CN115935748B - 应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法。步骤如下：对裂纹梯形梁设置合适的测点数量；根据裂纹高度和梯形梁截面高度，计算裂纹相对高度ζ；根据ζ计算裂纹附加弹簧刚度参数可按应力强度因子手册计算；通过等效裂纹损伤单元线刚度模型，建立四种裂纹应力扩散模型：直线型、指数型、椭圆曲线I型和椭圆曲线II型，由应力扩散模型计算裂纹应力扩散角α(ζ)；计算未损伤梯形梁截面的惯性矩；计算应力扩散部分梁段截面的惯性矩；计算应力扩散法梯形梁单元损伤程度。本发明提出一种梯形梁裂纹局部损伤的单元损伤程度理论计算方法，为开展损伤程度定量试验时，类似凸形截面梁的实际损伤程度的设计与计算提供理论依据。

Description

应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法

技术领域

本发明属于结构健康监测领域，涉及梁结构理论损伤程度计算方法，具体地说是涉及一种应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法。

背景技术

近年来我国旧桥越来越多，出现的问题也日益显著。各种桥梁损伤形式中，裂纹是一种较为常见的损伤形式，对桥梁的承载能力和后续寿命都有极大的影响。尽管基于静力指标对梁结构的损伤识别方法进行了较多研究，但横向裂纹理论损伤计算方法并不多。而损伤识别时测点间距通常是固定的，当结构发现损伤时，很可能是两测点之间产生局部损伤，此时，两测点间的等效损伤程度是多少？该问题是合理解读损伤定量指标结果的关键问题，由于损伤程度定量难度较大，目前鲜见进行试验验证的文献报道。

梯形梁是较为常见的梁，目前还没有系统化且精确计算梯形梁裂纹应力强度因子的理论方法，所以不能直接依据梯形梁横向裂纹应力强度因子计算含横向裂纹单元理论损伤程度，而根据含裂纹矩形梁单元损伤程度计算公式的结果与梯形梁裂纹单元损伤程度的相对误差较大，并不具有适用性。

发明内容

针对梯形梁裂纹损伤的单元损伤程度理论值的计算问题，本发明提出一种应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法。

本发明所述应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法，内容如下：

(1)对裂纹梯形梁设置合适的测点数量，相邻测点之间的梁段记为一个单元，测点单元长度为δl；

(2)根据裂纹高度h_cr和梯形梁截面高度h，计算裂纹相对高度ζ，ζ＝h_cr/h；

(3)根据裂纹相对高度ζ计算裂纹附加弹簧刚度参数可按应力强度因子手册计算；

(4)计算裂纹应力扩散角α(ζ)，通过矩形截面梁，按等效裂纹单元线刚度的方法计算，其计算公式：

其中，h为矩形梁截面高度，h_cr为裂纹高度，I₀为矩形梁截面惯性矩，b为矩形梁截面宽度，N为应力扩散部分一侧的梁段划分数目，I_0dm为应力扩散部分第m段的矩形梁截面对应的惯性矩，/>h_0m为第m梁段截面高度；h_0m＝h-f(h_cr)，f(h_cr)为应力扩散函数，依据具体的应力扩散模式进行计算；

(5)计算未损伤梯形梁截面的惯性矩I：

其中，h为梯形梁截面梁高，b₁为截面上底宽度，b₂为截面下底宽度；

(6)计算应力扩散部分梁段截面的惯性矩：

应力扩散部分一侧的梁段长为l₂，通过应力扩散模型，l₂＝h_cr tanα(ζ)，将其等效为长l₂/N的N个小段串联而成，N为应力扩散部分一侧的梁段划分数目，每个小段均为梯形截面，取小段中点位置的高度为小段的高度，第m个小段的无应力区高度h_m：

其中，h_m为第m梁段截面的高度；

下底裂纹时：

上底裂纹时：

(7)应力扩散法梯形梁单元损伤程度计算：

裂纹梯形梁单元损伤程度D_e计算方法为：

其中，δl为测点单元长度，h_cr为裂纹高度，α(ζ)为裂纹应力扩散角，ζ为裂纹相对高度，ζ＝h_cr/h，h为梯形梁截面高度，应力扩散部分一侧的梁段分成N份，第m段的截面惯性矩为I_dm，未损伤截面的惯性矩为I。

