CN115685093A - 基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法，主要解决现有方法计算复杂度偏高和自由度受限的问题，其实现步骤是：构建级联稀疏多极化线阵；对所提阵列进行接收信号建模以及多维参数解耦；对接收信号协方差矩阵进行分块表示；重构虚拟等价级联均匀多极化线阵接收信号协方差矩阵；基于重构的协方差矩阵求解一维波达方向与极化参数；利用期望信号和干扰信号在空域和极化域的稀疏特性，设计鲁棒自适应波束成形器权矢量。本发明基于信号空域和极化域的多域稀疏性_，为提升波束成形方法的计算效率和自由度提供了可行的思路和有效的解决方案，可用于无线通信和雷达抗干扰。

Description

基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，尤其涉及面向稀疏多极化阵列的波束成形方法，具体是一种基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法，可用于无线通信和雷达抗干扰。

背景技术

波束成形技术能够实现信号增强和干扰抑制，在雷达、通信、声呐、医学成像等领域有着广泛应用，经典方法包括：最坏情况(worst-case)波束成形器、最小方差无失真响应(Minimum Variance Distortionless Response，MVDR)波束成形器、干扰协方差矩阵重建波束成形器等，且传统方法通常采用均匀阵列。与均匀阵列相比，稀疏阵列可以使用更少的物理阵元获得更大的阵列孔径，从而提高波束成形的性能。近年来，互质阵列、嵌套阵列、超级嵌套阵列等阵元位置具有闭式表达式的稀疏阵列引起了广泛关注。但是，现有稀疏阵列波束成形方法尚未考虑信号的极化多样性，且实际应用中普遍存在的极化失配现象将导致波束成形器输出性能的下降。

为避免极化失配问题，并有效利用期望信号与干扰在空域和极化域的参数差异，可设计具有信号极化信息处理能力的稀疏多极化阵列，并基于所设计的阵列提出空域和极化域的联合域鲁棒自适应波束成形方法。此外，现有的联合域鲁棒自适应波束成形方法，不可避免地包含一维或者多维积分运算，计算复杂度较高；且均局限于均匀多极化阵列，自由度受限于物理阵元的个数。因而，亟需降低波束成形器的计算复杂度，优化阵列结构，以实现适用于稀疏多极化阵列的鲁棒自适应波束成形。

发明内容

本发明的目的在于针对上述现有波束成形方法计算复杂度较高和自由度受限的问题，提出一种基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法。本发明基于信号空域和极化域的多域稀疏性，提出空域和极化域干扰加噪声协方差矩阵重建方法，为提升波束成形方法的计算效率和自由度提供了可行的思路和有效的解决方案。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法，该方法包含以下步骤：

(1)构建级联稀疏多极化线阵：构造由N_p个稀疏线性子阵级联得到的级联稀疏多极化线阵，相邻子阵间的距离为d，每个子阵由L₀个极化类型相同的磁环或偶极子构成，磁环的法线方向平行于某一坐标轴，偶极子的轴向方向平行于某一坐标轴，假设共有N_p′种不同极化类型的磁环或偶极子，则有2≤N_p′≤N_p，该级联稀疏多极化线阵由L＝L₀N_p个阵元构成；上述N_p个子阵的各阵元稀疏排布方式均为相同的完全可扩充稀疏阵列；每个子阵对应的虚拟阵元数为L_v，相邻虚拟阵元的间距为d；

(2)假设期望信号s₀(t)和M个干扰信号

入射至所设计级联稀疏多极化线阵，各信号均为远场窄带信号且互不相关；θ和φ分别表示方位角和俯仰角，当俯仰角φ＝90°时，入射信号位于x-y平面；所设计的级联稀疏多极化线阵在t时刻的接收信号x(t)建模为：

其中s_m(t)表示对应于期望信号或干扰信号的波形，n(t)是均值为零且与各信号源相互独立的高斯白噪声分量，

m＝0，1，…，M为所设计级联稀疏多极化线阵的空域和极化域联合域导引矢量，表示为：

其中θ₀表示期望信号的方位角，θ_m，m＝1，2，…，M，表示第m个干扰信号的方位角；γ₀、η₀表示期望信号的极化辅助角和极化相位差，γ_m、η_m，m＝1，2，…，M，表示第m个干扰信号的极化辅助角和极化相位差，a_h(θ_m)、a_v(θ_m)分别表示水平极化导引矢量和垂直极化导引矢量，对应于来波方向为θ_m的信号，

表示对应于第m个信号的极化矢量，包括对应于水平极化分量和垂直极化分量的参数cosγ_m和

其中

[·]^T表示转置操作，blkdiag[b_s×t，c_p×q]表示由括号内矩阵构造的对角分块矩阵，即：

其中b_s×t、c_p×q分别表示s×t维矩阵和p×q维矩阵，O_a×b表示a×b维零矩阵；

为将空域和极化域联合域导引矢量

中的纯空域导引矢量以及其余与角度参数相关因子sinθ_m、cosθ_m和极化矢量

解耦出来，级联稀疏多极化线阵接收信号进一步表示为：

其中a_s，m为所设计的级联稀疏多极化线阵的仅与空域参数相关的纯空域导引矢量：

其中λ表示信号波长，d_l，l＝1，2，…，L表示第l个阵元与坐标原点的距离，diag(a_s，m)表示基于矢量a_s，m中各元素生成的对角阵，J为L×6维选择矩阵，每行元素有且仅有一个为1，其余元素均为0，其表征从3个轴向与x、y或z轴平行的偶极子以及3个法线方向与x、y或z轴平行的磁环天线中选择的L个天线单元，

