CN114384800A - 一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，首先利用径向基神经网络逼近具有输入信号延时的未知非线性系统中的未知函数，将未知函数表示成已知函数，然后基于反推控制技术，并在反推控制的第一步构建Funnel函数，通过坐标变换将跟踪误差限制在Funnel函数内；在反推控制的最后一步设计输入信号延时补偿函数，将具有输入信号延时的未知非线性系统转换成无延时的系统；同时使反推控制每一步设计的虚拟控制律通过基于正时变积分函数设计的动态面得到新的虚拟控制信号，作为下一步的虚拟控制量，直到设计出实际控制律。本发明针对一类带有输入信号延时的未知非线性系统，能有效避免传统动态面存在的边界层无差问题，使得系统跟踪性能更好。

Description

一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法

技术领域

本发明属于未知非线性系统的跟踪控制技术领域，涉及一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法。

背景技术

近几十年，带有输入信号延时的未知非线性系统的跟踪控制问题得到众多研究者的关注。能够保证设计的控制器满足系统的稳态性能、瞬态性能及精确的跟踪性能是十分重要的。现在处理带有输入信号延时的未知非线性系统的基本是预测反馈控制方法和Pade逼近法，预测反馈控制方法一直是输入信号延时控制的基本方法之一，由于分布特性，传统的基于预测的方法在实际应用中难以实施，且系统的输入信号延时比较大时跟踪误差比较大，跟踪效果不佳，甚至会跟踪发散。虽然截断预测反馈控制方案能够避免反馈律无穷维性问题，但仍未解决输入延时必须小的问题。Pade逼近法被广泛应用于带有输入时滞的严格反馈非线性系统。因为输入延时需要进行Laplace变换，逼近误差要求趋于零，所以Pade逼近法仅能处理较小的时滞系统。以上控制方法对系统的输入信号延时比较大时跟踪误差比较大，跟踪效果不佳，甚至会跟踪发散。在实际的生产应用中对输入信号延时波动较大的系统存在极大的安全隐患，在高精尖的系统跟踪问题中无法应用。

发明内容

本发明的目的是解决现有技术中存在的上述问题，提供一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：

一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，首先利用径向基神经网络逼近具有输入信号延时的未知非线性系统中的未知函数，将未知函数表示成已知函数；然后基于反推控制技术，并在反推控制的第一步构建Funnel函数，通过坐标变换将跟踪误差(即输出与期望轨迹之间的误差)限制在Funnel函数内；在反推控制的最后一步设计输入信号延时补偿函数，将具有输入信号延时的未知非线性系统转换成无延时的系统；同时使反推控制每一步设计的虚拟控制律通过基于正时变积分函数设计的动态面得到新的虚拟控制信号，作为下一步的虚拟控制量，直到设计出实际控制律，不仅避免了反推控制中存在的“微分爆炸”问题，而且消除了动态面边界层误差，保证了系统跟踪误差收敛到零；

基于正时变积分函数设计的动态面如下：

其中，

为边界层误差，

为虚拟控制律，α_i为虚拟控制律通过所述动态面后得到的新的虚拟控制信号，α_i(0)为α_i的初值，

为M_i的估计值，M_i为一个未知正的常数，e_i为第i个位置误差，τ_i是动态面的时间常数，σ(t)是正时变积分函数，满足以下条件：

其中，σ₁和σ₂是正的常数，t表示时间；

所述输入信号延时补偿函数为：

其中，h为输入信号延时补偿函数，λ为已知正常数，u(t-τ(t))为具有输入信号延时的未知非线性系统的输入，τ(t)为已知时变输入延时，u(t)为具有输入信号延时的未知非线性系统无延时的输入；

构建的Funnel函数为：

其中，

为Funnel函数，ρ₀＞ρ_∞＞0，ρ₀+ρ_∞为

的初始值，

且

e(0)为跟踪误差的初始值，a为指数函数的收敛率，ρ₀,ρ_∞,a为正的设计参数。

作为优选的技术方案：

如上所述的一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，径向基神经网络的模型如下：

对于任何未知连续的函数f(x)，存在径向基神经网络W^TΦ(x)如下：

其中，ε(x)表示神经网络的逼近误差，

为径向基神经网络的理想权值，

是基函数向量，l＞1是径向基神经网络神经元的个数。

如上所述的一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，在反推控制的第一步通过坐标变换，将跟踪误差限制在Funnel函数内，具体表示为：跟踪误差e₁的Funnel误差变量为

