandeln aller drei Splinekurven mittels eines inversen Study-Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein- Mapping-Algorithmus in drei Regelflächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum, wobei die zwei Schnittlinien der zwei Regelflächen der ersten und zweiten Referenzgeraden jeweils mit der Regelfläche der Linierungsgeraden die erste und zweite glatte und kontinuierliche Direktrixkurve der Regelfläche der Linierungsgeraden bestimmen, und wobei die zwei Direktrixkurven durch p (u) und q(u) der Gleichung
(2) x(u,υ)= (l-υ)p(u)+υq(u)
mathematisch beschrieben sind.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann eine Überprüfung erfolgen, ob der Bewegungspfad innerhalb eines
Arbeitsraums des Material-Abtragewerkzeugs ist, unter Verwendung der kinematischen Eigenschaften einer geforderten Bewegung und unter Anwendung einer Robotikanalyse.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann das
Verfahren für einen Formentwurf und eine Formoptimierung verwendet werden. Aufgrund der Reduzierung der Anzahl der Parameter im Vergleich zum Stand der Technik, eignet sich der Algorithmus bevorzugt für eine derartige Verwendung.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann das Materialabtragewerkzeug Bestandteil einer CNC- (Computer- Numerical-Control-) Fräsmaschine, einer elektrischen Entla- dungs-Drahtschneide-Bearbeitungsmaschine oder einer Laser- schneidmaschine sein. Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung kann das Werkstück ein Bestandteil einer Strömungsmaschine, beispielsweise ein Propeller oder ein Rotor sein.
Die vorliegende Erfindung wird anhand von Ausführungsbeispielen in Verbindung mit den Figuren näher beschrieben. Es zeigen :
Figur 1 ein Ausführungsbeispiel einer Regelfläche; Figur 2 ein Ausführungsbeispiel eines Erzeugnisses mit
Regelflächen; Figur 3 ein Ausführungsbeispiel eines erfindungsgemäßen
Verfahrens;
Fig.4a bis 4d ein weiteres Ausführungsbeispiel eines erfin- dungsgemäßen Verfahrens.
Figur 1 zeigt ein Ausführungsbeispiel einer Regelfläche. Eine Regelfläche ist dadurch definiert, dass die Oberfläche durch Bewegung einer geraden Linie (Gerade) im euklidischen Raum überstrichen werden kann. Regelflächen sind einfach und kostengünstig herzustellen. Regelflächen treten bei vielen Herstellungsabläufen auf.
Eine Regelfläche ist eine bevorzugte Wahl für eine Fertigung. Eine Regelfläche ist eine spezielle Art von Oberfläche, die durch Bewegen einer geraden Linie im Raum erzeugt werden kann. Regelflächen treten bei verschiedenen Anwendungen, wie beispielsweise Elektrisches Draht-Entladungsbearbeiten (EDN) und Laserschneiden auf, die das Schneidewerkzeug als eine sich bewegende gerade Linie steuern. Außerdem ist es bekannt, dass eine Regelfläche wirksam unter Verwendung eines Flanken- Fräsverfahrens bei CNC-Bearbeitung hergestellt werden kann. Zur Verringerung der Herstellungskosten ist es eine typische Entwurfsstrategie, eine Freiform-Oberfläche als eine Regelfläche anzunähern. Folglich besteht in der Industrie ein Bedarf für einen wirksamen Regelflächen-Annäherungsalgorithmus. Eine Regelfläche ist ein einfaches Objekt bei einem geometrischen Modellieren. Im euklidischen Raum IR^besitzt eine Regelfläche Φ folgende parametrische Darstellungen:
x(u,υ)= a(u)+υr(u) , «el,υe/i? (1)
Wobei a(u) die Direktrixkurve genannt wird und r(u) ein Erzeugungsvektor ist. Alternativ kann eine Regelfläche Φ durch zwei Direktrixkurven p(u) und q(u) parametrisiert sein:
Die mit x(uo,υ)= (l-υ)p(uo)+υq(uo) bezeichnete gerade Linie wird
Linierungsgerade (ruling) genannt. Eine Regelfläche ist eine Gesamtheit von geraden Ein-Parameter-Linien .
Obwohl Regelflächen in der klassischen Geometrie intensiv studiert worden sind, werden sie nicht vollständig für Anwendungen beim geometrischen Entwurf und der Fertigung genutzt. Es wurden Konzepte von Bezier-Kurven und Oberflächenentwurf zur Konstruktion einer Regelfläche verwendet. Die Eigenschaf- ten von Regelflächen in der Geradengeometrie wurden sorgfältig studiert. In der Geradengeometrie wird eine Regelfläche als eine Kurve in einer Quadrik im P -Raum beschrieben. Beruhend auf diesen Eigenschaften wurden gemäß der vorliegenden Erfindung Algorithmen zur Interpolation und Annäherung von Regelflächen entwickelt.
Figur 2 zeigt ein Ausführungsbeispiel eines Erzeugnisses mit Flächen, die mittels Regelflächen angenähert werden können. Derartige Flächen können beispielsweise Flächen von Schaufeln einer Radturbine sein. Andere Erzeugnisse können beispielsweise Propeller oder Turbolader sein.
Fig. 3 zeigt ein Ausführungsbeispiel eines erfindungsgemäßen Verfahrens. Es erfolgt ein Bereitstellen einer der beliebi- gen, zu erzeugenden Fläche angenäherten Abfolge von diskreten Linierungsgeraden . Dem schließt sich ein Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Linierungsgerade im drei- dimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study-Mapping-Algorithmus an. Es folgt ein Interpolieren der diskreten Punkte mittels Er- zeugen der die diskreten Punkte aufweisenden Dualkugelspline- kurve mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsal- gorithmus :
Dualer Kugel-Spline und dessen Anwendung in einer Regelflä- chenannäherung
Unter Verwendung von dualen Zahlen zur Darstellung von geraden Linien (Geraden) wird eine Regelfläche als eine Kurve auf einer dualen Einheitskugel (DEK) beschrieben. Es wird ein Verfahren zur Berechnung von gewichteten Mittelwerten auf der DEK, beruhend auf einer Minimierung nach einer Methode der kleinsten Quadrate, gezeigt. Es werden das Vorhandensein, die Eindeutigkeit, Kontinuität und Konvexivitätseigenschaften der gewichteten Mittelwerte auf der DEK diskutiert. Dies führt zu einer neuartigen Definition eines dualen Kugel-Spline auf der DEK. Es wird ein schneller, iterativer Algorithmus einer dualen Kugel-Spline-Interpolation entwickelt. Beruhend auf diesem Algorithmus wird ein kinematischer Regelflächen- Annäherungsalgorithmus eingerichtet, der eine Freiform- Oberfläche mit einer Regelfläche annähert. Dieses Verfahren kann zum Entwurf von Regelflächen und zur Annäherung sowie zur Planung eines Bewegungspfades eines Werkzeugs, beispielsweise für eine computernumerische Steuerungs (CNC) -Maschine verwendet werden.