为表征各阵元极化类型的6×2维矩阵：

经过上述操作，纯空域导引矢量a_s，m和其余与天线极化特性相关的角度参数以及极化参数实现了解耦，便于所提波束成形方法的支撑性多维参数的分别求解估计；

(3)根据级联稀疏多极化线阵包含N_p个子阵的阵列结构，将纯空域导引矢量a_s，m的对角阵形式表示为N_p个分块的对角矩阵：

其中

则级联稀疏多极化线阵接收信号的协方差矩阵R_xx表示为：

其中

表示期望信号的功率，

m＝1，2，…，M，表示干扰信号的功率，σ²表示噪声功率，(·)^H表示共轭转置操作，I_n表示n×n维单位矩阵，ρ_11，m＝δ_11，m，

分别表示与各子阵中天线阵元的极化类型以及各子阵与第一个子阵的时延差相关的变量因子，其中

[δ_m]_m表示矢量δ_m的第n个元素，(·)^*表示共轭操作；实际情况下，R_xx根据K个采样快拍近似计算得到，即：

其中t_k表示第k个采样快拍对应的时刻；

根据R_xx的数据结构，为便于空域和极化域的联合平滑处理操作，R_xx表示为共

个与空域参数和极化域参数相关的分块矩阵：

其中各块矩阵

的维度均为L₀×L₀，且p，q＝1，2，…，N_p；

p＝1，2，…，N_p表示第p个子阵接收信号的自相关；

p，q＝1，2，…，N_p且p≠q表示第p个子阵与第q个子阵接收信号的互相关；

(4)为获得虚拟等价级联均匀多极化线阵所对应的虚拟信号，首先对

p，q＝1，2，…，N_p，进行矢量化操作得到矢量r^(pq)：

其中，

表示对矩阵

矢量化操作，即把矩阵

中的各列依次堆叠以形成一个新的矢量，

表示纯空域导引矩阵，

表示Khatri-Rao积，σ^(pq)＝[ρ_pq，0，ρ_pq，1，…，ρ_pq，M]^T，

表示L₀×L₀维单位阵的矢量化；由于各子阵阵元位置对应于完全可扩充稀疏阵列，矢量r^(pq)对应的虚拟阵列能够表示为含有2L_V-1个虚拟连续阵元的均匀阵列

将矢量r^(pq)中的元素以具有虚拟连续阵元的均匀阵列

的排列方式重新排序为对应于

的等价虚拟信号λ^(pq)：

其中

为各子阵对应的虚拟均匀阵列

中去除极化分量的纯空域导引矢量，

表示仅在第L_V个元素为1其余元素均为0的列矢量；

(5)为重构虚拟等价级联均匀多极化线阵各子阵接收信号的协方差矩阵，首先将虚拟矢量λ^(pq)依次分解为L_V个L_V×1维的虚拟子矢量：

其中

l″＝1，2，…，L_v，则

表示λ^(pq)中第1到第L_V个元素组成的矢量，

表示λ^(pq)中第2到第L_V+1个元素组成的矢量，

表示λ^(pq)中从第L_V到第2L_V-1个元素组成的矢量；对L_V个

进行列矢量合并操作，可得对应于虚拟等价级联均匀多极化线阵各子阵接收信号的自相关/互相关矩阵：

其中

表示虚拟等价级联均匀多极化线阵中第1个子阵的纯空域导引矢量；进而可得虚拟等价级联均匀多极化线阵接收信号协方差矩阵

其中

(6)基于重构的协方差矩阵求解一维波达方向与极化参数；

(7)干扰加噪声协方差矩阵表示为

可知，R_i+n的重构主要由

和噪声功率相关部分σ²I_L构成；噪声功率估计

由

的L_VN_p-M-1个较小的特征值取平均得到，

为R_xx的K次快拍采样

推导得到的虚拟等价级联均匀多极化线阵所对应的虚拟重构协方差矩阵，

通过求解由(M+1)×1维功率分布矢量

对应的矩阵P＝diag(p)得到：

其中||·||_F表示Frobenius范数，

上式中

和

为估计的期望信号参数，

和

m＝1，2，…，M为估计的M个干扰信号参数；基于期望信号和干扰信号在空域和极化域的稀疏特性，得到p的闭式解为：

p＝(B^HB)^-1B^Hr，

其中

，则重构的空域与极化域联合域干扰加噪声协方差矩阵

表示如下：

因此，利用期望信号和干扰信号在空域和极化域的联合域稀疏特性，重构干扰加噪声协方差矩阵；将

和

代入下式，即可求得联合空域与极化域的鲁棒自适应波束成形器权矢量：

则对级联稀疏多极化线阵进行所设计的波束成形器权矢量加权可得阵列输出为y(t)＝w^Hx(t)。

进一步地，步骤(1)中，构建级联稀疏多极化线阵，具体为：构造由N_p个相同稀疏排布方式级联组成的阵列，N_p个子阵的各阵元稀疏排布方式选择虚拟域差合阵(DifferenceCo-array)不含孔洞的最小冗余阵、嵌套阵或超级嵌套阵，每个子阵的天线极化特性相同，至少存在2种不同类型的极化天线；每个子阵对应的虚拟阵元数为L_v，第n_p个子阵的各阵元位置

表示为：

其中n_p＝1，2，…，N_p，c为L₀×1维矢量，表示第1个子阵中第1到第L₀个阵元的y轴坐标位置。

进一步地，步骤(2)中，L×6维选择矩阵J的构成方式具体为：J(l，n)表示矩阵J的第l行第n列元素，其不同列元素为1代表不同极化特性的偶极子和磁环，具体来说，J(l，1)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为轴向方向平行于x轴的偶极子；J(l，2)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为轴向方向平行于y轴的偶极子；J(l，3)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为轴向方向平行于z轴的偶极子；J(l，4)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为法线方向平行于x轴的磁环；J(l，5)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为法线方向平行于y轴的磁环；J(l，6)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为法线方向平行于z轴的磁环。