表明跟踪误差e₁始终在Funnel函数

范围内变化，所以当跟踪误差e₁逼近

函数时，s会增长，跟踪误差e₁减小时，s也会相应的减少。

如上所述的一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，利用输入信号延时补偿函数

将具有输入信号延时的未知非线性系统转换成无延时的系统的过程为：在反推控制的最后一步(step n)中利用设计的位置误差e_n＝x_n-α_n-1-h，将e_n对时间求导，结果为

该结果中已经不再含有u(t-τ(t))，即将具有输入延时的系统转换成无延时的系统；其中e_n为第n步位置误差，α_n-1为第n-1步的虚拟控制律通过所述动态面后得到的新的虚拟控制信号，f_n为具有输入信号延时的未知非线性系统中的未知函数，λ为已知正常数，h为输入信号延时补偿函数。

如上所述的一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，反推控制的具体过程为：

对具有输入信号延时的未知非线性系统：

y＝x₁

其中：

为系统的状态向量，u(t-τ(t))是具有输入信号延时的未知非线性系统带有延时的输入，y是具有输入信号延时的未知非线性系统的输出，τ(t)是已知时变输入延时，

是一个未知光滑连续非线性的函数；

设计位置误差如下：

e₁＝y-y_r

e_i＝x_i-α_i-1，i＝2,…,n-1；

e_n＝x_n-α_n-1-h

其中，α_i-1是第i-1步设计的虚拟控制律通过所述动态面后得到的新的虚拟控制信号，y_r为期望轨迹；

(1)根据Funnel控制则跟踪误差e₁的Funnel的误差变量为：

则s关于时间的导数为：

其中，

根据径向基神经网络

为了简便将

和

简写成Φ₁和ε₁，得：

其中，W₁为第一个径向基神经网络的权值，Φ₁为第一个神经网络径向基函数，ε₁为第一个径向基神经网络的逼近误差，选择第一个虚拟控制律

以及第一个径向基神经网络权值

的自适应律与第一个神经网络逼近误差

的自适应律为：

其中，c₁,γ_W1和γ_ε1是正的设计参数，

分别为W₁,ε₁的估计值；

使虚拟控制律

通过基于正时变积分函数设计的动态面得到新的虚拟控制信号α₁，而不是直接用

作为第2个位置误差；

由于反推控制方法存在固有的“微分爆炸”，这极大的增加了计算负担，为减小计算负担，引入了动态面，与以往的研究不同，本发明使用的是非线性的动态面，不仅能避免“微分爆炸”，而且可以消除边界层误差。