Herkömmlicherweise wird die Geradengeometrie in der Kinematik zusammen mit der Schraubentheorie zur Beschreibung geometrischer Eigenschaften der Schraubenachse eines sich bewegenden steifen Körpers verwendet, die den Fertigungsablauf für Re- gelflächen beschreibt. Unter Verwendung von dualen Zahlen wird eine Regelfläche erneut beschrieben als eine Kurve auf einer dualen Einheitskugel (DEK) . Die kinematisch erzeugte Regelfläche verbindet den Pfad und die physikalische Bewegung des Werkzeugs. Ein Annäherungsalgorithmus beruhend auf dieser Darstellung liegt noch nicht vor. Der Schlüsselalgorithmus beruht auf der linearen Interpolation eines allgemeinen dualen Quaternions. Es ist das Ziel, eine gegebene Regelfläche mit einer zylindrischen Werkzeug-Bewegungskurve anzunähern.
Gemäß der vorliegenden Anmeldung wird ein neuer kinematischer Regelflächen-Annäherungsalgorithmus eingeführt. Dieser Algorithmus wurde beruhend auf der Dualzahldarstellung einer Re- gelfläche entwickelt. Das Problem der Annäherung der Regelfläche im euklidischen Raum wird in ein Kurven-Annäherungsproblem auf der dualen Einheitskugel umgewandelt. Die Schwierigkeit des Kurvenapproximationsproblems auf der dualen Einheitskugel ist die Nichtlinearität des Raumes. Herkömmliche lineare Interpolationsverfahren sind im Raum der dualen Einheitskugel nicht anwendbar.
Ausgehend von der Definition von gewichtetem Mittelwert im realen Kugelraum, wird zuerst ein gewichteter Mittelwert auf der dualen Einheitskugel definiert. Der gewichtete Mittelwert auf der dualen Einheitskugel wird als ein Ergebnis einer Minimierung nach der Methode der kleinsten Quadrate definiert. Dies erlaubt ein neuartiges Verfahren zur Definition von Bezier- und Spline-Kurven auf der dualen Einheitskugel. Es konnte bewiesen werden, dass das Problem der Minimierung nach der Methode der kleinsten Quadrate eine eindeutige Lösung hat, falls die Eingabepunkte sich auf einer dualen Halbkugel befinden. Die Kontinuitäts- und Konvexivitäts-Eigenschaften des dualen Kugel-Spline werden ebenso diskutiert. Beruhend auf diesen Definitionen wird ein kinematischer Regelflächen-Annäherungsalgorithmus entwickelt. Das Wesen dieses Algorithmus ist ein schneller Algorithmus einer dualen Kugel-Spline-Interpolation auf der dualen Einheitskugel. Dieser Algorithmus kann zum Entwurf von Oberflächen auf ver- schiedenen Gebieten verwendet werden, insbesondere für Strömungsmaschinen, wie beispielsweise Propeller, Flügelrad eines Zentrifugalkompressors, Gasturbine und Turbolader. Dieser Algorithmus kann ebenso zum Entwurf des Bewegungspfades und zur Planung der Werkzeugbewegung für CNC-Maschinen verwendet werden .
Im Folgenden wird der theoretische Hintergrund dieser Annähe- rung beschrieben. Des Weiteren werden neuartige Definitionen eines gewichteten Mittelwerts auf der dualen Einheitskugel, einer Dual-Kugel-Bezier-Kurve und eines B-Spline vorgeschlagen. Zudem werden ein Algorithmus zur Berechnung des gewichteten Mittelwerts auf der dualen Einheitskugel und ein schneller, iterativer Algorithmus zur dualen Kugel-Spline-
Interpolation bereitgestellt. Des Weiteren wird ein kinematische Regelflächen-Annäherungsalgorithmus zur Annäherung einer Freiformoberfläche mit einer Regelfläche vorgeschlagen. Abschließend wird eine Schlussfolgerung vorgenommen.
Theoretischer Hintergrund
Plücker-Koordinate einer geraden Linie (Gerade)
Im homogenen kartesischen Koordinatensystem kann eine gerade
Linie L algebraisch durch zwei verschiedene Punkte dargestellt werden: X = (X05X15X25X3)R = (X05X)R und γ auf der geraden Linie:
i(t) = (l - t)x + tY (3)
Gleichwertig kann eine gerade Linie L im 3D-projektiven Raum P durch das äußere Produkt zweier Punkte X Λ Y dargestellt werden, was als die homogene Plücker-Vektorkoordinate LIR = (l,r)lR bezeichnet wird:
(l,l°)=(xoy-yox,xxy) (4)
Im euklidischen Raum, d.h. x0 = y0 = 1, haben die Plücker- Koordinaten eine geometrische Interpolation, wobei l=r=y—x und l°=x-r = x-y. Dies sind die Plücker-Koordinaten einer orientierten geraden Linie in E . Offensichtlich sind diese Ko- ordinatenelemente nicht unabhängig. Diese Koordinatenelemente erfüllen die Plücker-Relation :
Ω?(L)=I-Γ=O (5) Die homogenen Plücker-Koordinaten 1,1° definieren einen Punkt in P . Die Länge des Vektors 1 ist beliebig und kann vereinheitlicht werden:
1-1 = 1 (6) Nicht jeder Punkt in P ist eine Plücker-Koordinate . Nur die Punkte, die die Plücker-Relation Gleichung 5 erfüllen, sind Plücker-Koordinaten. Gleichung 5 definiert eine quadratische Vielfalt in P , die als Kleinquadrik M2 bezeichnet wird. Auf diese Weise kann die Bijektionsabbildung γ : L —> M2 zwischen geraden Linien L e P 3 und Punkten LIR e M24 eingerichtet werden. Diese Abbildung wird als „Map" beziehungsweise „Abbildung" bezeichnet.
Dualzahldarstellung einer geraden Linie (Gerade)
Eine gerade Linie kann ebenso in einer kompakteren Weise unter Verwendung von Dualzahlen dargestellt werden. Eine Dualzahl kann in der Form ä = a + εa° geschrieben werden, wobei a, a° e IR ist und ε das duale Element mit ε = 0 ist. Dual- zahlen können in den Vektorraum ausgeweitet werden, der Raum ID ist definiert als ein Satz aller Paare von Vektoren:
ä = a+ <sa° wenn a, a° e IR3 (7)
Sind zwei duale Vektoren, x = x + εx°und y = y +<sy°, so ist das innere Produkt in ID folgendermaßen definiert:
i-y = x-y + ε(x° -y + x-y°) (8)
Folglich ist die Länge eine dualen Vektors definiert als
Ein dualer Vektor der Länge 1 wird als dualer Einheitsvektor bezeichnet. Offensichtlich erfüllt ein dualer Einheitsvektor folgende Gleichungen:
Mit Bezug auf Gleichungen 5 und 6 ist es möglich, eine kom- paktere Darstellung einer Gerade zu erhalten: Die Dualzahldarstellung einer Gerade ist einfach das Schreiben der PIu- cker-Koordinaten als ein dualer Einheitsvektor. Das Berechnungsproblem der Berechnung von Punkten auf einer Quadrik in P wird auf eine Aufgabe in einer dualen Form einer Kugelge- ometrie reduziert. Diese Abbildung beziehungsweise „Map" ist als Study-Map beziehungsweise Study-Abbildung bezeichnet.