具体的，步骤(3)中，裂纹附加弹簧刚度参数可按下述方法计算：

F(ζ)＝1.122-1.40ζ+7.33ζ²-13.08ζ³+14.0ζ⁴；

其中，ζ为裂纹相对高度，F(ζ)为裂纹应力强度因子系数。

具体的，步骤(4)中，裂纹应力扩散角α(ζ)具体可按下述方法计算：

(a)直线型扩散模式时：

α(ζ)＝74.5-28.895ζ；

其中，ζ为裂纹相对高度，ζ＝h_cr/h，h为梯形梁截面高度，h_cr为裂纹高度，α(ζ)的单位为度；

(b)指数型扩散模式时：

γ＝-8.3643ζ⁴+16.521ζ³-12.625ζ²+3.4546ζ+1.387；

(c)椭圆曲线I型扩散模式时：

α(ζ)＝arctan(ψ₁)；

ψ₁＝-4.5389ζ³+7.8759ζ²-5.9751ζ+2.4125；

(d)椭圆曲线II型扩散模式时：

α(ζ)＝arctan(ψ₂)；

ψ₂＝15.04ζ²-13.331ζ+8.7175。

具体的，步骤(1)中，测点单元长度δl不小于截面高度h，并且测点数量不少于4。

具体的，步骤(4)、(6)、(7)中，应力扩散部分一侧的梁段划分数目N不小于100。

本发明基于矩形梁单边横向裂纹损伤程度计算方法，提出等效线刚度的裂纹应力扩散模型，依照其应力扩散角计算梯形截面梁裂纹单元损伤程度，为其他类型截面梁单元损伤程度计算方法提供研究思路，通过算例验证了裂纹应力扩散模型在梯形梁结构含横向裂纹单元损伤程度计算中的应用价值，为梯形截面梁等结构损伤识别试验提供理论基础。

附图说明

图1是本发明裂纹梯形梁单元损伤程度计算示意图。

图2是本发明裂纹梁单元模型。

图3是本发明裂纹附加弹簧梁单元模型。

图4是本发明Ⅰ型裂纹梁模型。

图5是本发明裂纹应力扩散模型(直线型)。

图6是本发明裂纹应力扩散模型(指数型)。

图7是本发明裂纹应力扩散模型(椭圆曲线Ⅰ型)。

图8是本发明裂纹应力扩散模型(椭圆曲线Ⅱ型)。

图9是本发明直线型应力扩散模式等效部分。

图10是本发明α(ζ)公式拟合曲线图。

图11是本发明指数型应力扩散模式等效部分。

图12是本发明γ公式拟合曲线图。

图13是本发明椭圆曲线Ⅰ型应力扩散模式等效梁段。

图14是本发明ψ₁公式拟合曲线图。

图15是本发明椭圆曲线Ⅱ型应力扩散模式等效部分。

图16是本发明ψ₂公式拟合曲线图。

图17是本发明梯形梁横截面。

图18是本发明梯形梁下底裂纹。

图19是本发明下底裂纹应力扩散第m个小段横截面。

图20是本发明梯形梁上底裂纹。

图21是本发明上底裂纹应力扩散第m个小段横截面。

图22是本发明实施例一梯形梁。

图23是本发明实施例一下底裂纹横截面。

图24是本发明实施例一梯形梁下底损伤模型样图。

图25是本发明实施例一梯形梁下底裂纹建模图。

图26是本发明实施例二梯形梁。

图27是本发明实施例二上底裂纹横截面。

图28是本发明实施例二上底损伤模型样图。

图29是本发明实施例二上底裂纹梁建模图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明，下面的描述涉及附图时，除非另有表示，不同附图的相同数字表示相同或相似的要素。

图1为本发明裂纹梯形梁单元损伤程度计算示意图，图中δl为测点单元长度，h、h_cr分别为梯形梁截面的梁高和裂纹高度，b₁、b₂分别为梯形梁截面上底、下底宽度，EI、EI_d、EI_eq分别为未损伤梁段刚度、损伤梁段刚度和损伤梁段的等效刚度，D_e为单元损伤程度，为待求量。

本发明所述应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法，具体内容如下：

一、裂纹矩形梁单元损伤程度D_e计算方法

1)单元线刚度损伤程度

根据将含裂纹单元等效于裂纹附加弹簧模型，即将产生裂纹的位置视作串联一个无长度无质量有刚度的扭转弹簧。裂纹附加弹簧梁单元模型如图2、图3，图中X_n、X_n+1为测点位置编号，n、n+1为测点编号，δl为测点单元长度，h_cr为裂纹高度，K_r为裂纹附加弹簧刚度，l_x为测点单元未损伤部分一半的长度，l_x＝δl-l_x。