进一步地，步骤(4)中，将矢量r^(pq)中的元素以具有虚拟连续阵元的均匀阵列

的排列方式重新排序为对应于

的等价虚拟信号λ^(pq)，具体通过选择矩阵实现：首先对

p，q＝1，2，…，N_p，进行矢量化操作得到矢量r^(pq)；然后，定义

维选择矩阵Δ：

其中

表示矩阵Δ第l′行第

列元素，l′＝1，…，2L_v-1，

L₀-1≥i₁≥0，L₀≥i₂≥1，ω(l′-L_V，i₁，i₂)表示l′-L_V、i₁和i₂的函数，代表i₁和i₂取值组合满足

的索引组合数，则各子阵接收信号的自相关/互相关所对应的虚拟信号矢量λ^(pq)表示为：

λ^(pq)＝Δr^(pq)。

进一步地，步骤(6)中的一维波达方向和极化参数估计，采用以下方法：极化多重信号分类方法、极化子空间旋转不变方法或极化多重信号分类求根方法。

进一步地，步骤(6)中，通过极化多重信号分类求根方法进行一维波达方向估计，进而求解极化参数，具体为：首先对

进行特征分解，并将其对应的特征值从大到小排列，取后L_VN_p-M-1个较小特征值所对应的特征向量张成的子空间记为噪声子空间U；根据

的表达式以及虚拟阵列导引矢量与噪声子空间U的正交关系，可知：

进一步地，根据秩亏原理，可推得

其中det(·)表示求行列式操作；在所构建的级联稀疏多极化线阵不包含轴向或法线方向分别平行于三个坐标轴的六种偶极子和磁环时，矩阵J中的某些列元素为全零，导致

对所有的角度θ均为零；为避免上述情况出现，定义列选择矩阵

使得矩阵JF中不出现某些列天然均为零的情况；此时，有以下方程：

det[F^HJ^HΛ^H(z)UU^HA(z)JF]＝0，

其中

z为自变量，该方程的解为

则θ_m的闭式解为：

θ_m＝arcsin[λ(∠z_m)/2πd]，

其中∠(·)代表复数的相位；根据子空间正交原理，将估计的θ_m代入矩阵

并求解其最小特征值对应的与

平行的特征矢量

其中q_m是一个非零常量；根据步骤(2)中

的表达式可得极化参数γ_m、η_m的闭式解：

本发明与现有技术相比具有以下优点：

(1)本发明基于阵列天线的极化多样性以及多子阵级联的思想，构建了一种全新的级联稀疏多极化线阵，通过合理选择各子阵的稀疏排布方式和极化类型，不仅实现了阵列孔径扩展，还使得阵列具备极化敏感特性；

(2)本发明通过多域子阵平滑处理，实现了级联稀疏多极化线阵接收信号协方差矩阵到虚拟级联均匀多极化线阵接收信号协方差矩阵的转换，保障了稀疏多极化阵列接收数据与传统用于均匀多极化阵列的求根方法相适配；

(3)本发明基于期望信号和干扰信号在空域和极化域的多域稀疏性，计算信号功率估计值的闭式解，并给出了鲁棒自适应波束成形器的闭式表达式，有效避免了现有方法设计过程中所引入的计算复杂度较高的多维积分运算步骤。

附图说明

图1是本发明的总体流程框图。

图2是本发明所提级联稀疏多极化线阵的结构示意图。

图3是本发明中级联稀疏多极化线阵所对应的虚拟等价级联均匀多极化线阵结构示意图。

图4是本发明所提方法和现有方法在期望信号导引矢量已知的情况下输出信干噪比和输入信噪比的关系曲线。

图5是本发明所提方法和现有方法在期望信号导引矢量已知的情况下输出信干噪比和采样快拍数的关系曲线。

图6是本发明所提方法和现有方法在期望信号角度参数和极化参数存在固定偏差的情况下输出信干噪比和输入信噪比的关系曲线。

图7是本发明所提方法和现有方法在期望信号角度参数和极化参数存在固定偏差的情况下输出信干噪比和采样快拍数的关系曲线。

具体实施方式

以下参照附图，对本发明的技术方案作进一步的详细说明。

为了解决现有鲁棒自适应波束成形方法计算复杂度较高和自由度受限的问题，本发明提出了一种基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法。该方法基于信号空域和极化域的多域稀疏性，提出空域和极化域干扰加噪声协方差矩阵重建方法，为鲁棒自适应波束成形器的设计提供了可行的思路和有效的解决方案。参照图1，本发明的实现步骤如下：

步骤一：构建级联稀疏多极化线阵。为了保障阵列的极化信息处理能力，在阵元数一定的情况下实现阵列孔径扩展并降低阵元间互耦，构造由N_p个稀疏线性子阵级联组成的级联稀疏多极化线阵，相邻子阵间的距离为d，每个子阵由L₀个极化类型相同的磁环(其法线方向平行于某一坐标轴)或偶极子(其轴向方向平行于某一坐标轴)构成，假设共有N_p′种不同极化类型的磁环或偶极子，则该级联稀疏多极化线阵由L＝L₀N_p个阵元构成。该级联稀疏多极化线阵中的N_p个子阵至少由两种极化类型不同的磁环或偶极子构成，即2≤N_p′≤N_p。上述N_p个子阵的各阵元稀疏排布方式相同，可以选择某种特定的完全可扩充(FullyAugmentable)稀疏阵列，如最小冗余阵、嵌套阵或超级嵌套阵。每个子阵对应的虚拟阵元数为L_v，相邻虚拟阵元的间距为d，由此，第n_p个子阵的各阵元位置

可表示为：

其中n_p＝1，2，…，N_p，c为L₀×1维矢量，表示第1个子阵中第1到第L₀个阵元的y轴坐标位置。在取L₀＝3且c＝[0d 3d]^T时，所构建的级联稀疏多极化线阵结构如图2所示，其中[·]^T表示转置操作。