Dualzahldarstellung einer Regelfläche
Duale Einheitsvektoren definieren Punkte auf einer Kugel in ID . Diese Kugel wird als duale Einheitskugel (DEK) bezeichnet. In dieser Form wird eine Regelfläche, die durch Gleichung 1 definiert wurde, als eine Kurve auf der dualen Einheitskugel geschrieben:
Eine Dualzahldarstellung einer Regelfläche kann in eine algebraische Form umgewandelt werden:
x(u,v) = l(u)° +v\(u) (12) Nun wird eine Transformationsabbildung zwischen einer Regelflachendarstellung im euklidischen Raum und einer Kurvendarstellung auf der dualen Einheitskugel eingerichtet. An Stelle der Losung eines Oberflachenannaherungsproblems im euklidi- sehen Raum wird ein Kurvenannaherungsproblem auf der dualen Einheit s kugel gelost.
Dualer Kugel-Splme
Gewichteter Mittelwert und Spline auf einer realen Kugel.
Ein gewichteter Mittelwert auf einer realen Kugel wird, beru¬ hend auf einer Minimierung, nach der Methode der kleinsten Quadrate definiert. Es seien P1, ... , pn Punkte auf einer d- dimensionalen Emheitskugel 5 in IR , ein gewichteter Mittelwert dieser n-Punkte verwendet Gewichtungswerte COi, ..., ωn derart, dass jede CO1 > 0 und ^ &>]_ = 1, der gewich-
1 tete Mittelwert wird bezeichnet als :
C = ∑1 = 0 CO1P1 (13)
Der gewichtete Mittelwert in Gleichung 13 ist nicht einfach eine lineare Kombination der Punkte plr ..., pn, aber ein Ergebnis einer Minimierung nach der Methode der kleinsten Quad rraattee,, nnaämmllich als der Punkt C auf 5 , was den folgenden Wert minimiert:
f(c) = ■ dists{c, P1)2 (14)
, wobei dists{c, P1) der Kugelabstand zwischen C und P1 ist.
Die Funktion f erreicht ein eindeutiges Minimum, falls die folgende Bedingung erfüllt ist:
Theorem 1. Angenommen die Punkte P1, ... , pn liegen alle in einer Halbkugel H von 5 , mit zumindest einem Punkt P1 in dem Inneren von H mit CO1 ≠ 0. Dann weist die Funktion f ei- nen einzigen kritischen Punkt C in H auf, wobei dieser Punkt C das globale Minimum von f ist.
Es kann nachgewiesen werden, dass der neu definierte gewich- tete Mittelwert vorteilhafte Eigenschaften aufweist. Beruhend auf der Definition eines gewichteten Mittelwerts auf einer realen Kugel, können die Spline-Funktionen, die Werte auf der Einheits-d-Kugel 5 annehmen, analog definiert werden. Es seien nun plr ... , pn die Punkte auf 5 und seien Jf1 (u), ..., fn (u) Basisfunktionen, die die folgende Eigenschaft erfüllen : i = l
für u in dem Intervall [a, b] . Die Spline-Kurve s(u) , die Werte auf der Einheitskugel annimmt, ist definiert als:
s(u) = ∑?=1 f2(ü)p2 (16)
Die am meisten gebräuchlichen Anwendungen von Splines verwen- den B-Splines mit den Basisfunktionen Jf1 (u), die abschnitts¬ weise kubische Kurven mit kontinuierlichen zweiten Ableitungen sind. Von einem Kontinuitätstheorem ist bekannt, dass, falls die Basisfunktionen f∑ kontinuierliche k-t Ableitungen aufweisen, die Spline-Kurve ebenso k-t Ableitungen aufweist. In diesem Fall werden die Kugelsplinepunkte s(t) ausreichend definiert, vorausgesetzt, dass jeder von vier aufeinanderfol¬ genden Steuerungspunkten (Steuerpunkten) in einer Halbkugel liegt .
Gewichteter Mittelwert (weighted average) auf der dualen Ein¬ heitskugel
Der Übertragungsgrundsatz von dualen Einheitsvektoren besagt einfach, dass für jede Operation, die für einen realen Vek- torraum definiert ist, eine duale Version mit gleicher Interpretation vorliegt. Beruhend auf diesen Übertragungsgrundsät- zen von dualen Einheitsvektoren, kann eine ähnliche Definition eines gewichteten Mittelwerts auf der dualen Einheitskugel abgeleitet werden. Da lediglich der Fall für die duale Einheitskugel in ID von Interesse ist, kann die Definition folgendermaßen eingegrenzt werden:
Definition 1. Es seien pj,...,pn auf der dualen Einheitskugel
5 in ID . Ein gewichteter Mittelwert dieser n Punkte unter Verwendung realer Gewichtungswerte ωγ, ...,ωn, sodass jeder CO1 > 0 und ∑ιωι =\, der gewichtete Mittelwert dieser n Punkte angegeben wird als:
Er ist definiert als ein Ergebnis einer Minimierung mit der Methode der kleinsten Quadrate, nämlich als der Punkt q auf
5 , das den folgenden Wert minimiert:
wobei ist.
Der Abstand zwischen zwei Punkten auf der dualen Einheitskugel ist durch einen dualen Winkel zwischen zwei Geraden definiert. Er weist die Form θ = θ+ ε -d , wobei θ der Winkel zwi- sehen den Geraden und d der Mindestabstand entlang der gemeinsamen Senkrechten ist. Für zwei Punkte x und y auf der dualen Einheitskugel ergibt sich die folgende Gleichung:
x -y = cos/9 ( 19 ) Die duale Arcus-Cosinus-Funktion ist definiert als :
θ = COs- 1 Jx + £x°) = ( 20 )
Ähnlich liegt das Theorem für das Vorhandensein und die Eindeutigkeit der Definition vor. Theorem 2: Es sei angenommen, dass die Punkte pj,....,pn alle auf einer dualen Halbkugel H von 5 liegen, mit mindestens einem Punkt p{ im Inneren von H mit CO1 ≠ 0. Dann weist die Funktion f einen einzigen kritischen Punkt q in H auf, wobei dieser Punkt q das globale Minimum von f ist.
Vorhandensein (Existenz) und Eindeutigkeit
Theorem 2 wird bewiesen. Vor dem Beweis werden die exponen- tiellen und logarithmischen Funktionen für die dualen Vektoren definiert. Diese Funktionen sind nützlich für den Beweis und für die Entwicklung des Algorithmus.
Exponential- und logarithmische Funktionen
Zuerst wird ein Unterraum von ID definiert, der folgendermaßen dargestellt wird:
r^{i|i = (jc1,Jc2,θ)tJc1,Jc2e/D} (21)
Offensichtlich ist der Unterraum T ein linearer Raum. Die in Gleichung 9 definierte Norm ist noch gültig zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten in dem Unterraum. Dieser Unterraum kann als eine tangentiale Hyperebene im Hinblick auf einen Punkt q auf der dualen Einheitskugel angenommen werden. Ohne Einschränkung der allgemeinen Gültigkeit wird ein Punkt q:= (0,0,1) ausgewählt, wobei die Punkte auf der tangentialen Ebene von Punkt q als Xi=(X15X25I) geschrieben werden können. Unter der Annahme, dass der Punkt q der Ursprung von Tq ist, erhält man exakt den Unterraum T . Dann lässt sich der Abstand zwischen q und p\ auf der Hyperebene folgendermaßen berechnen:
r = x- M =U,χ 2M (22) Die exponentielle Abbildung bei q wird definiert mit dem Ab¬ bilden von Punkten von der tangentialen Hyperebene Tq zu der dualen Einheitskugel, was Winkel und Abstände von q beibe¬ hält. Die exponentielle Abbildung wird bezeichnet als expq (.) . In diesem Fall ist eine Funktion gegeben, die einen Punkt p mit den Koordinaten (X1, £2,1) auf einen Punkt exp,|(p) = (x[,x2',x3) abbildet.
