CN104914722A - 时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法，利用模糊逻辑系统逼近系统中的未知关联时滞函数，并用参考信号代换逼近器输入中的未知时滞信号。本发明提供的一种时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法，可以处理系统输出中完全未知的时变时滞，并能保证系统所有信号半全局一致有界，同时可使跟踪误差收敛到包含原点的小邻域内。

Description

时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法

技术领域

本发明属于非线性时滞大系统领域，具体涉及一种时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法。

背景技术

关联大系统的分散控制方法具有设计简单，可靠性强，便于实现实时控制等优点，近年来，基于反推法(backstepping)对不确定非线性时滞关联大系统自适应分散控制问题的研究引起了广泛关注。方斯琛、Nasir等人讨论了非线性大系统的分散控制问题，但他们都没有考虑子系统之间信号传递的延时。由于倒立摆的非线性、欠驱动、自然不稳定等特性，对倒立摆的控制涉及到控制科学中处理复杂对象的关键技术，因此，倒立摆常被用来检验新的控制方法是否具有较强的处理非线性、多变量、欠驱动和绝对不稳定系统的能力。现有技术也对单极双倒立摆系统和含时滞的互联双倒立摆系统的控制问题进行了研究，但没有考虑时滞对系统稳定性的影响，或假设时滞为已知常数。

发明内容

本发明的目的之一是为解决上述的难题，提供一种能保证系统所有信号半全局一致有界的时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法。

本发明提供一种时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法，

由N个子系统组成的非线性关联大系统，第i个子系统Σ_i为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_{i,j}=x_{i,j+1}+f_{i,j}({\stackrel{\‾}{x}}_{i,j},y_d),\\ j=1,...,n_i-1,\\ {\stackrel{\·}{x}}_{i,\mathrm{ni}}=g_i\left(x_i\right)u_i+f_{i,\mathrm{ni}}(x_i,y_d),\\ y_i=x_{i,1}.\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中x_i∈Rⁿⁱ，u_i∈R，y_i∈R分别表示子系统的状态、输入和输出；为未知光滑函数，y_d＝[y₁(t-d₁(t)),…,y_N(t-d_N(t))]^T，其中d₁(t),…,d_N(t)为完全未知的时变时滞；g_i(x)≠0为已知光滑函数；n_i为正常数；记y_r＝[y_1,r,…,y_N,r]^T；

步骤包括：

S1、在第一步时，定义面函数S_i,1＝x_i,1-y_i,r，其对时间的导数为用模糊逻辑系统逼近f_i,1，有

其中为逼近误差，满足Ψ_i,11为逼近误差的正常数边界；

对所述式作如下变换：

定义为代换误差ω_i,1，记

其中有ω_i,1＝υ_i,1+ν_i,1；

根据υ_i,1和ν_i,1满足下式

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\υ}}_{i,1}\≤\left|\right|y_d-y_{r,d}\left|\right|l_{i,11}\\ v_{i,1}\≤\left|\right|y_{r,d}-y_r\left|\right|l_{i,12}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中l_i,11和l_i,12为Lipschitz常数，上式中的υ_i,1≤||y_d-y_r,d||l_i,11将用于稳定性分析，对于ν_i,1≤||y_r,d-y_r||l_i,12，因||y_r,d-y_r||有界，且l_i,12为常数，存在未知正数Ψ_i,12≥|v_i,1|，定义误差为并令Ψ_i,1＝Ψ_i,11+Ψ_i,12，有

$\left|e_{i,1}\right|=|{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{i,1}+v_{i,1}|\≤\left|{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{i,1}\right|+\left|v_{i,1}\right|\≤{\mathrm{\Ψ}}_{i,11}+{\mathrm{\Ψ}}_{i,12}={\mathrm{\Ψ}}_{i,1}---\left(5\right)$

式(3)可写为

选择如下虚拟控制律

其中，K_i,1为控制增益，τ_i,1为滤波器时间常数，δ_i,1为设计参数，和为用于消除e_i,1和υ_i,1对闭环系统稳定性的影响添加的自适应项，未知参数的自适应律为

其中，Γ_i,1为自适应增益，r_i>0为设计参数；

S2、在第j步时，定义S_i,j＝x_i,j-a_i,j-1，有

${\stackrel{\·}{S}}_{i,j}=x_{i,j+1}+f_{i,j}({\stackrel{\‾}{x}}_{i,j},y_r)-{\stackrel{\·}{a}}_{i,j-1}---\left(9\right)$