步骤二：级联稀疏多极化线阵接收信号建模以及多维参数解耦。假设期望信号s₀(t)和M个干扰信号

入射至步骤一所设计的级联稀疏多极化线阵，各信号均为远场窄带信号且互不相关。用θ和φ分别表示方位角和俯仰角，不失一般性地，当俯仰角φ＝90°时，入射信号位于x-y平面。所设计稀疏多极化线阵的空域和极化域联合域导引矢量

m＝0，1，…，M可表示为：

其中θ₀表示期望信号的方位角，θ_m，m＝1，2，…，M，表示第m个干扰信号的方位角；γ₀、η₀表示期望信号的极化辅助角和极化相位差，γ_m、η_m，m＝1，2，…，M，表示第m个干扰信号的极化辅助角和极化相位差，a_h(θ_m)、a_v(θ_m)分别表示水平极化导引矢量和垂直极化导引矢量，对应于来波方向为θ_m的信号，

表示对应于第m个信号的极化矢量(包括对应于水平极化分量和垂直极化分量的参数cosγ_m和

其中

)，blkdiag[b_s×t，c_p×q]表示由括号内矩阵构造的对角分块矩阵，即：

其中b_s×t、c_p×q分别表示s×t维矩阵和p×q维矩阵，O_a×b表示a×b维零矩阵，则所设计的级联稀疏多极化线阵在t时刻的接收信号x(t)可建模为：

其中s_m(t)表示对应于期望信号或干扰信号的波形，n(t)是均值为零且与各信号源相互独立的高斯白噪声分量。

为估计所提波束成形方法的支撑性多维参数方位角θ_m、极化辅助角γ_m和极化相位差η_m，需要对多维参数进行解耦，进而便于多维参数的分别求解估计。首先给出所设计的级联稀疏多极化线阵的仅与空域参数相关的纯空域导引矢量a_s，m：

其中λ表示信号波长，d_l，l＝1，2，…，L表示第l个阵元与坐标原点间的距离。

为便于将空域和极化域联合域导引矢量

中的纯空域导引矢量a_s，m以及其余与角度参数相关因子sinθ_m、cosθ_m和极化矢量

解耦出来，定义如下表征各阵元极化类型的6×2维矩阵：

则级联稀疏多极化线阵接收信号可进一步表示为：

其中diag(a_s，m)表示基于矢量a_s，m中各元素生成的对角阵，J为L×6维选择矩阵(每行元素有且仅有一个为1，其余元素均为0)，其表征从3个轴向与x、y或z轴平行的偶极子以及3个法线方向与x、y或z轴平行的磁环天线中选择的L个天线单元，J(l，n)表示矩阵J的第l行第n列元素(其不同列元素为1代表不同极化特性的偶极子和磁环)，具体来说，J(l，1)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为轴向方向平行于x轴的偶极子；J(l，2)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为轴向方向平行于y轴的偶极子；J(l，3)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为轴向方向平行于z轴的偶极子；J(l，4)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为法线方向平行于x轴的磁环；J(l，5)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为法线方向平行于y轴的磁环；J(l，6)＝1，l＝1，2，…，L表示第l个阵元为法线方向平行于z轴的磁环。例如，在图1中取N_p＝6，有J(1，1)＝J(2，1)＝J(3，1)＝1，J(4，2)＝J(5，2)＝J(6，2)＝1，…，J(16，6)＝J(17，6)＝J(18，6)＝1。

由于级联稀疏多极化线阵接收信号

中的参量diag(a_s，m)仅与空域参数θ_m有关，

仅与多极化线阵的天线不同极化特性有关，

仅与极化参数有关，因此通过定义上述选择矩阵J，纯空域导引矢量a_s，m和其余与天线极化特性相关的角度参数以及极化参数实现了解耦。

步骤三：对级联稀疏多极化线阵接收信号的协方差矩阵进行分块表示。为便于后续空域和极化域的联合平滑处理操作，进而实现所设计波束成形方法中多维支撑参数的求解估计，需要首先根据级联稀疏多极化线阵的多子阵结构，对级联稀疏多极化线阵接收信号的协方差矩阵进行分块表示。根据级联稀疏多极化线阵所包含的N_p个子阵的阵列结构，将纯空域导引矢量a_s，m的对角矩阵形式表示为N_p个分块的对角矩阵：

其中

则级联稀疏多极化线阵接收信号的协方差矩阵R_xx可表示为：

其中

表示期望信号的功率，

m＝1，2，…，M，表示干扰信号的功率，σ²表示噪声功率，(·)^H表示共轭转置操作，I_n表示n×n维单位矩阵，ρ_11，m＝δ_11，m，

分别表示与各子阵中天线阵元的极化类型以及各子阵与第一个子阵的时延差相关的变量因子，其中

表示矢量δ_m的第n个元素，(·)^*表示共轭操作。实际情况下，R_xx可根据K个采样快拍近似计算得到，即：

其中t_k表示第k个采样快拍对应的时刻。

由上述讨论可知，根据R_xx的数据结构，为便于空域和极化域的联合平滑处理操作，R_xx可表示为共

个与空域参数和极化域参数相关的分块矩阵：

其中各块矩阵

的维度均为L₀×L₀，且p，q＝1，2，…，N_p。

p＝1，2，…，N_p表示第p个子阵接收信号的自相关；

p，q＝1，2，…，N_p且p≠q表示第p个子阵与第q个子阵接收信号的互相关。由于各子矩阵拥有与组成级联稀疏多极化线阵的各子阵接收信号协方差矩阵相似的数据结构，因而后续以分块的形式实现空域和极化域的联合平滑处理非常易于操作。