Die folgende Bedingung sollte erfüllt sein, um den Abstand beizubehalten:
x3 = cos(f) (23)
wobei f durch Gleichung 22 definiert ist. Da exp^(p) auf der dualen Einheitskugel lokalisiert ist, wird unter der Annahme der Eigenschaft sin (r) + cos (r) = 1, Folgendes definiert:
~, ~ sin(f) Λ, Λ sin(f) x = X1 ■ ^ andx2 = x2 • r^ (24) r r
Im Fall r = 0, ist der duale Teiler nicht definiert, sodass X1 = X1 und x"2 = X2 zugeordnet sind.
Die logarithmische Funktion ist die Umkehrfunktion der expo- nentialen Abbildung, die einen Punkt P' = (xj,X2,X3) auf der du- alen Einheitskugel auf einen Punkt auf der tangen¬ tialen Hyperebene TQ abbildet, vorausgesetzt, p' ist nicht antipodisch zu q . Wir bezeichnen die logarithmische Funktion als lq(.) und es gilt expq(lq(p')) = p' . Folglich ist die Umkehr¬ abbildung wie folgt definiert:
wobei θ = cos (St3) der duale Winkel zwischen p' und q ist. Es wird dabei angenommen, dass der Hauptteil von θ folgende Un- gleichung erfüllt: 0<θ<π . Im Falle von θ=0 ist St1 = St1 für i=l,2.
Beweis des Vorhandenseins
Da f eine kontinuierliche Funktion auf dem kompakten Raum 5 ist, erlangt f seinen Minimalwert zumindest am Punkt q . Es kann bewiesen werden, dass q im Inneren der Halbkugel H liegt .
Unter der Annahme dass q das Minimum von Gleichung 18 und vollständig außerhalb von H liegt, kann ein Punkt q' in dem
Inneren von H gefunden werden, und zwar durch Reflektieren von q durch die dem Rand von H . Offensichtlich ist für den Punkt Pj innerhalb der Halbkugel der Abstand zwischen Pj und q' kleiner als der Abstand zwischen Pj und q . Für Punkte Pj auf dem Rand von H sind die Abstände die gleichen. Der Wert von /Xq') < /(q) widerspricht der Annahme. Deshalb kann das Minimum q nicht außerhalb von H liegen.
Als nächstes wird bewiesen, dass das Minimum q ebenso nicht auf dem Rand von H liegen kann. Es ist gleichwertig zu beweisen, dass der Gradient von f an dem Rand immer ungleich 0 ist und nach außerhalb von H zeigt. Unter Verwendung der vorstehend verwendeten Abbildungen gilt F(s) = /(exp,j(s)) für die Punkte S auf der tangentialen Hyperebene T^ . Es werden die Achsen X1, x2 für T- gewählt und dann die ersten Ableitungen
von f an q ~ist(ldτλ definiert. Die beste Beschreibung der Ab- leitung von f ist Gradientenvektor Vf, dieser ist ein Tan- gentenvektor zu der dualen Kugel bei q :
(26) wobei O1 und U2 die Einheitsvektoren sind, die in die Richtung der Achsen St1 und St2 ausgerichtet sind. Für den Eindeutigkeitsbeweis gilt es zu verifizieren, dass die zweite Ableitung von f am Punkt q positiv ist. Dessen zweite Ablei- tungen an q sind gleich ( S2F ).. Für den Rest des Beweises
OX1OXj wird auf Schraubenberechnungen zurückgegriffen.
Schraubentheorie
Im Sinne einer steifen Bewegung ist eine Schraube eine Möglichkeit, eine Verschiebung zu beschreiben. Die Verschiebung kann als eine Rotation um eine Achse und eine Translation entlang derselben Achse gedacht sein. Eine allgemeine Schraube S besteht aus zwei Teilen, einen echten 3-Vektor S , der die Richtung der Schraube anzeigt, und einen echten 3-Vektor
P , der, durch Aufzeichnen des Moments der Schraube um den
Ursprung, S lokalisiert. In dieser Hinsicht wird eine Schraube als ein dualer Vektor dargestellt:
S = S +£S^ = S + ε(pS + S0) (27)
wobei p der Gewindegang „pitch" der Schraube und SQ das Moment der Gerade der Schraube um den Ursprung ist. SQ ist abgeleitet von dem Ursprungsradiusvektor R , oder allgemeiner von jedem Punkt V der Kugel mit SQ = RxS = VxS . S0 ist rechtwinklig zu S(S-S0=Oj.
Offensichtlich ist eine Gerade eine Schraube, bei der der Gewindegang 0 ist, d. h. p = 0. Deshalb kann man Schraubenbe- rechnungen zur Analyse der partialen Ableitungen der Funktion f an den Punkt q auf der dualen Einheitskugel verwenden, f ist eine duale Skalarfunktion der Schraube S, die folgende Form aufweist: (28) Das Argument hinsichtlich der dualen Vektoren wird in einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit Ursprungspunkt 0 ausgedrückt, wobei dann die Formeln für ein Dualzahlenargument angewendet werden. Die dualen Koordinaten der Schraube sind folgende:
wobei Sx, Sy, sz, Sx, sy°, sz° sechs reale Elemente einer Plücker- Koordinate sind. Unter Verwendung der Differentialregeln für Dualzahlenfunktionen wird erhalten:
Die Funktion f wird real, falls alle Variablen real sind, deshalb gilt f (sx, sy, sz)=f(sx, sy, sz) . Nach Umwandlung in die Vektorschreibweise wird Folgendes erhalten:
f(s) = f(a) + εs° ■ Wf(s) = f(a) + ε(s° ■ v)f(s) (31)
Wenn die vorstehende Gleichung analysiert wird, lässt sich erkennen, dass die Schraubenfunktion f(S) vollständig durch eine Funktion von dessen Hauptteil f{s) definiert wird. Folglich ergibt sich die folgende Eigenschaft: Es ist bekannt, dass zwei duale Vektorfunktionen F(x) und Φ(x) folgende Gleichung erfüllen:
VF(x)=φ(x) (32)
Es kann folgende Identität gefolgert werden:
VF(x) = Φ(x) (33)
Zum Beweis, dass der Gradient von f am Rand immer ungleich 0 ist und nach außerhalb von H gerichtet ist, ist es gleichwertig zu beweisen, dass die reale Vektorfunktion f(x) am Rand immer ungleich Null ist und nach außerhalb von der realen Halbkugel H gerichtet ist. Dies wurde in der Literatur bereits getan. Allgemeiner wird das folgende Theorem abgeleitet:
Theorem 3. Alle Formeln und alle Theoreme der Vektoranalysis verbleiben in Kraft auf dem Gebiet der Schrauben.