重复所述步骤S1中(3)～(6)，可得

未知参数的自适应律选择为

S3、在第n_i步时，定义面函数有

${\stackrel{\·}{S}}_{i,n_i}=u_i+f_{i,n_i}(x_i,y_d)-{\stackrel{\·}{a}}_{i,n_i-1}---\left(12\right)$

同样，根据所述步骤S1中第1步的时滞代换思想，可得

设计控制律如下

未知参数的自适应律选择为

存在常数ψ_i,r>0(j＝2,…,n_i)使得|e_i,1|<ψ_i,j，取有|e_i,j|<ψ_i(j＝1,…,n_i)，和的自适应律选择为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&psi;}}}}_i={\mathrm{\&gamma;}}_{i,1}(\underset{j=1}{\overset{n_i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\tanh \left(\frac{S_{i,j}}{{\mathrm{\&delta;}}_i}\right)-r_i{\widehat{\mathrm{\&psi;}}}_i)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{l}}}_i={\mathrm{\&gamma;}}_{i,2}(\frac{1}{2}{n}_i\underset{k=1}{\overset{n_i}{\mathrm{\&Sigma;}}}{S}_{k,1}^2-r_i{\hat{l}}_i)\end{array}\right..$

进一步的，系统参考信号y_1,r(t),…,y_N,r(t)在区间t∈(-∞,∞)上连续且有界，在紧集内，模糊逻辑系统可被用来逼近系统位置的函数，此时有

其中为F(x)的模糊逼近，ε(x)为逼近误差且满足|ε(x)|<δ，δ为未知逼近误差上界。在紧集Ω_x上，满足Lipschitz条件，即存在常数l^*，使得下式成立

本发明的有益效果在于，本发明提供的一种时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法，使处理系统输出中的完全未知的时变时滞，并能保证系统所有信号半全局一致有界，同时可使跟踪误差收敛到包含原点的小邻域内。

附图说明

图1所示为本发明实施例系统Σ₁输出y₁跟踪参考信号y_1,x的仿真曲线图。

图2所示为本发明实施例子系统信号曲线图。

图3所示为本发明实施例控制输入u₁的曲线。

图4所示为本发明实施例系统Σ₁输出y₂跟踪参考信号y_2,x的仿真曲线图。

图5所示为本发明实施例子系统信号曲线图。

图6所示为本发明实施例控制输入u₂的曲线。

具体实施方式

下文将结合具体附图详细描述本发明具体实施例。应当注意的是，下述实施例中描述的技术特征或者技术特征的组合不应当被认为是孤立的，它们可以被相互组合从而达到更好的技术效果。

本发明提供一种时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法，

由N个子系统组成的非线性关联大系统，第i个子系统Σ_i为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{i,j}=x_{i,j+1}+f_{i,j}({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{i,j},y_d),\\ j=1,...,n_i-1,\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{i,\mathrm{ni}}=g_i\left(x_i\right)u_i+f_{i,\mathrm{ni}}(x_i,y_d),\\ y_i=x_{i,1}.\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中x_i∈Rⁿⁱ，u_i∈R，y_i∈R分别表示子系统的状态、输入和输出；为未知光滑函数，y_d＝[y₁(t-d₁(t)),…,y_N(t-d_N(t))]^T，其中d₁(t),…,d_N(t)为完全未知的时变时滞；g_i(x)≠0为已知光滑函数；n_i为正常数；记y_r＝[y_1,r,…,y_N,r]^T；

步骤包括：

S1、在第一步时，定义面函数S_i,1＝x_i,1-y_i,r，其对时间的导数为用模糊逻辑系统逼近f_i,1，有

其中为逼近误差，满足Ψ_i,11为逼近误差的正常数边界；

对所述式作如下变换：

定义为代换误差ω_i,1，记

其中有ω_i,1＝υ_i,1+ν_i,1；

根据υ_i,1和ν_i,1满足下式

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&upsi;}}_{i,1}\&le;\left|\right|y_d-y_{r,d}\left|\right|l_{i,11}\\ v_{i,1}\&le;\left|\right|y_{r,d}-y_r\left|\right|l_{i,12}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中l_i,11和l_i,12为Lipschitz常数，上式中的υ_i,1≤||y_d-y_r,d||l_i,11将用于稳定性分析，对于ν_i,1≤||y_r,d-y_r||l_i,12，因||y_r,d-y_r||有界，且l_i,12为常数，存在未知正数Ψ_i,12≥|v_i,1|，定义误差为并令Ψ_i,1＝Ψ_i,11+Ψ_i,12，有