无损伤单元的线刚度为K：

式中E为材料弹性模量，I为截面惯性矩。

将裂纹附加弹簧串联进入无损梁单元，得到含裂纹损伤单元的等效线刚度为K_d：

含裂纹单元的损伤程度计算公式为D_e：

2)裂纹附加弹簧

Ⅰ型裂纹梁模型图如图4，图中M为梁端弯矩，L₀为裂纹测点单元距离梁左端的距离，L为梁的计算跨度。

Chondros提出，以Ⅰ型裂纹计算模型，当梁结构产生裂纹时，会在裂纹处产生附加的柔度，附加柔度可以根据因裂纹产生附加的应变能来进行计算。根据Castigliano定理，一般荷载作用时结构因为裂纹产生的附加位移θ^*可由结构产生的附加应变能对荷载进行求导求得：

上式中：U_F是因为结构因为裂纹产生的附加应变能，M是弯矩。附加应变能U_F可以通过J积分进行积分计算求得：

式中b为梁截面宽度，h_cr为裂纹高度。J积分可由对应的裂纹应力强度因子进行计算，应变能密度J积分具体计算公式如下：

式中F(ζ)是应力强度因子相关与裂纹相对高度的系数，可根据梁的受力情况在应力强度因子手册进行选取。

附加角位移θ^*为：

简化式(7)得：

式中：ζ＝h_cr/h，

将式(8)对弯矩M求导，得裂纹附加弹簧柔度c^*的表达式为：

裂纹附加弹簧的刚度K_r的表达式为：

式中：ζ＝h_cr/h，是根据附加应变能计算式的变换积分获得的参数计算式；Φ(ζ)是校正公式积分后的参数计算式；/>和Φ(ζ)根据选择的F(ζ)不同而不同；I为矩形梁的截面惯性矩。

3)横向裂纹单元损伤程度计算公式

对梁结构某一单元的横向裂纹，根据裂纹应力强度因子计算的裂纹附加弹簧刚度，结合裂纹串联弹簧理论和线刚度损伤程度计算方法，推导含横向裂纹矩形梁单元损伤程度计算公式。由式(1)～(3)、式(10)，联合推导得含横向裂纹矩形梁单元损伤程度D_e：

上式中：E为弹性模量，I为惯性矩，ζ为裂纹相对高度，ζ＝h_cr/h，h为梁高，h_cr为裂纹高度，δl为测点单元长度。矩形梁单边横向裂纹的单元损伤程度记为D_er-c(D_e表示损伤程度Damage，r表示矩形梁Rectangular beam，c表示裂纹Crack)。

裂纹附加弹簧刚度参数的计算方法：

由应力强度因子手册纯弯单边裂纹应力强度因子的系数F(ζ)和公式如下：

F(ζ)＝1.122-1.40ζ+7.33ζ²-13.08ζ³+14.0ζ⁴ (12)

式(12)使用的范围和精度为ζ<0.6，应力强度因子计算误差在0.2％以内。

二、裂纹应力扩散角

1)裂纹损伤等效应力扩散模型

由于裂纹的影响，在裂纹所在位置及周围存在无应力区，导致开槽损伤或斜槽损伤直接依据梁段串联刚度计算的损伤程度与实际损伤程度相对误差很大，可以此为出发点，将裂纹产生的应力扩散效应看作沿着某一角度进行扩散，将角度称为裂纹应力扩散角(Stress Diffusion Angle of Crack)，应力扩散以外部分不计刚度从而产生损伤，而后分段计算应力扩散部分的刚度，然后再串联进损伤单元进行损伤程度计算，从而求得其他截面梁的裂纹损伤。根据常见的矩形梁横向裂纹串联弹簧模型，即将产生裂纹的位置视作增加了一个无长度质量有刚度的弹簧来进行结构损伤计算。

横向裂纹应力扩散模型是将裂纹附加弹簧模型等效为去除结构因裂纹产生的无应力区的梁结构损伤计算模型。假设应力扩散模式拟分析四种形式：直线型(图5)、指数型(图6)、椭圆曲线I型(图7)、椭圆曲线II型(图8)。