(2)i＝2,…,n-1，第i个位置误差e_i为：

e_i＝x_i-α_i-1；

根据径向基神经网络

为了简便将

和

简写成Φ_i和ε_i，则e_i关于时间的导数为：

选择第i个虚拟控制律

以及第i个径向基神经网络权值

的自适应律与第i个神经网络逼近误差

的自适应律为：

其中，c_i,γ_Wi和γ_εi是正的设计参数，

分别为W_i,ε_i的估计值；

使

通过基于正时变积分函数设计的动态面得到新的虚拟控制信号α_i，而不是直接用

作为第i+1个位置误差；

(3)第n个位置误差e_n为：

e_n＝x_n-α_n-1-h；

根据径向基神经网络

为了简便将

和

简写成Φ_n和ε_n，则e_n关于时间的导数为：

选择实际控制律u(t)以及第n个径向基神经网络权值

的自适应律与第n个神经网络逼近误差

的自适应律为：

其中，c_n,γ_Wn和γ_εn是正的设计参数，

为W_n,ε_n的估计值。

本发明的原理如下：

对于带有输入信号延时的未知非线性系统，现有技术有利用预测器反馈方法处理输入信号延时的问题，但存在反馈律无限性的问题，因非线性系统的状态存在非线性和不确定性难以预测，需要非线性函数满足Lipschitz条件，且基于预测器反馈方法的控制器设计既无法保证系统的瞬态性能，又对大延时处理效果不佳。本发明采用自适应反推控制方法设计控制器。对于输入信号延时问题，设计了输入信号延时的补偿函数，通过补偿函数将带有输入信号延时的未知非线性系统转换成无输入信号延时的系统，该补偿方案简化了控制器设计结构，减轻了运算负担，且满足大延时需求。但是自适应反推控制技术中存在对虚拟控制律的重复微分，加重了控制器的计算负担，且当系统的阶数比较大时，设计的控制器的结构也会变得比较复杂，不利于实际工程的实施。为解决因重复微分导致的“微分爆炸”问题，本发明不同于以往研究的动态面，利用基于正时积分函数设计的新型动态面，不仅解决了“微分爆炸”问题，而且消除了边界层误差，使得系统的最终跟踪误差渐近收敛到零。同时本发明利用Funnel控制技术有效的保证系统的稳态和瞬态性能，既满足设计初期的性能要求，又减少后期调试中的人力成本和时间成本。和预测反馈方法处理的输入信号延时相比，本发明利用新型动态面技术并设计了输入信号延时的补偿函数，不仅能保证大延时的跟踪效果，而且简化了设计结构，减轻了计算负担，保证最终的跟踪误差收敛到零，在工程上易于实现。由于在许多应用环境下，需要对含有输入信号延时的系统实现可靠的、高精度的控制，因此本发明具有不可替代的作用。在医疗卫生、航空航天和5G应用等高精尖的产业存在大量关于输入信号延时的控制问题，因此本发明具有十分重要的理论价值和应用价值。

有益效果：

本发明的优点在于针对一类带有输入信号延时的未知非线性系统，利用径向基神经网络和Funnel结合新型动态面设计了输入信号延时的自适应控制方案，可以有效地避免传统动态面存在的边界层无差问题，使得系统跟踪性能更好，可对航空航天、医疗，5G远程协助等机构的高可靠、高精度控制提供坚实的保障，具有较大的经济效益。

附图说明

图1为本发明实施步骤流程框图；

图2为仿真分析得到的系统的输出y和期望轨迹y_r的曲线图；

图3为仿真分析得到的跟踪误差e₁与Funnel函数的曲线图；

图4为仿真分析得到的神经网络误差和

自适应律图；

图5为仿真分析得到的控制律u的曲线图。

具体实施方式

下面结合具体实施方式，进一步阐述本发明。应理解，这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。此外应理解，在阅读了本发明讲授的内容之后，本领域技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定的范围。

下面将对本发明做进一步的详细说明。

本发明中所涉及到的符号及其含义对应关系分别如下：

A的估计(A一个通用字母，可替换)

A的微分

为真实值和估计值的误差

A^T A的转置

t 时间

x_i 第i个状态(位置)