Es folgt aus dem Vorstehenden, dass eine Schraubenanalyse ge- bildet werden kann durch Ersetzen von Schrauben in Vektoren. Der Zusammenhang zwischen geometrischen Objekten, der vorstehend begründet wurde, bleibt offensichtlich erhalten: Der duale Betrag "modulus" der Schraube entspricht dem Betrag des Vektors und der duale Winkel zwischen den Achsen der Schrau- ben entspricht dem Winkel zwischen Vektoren.
Anstelle des Beweises, dass die duale Vektorfunktion f(x) ein eindeutiges Minimum aufweist, wird bewiesen, dass der Hauptteil („principle part") von f(x) ein eindeutiges Minimum auf- weist. Es folgt genau derselbe Ablauf wie der Beweis für die Eindeutigkeit eines gewichteten Mittelwerts auf der realen Kugel. Der Beweis wird nicht wiederholt, die Details finden sich in der einschlägigen Literatur.
Kontinuitäts- und Konvexitätseigenschaften
Es wurde bewiesen, dass die Ableitungseigenschaft einer Schraubenfunktion vollständig durch deren Hauptteil bestimmt wird. Folglich ergibt sich das gleiche Kontinuitätstheorem wie im Falle der realen Kugel:
Theorem 4. Es seien die Werte für P1, ... , pn und ω^, ... , ωn und q derart ausgewählt, dass diese die Hypothesen des Theorems 2 erfüllen. Daraus ergibt sich, eine Nachbarschaft von P1, ... , pn , a>i, ...,a>n, in der der gewichtete Mittelwert q eine C∞ -Funktion von P1, ..., pn, ω^, ...,ωn, ist. Es kann ebenso gezeigt werden, dass die Punkte q, die als ein gewichteter Mittelwert von P1... , pk geschrieben werden können, einen konvexen Satz erzeugen. Sie erzeugen genau die konvexe Oberflache der Punkte P1 , ... , pk .
Definition von dualen Kugel-Splmes
Beruhend auf der Definition eines gewichteten Mittelwerts auf der dualen Einheitskugeln in ID^, können die Spline- Funktionen analog definiert werden, die Werte auf der dualen Emheitskugel annehmen. Genauso wie bei der Definition von Splmes auf einer realen Kugel, müssen die Basisfunktionen immer die folgende Eigenschaft erfüllen:
∑fι(u) = \,fι(u)≥0,Vi (34) i 1
Für u im Intervall [a, b] .
Da Bernstein Polynome und B-Splme-Basisfunktionen beide die- ses Erfordernis erfüllen, werden die duale Kugel-Beziers-
Kurve oder B-Spline-Kurve s(t) folgendermaßen definiert, die
Werte auf der dualen Einheitskugel annehmen:
a(u) = ∑n 1 = 1 f2(u)ρ2 (35) P1... , pn sind Punkte auf der dualen Einheitskugel in ID^-
Zur Erfüllung der Eindeutigkeitserfordernis ist für jeden Wert des Parameters u der Satz von Steuerungspunkten p2 , für welche fj_{u) ≠ 0 ist, innerhalb einer dualen Halbkugel enthal- ten. Zumindest ist jeder Wert meistens innerhalb einer Halbkugel enthalten zur Erfüllung der Eindeutigkeitsbedingungen.
Interpolation von dualen Kugel-Splmes Algorithmus zur Berechnung gewichteter Mittelwerte auf der dualen Einheitskugel .
Nachfolgend wird ein neuer Algorithmus zur Berechnung des ge- wichteten Mittelwerts auf der dualen Emheitskugel vorgeschlagen. Die grundsätzliche Idee dieses Algorithmus liegt in der Verwendung der logarithmischen Abbildung, die alle Punkte P2 auf der dualen Einheitskugel auf die tangentiale Hyperebene an q abbildet, dann deren gewichteter Mittelwert in der Hyperebene berechnet und dieses Ergebnis zurück zu der dualen Einheitskugel durch die exponentielle Abbildung abbildet. Die exponentielle Abbildung wird gemäß Gleichungen (23) und (24) definiert. Die logarithmische Abbildung ist gemäß Gleichung (25) definiert. Alle Berechnungsregeln beruhen auf den Berechnungsregeln, die in den dualen Vektorraum ID^ definiert sind.
Da die exponentielle Abbildung und die logarithmische Abbildung lediglich an q= (0,0,1) definiert sind, muss für einen allgemeinen Punkt q auf der dualen Einheitskugel der Koordinatenrahmen derart bewegt werden, um zu der Abbildung zu passen. Die Matrix zur Bewegung eines Punktes X1 zu einem Punkt X2 auf der dualen Einheitskugel ist mit folgender Formel gegeben :
X2 = [£]*l (36) wobei [R] = exp(ά[adg]) ( 37 )
= [l] + sm(ωfadg] + (cos(ω) - l)([adg])2 ώ entspricht dem dualen Winkel zwi schen den Punkten X1 und X2 :
X1 • x2 = cos ώ = x + εx° ( 38 ) und die Schraubenachse g wird gewählt, sodass diese senkrecht zu beiden Punkten X1 und x2ist: g = ^^f (39)
Es ergibt sich der folgende Algorithmus:
• Algorithmus zum Berechnen von gewichteten Mittelwerten auf der dualen Einheitskugel .
• Eingabe: P1, ... , pn auf der dualen Emheitskugel und nicht negative Richtungsfaktoren ω^ , ... ωn mit der Summe
1; • Ausgabe: der gewichtete Mittelwert der Eingabewerte;
• Initialisierung: Setze q := ^ ω2p2 / ∑ _-, ®iPj
• Hauptschleife: fur i = 1; ... ; n ' setze pl := l~(pj, setze ü:=∑" ^(p] -q)' setze q := exp^(q + ü)' falls der Hauptwert von |kj|| ausreichend klein ist, ausgeben von q und anhalten, andernfalls Fortsetzung des Schleifendurchlaufs .
Hier ist i~(p ) die Abbildung, die Punkte £> zu der tangentialen Hyperebene an q abbildet und eχp~(q + ü) bildet das Er¬ gebnis zurück auf die duale Einheitskugel.
Algorithmus zur Splme-Interpolation auf der dualen Einheitskugel
Unter Verwendung des dualen Kugel-Splme, der in Gleichung (35) definiert wurde, kann das duale Kugel-Splme-Interpola- tionsproblem gelost werden. Ausgehend von gegebenen Punkten C1 , ... , c auf der dualen Einheitskugel und ausgehend von Pa¬ rametern u < u9 < < u ' soll eine Glattungskurve auf der dualen Einheitskugel gefunden werden, die durch u parametπ- siert ist und zwar derart, dass s(u ) = c ^ur aHe ± • Das grundsatzliche Problem ist die Wahl zusatzlicher Knotenposi- tionen und Steuerungspunkte p , die eine Kugel-Spline-Kurve nach Gleichung (35) definieren und diese Bedingungen erfüllen. Hier wird f (u\ als kubische B-Spline-Basisfunktionen gewählt und ein iteratives Verfahren zur Lösung für die Steu- erungspunkte p verwendet. Dies kann einfach auf B-Splines höherer Ordnung ausgeweitet werden.