步骤四：对所提阵列协方差矩阵的各分块子矩阵进行空域和极化域联合平滑处理操作，获得各子阵接收信号的自相关/互相关所对应的虚拟信号矢量。首先对

p，q＝1，2，…，N_p，进行矢量化操作得到矢量r^(pq)：

其中，

表示对矩阵

矢量化操作，即把矩阵

中的各列依次堆叠以形成一个新的矢量，

表示纯空域导引矩阵，

表示Khatri-Rao积，σ^(pq)＝[ρ_pq，0，ρ_pq，1，…，ρ_pq，M]^T，

由于各子阵阵元位置对应于完全可扩充稀疏阵列，矢量r^(pq)对应的虚拟阵列可表示为含有2L_V-1个虚拟连续阵元的均匀阵列

为了将矢量r^(pq)中的元素以具有虚拟连续阵元的均匀阵列

的排列方式重新排序为对应于

的等价虚拟信号，定义

维选择矩阵Δ：

其中

表示矩阵Δ第l′行第

列元素，l′＝1，…，2L_v-1，

L₀-1≥i₁≥0，L₀≥i₂≥1，ω(l′-L_V，i₁，i₂)表示l′-L_V、i₁和i₂的函数(代表i₁和i₂取值组合满足

的索引组合数)。接下来基于选择矩阵Δ，对矢量r^(pq)中元素重新排序为对应于

的等价虚拟信号λ^(pq)：

其中

为各子阵对应的虚拟均匀阵列

中去除极化分量的纯空域导引矢量，

表示仅在第L_V个元素为1其余元素均为0的列矢量。

步骤五：基于各子阵接收信号的自相关/互相关所对应的虚拟信号矢量，重构虚拟等价级联均匀多极化线阵各子阵接收信号的协方差矩阵。首先将虚拟矢量λ^(pq)依次分解为L_V个L_V×1维的虚拟子矢量：

其中

l″＝1，2，…，L_v，则

表示λ^(pq)中第1到第L_V个元素组成的矢量，

表示λ^(pq)中第2到第L_V+1个元素组成的矢量，

表示λ^(pq)中从第L_V到第2L_V-1个元素组成的矢量。对L_V个

进行列矢量合并操作，可得对应于虚拟等价级联均匀多极化线阵各子阵接收信号的自相关/互相关矩阵：

其中

表示虚拟等价级联均匀多极化线阵中第1个子阵的空域导引矢量。进而可得虚拟等价级联均匀多极化线阵接收信号协方差矩阵

其中

因此，级联稀疏多极化线阵接收信号的协方差矩阵R_xx可重构为其对应的虚拟等价均匀多极化线阵接收信号的协方差矩阵

该协方差矩阵

对应于结构为图3所示的虚拟等价级联均匀多极化线阵。重构的协方差矩阵

包含了水平极化参数与垂直极化参数解耦的数据信息，以及参数θ_m与极化参数分离的数据信息，因而便于后续支撑所设计波束成形方法的多维参数联合估计。

步骤六：基于重构的协方差矩阵求解一维波达方向与极化参数。通过引入极化多重信号分类方法、极化子空间旋转不变方法或极化多重信号分类求根方法，可以求得一维波达方向与极化参数估计结果。以极化多重信号分类求根方法为例，首先对