图中，灰色区域为假定的无应力区域，h_cr为裂纹的高度，α为裂纹一侧应力扩散角，δl为测点单元长度，依照应力强度因子手册，取δl＝2h；l₁为测点单元未损伤部分半长度，l₂为应力扩散区域的半长度，2l₂＝δl-2l₁；h_cr、l₂与α存在的公式关系为：tanα＝l₂/h_cr；图中坐标系为以裂纹尖端顶点为原点，梁长方向为x轴，梁高方向为y轴，各应力扩散角模型应力扩散边缘曲线方程如下表1：

表1裂纹应力扩散角边缘曲线方程

上面各式中，y为以裂纹顶端建立坐标系到无应力区边缘的高度，x为扩散长度的位置。

2)直线型扩散模式

直线型裂纹应力扩散角的计算是采用等效裂纹单元线刚度的方法，依据矩形梁串联弹簧模型计算的裂纹单元线刚度K_d，等效于裂纹应力扩散角计算的裂纹单元线刚度K_dSDA，从而反算应力扩散角α。理论推导如下：

应力强度因子作为裂纹是否继续开展的一种判据，与局部应力状态相关。但裂纹损伤程度是作为裂纹对梁的区域性影响的表征，在不考虑裂纹是否继续开展的情况下，裂纹产生的单元损伤程度与应力状态无关。裂纹串联弹簧单元刚度K_d采用式(1)、式(2)、式(10)和式(13)进行计算。无损单元线刚度为K通过式(1)进行计算，裂纹单元一侧未损伤部分线刚度K_nd：

将一侧应力扩散部分看作由N个等长不等高的小段串联而成的长为l₂的梁段，实际计算中N＝100即已经达到计算收敛，如下图9：

应力扩散长度l₁与h_cr及无损段长度l₂的关系为：l₂＝h_cr·tanα，δl＝2l₁+2l₂，裂纹损伤单元一侧应力扩散部分第m个小段的线刚度K_xm：

运用梁段串联刚度计算方法计算此部分刚度K_x：

将四部分进行串联，得到含裂纹应力扩散角部分单元的等效线刚度K_dSDA：

运用等效裂纹单元线刚度的方法，即K_d＝K_dSDA，可以得到矩形梁等效损伤的裂纹应力扩散角α，其计算公式如下：

其中，h为矩形梁截面高度，h_cr为裂纹高度，I₀为矩形梁截面惯性矩，b为矩形梁截面宽度，N为应力扩散部分一侧的梁段划分数目，I_0dm为第m段的矩形梁截面对应的惯性矩，/>h_0m为第m梁段截面高度；/>ζ为裂纹相对高度，ζ＝h_cr/h，/>为裂纹附加弹簧刚度参数，按式(13)计算。

根据应力强度因子手册提供的纯弯应力强度因子计算公式计算拟合α的计算公式，依照应力强度因子手册说明，式(13)适用于ζ＝h_cr/h≤0.6的损伤情形，采用ζ＝h_cr/h≤0.6的数据拟合α的计算公式，拟合曲线图如图10，图中R²为拟合优度，取值范围为(0,1)，R²越靠近1时拟合效果越好。裂纹应力扩散角α与ζ相对关系计算公式如下：

α(ζ)＝74.5-28.895ζ (19)

3)指数型扩散模式

指数曲线型应力扩散模型同样是采取等效裂纹单元线刚度的方法计算曲线方程的指数，从而求得一侧应力扩散区域的长度，根据裂纹高度和应力扩散长度的关系求得应力扩散角α。理论推导如下：

裂纹串联弹簧单元刚度K_d采用式(1)、式(2)、式(10)和式(13)进行计算。指数型应力扩散类型示意图为图11。无损单元线刚度为K通过式(1)进行计算，裂纹单元一侧未损伤部分线刚度K_nd与上一小节相同，用式(14)计算。

以图中所示坐标系为准，设曲线的方程基本形式为：

y＝h(x/h)^γ (20)

上式中，γ为曲线指数，通过裂纹损伤单元等效线刚度拟合计算。由图11中所示建立的坐标系，可以得到每个小段的的高度，第m个小段的x坐标为

第m个小段的中间位置高度为：

第m个小段的截面惯性矩为：

应力扩散长度l₂与h_cr及无损长度l₁的关系为：l₂＝h_cr·tanα，δl＝2l₁+2l₂，裂纹损伤单元一侧应力扩散部分第m个小段的线刚度K_xm：

运用梁段串联刚度计算方法计算此部分刚度K_x：

将无损段和应力扩散段进行串联，得到含指数型应力扩散单元的等效线刚度K_dSDA：

运用等效裂纹单元线刚度的计算方法，即K_d＝K_dSDA，拟合曲线图如图12，拟合γ相关于裂纹相对高度ζ＝h_cr/h的计算公式如下：

γ＝-8.3643ζ⁴+16.521ζ³-12.625ζ²+3.4546ζ+1.387 (27)