Definitionsgemäß gibt es n + 2 Steuerungspunkte für n Eingabepunkte. Es sei P1 = p2 und ^n + 1 = ^+ 2, wobei alf ßlf r∑ die Elemente in einer Basismatrix bezeichnen, die nicht 0 sind.
Bas i smatrix •
( 40 )
Der Duale-Kugel-kubische-B-SpIine-Interpolationsalgorithmus kann wie folgt beschrieben werden:
Algorithmus zur Interpolation von dualen Kugel-kubischen B-
Splines :
• Eingabe: Punkte £• •£ und reelle Koeffizienten Ci1, ßlf Y1, (o ≤ i ≤ n);
• Steuerungspunkte fj ;
• Initialisierung: setze fj -=g für j_ = ]_ M ;
• Hauptschleife: für i = 1; ... ; n , setze ^ ;=_(« . /.(p )+ ^ ./-(p!+2)>ßt . setze S1=Ip1-I^l' setze setze P1=P2 und Pn+2=Pn+I'
falls die Summe der Hauptwerte §■ von §■ ausreichend klein
5 ist, wird angehalten; andernfalls wird der Schleifendurchlauf fortgeführt .
Wenn die Steuerungspunkte hergeleitet sind, ist der duale Ku- gel-Spline als gewichteter Mittelwert der Steuerungspunkte zu
]_0 berechnen. Die Laufzeit des gewichteten Mittelwert- Algorithmus ist um eine Größenordnung kleiner als die Laufzeit des Interpolationsalgorithmus, sodass die Zeit zur Berechnung einer großen Anzahl von Punkten entlang der Kurve die zur Berechnung der Steuerungspunkte benötigte Zeit domi-
]_5 niert.
Simulationsergebnisse
Der Algorithmus wird mit verschiedenen Eingabewerten getes- 20 tet. Die Eingabegeradenabfolge ist gegeben in der Form von dualen Vektoren \- =\- + gf. ι wobei j_ = ir ... r n • Ein Punkt auf der dualen Einheitskugel entspricht einer unendlichen Gerade im euklidischen Raum. Zur Anzeige der Eingabegeradenabfolge wird die duale Vektordarstellung von Geraden in die algebrai- 25 sehe Darstellung von Geraden transformiert:
I1 (V) = I1Xl? + V l1 , für i = 1 , . . . , n ( 4 1 )
v kann Element des Bereichs [0,1] sein. Zur Anwendung des 3Q Interpolationsalgorithmus für Duale-Kugel-kubische-B-Splines muss die Parameter- und Knotenabfolge bestimmt sein. Es wurde die Sehnenlänge zur Definition der Parameter ausgewählt: Es sei J die Sehnenlänge zwischen zwei gegebenen Punkten
J =J .J z = l... n ' so wird die gesamte Sehnenlänge durch 35 ^ _ y^n rf berechnet. Da ^ eine duale Zahl ist, wird der Hauptteil von ^ als d verwendet und die Parameter werden folgendermaßen berechnet:
U0 = 0 (42)
U1 =ul_l +—-,ι = l,...,n-l
Un = 1
Dieser duale Kugel-Spline erlaubt die Verwendung von beliebi¬ gen Kontenpositionen. Zur Vereinfachung wird die Knotenabfol- ge entsprechend den Parametern ausgewählt.
Der Algorithmus konvergiert schnell und der Interpolations¬ fehler ist gering. Das Endergebnis ist als kubischer Dualku¬ gel B-Spline gegeben:
s(u) = ∑i n =1fi(u)pi welcher die Bedingung s(«) = ϊ erfüllt. Es kann der duale kubi¬ sche B-Spline als eine Regelfläche, gegeben durch Gleichung 12 dargestellt werden, wobei L>e[θ,ll ist. Es können die Ein- gabegeradenabfolge und die Punkte auf dem interpolierten
Spline, gegeben durch $(u \ , dargestellt werden. Der Algorithmus konnte verifiziert werden.
Kinematische Regelflächenannäherung und deren Anwendung
Der Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus kann zur Annähe¬ rung einer gegebenen Freiformoberfläche mit einer Regelfläche verwendet werden. Für den Regelflächen-Annäherungsalgorithmus ist der erste Schritt, ein diskretes System von Linierungsge- raden (rulings) nahe der gegebenen Oberfläche zu finden. An¬ schließend wird diese Linierungsgeradenabfolge, die in dem ersten Schritt abgeleitet wurde, in der Form von dualen Vektoren geschrieben, die Punkten auf der dualen Einheitskugel entsprechen. Dann kann der duale Kugel-Spline-Interpola- tionsalgorithmus zur Ableitung einer kubischen B-Spline-Kurve auf der dualen Einheitskugel angewendet werden, die einer Regelfläche im euklidischen Raum entspricht. Diese Kurve kann, beruhend auf Gleichung 12, zu einer Regelfläche im euklidischen Raum zurück abgebildet werden. Zwei Directrix-Kurven 5 auf einer Regelfläche können folgendermaßen geschrieben werden :
10 q(M) = l(M)x1(M)0H-U2I(M) (43b)
Diese Darstellung beinhaltet zwei zusätzliche Parameter υ und υ , sodass eine zusätzliche Information zur Bestimmung der Ränder der Regelfläche erforderlich ist. Für verschiedene ]_5 Anwendungen kann eine Vielzahl von Verfahren angewendet werden. Hier wird ein kinematischer Regelflächen-Annäherungsalgorithmus vorgeschlagen, der beispielsweise zum Entwurf und zur Herstellung von Zentrifugal-Kompressorschaufein geeignet ist .
20
In der Geradengeometrie kann ein Punkt als eine Schnittstelle von zwei Geraden interpretiert werden. Ein Punkt auf dem Rand einer Regelfläche ist durch Schneiden einer Linierungsgeraden mit einer Referenzgeraden definiert. Genauer wird die Refe-
25 renzgerade dadurch definiert, dass diese durch einen Punkt auf einer Directrix-Kurve läuft und die Orientierung der Referenzgerade mit der Flächennormalen an diesen Punkt übereinstimmt. Diese Definition der Referenzgerade ist inspiriert durch den Herstellungsprozess, wobei die Linierungsgerade
3Q (ruling) , die Normale der Fläche bzw. Oberfläche und ein zu der Linierungsgerade und der Normalen senkrechter Einheitsvektor ein lokales Koordinatensystem für das sich bewegende Fräswerkzeug bilden. Offensichtlich erzeugt die Bewegung der Referenzgerade ebenso eine Regelfläche. Deshalb kann der Du-
35 al-Kugelspline-Interpolationsalgorithmus unter Verwendung der Referenzgeraden als Eingabe verwendet werden. Eine Directrix- Kurve ist durch Schneiden dieser beiden Regelflächen herge- leitet. Gleichermaßen kann die andere Directrix-Kurve durch Wiederholen des vorstehenden Ablaufs hergeleitet werden.