$\left|e_{i,1}\right|=|{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{i,1}+v_{i,1}|\&le;\left|{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{i,1}\right|+\left|v_{i,1}\right|\&le;{\mathrm{\&Psi;}}_{i,11}+{\mathrm{\&Psi;}}_{i,12}={\mathrm{\&Psi;}}_{i,1}---\left(5\right)$

式(3)可写为

选择如下虚拟控制律

其中，K_i,1为控制增益，τ_i,1为滤波器时间常数，δ_i,1为设计参数，和为用于消除e_i,1和υ_i,1对闭环系统稳定性的影响添加的自适应项，未知参数的自适应律为

其中，Γ_i,1为自适应增益，r_i>0为设计参数；

S2、在第j步时，定义S_i,j＝x_i,j-a_i,j-1，有

${\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_{i,j}=x_{i,j+1}+f_{i,j}({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{i,j},y_r)-{\stackrel{\&CenterDot;}{a}}_{i,j-1}---\left(9\right)$

重复所述步骤S1中(3)～(6)，可得

未知参数的自适应律选择为

S3、在第n_i步时，定义面函数有

${\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_{i,n_i}=u_i+f_{i,n_i}(x_i,y_d)-{\stackrel{\&CenterDot;}{a}}_{i,n_i-1}---\left(12\right)$

同样，根据所述步骤S1中第1步的时滞代换思想，可得

设计控制律如下

未知参数的自适应律选择为

存在常数ψ_i,r>0(j＝2,…,n_i)使得|e_i,1|<ψ_i,j，取有|e_i,j|<ψ_i(j＝1,…,n_i)，和的自适应律选择为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&psi;}}}}_i={\mathrm{\&gamma;}}_{i,1}(\underset{j=1}{\overset{n_i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\tanh \left(\frac{S_{i,j}}{{\mathrm{\&delta;}}_i}\right)-r_i{\widehat{\mathrm{\&psi;}}}_i)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{l}}}_i={\mathrm{\&gamma;}}_{i,2}(\frac{1}{2}{n}_i\underset{k=1}{\overset{n_i}{\mathrm{\&Sigma;}}}{S}_{k,1}^2-r_i{\hat{l}}_i)\end{array}\right.---\left(16\right).$

进一步的，系统参考信号y_1,r(t),…,y_N,r(t)在区间t∈(-∞,∞)上连续且有界，在紧集内，模糊逻辑系统可被用来逼近系统位置的函数，此时有

其中为F(x)的模糊逼近，ε(x)为逼近误差且满足|ε(x)|<δ，δ为未知逼近误差上界；在紧集Ω_x上，满足Lipschitz条件，即存在常数l^*，使得下式成立

实施例：

倒立摆由于其非线性、欠驱动、自然不稳定等特性，因此一直以来是控制领域比较理想的实验设备，通常被用来检验一个新的控制方法的有效性。本文考虑的为带有时滞的互联双倒立摆模型。该双倒立摆的数学模型可建立如下：

${\mathrm{\&Sigma;}}_1:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{1,1}}=x_{\mathrm{1,2}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{1}{J_1}{u}_1+f_{\mathrm{1,2}}(x_{\mathrm{1,1}},y_1(t-d_1\left(t\right)),y_2(t-d_2\left(t\right)))\\ y_1=x_{\mathrm{1,1}}\end{array}\right.$

${\mathrm{\&Sigma;}}_2:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{2,1}}=x_{\mathrm{2,2}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{2,2}}=\frac{1}{J_2}{u}_2+f_{\mathrm{2,2}}(x_{\mathrm{2,1}},y_1(t-d_1\left(t\right)),y_2(t-d_2\left(t\right)))\\ y_2=x_{\mathrm{2,1}}\end{array}\right.---\left(17\right)$