图12中所采用的拟合数据为ζ∈(0,0.9)。一侧裂纹应力扩散区域的长度l₂：

指数型应力扩散模式的应力扩散角α：

4)椭圆曲线Ⅰ型扩散模式

椭圆曲线Ⅰ型应力扩散模型采取等效裂纹单元线刚度的方法计算曲线方程的系数，从而求得一侧应力扩散区域的长度l₂，根据裂纹高度和应力扩散长度的关系求得应力扩散角α。裂纹串联弹簧单元刚度K_d采用式(1)、式(2)、式(10)和式(13)进行计算。椭圆曲线Ⅰ型应力扩散类型示意图为图13。无损单元线刚度为K通过式(1)进行计算，裂纹单元一侧未损伤部分线刚度K_nd用式(14)计算。

以上图所示坐标系为基准，设曲线的方程基本形式为：

上式中，ψ₁为椭圆曲线系数，通过等效裂纹单元线刚度拟合计算。由图13中所示，第m个小段的x坐标为：

第m个小段的中间位置高度为：

第m个小段的截面惯性矩为：

应力扩散长度l₂与h_cr及无损长度l₁的关系为：l₂＝h_cr·tanα，δl＝2l₁+2l₂，裂纹损伤单元一侧应力扩散部分第m个小段的线刚度K_xm：

运用梁段串联刚度计算方法计算此部分刚度K_x：

将无损段和应力扩散段进行串联，得到椭圆曲线Ⅰ型应力扩散单元的等效线刚度K_dSDA：

运用等效裂纹单元线刚度的计算方法，即K_d＝K_dSDA，拟合曲线图如图14，拟合ψ₁相关于裂纹相对高度ζ＝h_cr/h的计算公式，其表达式如下：

ψ₁＝-4.5389ζ³+7.8759ζ²-5.9751ζ+2.4125 (37)

图14中所采用的拟合数据为ζ∈(0,0.85)。一侧裂纹应力扩散区域的长度l₂：

l₂＝ψ₁h_cr (38)

椭圆曲线Ⅰ型应力扩散模式的应力扩散角α：

5)椭圆曲线Ⅱ型扩散模式

椭圆曲线Ⅱ型应力扩散模型采取等效裂纹单元线刚度的方法计算曲线方程的系数，从而求得一侧应力扩散区域的长度l₂，根据裂纹高度和应力扩散长度的关系求得应力扩散角α。理论计算推导过程与上节基本相同，应力扩散细部图如图15。

由图中所示坐标系，设曲线的方程基本形式为：

上式中，ψ₂为椭圆曲线系数，通过损伤程度等效拟合计算。由图15中所示建立的坐标系，可以得到每个小段的的高度，第m个小段的x坐标为

第m个小段的中间位置高度为：

其余过程与上一小节基本相同，串联应力扩散梁段和无损梁段求得椭圆曲线Ⅱ型的线刚度K_dSDA，运用K_d＝K_dSDA，拟合曲线图如图16，拟合ψ₂相关于裂纹相对高度ζ＝h_cr/h的计算公式如下：

ψ₂＝15.04ζ²-13.331ζ+8.7175 (43)

图16中所采用的拟合数据为ζ∈(0,0.8)。一侧裂纹应力扩散区域的长度l₂：

l₂＝ψ₂h_cr (44)

椭圆曲线Ⅰ型应力扩散模式的应力扩散角

二、梯形梁裂纹损伤程度

对梯形截面的长梁，由于应变能计算的差异性，直接依据矩形梁裂纹串联弹簧理论计算梯形截面损伤程度，与实际损伤程度相对误差过大，并不具有适用性。所以此处采用裂纹应力扩散理论推导梯形梁裂纹损伤程度表达式，梯形梁横截面示意图如图17，图中h为梁高，b₁为上底宽度，b₂为下底宽度。