进行特征分解，并将其对应的特征值从大到小排列，取后L_VN_p-M-1个较小特征值所对应的特征向量张成的子空间记为噪声子空间U。根据

的表达式以及虚拟阵列导引矢量与噪声子空间U的正交关系，可知：

进一步地，根据秩亏原理，可推得

其中det(·)表示求行列式操作。在所构建的级联稀疏多极化线阵不包含轴向或法线方向分别平行于三个坐标轴的六种偶极子和磁环时，矩阵J中的某些列元素为全零，导致

对所有的角度θ均为零。为避免上述情况出现，定义列选择矩阵

使得矩阵JF中不出现某些列天然均为零的情况(以由轴向分别平行于三个坐标轴的三种偶极子组成的级联稀疏多极化线阵为例，其对应的选择矩阵为

)。此时，有以下方程：

det[F^HJ^HΛ^H(z)UU^HΛ(z)JF]＝0，

其中

z为变量，该方程的解为

则θ_m的闭式解为：

θ_m＝arcsin[λ(∠z_m)/2πd]，

其中∠(·)代表复数的相位。根据子空间正交原理，将估计的θ_m代入矩阵

并求解其最小特征值对应的与

平行的特征矢量

其中q_m是一个非零常量。根据步骤二中

的表达式可得极化参数γ_m、η_m的闭式解：

步骤七：利用期望信号和干扰信号在空域和极化域的稀疏特性，设计鲁棒自适应波束成形器权矢量。干扰加噪声协方差矩阵可表示为

可知，R_i+n的重构主要由

和噪声功率相关部分σ²I_L构成。噪声功率估计

由

的L_VN_p-M-1个较小的特征值取平均得到，

为R_xx的K次快拍采样

推导得到的虚拟等价级联均匀多极化线阵所对应的虚拟重构协方差矩阵，

可以通过求解由(M+1)×1维功率分布矢量

对应的矩阵P＝diag(p)得到：

其中||·||_F表示Frobenius范数，

上式中

和

为估计的期望信号参数，

和

m＝1，2，…，M为估计的M个干扰信号参数)。基于期望信号和干扰信号在空域和极化域的稀疏特性，p的闭式解为：

p＝(B^HB)^-1B^Hr，

其中

则重构的空域与极化域联合域干扰加噪声协方差矩阵

可以表示如下：

因此，利用期望信号和干扰信号在空域和极化域的联合域稀疏特性，可以重构干扰加噪声协方差矩阵。将

和

代入下式，即可求得联合空域与极化域的鲁棒自适应波束成形器权矢量：

则对级联稀疏多极化线阵进行所设计的波束成形器权矢量加权可得阵列输出为y(t)＝w^Hx(t)。

下面结合仿真实例对本发明的效果做进一步的描述。

仿真实例：采用所提的级联稀疏多极化线阵接收入射信号，取N_p＝3，d＝λ/2，其中第1个子阵各阵元的y轴坐标为(0，1，2，5，8)d，则全部阵元的y轴坐标为(0，1，2，5，8，9，10，11，14，17，18，19，20，23，26)d，对于选择矩阵J，有J(1，1)＝J(2，1)＝J(3，1)＝J(4，1)＝J(5，1)＝1，J(6，2)＝J(7，2)＝J(8，2)＝J(9，2)＝J(10，2)＝1，J(11，3)＝J(12，3)＝J(13，3)＝J(14，3)＝J(15，3)＝1，其余元素均为0。期望信号的参数{θ₀，γ₀，η₀}为{35°，25°，0°}；两个干扰信号的参数{θ_m，γ_m，η_m，m＝1，2}分别为{65°，35°，-60°}和{85°，80°，60°}。与本发明所提波束成形方法相比较的三维积分波束成形方法(Intergral-3D beamformer)是M维波束成形方法(Integral-MD beamformer)的三维形式，干扰信号参数(即方位角、极化辅助角和极化相位差)的积分区间分别为[θ_m-5°，θ_m+5°]，[γ_m-5°，γ_m+5°]和[η_m-5°，η_m+5°]。其余与本发明所提波束成形方法相比较的波束成形方法包括样本协方差矩阵求逆(samplematrix inversion，SMI)波束成形方法、对角加载样本协方差矩阵求逆(diagonal loadingsample matrix inversion，DL-SMI)波束成形方法和最坏情况(Worst-Case)波束成形方法。上述现有波束成形方法最初设计均未考虑信号的极化多样性，为公平比较，仿真中采用了上述波束成形思想向极化域拓展的波束成形方法，且所有用于比较的波束成形方法均采用所提的级联稀疏多极化线阵。对角加载样本协方差矩阵求逆波束成形方法的对角加载因子为10σ²，最坏情况波束成形方法的导引矢量误差范数的上界设置为ε＝1。期望信号、干扰信号和加性噪声均为均值为零的复高斯白信号。对每个天线，干噪比设为30dB。绘制输出信干噪声比(SINR)和输入信噪比(SNR)的关系曲线时，采样快拍数设置为50；绘制输出信干噪比和采样快拍数的关系曲线时，信噪比设置为20dB。分别考虑期望信号导引矢量已知和期望信号的角度参数和极化参数存在固定偏差的情况，每种情况均做500次蒙特卡洛实验。

首先考虑期望信号导引矢量已知的情况。绘制输出信干噪比和输入信噪比的关系曲线，如图4所示；绘制输出信干噪比和采样快拍数的关系曲线，如图5所示。从图4和图5中可以看出，对于很大范围内的输入信噪比，本发明所提波束成形方法的输出信干噪比与理想值十分接近，这说明了空域与极化域的联合域干扰加噪声协方差矩阵的精确重建。由于三维积分波束成形方法对噪声子空间的估计误差较敏感，因而其在低输入信噪比的情况下表现较差，而本发明所提方法则不受影响。此外，本发明所提波束成形方法每次实验的平均仿真时间为32.10毫秒；而三维积分波束成形方法由于要做复杂的积分运算，计算复杂度大大增加，每次实验的平均仿真时间为2.28秒。仿真所用平台为MATLAB 2020a，中央处理器为Intel(R)Core(TM)i7-10875H 2.30GHz。从图4和图5中也可以看出，在较高的输入信噪比和所有采样快拍数条件下，本发明所提波束成形方法比现有方法表现得更好，这是因为期望信号在相比较的现有波束成形方法所采用的采样协方差矩阵中占比较大，导致了空域和极化域的联合域信号自相消现象。

然后，考虑期望信号的角度参数和极化参数存在固定偏差的情况。每次实验中，期望信号和干扰信号的角度参数和极化参数(θ_m，γ_m，η_m)，m＝0，1，…，M，为(θ_m+0.5°，γ_m+0.5°，η_m+0.5°)，即所有参数均存在0.5°的固定偏差。当估计的参数超出2.5°误差范围(尤其在较低输入信噪比或有限采样快拍数的情况下)，期望信号和干扰信号的假定角度参数和极化参数分别在[θ_m-2.5°，θ_m+2.5°]，[γ_m-2.5°，γ_m+2.5°]和[η_m-2.5°，η_m+2.5°]中随机获得，作为先验信息。绘制输出信干噪比和输入信噪比的关系曲线，如图6所示；绘制输出信干噪比和采样快拍数的关系曲线，如图7所示。将图6和图7与图4和图5进行对比，可以发现，由于参数具有估计偏差，所有波束成形方法的输出性能均有所下降；在较高的输入信噪比下，三维积分波束成形方法比本发明所提方法的性能下降更为严重，这是因为三维积分波束成形方法对空域和极化域的联合域干扰加噪声协方差矩阵的重建更加不准确。

综上所述，本发明基于天线的极化多样性并利用多子阵级联的思想构建了一种全新的级联稀疏多极化线阵，既增加了阵列的自由度又使得阵列具有极化敏感特性，且基于多域子阵平滑处理技术，实现了级联稀疏多极化线阵输出协方差矩阵到虚拟级联均匀多极化线阵输出协方差矩阵的转换，使传统用于均匀多极化阵列的求根技术同样适用于稀疏多极化阵列，进而基于信号空域和极化域的多域稀疏性得到信号功率的闭式估计，并给出了鲁棒自适应波束成形器的闭式表达式，在保证优越性能的同时有效避免了现有相关鲁棒自适应波束成形方法中计算复杂度较高的多维积分运算操作。

以上所述仅为本说明书一个或多个实施例的较佳实施例而已，并不用以限制本说明书一个或多个实施例，凡在本说明书一个或多个实施例的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本说明书一个或多个实施例保护的范围之内。

Claims (6)