Es können folgende Schritte zur Ermittlung von Direktrixkur- ven der ausgehend von den Linierungsgeraden bestimmten Regelfläche ausgeführt werden:
- ausgehend von der beliebigen, zu erzeugenden Fläche und den diskreten Linierungsgeraden, zusätzlich zu jeder diskreten Linierungsgeraden eine erste und eine zweite diskrete Refe- renzgerade bestimmt wird, wobei eine erste diskrete Referenzgerade durch einen Schnittpunkt der diskreten Linierungsgeraden mit einer ersten zu bestimmenden Direktrixkurve und eine zweite Referenzgerade durch einen Schnittpunkt der Linierungsgeraden mit einer zweiten zu bestimmenden Direktrixkurve verläuft, und die Orientierungen dieser Referenzgeraden jeweils den Oberflächennormalen der zu erzeugenden Fläche an den Schnittpunkten entsprechen, wobei ein Abstand der beiden Schnittpunkte einer jeden diskreten Linierungsgerade der Länge des Materialabtragewerkzeugs entspricht; - Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Referenzgerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study- Mapping-Algorithmus, wobei zu der ersten Referenzgeradenab- folge eine erste diskrete Punkteabfolge und zu der zweiten
Referenzgeradenabfolge eine zweite diskrete Punktabfolge erzeugt wird;
- Interpolieren der beiden diskreten Punktabfolgen mittels Erzeugen zweier weiterer die jeweiligen diskreten Punktabfol- gen aufweisenden Splinekurven mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus ;
- Umwandeln aller drei Splinekurven mittels eines inversen Study-Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein- Mapping-Algorithmus in drei Regelflächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum, wobei die zwei Schnittlinien der zwei Regelflächen der ersten und zweiten Referenzgeraden jeweils mit der Regelfläche der Linierungsgeraden die erste und zweite glatte und kontinuierliche Direktrixkurve der Regelfläche der Linierungsgeraden bestimmen, und wobei die zwei Direktrixkurven durch p(u) und q(u) der Gleichung
x(u,υ)= (l-υ)p(u)+υq(u) (2)
5 mathematisch beschrieben sind.
Mit anderen Worten können die beiden Direktrixkuven der den Linierungsgeraden zugeordneten Regelfläche folgendermaßen ]_0 beispielhaft ermittelt werden. Es wird ein Rahmen für den kinematischen Regelflächen-Annäherungsalgorithmus erhalten:
Schritt Sl. Extrahieren der Linierungsgeraden von der gegebenen Fläche und Bestimmen der Referenzgeraden entsprechend ]_5 zweier Directrix-Kurven;
Schritt S2. Transformieren der Koordinaten der drei Geradenabfolgen in die Koordinaten der Punkte auf der dualen Einheitskugel; Transformieren von Koordinaten einer diskreten 20 Gerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study-Mapping-Algorithmus;
Schritt S3. Anwenden des Dualkugel-B-Spline- 25 Interpolationsalgorithmus;
Schritt S4. Berechnen des Dualkugel-B-Splines mit dem Algorithmus des Dualkugel-gewichteten Mittelwerts;
3Q Schritt S5. Transformieren der Dualzahl-Darstellung der Regelfläche zurück in den euklidischen Raum; Kurven auf der Dualen Einheitskugel können mittels eines inversen Study- Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein-Mapping- Algorithmus in eine Regelfläche im dreidimensionalen Euklidi-
35 sehen Raum umgewandelt werden.
Schritt S6. Bestimmen der zwei Directrix-Kurven durch Schneiden von Regelflächen. Figur 3 zeigt die Schrittfolge zur Bestimmung einer Regelfläche, die an eine beliebige, zu erzeugende Fläche angenähert wurde .
5
Dieser Algorithmus wurde beispielsweise zum Entwurf von
Schaufelflächen verwendet. Zur Verifizierung des Algorithmus wurde eine Zentrifugal-Kompressorschaufel ausgewählt, die einer Regelfläche angenähert entworfen ist, als die Eingabe für
]_0 den Algorithmus. Es wurde ein Simulationsergebnis für den kinematischen Kugelflächen-Annäherungsalgorithmus erhalten. Es kann die ursprüngliche Form der gegebenen Schaufel dargestellt werden. Es können drei Abfolgen von Geraden extrahiert werden, die eine Gruppe von, die gegebene Schaufel annähern-
15 den, Geraden und zwei Gruppen von Normalen aufweisen. Diese drei Gruppen von Geradenabfolgen können dargestellt werden. Unter Anwendung des Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus und des Geraden-Schnittalgorithmus wird eine angenäherte Regelfläche abgeleitet. Es kann die angenäherte Regelfläche mit
20 der ursprünglich gegebenen Schaufelfläche verglichen werden, wobei sich zeigt, dass der Annäherungsfehler sehr klein ist. Diese Regelfläche wird durch einen Geradenpfad dargestellt, der die Oberfläche erzeugt, sodass eine nahe Verbindung zu dem Herstellungsprozess gegeben ist.
25
Schlussfolgerung
Vorstehend wurde beschrieben, wie ein Regelflächen- Annäherungsproblem im euklidischen Raum in ein Kurven-
3Q Interpolationsproblem auf der dualen Einheitskugel durch Anwendung eines Klein-Map-Algorithmus und eines Study-Map- Algorithmus transformiert wurde. Es wurde ein gewichteter Mittelwert auf der dualen Einheitskugel definiert, der zu der Definition eines dualen Kugelspline auf der dualen Einheits-
35 kugel führt. Auf der Grundlage dieser Definitionen werden schnelle, iterative Algorithmen zur Berechnung der gewichte- ten Mittelwerte und zur Interpolation von dualen Kugelsplines auf der dualen Einheitskugel vorgeschlagen. Diese Algorithmen sind definiert durch verschiedene Eingaben und werden zu einem kinematischen Regelflächen-Annäherungsalgorithmus erweitert. Dieser neuartige Regelflächen-Annäherungsalgorithmus kann zur Annäherung einer Freiformfläche mit einer Regelflä- 5 che verwendet werden. Dieser kann zum Entwurf von Oberflächen und zur Planung von Werkzeugpfaden, beispielsweise bei CNC- Maschinen, verwendet werden. Deshalb hat der kinematische Regelflächen-Annäherungsalgorithmus einen hohen Wert für die industrielle Herstellung und weist viele Anwendungsmöglich- ]_0 keiten auf verschiedenen Gebieten auf. Es können beliebige Flächen auf beliebigen Materialen erzeugt werden.
Ein Verfahren nach dem Hauptanspruch ist für eine Werkstückbearbeitung ausreichend, da das Werkzeug lediglich eine be-
15 stimmte Länge aufweist und auf diese Weise eine Regelfläche erzeugt wird. Zusätzlich können erfindungsgemäß die Direktrixkurven bestimmt werden. Des Weiteren kann eine Materialbearbeitungsvorrichtung direkt die Daten der Dualkugelspli- nekurve zur Erzeugung einer Regelfläche verwenden. Eine Mate-
20 rialbearbeitung nach einer Umwandlung in eine Regelfläche im Euklidischen Raum ist ebenso möglich. Die beliebige, zu erzeugende Fläche kann aerodynamisch optimiert sein, durch Strukturdaten bestimmt, durch ein Experiment bestimmt oder mittel anderer Kriterien bestimmt sein. Es kann sich eine
25 kurvenförmige Oberfläche ergeben.