1)直线型扩散模式损伤程度计算方法

无损单元线刚度为K由式(1)计算，裂纹应力扩散模式单元未损伤部分线刚度K_nd：

应力扩散部分刚度K_x：

I_m为第m个小段的梯形梁高度h_m对应截面的惯性矩，根据梯形梁上底裂纹和下底裂纹I_m有不同的计算公式。含裂纹梯形梁单元的线刚度K_d：

综合以上公式裂纹单元损伤程度D_e为：

式中：α(ζ)为裂纹应力扩散角，将上式的I替换成其他类型截面的惯性矩，则可公式计算其他类型截面梁裂纹损伤程度。

若要使用指数型应力扩散模式和椭圆曲线型应力扩散模式，则扩散部分的刚度K_x需要根据扩散边缘曲线方程进行计算。

2)下底裂纹

若裂纹为从下底向上底延申的横向裂纹，简称下底裂纹，示意图为图18。图中b₁为上底，b₂为下底，h为梁高，h_cr为裂纹高度，阴影区域为裂纹损伤区域。

梯形梁未损截面惯性矩为：

对下底裂纹损伤，第m个小段的示意图如图19，b_2m为第m个小段的梁底宽度，应力扩散部分的第m个小段中间高度为h_m：

第m个小段下底宽度为b_2m：

则其第m个小段的惯性矩I_dxm为：

将上式代入式(49)即可得到梯形梁下底裂纹单元损伤程度计算公式D_et-bc(t表示梯梁trapezoidal beam，b表示底部Bottom，c表示裂纹crack)：

3)上底裂纹

若裂纹为从上底向下底延伸的横向裂纹，简称下底裂纹，示意图为图20。图中b₁为上底，b₂为下底，h为梁高，h_cr为裂纹高度，阴影区域为裂纹损伤区域。

未损伤梯形截面惯性矩由式(50)计算，对上底裂纹损伤，第m个小段的示意图如图21，b_1m为第m个小段的上底宽度，应力扩散部分的第m个小段中间高度为h_m：

第m个小段上底宽度为b_1m：

则其第m个小段的惯性矩I_dsm为：

将上式代入式(49)即可得到梯形梁上底裂纹单元损伤程度计算公式D_et-uc(t表示梯梁trapezoidal beam，b表示上部up，c表示裂纹crack)：

为使单元损伤程度D_e获得较高的计算精度，需要满足δl/h≥1。

应力扩散部分梁段分段数目N不小于100。

实施例一：梯形梁下底裂纹算例

以一等腰梯形截面钢梁模型模拟简支梁，如图22所示。跨径为1000mm，100mm划分一个单元，一共10个单元，11个节点(图中模型上排数字为单元编号，下排数字为节点编号)。材料弹性模量为2.06×10⁵MPa，密度为7.9g/cm³；泊松比为0.25；上底b₁＝10mm，下底b₂＝20mm，梁高分别取三种情况h＝80mm，40mm，20mm，δl＝100。损伤模型基本样图如图23、图24，Ansys建模图如图25，采用实体单元和梁单元结合的建模方式，忽略次要因素，在含裂纹单元局部加密建模模拟裂纹。

模型实际损伤程度D_e0采用挠度曲率损伤识别理论式(61)定量。梁结构挠度曲率损伤识别理论是基于梁结构每个节点损伤前后的挠度曲率差实现损伤定位和损伤定量的一种损伤识别方法。结构上n号节点损伤前后的挠度曲率分别为：

式中w_n表示n号节点挠度，w_n″表示n号节点曲率，下标‘u’、‘d’分别表示未损伤状态和损伤状态。

单元损伤程度定量公式为：

先直接使用含裂纹矩形梁单元损伤程度计算方法计算，与模型损伤对比。采用Ansys建立有限元模型，模型损伤程度D_e0采用式(61)进行定量，理论损伤程度1(D_er-c)采用式(11)计算，理论损伤程度2(D_er-ci)采用截面惯性矩损伤换算裂纹相对高度ζ＝h_cr/h代入式(11)计算。损伤计算结果如表2～表4所示。

表2梯形梁下底裂纹损伤程度对比(h＝80)

表3梯形梁下底裂纹损伤程度对比(h＝40)

表4梯形梁下底裂纹损伤程度对比(h＝20)

由上表结果可知，矩形梁裂纹单元损伤程度计算方法直接计算梯形梁裂纹损伤程度误差较大，且损伤程度误差不稳定，D_e0和D_er-c的最大相对误差超过6％。而采用惯性矩损伤换算裂纹相对高度再代入矩形梁裂纹损伤计算方法计算，De和D_er-ci最大相对误差超过18％，多数裂纹高度较低的工况下，相对误差超过5％，计算效果较差。