1.一种基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法，其特征在于，包含以下步骤：

(1)构建级联稀疏多极化线阵：构造由N_p个稀疏线性子阵级联得到的级联稀疏多极化线阵，相邻子阵间的距离为d，每个子阵由L₀个极化类型相同的磁环或偶极子构成，磁环的法线方向平行于某一坐标轴，偶极子的轴向方向平行于某一坐标轴，假设共有N_p′种不同极化类型的磁环或偶极子，则有2≤N_p′≤N_p，该级联稀疏多极化线阵由L＝L₀N_p个阵元构成；上述N_p个子阵的各阵元稀疏排布方式均为相同的完全可扩充稀疏阵列；每个子阵对应的虚拟阵元数为L_v，相邻虚拟阵元的间距为d；

(2)假设期望信号s₀(t)和M个干扰信号

入射至所设计级联稀疏多极化线阵，各信号均为远场窄带信号且互不相关；θ和φ分别表示方位角和俯仰角，当俯仰角φ＝90°时，入射信号位于x-y平面；所设计的级联稀疏多极化线阵在t时刻的接收信号x(t)建模为：

其中s_m(t)表示对应于期望信号或干扰信号的波形，n(t)是均值为零且与各信号源相互独立的高斯白噪声分量，

为所设计级联稀疏多极化线阵的空域和极化域联合域导引矢量，表示为：

其中θ₀表示期望信号的方位角，θ_m，m＝1,2,…,M，表示第m个干扰信号的方位角；γ₀、η₀表示期望信号的极化辅助角和极化相位差，γ_m、η_m，m＝1,2,…,M，表示第m个干扰信号的极化辅助角和极化相位差，a_h(θ_m)、a_v(θ_m)分别表示水平极化导引矢量和垂直极化导引矢量，对应于来波方向为θ_m的信号，

表示对应于第m个信号的极化矢量，包括对应于水平极化分量和垂直极化分量的参数cosγ_m和

其中

[·]^T表示转置操作，blkdiag[b_s×t,c_p×q]表示由括号内矩阵构造的对角分块矩阵，即：

其中b_s×t、c_p×q分别表示s×t维矩阵和p×q维矩阵，O_a×b表示a×b维零矩阵；

为将空域和极化域联合域导引矢量

中的纯空域导引矢量以及其余与角度参数相关因子sinθ_m、cosθ_m和极化矢量

解耦出来，级联稀疏多极化线阵接收信号进一步表示为：

其中a_s,m为所设计的级联稀疏多极化线阵的仅与空域参数相关的纯空域导引矢量：

其中λ表示信号波长，d_l，l＝1,2,…,L表示第l个阵元与坐标原点的距离，diag(a_s,m)表示基于矢量a_s,m中各元素生成的对角阵，J为L×6维选择矩阵，每行元素有且仅有一个为1，其余元素均为0，其表征从3个轴向与x、y或z轴平行的偶极子以及3个法线方向与x、y或z轴平行的磁环天线中选择的L个天线单元，