τ_i 第i个动态面的时间常数

第i个虚拟控制律

α_i 第i个虚拟控制律通过所述动态面后得到新的虚拟控制信号

u(t) 实际控制律

z_i 第i个边界层误差

Ω_i 紧集i

M_i 当自变量在紧集Ω₁×Ω₂中时函数的最大值

e₁ 跟踪误差

e_i 第i个位置误差，i＝2,…,n

α_i(0) α_i的初值

σ(t) 正时变积分函数

σ₁，σ₂ 正的常数

h 输入信号延时补偿函数

λ 已知正常数

u(t-τ(t)) 具有输入信号延时的未知非线性系统的输入

τ(t) 已知时变输入延时

u(t) 具有输入信号延时的未知非线性无延时的输入

Funnel函数

ρ₀,ρ_∞,a 正的常数

e(0) 跟踪误差的初始值

s 跟踪误差e₁的Funnel误差变量

f_i(·) 未知光滑连续非线性的函数，i＝1,…,n

y 具有输入信号延时的未知非线性系统的输出

y_r 期望轨迹

i维实数集

||·|| 欧几里得范数

W_i 第i个径向基神经网络的权值

第i个径向基函数

第i个径向基神经网络的逼近误差，为简便简写成ε_i

c_i,γ_Wi,γ_εi 正的设计参数，i＝1,…,n

∞ 无穷

|·| 绝对值

Ω_x 关于x的紧集

l 神经元个数

u_i＝(u₁,…,u_q) 径向基函数的中心点

η 径向基的宽度

sup 上界

exp 自然底数

argmin{} 满足{}内的最小值

d(t) Funnel与误差距离

时变的控制增益

连续有界函数

L_i 第i个Lyapunov函数

γ_Mj 正的设计参数，j＝1,…,n-1

σ 大于零的常数

不等式里面的ι和σ只是代表，没有实际意义

一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，其控制结构如图1所示，具体步骤如下：

步骤1：模型建立

对具有输入信号延时的未知非线性系统，抽象模型如下：

其中：

为系统的状态向量，u(t-τ(t))是具有输入信号延时的未知非线性系统带有延时的输入，y是具有输入信号延时的未知非线性系统的输出，τ(t)是已知时变输入延时；

(这里是映射关系，表示f(·)自变量为n维，最后得到一个一维的结果)，是一个未知光滑连续非线性的函数，t表示时间。

为了补偿输入信号延时的影响，设计了如下补偿函数：

其中，λ为已知正常数，u(t)为具有输入信号延时的未知非线性系统无延时的输入。

据反推控制方法，各个位置误差设计参考如下：

e₁＝y-y_r

e_i＝x_i-α_i-1，i＝2,…,n-1 (3)

e_n＝x_n-α_n-1-h

其中α_i-1是第i-1步设计的虚拟控制律通过动态面后得到的新的虚拟控制信号，y_r为期望轨迹。

步骤2：控制器设计

引理1：定义紧集

(q的取值由实际逼近的函数决定)，对于任何未知连续的函数f(·)存在径向基神经网络W^TΦ(x)如下：

其中，ε(x)表示神经网络的逼近误差，

是基函数向量，l＞1是径向基神经网络神经元的个数，基函数选择高斯径向基函数：

其中，u_i＝[u₁,…,u_q]^T为径向基函数的中心点，η_i为径向基的宽度，W＝[w₁,…w_l]^T是径向基神经网络的理想权值，且被定义为：

引理2：Funnel控制是利用时变的控制增益

来控制相对阶为1或者2的已知高增益系统S的一种控制方法。系统S由以下距离估计：

其中

为Funnel函数，e(t)为误差，||·||为欧几里得范数。且该距离由控制输入

的Funnel控制器控制：

其中，ψ(t)是变换因子；

定义Funnel函数

为连续有界函数，对于t≥0满足

且

定义如下：

(此公式意思为映射关系，t为自变量，

为映射关系，

为映射后的结果)

则控制增益

被更新如下：

控制器的设计流程如图1所示；

Step1根据引理2，跟踪误差e₁的Funnel的误差变量为：

则s关于时间t的导数为：

其中

由公式(1)，

为未知函数，根据引理1知：

为了简便将

和

简写为Φ₁和ε₁，则

选择第一个虚拟控制律

以及第一个径向基神经网络权值

与第一个神经网络逼近误差

的自适应律为：

其中，c₁,γ_W1和γ_ε1是正的设计参数，

分别为W₁,ε₁的估计值。

设计Lyapunov函数L₁如下：

由公式(15)～(17)，L₁的导数为：

其中，

由于反推控制方法存在固有的“微分爆炸”，这极大的增加了计算负担，为减小计算负担，引入了动态面，与以往的研究不同，本文使用的是动态面，不仅能避免“微分爆炸”，而且可以消除边界层误差。让虚拟控制律

通过该动态面得到新的虚拟控制信号α₁，而不是直接用

作为第i+1个位置误差。基于正时变积分函数设计的动态面设计如下：

其中

为边界层误差，

为第i个虚拟控制律，α_i为虚拟控制律通过动态面后得到的新的虚拟控制信号，

为M_i的估计值，M_i将在后面详细介绍，τ_i是动态面的时间常数。σ(t)是正时变积分函数，满足以下条件：

其中σ₁和σ₂是正的常数，t表示时间。

Step i根据公式(3)，第i个位置误差e_i(i＝2,…,n-1)为：

e_i＝x_i-α_i-1 (22)

则

由于

为未知函数，根据引理1知：

为了简便将

和

简写成Φ_i和ε_i，则：

选择第i个虚拟控制律

以及第i个径向基神经网络权值

的自适应律与第i个神经网络逼近误差

的自适应律为：

其中，c_i,γ_Wi和γ_εi是正的设计参数，

为W_i,ε_i的估计值。

设计Lyapunov函数L_i如下：

其中，

由公式(26)～(28)，L_i的导数为：

使

通过基于正时变积分函数设计的动态面得到新的虚拟控制信号α_i，而不是直接用

作为第i+1个位置误差。

Step n根据公式(3)，第n个位置误差e_n为：

e_n＝x_n-α_n-1-h (31)