Figuren 4a bis 4d zeigen ein weiteres Ausführungsbeispiel eines erfindungsgemäßen Verfahrens. Fig. 4a bis d zeigen die Steuerung einer Flankenfräsvorrichtung mittels Computer Nume-
3Q rischer Steuerung (CNC; Computer numerical control) . Fig. 4a zeigt in einem ersten Schritt eine zu erzeugende untere Fläche und einer Offsetfläche . Fig. 4b zeigt in einem zweiten Schritt die diskreten Positionierungen des Materialabtragewerkzeugs. Fig. 4c zeigt in einem dritten Schritt die Bewe-
35 gung der Materialabtragewerkzeuge und die hergestellte Oberfläche. Fig. 4d zeigt einen Vergleich zwischen der hergestellten Oberfläche und einer zu erzeugenden gegebenen Schaufel als die zu erzeugende Fläche.

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zum Erzeugen einer Fläche auf einem Werkstück mittels eines Materialabtragewerkzeugs, wobei ausgehend von einer beliebigen, zu erzeugenden Fläche ein Bewegungspfad des Materialabtragewerkzeugs zur Erzeugung einer der beliebigen Fläche angenäherten Regelfläche gesteuert wird, wobei der Bewegungspfad in Form einer Kurve auf einer Dualen Einheitskugel bereit gestellt wird, wobei ein Punkt auf der Kurve einem Ort und einer Orientierung des Materialabtragewerkzeugs entspricht.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Kurve auf der Dualen Einheitskugel als kontinuierliche und glatte Dualkugelsplinekurve definiert wird.
3. Verfahren nach Anspruch 2, gekennzeichnet durch
- Bereitstellen einer der beliebigen, zu erzeugenden Fläche angenäherten Abfolge von diskreten Linierungsgeraden;
- Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Li- nierungsgerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Ko- ordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study- Mapping-Algorithmus ;
- Interpolieren der diskreten Punkte mittels Erzeugen der die diskreten Punkte aufweisenden Dualkugelsplinekurve mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus .
4. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass eine Linierungsgerade der Gleichung entspricht; der Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus folgende Gleichungen aufweist: S(Ii) = Z1 1U Z(Ii)P1 , ( 35 )
als Gleichung der Dualkugelsplinekurve, wobei fx Basisfunktionen und p; Steuerungspunkte auf der dualen Einheitskugel in ID 3 sind, mit
, wobei (34)
gewichtete Mittelwerte auf der Dualen Einheitskugel folgender Gleichung entsprechen:
q = ∑"=oωιpι mit ∑ωt =l,ωt > 0 , wobei (17) zur Erzeugung der Dualkugelsplinekurve eine Minimierung nach folgender Formel ausgeführt wird:
/(q)=^∑^-^(q,p!)2 (i8) .
5. Verfahren nach Anspruch 3 oder 4, dadurch gekennzeichnet, dass ein Berechnen der der beliebigen Fläche angenäherten Abfolge von diskreten Linierungsgeraden mittels mathematischem Least- Square-Minimieren von Abständen zu der beliebigen Fläche ausgeführt wird.
6. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Kurve mittels eines inversen Study-Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein-Mapping-Algorithmus in die Regelfläche im dreidimensionalen Euklidischen Raum umgewan- delt wird.
7. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass die Steuerungspunkte als Parameter für die Annäherung der Regelfläche an die beliebige, zu erzeugende Fläche verwendet werden .
8. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass der Einzelparameter u Vorschubrate oder Zeit hinsichtlich einer Verschiebung des Materialabtragewerkzeugs ist.
9. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche 3 bis 8, dadurch gekennzeichnet, dass
- ausgehend von der beliebigen, zu erzeugenden Fläche und den diskreten Linierungsgeraden, zusätzlich zu jeder diskreten Linierungsgeraden eine erste und eine zweite diskrete Refe- renzgerade bestimmt wird, wobei eine erste diskrete Referenzgerade durch einen Schnittpunkt der diskreten Linierungsgeraden mit einer ersten zu bestimmenden Direktrixkurve und eine zweite Referenzgerade durch einen Schnittpunkt der Linierungsgeraden mit einer zweiten zu bestimmenden Direktrixkurve verläuft, und die Orientierungen dieser Referenzgeraden jeweils den Oberflächennormalen der zu erzeugenden Fläche an den Schnittpunkten entsprechen, wobei ein Abstand der beiden Schnittpunkte einer jeden diskreten Linierungsgerade der Länge des Materialabtragewerkzeugs entspricht; - Transformieren von Koordinaten jeweils einer diskreten Referenzgerade im dreidimensionalen Euklidischen Raum in Koordinaten von jeweils einem diskreten Punkt auf der Dualen Einheitskugel mittels eines Klein- und danach eines Study- Mapping-Algorithmus, wobei zu der ersten Referenzgeradenab- folge eine erste diskrete Punkteabfolge und zu der zweiten
Referenzgeradenabfolge eine zweite diskrete Punktabfolge erzeugt wird;
- Interpolieren der beiden diskreten Punktabfolgen mittels Erzeugen zweier weiterer die jeweiligen diskreten Punktabfol- gen aufweisenden Dualkugelsplinekurven mittels Anwenden eines Dualkugelsplineinterpolationsalgorithmus ;
- Umwandeln aller drei Dualkugelsplinekurven mittels eines inversen Study-Mapping-Algorithmus und danach eines inversen Klein-Mapping-Algorithmus in drei Regelflächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum, wobei die zwei Schnittlinien der zwei Regelflächen der ersten und zweiten Referenzgeraden jeweils mit der Regelfläche der Linierungsgeraden die erste und zweite glatte und kontinuierliche Direktrixkurve der Regelfläche der Linierungsgeraden bestimmen, und wobei die zwei Direktrixkurven durch p (u) und q(u) der Gleichung
x(u,υ)= (l-υ)p(u)+υq(u) (2)
mathematisch beschrieben sind.
10. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch Überprüfen, ob der Bewegungspfad innerhalb eines Arbeitsraums des Materialabtragewerkzeugs ist, unter Verwenden der kinematischen Eigenschaften einer geforderten Bewegung und unter Anwenden einer Robotikanalyse.
11. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Verfahren für einen Formentwurf und/oder eine Formoptimierung des Werkstücks verwendet wird.
12. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass
Materialabtragewerkzeug Bestandteil einer CNC- (Computer- Numerical-Control-) Fräs-Maschine, einer elektrischen Entla- dungs-Drahtschneidebearbeitungsmaschine oder einer Laser- schneidmaschine ist.
13. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Werkstück ein Bestandteil einer Strömungsmaschine, bei- spielsweise ein Propeller oder ein Rotor ist.
14. Vorrichtung zur Ausführung eines Verfahrens nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass eine Steuereinrichtung ein Materialabtragewerkzeug nach einem Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche ansteuert, wobei eine Recheneinrichtung einen Bewegungspfad des Materialabtragewerkzeugs berechnet.
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