以下进行使用裂纹应力扩散模型损伤计算公式(54)计算的损伤程度D_et-bc与D_e0进行对比。分别使用四种应力扩散模式的应力扩散角α代入式(54)计算，直线型、指数型、椭圆曲线Ⅰ型、椭圆曲线Ⅱ型计算结果为D_et-bc1、D_et-bc2、D_et-bc3、D_et-bc4，计算结果如下表5～表10。

表5梯形梁下底裂纹损伤程度对比(h＝80)

表6梯形梁下底裂纹损伤程度对比(h＝80)

表7梯形梁下底裂纹损伤程度对比(h＝40)

表8梯形梁下底裂纹损伤程度对比(h＝40)

表9梯形梁下底裂纹损伤程度对比(h＝20)

由各表中结果可知，四种应力扩散模式计算的下底裂纹损伤程度结果上基本相近。h＝80梯形梁模型的结果中，D_e0和D_et-bc1的相对误差均在1.7％以下。h＝40梯形梁模型的结果中，全部工况D_e0和D_et-bc1的相对误差均在2.5％以下，工况1的相对误差为2.41％，其D_e0＝4.28％，为小损伤，绝对误差仅0.103％。h＝20梯形梁模型的计算结果中，除工况1和2外其余工况D_e0和D_et-bc1的相对误差均在3.5％以下；工况1的相对误差为5.84％，其D_e0＝2.119％，为小损伤，绝对误差仅0.161％；工况2的相对误差为4.683％，其D_e0＝8.13％，绝对误差仅0.381％，h＝20算例理论计算效果相对较差，因其模型偏矮。其他几种模型的结果规律类似，误差稍大一些，直线型应力扩散模式效果整体上最好。

表10梯形梁下底裂纹损伤程度对比(h＝20)

实施例二：梯形梁上底裂纹算例

以一等腰梯形截面钢梁模型模拟简支梁，如图26所示。跨径为1000mm，100mm划分一个单元，一共10个单元，11个节点(图中模型上排数字为单元编号，下排数字为节点编号)。材料弹性模量为2.06×10⁵MPa，密度为7.9g/cm³；泊松比为0.25；上底b₁＝10mm，上底b₂＝20mm，梁高分别取三种情况h＝80mm，40mm，20mm，δl＝100。损伤模型基本样图如图27、图28。Ansys图如图29，采用实体单元和梁单元结合的建模方式，忽略次要因素，在含裂纹单元局部加密建模模拟裂纹。

采用Ansys建立有限元模型，先直接使用矩形梁裂纹单元损伤程度计算方法计算，模型损伤程度D_e0采用式(61)进行定量，理论损伤程度1(D_er-c)采用式(11)计算，理论损伤程度2(D_er-ci)采用截面惯性矩损伤(I_cr/I)^1/3换算裂纹相对高度ζ＝h_cr/h代入式(11)计算。损伤计算结果如表11～表13所示。

表11梯形梁上底裂纹损伤程度对比(h＝80)

表12梯形梁上底裂纹损伤程度对比(h＝40)

表13梯形梁上底裂纹损伤程度对比(h＝20)

由上表结果可知，以矩形梁裂纹损伤计算公式计算的D_er-c与D_e0相对误差较大，且误差不稳定，最大相对误差超过25％，多数工况的相对误差超过10％，误差很大。而采用惯性矩损伤换算裂纹相对高度代入矩形梁裂纹损伤计算公式得到的D_er-ci，与D_e0最大相对误差为4.82％，计算效果相对较好，但误差不稳定，并不适用于裂纹损伤计算。以下进行使用裂纹应力扩散模型单元损伤程度计算公式(58)计算的损伤程度D_et-uc与D_e0进行对比。分别使用四种应力扩散模式的应力扩散角α代入式(58)计算，直线型、指数型、椭圆Ⅰ型、椭圆Ⅱ型计算结果为D_et-uc1、D_et-uc2、D_et-uc3、D_et-uc4，如表14～表19。

表14梯形梁上底裂纹损伤程度对比(h＝80)

表15梯形梁上底裂纹损伤程度对比(h＝80)

表16梯形梁上底裂纹损伤程度对比(h＝40)

表17梯形梁上底裂纹损伤程度对比(h＝40)