则

由于

为未知函数，根据引理1知：

为了简便将

和

简写成Φ_n和ε_n，则：

选择实际控制律u(t)以及第n个径向基神经网络权值的自适应律

与第n个神经网络逼近误差的自适应律

为：

其中，c_n,γ_Wn和γ_εn是正的设计参数，

分别为W_n,ε_n的估计值。

设计Lyapunov函数L_n如下：

其中，

由公式(35)～(37)，L_n的导数为：

步骤3：稳定性分析

输入信号延时的未知非线性系统的稳定性和渐近误差收敛到零在这一部分实现。对边界层误差z_i(1≤i≤n-1)求导如下：

其中B_i(·)是连续函数。

选择Lyapunov函数L如下：

其中γ_Mj,j＝1,…,n-1为正的设计参数。

定义紧集Ω₁和Ω₂：

Ω₂＝{L(t)≤L₀} (44)

其中B₀,L₀为一个正的常数。σ(t)和

是有界的函数，Ω₁×Ω₂也是一个紧集，所以在Ω₁×Ω₂中存在一个正的M_i满足|B_i(·)|≤M_i。用

估计未知的M_i，且

L求导得：

根据不等式

其中σ＞0和

则：

取自适应律

如下：

由式(48)得：

对式(49)在时间[0,t]内积分得：

其中，ω为积分变量，没有实际意义，由式(50)知

和

是有界的，因此

和实际控制律u(t)是有界的。根据公式(50)有：

根据Barbalat引理，由式(51)得：

式(52)表明跟踪误差可以渐近收敛到零。

步骤4：设计结束

整个设计过程分为四大步骤。第一步对输入信号延时未知非线性系统进行抽象建模，本模型的未知函数可以包含内外部扰动和带有未知参数的函数，该模型涵盖范围宽，应用范围广。第二步提出了基于反推控制技术的控制器设计过程，通过径向基神经网络逼近系统中的未知函数，为每一步设计虚拟控制律，并让虚拟控制律通过新型非线性动态面，且在最后控制律的设计中通过补偿函数消除输入信号延时的影响。第三步对设计的控制器进行稳定性分析，确保在实际的应用中能稳定运行。通过Barbalat引理得出系统最终收敛到零。经过上述各步骤后，设计结束。

步骤5：应用分析

考虑单力臂机械手控制系统

其中：N表示转动惯量，m为连杆的质量，g是重力加速度，l表示连杆的长度，Q表示连杆的角位置，

表示连杆的角速度，

表示连杆的角加速度，υ是控制量。定义x₁＝Q，

υ＝u(t-τ)。则(53)可以表示成如下形式：

其中f₂(x)＝1/N(2x₂+mglsin(x₁))，取输入延时τ＝0.01|sin(t)|，期望轨迹为y_r＝sin(t)。

基于本发明的控制方案，Funnel函数取为F_Φ(t)＝e^-0.05t+0.002，输入延时的补偿函数为

系统的初始状态为(x₁(0),x₂(0))＝(0,0)，其他自适应参数的初始值都为0。选取设计参数为c₁＝25，c₂＝15，γ_ε1＝12，γ_ε2＝15，γ_W1k＝0.02，γ_W2k＝0.03(k＝1,…,l)，非线性滤波器设计参数为τ＝0.01，γ_M＝0.2，σ(t)＝0.01e^-0.01t。

仿真结果如图2～5所示。由图2可知本发明的控制方案具有良好的跟踪性能。图3中曲线表明跟踪误差一直在Funnel边界内，保证了跟踪误差的瞬态与稳态性能，并且最终跟踪误差收敛到零。图4验证了神经网络误差和

都是有界。图5曲线表明了实际控制律u(t)有界。

Claims (5)

1.一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，其特征在于：首先利用径向基神经网络逼近具有输入信号延时的未知非线性系统中的未知函数，将未知函数表示成已知函数，然后基于反推控制技术，并在反推控制的第一步构建Funnel函数，通过坐标变换将跟踪误差限制在Funnel函数内；在反推控制的最后一步设计输入信号延时补偿函数，将具有输入信号延时的未知非线性系统转换成无延时的系统；同时使反推控制每一步设计的虚拟控制律通过基于正时变积分函数设计的动态面得到新的虚拟控制信号，作为下一步的虚拟控制量，直到设计出实际控制律；