为表征各阵元极化类型的6×2维矩阵：

经过上述操作，纯空域导引矢量a_s,m和其余与天线极化特性相关的角度参数以及极化参数实现了解耦，便于所提波束成形方法的支撑性多维参数的分别求解估计；

(3)根据级联稀疏多极化线阵包含N_p个子阵的阵列结构，将纯空域导引矢量a_s,m的对角阵形式表示为N_p个分块的对角矩阵：

其中

则级联稀疏多极化线阵接收信号的协方差矩阵R_xx表示为：

其中

表示期望信号的功率，

表示干扰信号的功率，σ²表示噪声功率，(·)^H表示共轭转置操作，I_n表示n×n维单位矩阵，ρ_11,m＝δ_11,m，

ρ_22,m＝δ_22,m，

分别表示与各子阵中天线阵元的极化类型以及各子阵与第一个子阵的时延差相关的变量因子，其中

[δ_m]_n表示矢量δ_m的第n个元素，(·)^*表示共轭操作；实际情况下，R_xx根据K个采样快拍近似计算得到，即：

其中t_k表示第k个采样快拍对应的时刻；

根据R_xx的数据结构，为便于空域和极化域的联合平滑处理操作，R_xx表示为共

个与空域参数和极化域参数相关的分块矩阵：

其中各块矩阵

的维度均为L₀×L₀，且p,q＝1,2,…,N_p；

表示第p个子阵接收信号的自相关；

且p≠q表示第p个子阵与第q个子阵接收信号的互相关；

(4)为获得虚拟等价级联均匀多极化线阵所对应的虚拟信号，首先对

进行矢量化操作得到矢量r^(pq)：

其中，

表示对矩阵

矢量化操作，即把矩阵

中的各列依次堆叠以形成一个新的矢量，

表示纯空域导引矩阵，

表示Khatri-Rao积，σ^(pq)＝[ρ_pq,0,ρ_pq,1,…,ρ_pq,M]^T，

表示L₀×L₀维单位阵的矢量化；由于各子阵阵元位置对应于完全可扩充稀疏阵列，矢量r^(pq)对应的虚拟阵列能够表示为含有2L_V-1个虚拟连续阵元的均匀阵列

(-L_V+2)d,…,-d,0,d,…,(L_V-2)d,(L_V-1)d]；将矢量r^(pq)中的元素以具有虚拟连续阵元的均匀阵列

的排列方式重新排序为对应于

的等价虚拟信号λ^(pq)：

其中

为各子阵对应的虚拟均匀阵列

中去除极化分量的纯空域导引矢量，

表示仅在第L_V个元素为1其余元素均为0的列矢量；

(5)为重构虚拟等价级联均匀多极化线阵各子阵接收信号的协方差矩阵，首先将虚拟矢量λ^(pq)依次分解为L_V个L_V×1维的虚拟子矢量：

其中

则

表示λ^(pq)中第1到第L_V个元素组成的矢量，

表示λ^(pq)中第2到第L_V+1个元素组成的矢量，

表示λ^(pq)中从第L_V到第2L_V-1个元素组成的矢量；对L_V个

进行列矢量合并操作，可得对应于虚拟等价级联均匀多极化线阵各子阵接收信号的自相关/互相关矩阵：

其中

表示虚拟等价级联均匀多极化线阵中第1个子阵的纯空域导引矢量；进而可得虚拟等价级联均匀多极化线阵接收信号协方差矩阵

其中

(6)基于重构的协方差矩阵求解一维波达方向与极化参数；

(7)干扰加噪声协方差矩阵表示为

可知，R_i+n的重构主要由

和噪声功率相关部分σ²I_L构成；噪声功率估计

由

的L_VN_p-M-1个较小的特征值取平均得到，

为R_xx的K次快拍采样

推导得到的虚拟等价级联均匀多极化线阵所对应的虚拟重构协方差矩阵，

通过求解由(M+1)×1维功率分布矢量

对应的矩阵P＝diag(p)得到：

其中||·||_F表示Frobenius范数，

上式中

和

为估计的期望信号参数，

和

为估计的M个干扰信号参数；基于期望信号和干扰信号在空域和极化域的稀疏特性，得到p的闭式解为：

p＝(B^HB)^-1B^Hr，

其中

则重构的空域与极化域联合域干扰加噪声协方差矩阵

表示如下：

因此，利用期望信号和干扰信号在空域和极化域的联合域稀疏特性，重构干扰加噪声协方差矩阵；将

和

代入下式，即可求得联合空域与极化域的鲁棒自适应波束成形器权矢量：

则对级联稀疏多极化线阵进行所设计的波束成形器权矢量加权可得阵列输出为y(t)＝w^Hx(t)。

2.根据权利要求1所述的基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法，其特征在于，步骤(1)中，构建级联稀疏多极化线阵，具体为：构造由N_p个相同稀疏排布方式级联组成的阵列，N_p个子阵的各阵元稀疏排布方式选择虚拟域差合阵不含孔洞的最小冗余阵、嵌套阵或超级嵌套阵，每个子阵的天线极化特性相同，至少存在2种不同类型的极化天线；每个子阵对应的虚拟阵元数为L_v，第n_p个子阵的各阵元位置

表示为：

其中n_p＝1,2,…,N_p，c为L₀×1维矢量，表示第1个子阵中第1到第L₀个阵元的y轴坐标位置。

3.根据权利要求1所述的基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法，其特征在于，步骤(2)中，L×6维选择矩阵J的构成方式具体为：J(l,n)表示矩阵J的第l行第n列元素，其不同列元素为1代表不同极化特性的偶极子和磁环，具体来说，J(l,1)＝1，l＝1,2,…,L表示第l个阵元为轴向方向平行于x轴的偶极子；J(l,2)＝1，l＝1,2,…,L表示第l个阵元为轴向方向平行于y轴的偶极子；J(l,3)＝1，l＝1,2,…,L表示第l个阵元为轴向方向平行于z轴的偶极子；J(l,4)＝1，l＝1,2,…,L表示第l个阵元为法线方向平行于x轴的磁环；J(l,5)＝1，l＝1,2,…,L表示第l个阵元为法线方向平行于y轴的磁环；J(l,6)＝1，l＝1,2,…,L表示第l个阵元为法线方向平行于z轴的磁环。

4.根据权利要求1所述的基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法，其特征在于，步骤(4)中，将矢量r^(pq)中的元素以具有虚拟连续阵元的均匀阵列

的排列方式重新排序为对应于

的等价虚拟信号λ^(pq)，具体通过选择矩阵实现：首先对

进行矢量化操作得到矢量r^(pq)；然后，定义

维选择矩阵Δ：

其中

表示矩阵Δ第l′行第

列元素，l′＝1,…,2L_v-1，

L₀-1≥i₁≥0，L₀≥i₂≥1，ω(l′-L_V,i₁,i₂)表示l′-L_V、i₁和i₂的函数，代表i₁和i₂取值组合满足

的索引组合数，则各子阵接收信号的自相关/互相关所对应的虚拟信号矢量λ^(pq)表示为：

λ^(pq)＝Δr^(pq)。

5.根据权利要求1所述的基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法，其特征在于，步骤(6)中的一维波达方向和极化参数估计，采用以下方法：极化多重信号分类方法、极化子空间旋转不变方法或极化多重信号分类求根方法。

6.根据权利要求1所述的基于级联稀疏多极化线阵的鲁棒自适应波束成形方法，其特征在于，步骤(6)中，通过极化多重信号分类求根方法进行一维波达方向估计，进而求解极化参数，具体为：首先对

进行特征分解，并将其对应的特征值从大到小排列，取后L_VN_p-M-1个较小特征值所对应的特征向量张成的子空间记为噪声子空间U；根据

的表达式以及虚拟阵列导引矢量与噪声子空间U的正交关系，可知：

进一步地，根据秩亏原理，可推得

其中det(·)表示求行列式操作；在所构建的级联稀疏多极化线阵不包含轴向或法线方向分别平行于三个坐标轴的六种偶极子和磁环时，矩阵J中的某些列元素为全零，导致

对所有的角度θ均为零；为避免上述情况出现，定义列选择矩阵

使得矩阵JF中不出现某些列天然均为零的情况；此时，有以下方程：

det[F^HJ^HΛ^H(z)UU^HΛ(z)JF]＝0，

其中

z为自变量，该方程的解为

则θ_m的闭式解为：

θ_m＝arcsin[λ(∠z_m)/2πd]，

其中∠(·)代表复数的相位；根据子空间正交原理，将估计的θ_m代入矩阵

并求解其最小特征值对应的与

平行的特征矢量

其中q_m是一个非零常量；根据步骤(2)中

的表达式可得极化参数γ_m、η_m的闭式解：

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