表18梯形梁上底裂纹损伤程度对比(h＝20)

表19梯形梁上底裂纹损伤程度对比(h＝20)

由上面各表中结果可知，四种应力扩散模式计算的上底裂纹单元损伤程度D_et-uc结果上基本相近。以直线型应力扩散模式分析为例，h＝80梯形梁模型的结果中，D_e0和D_et-uc1的最大相对误差在工况2为3.372％，其余工况的相对误差均在3.3％以下。h＝40梯形梁模型的结果中，D_e0和D_et-uc1的相对误差除工况1其余均在2.5％以下，工况1的相对误差为2.556％，其D_e0＝3.35％，为小损伤。h＝20梯形梁模型的结果中，D_e0和D_et-uc1的相对误差除工况1其余均在5％以下；工况1的相对误差为5.416％，其D_e0＝1.64％为小损伤，绝对误差仅0.09％。

综合上面各表结果，应力扩散模式计算的梯形梁上底裂纹单元损伤程度较矩形梁裂纹附加弹簧方法的结果更好，随着梁截面高宽比的减小，相对误差增加。算例结果证明，应力扩散损伤程度计算方法对梯形梁上底裂纹损伤具有较好的计算效果。

以上所述仅为本发明的2个实施例，对其他凸形截面如三角形截面、正六边形截面等，本发明均能适用，凡依本发明申请专利范围所做的均等变化与修饰，皆属于本发明的涵盖范围。

Claims (4)

1.一种应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法，其特征在于包括如下步骤：

（1）对裂纹梯形梁设置合适的测点数量，相邻测点之间的梁段记为一个单元，测点单元长度为；

（2）根据裂纹高度和梯形梁截面高度h，计算裂纹相对高度/>，/>；

（3）根据裂纹相对高度计算裂纹附加弹簧刚度参数/>，可按应力强度因子手册计算；

（4）计算裂纹应力扩散角，通过矩形截面梁，按等效裂纹单元线刚度的方法计算，其计算公式：

；

其中，h为矩形梁截面高度，h_cr为裂纹高度，为矩形梁截面惯性矩，/>，b为矩形梁截面宽度，N为应力扩散部分一侧的梁段划分数目，/>为应力扩散部分第m段的矩形梁截面对应的惯性矩，/>，h_0m为第m梁段截面高度；/>，/>为应力扩散函数，依据具体的应力扩散模式进行计算；

（5）计算未损伤梯形梁截面的惯性矩I：

；

其中，h为梯形梁截面梁高，b₁为截面上底宽度，b₂为截面下底宽度；

（6）计算应力扩散部分梁段截面的惯性矩：

应力扩散部分一侧的梁段长为l₂，通过应力扩散模型，，将其等效为长的N个小段串联而成，N为应力扩散部分一侧的梁段划分数目，每个小段均为梯形截面，取小段中点位置的高度为小段的高度，第m个小段的无应力区高度h_m：

；

其中，h_m为第m梁段截面的高度；

下底裂纹时：

；

上底裂纹时：

；

（7）应力扩散法梯形梁单元损伤程度计算：

裂纹梯形梁单元损伤程度D_e计算方法为：

；

其中，为测点单元长度，/>为裂纹高度，/>为裂纹应力扩散角，/>为裂纹相对高度，/>，h为梯形梁截面高度，应力扩散部分一侧的梁段分成N份，第m段的截面惯性矩为I_dm，未损伤截面的惯性矩为I；

步骤（4）中，裂纹应力扩散角具体可按下述方法计算：

（a）直线型扩散模式时：

；

其中，为裂纹相对高度，/>，h为梯形梁截面高度，/>为裂纹高度，/>的单位为度；

（b）指数型扩散模式时：

；

；

（c）椭圆曲线I型扩散模式时：

；

；

（d）椭圆曲线II型扩散模式时：

；

。

2.根据权利要求1所述应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法，其特征在于：步骤（3）中，裂纹附加弹簧刚度参数可按下述方法计算：

；

；

其中，为裂纹相对高度，/>为裂纹应力强度因子系数。

3.根据权利要求1所述应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法，其特征在于：步骤（1）中，测点单元长度不小于截面高度h，并且测点数量不少于4。

4.根据权利要求1所述应力扩散法裂纹梯形梁单元损伤程度计算方法，其特征在于：步骤（4）、（6）、（7）中，应力扩散部分一侧的梁段划分数目N不小于100。