基于正时变积分函数设计的动态面如下：

其中，

为边界层误差，

为虚拟控制律，α_i为虚拟控制律通过所述动态面后得到的新的虚拟控制信号，α_i(0)为α_i的初值，

为M_i的估计值，M_i为一个未知正的常数，e_i为第i个位置误差，τ_i是动态面的时间常数，σ(t)是正时变积分函数，满足以下条件：

其中，σ₁和σ₂是正的常数，t表示时间；

所述输入信号延时补偿函数为：

其中，h为输入信号延时补偿函数，λ为已知正常数，u(t-τ(t))为具有输入信号延时的未知非线性系统的输入，τ(t)为已知时变输入延时，u(t)为具有输入信号延时的未知非线性系统的无延时输入；

构建的Funnel函数为：

其中，

为Funnel函数，ρ₀＞ρ_∞＞0，

且

e(0)为跟踪误差的初始值，a为指数函数的收敛率，ρ₀,ρ_∞,a为正的设计参数。

2.根据权利要求1所述的一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，其特征在于，径向基神经网络的模型如下：

对于任何未知连续的函数f(x)，存在径向基神经网络W^TΦ(x)如下：

其中，ε(x)表示神经网络的逼近误差，

为径向基神经网络的理想权值，

是基函数向量，l＞1是径向基神经网络神经元的个数。

3.根据权利要求2所述的一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，其特征在于，在反推控制的第一步通过坐标变换，将跟踪误差限制在Funnel函数内，具体表示为：跟踪误差e₁的Funnel误差变量为

4.根据权利要求3所述的一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，其特征在于，利用输入信号延时补偿函数

将具有输入信号延时的未知非线性系统转换成无延时的系统的过程为：在反推控制的最后一步中利用设计的位置误差e_n＝x_n-α_n-1-h，将e_n对时间求导，结果为

其中e_n为第n步位置误差，α_n-1为第n-1步的虚拟控制律通过所述动态面后得到的新的虚拟控制信号，f_n为具有输入信号延时的未知非线性系统中的未知函数，λ为已知正常数。

5.根据权利要求4所述的一种具有输入信号延时的未知非线性系统反推控制方法，其特征在于，反推控制的具体过程为：

对具有输入信号延时的未知非线性系统：

其中：

为系统的状态向量，u(t-τ(t))是具有输入信号延时的未知非线性系统带有延时的输入，y是具有输入信号延时的未知非线性系统的输出，

是一个未知光滑连续非线性的函数；

设计位置误差如下：

其中，α_i-1是第i-1步设计的虚拟控制律通过所述动态面后得到的新的虚拟控制信号，y_r为期望轨迹；

(1)跟踪误差e₁的Funnel的误差变量为：

则s关于时间的导数为：

其中，

根据径向基神经网络得：

其中，W₁为第一个径向基神经网络的权值，Φ₁为第一个神经网络径向基函数，ε₁为第一个径向基神经网络的逼近误差，选择第一个虚拟控制律

以及第一个径向基神经网络权值

的自适应律与第一个神经网络逼近误差

的自适应律为：

其中，c₁,γ_W1和γ_ε1是正的设计参数，

分别为W₁,ε₁的估计值；

使虚拟控制律

通过基于正时变积分函数设计的动态面得到新的虚拟控制信号α₁；

(2)i＝2,…,n-1，第i个位置误差e_i为：

e_i＝x_i-α_i-1；

根据径向基神经网络，则e_i关于时间的导数为：

选择第i个虚拟控制律

以及第i个径向基神经网络权值

的自适应律与第i个神经网络逼近误差

的自适应律为：

其中，c_i,γ_Wi和γ_εi是正的设计参数，

分别为W_i,ε_i的估计值；

使

通过基于正时变积分函数设计的动态面得到新的虚拟控制信号α_i；

(3)第n个位置误差e_n为：

e_n＝x_n-α_n-1-h；

根据径向基神经网络，则e_n关于时间的导数为：

选择实际控制律u(t)以及第n个径向基神经网络权值

的自适应律与第n个神经网络逼近误差

的自适应律为：

其中，c_n,γ_Wn和γ_εn是正的设计参数，

为W_n,ε_n的估计值。

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