仿真中，为构造系统模型，假设未知关联项为带弹力滞后的弹簧，则未知函数f_1,2和f_2,2为

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{1,2}}=(\frac{m_1\mathrm{gr}}{J_1}-\frac{{\mathrm{kr}}^2}{4J_1})\sin \left(y_1(t-d_1\left(t\right))\right)+\frac{\mathrm{kr}}{2J_1}(l-b)+\frac{{\mathrm{kr}}^2}{4J_1}\sin \left(y_2(t-d_2\left(t\right))\right)\\ f_{\mathrm{2,2}}=(\frac{m_2\mathrm{gr}}{J_2}-\frac{{\mathrm{kr}}^2}{4J_2})\sin \left(y_2(t-d_2\left(t\right))\right)+\frac{\mathrm{kr}}{2J_2}(l-b)+\frac{{\mathrm{kr}}^2}{4J_2}\sin \left(y_1(t-d_1\left(t\right))\right)\end{array}\right.---\left(18\right)$

式(17)～(18)中，系统输出y₁和y₂为摆偏离垂直位置的角度，摆头的重量为m₁＝2kg和m₂＝2.5kg，运动惯性为J₁＝0.5kg和J₂＝0.625kg，弹簧常数为k＝100Nm，摆高为r＝0.5m，弹簧自然长度为l＝0.5m，重力加速度取为g＝9.81m/s2，两摆铰链间距为b＝0.4m。式(18)中的时滞假定为d₁(t)＝1.6(1+sin(t))，d₂(t)＝1.6(1+cos(t))。控制目标是使大系统的输出y₁和y₂稳定跟踪参考信号y_1,r(t)＝sin(t)和y_2,r＝sin(0.5t)sin(t)。

采用逼近器逼近f_1,2，模糊隶属函数选择为其中a_1,j＝1，1/b_1,j＝10，y_1,j＝0.9-0.3j，j＝0,1,…,6。采用逼近器逼近f_2,2，模糊隶属函数选择为其中a_1,k＝1，1/b_1,k＝10，y_1,k＝1-0.5k，k＝0,1,…,4，得(i＝1,2)

${\mathrm{\&tau;}}_{i,1}{\stackrel{\&CenterDot;}{a}}_{i,1}+a_{i,1}=-(K_{i,1}+{\hat{l}}_i)S_{i,1}---\left(19\right)$

控制器可设计为

参数自适应律为

当系统参数选为Γ_1,2＝Γ_2,2＝5，γ_1,1＝γ_2,1＝2，γ_1,2＝γ_2,2＝1，K_1,1＝K_2,1＝3，K_1,2＝K_2,2＝5，δ₁＝δ₂＝0.1，τ_1，1＝τ_2,1＝r₁＝r₂＝0.01，系统的初始状态为x_1,1＝x_2,1＝0.5，x_1,2＝x_2,2＝-0.5的时候，仿真结果如图1～2所示。其中，图1和图4给出了系统输出y₁，y₂跟踪参考信号y_1,x，y_2,x的仿真曲线，y_1BP和y_2BP则为采用文献方法时得到的系统输出。由图可知，由于选取的时滞d_i(t)为未知时变时滞，因此y_1BP和y_2BP不能很好的跟踪参考目标，而本文方法可以获得很好的跟踪效果。图2～3和图5～6分别为各子系统信号和控制输入u_i的曲线(i＝1,2)，由图可知，这些信号均为有界。

本发明提供的一种时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法，使处理系统输出中的完全未知的时变时滞，并能保证系统所有信号半全局一致有界，同时可使跟踪误差收敛到包含原点的小邻域内。

本文虽然已经给出了本发明的一些实施例，但是本领域的技术人员应当理解，在不脱离本发明精神的情况下，可以对本文的实施例进行改变。上述实施例只是示例性的，不应以本文的实施例作为本发明权利范围的限定。

Claims (2)

1.一种时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法，

由N个子系统组成的非线性关联大系统，第i个子系统Σ_i为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_{i,j}=x_{i,j+1}+f_{i,j}({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{i,j},y_d),\\ j=1,...,n_i-1,\\ {\stackrel{.}{x}}_{i,\mathrm{ni}}=g_i\left(x_i\right)u_i+f_{i,\mathrm{ni}}(x_i,y_d),\\ y_i=x_{i,1}.\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中x_i∈Rⁿⁱ，u_i∈R，y_i∈R分别表示子系统的状态、输入和输出； 为未知光滑函数，y_d＝[y₁(t-d₁(t)),…,y_N(t-d_N(t))]^T，其中d₁(t),…,d_N(t)为完全未知的时变时滞；g_i(x)≠0为已知光滑函数；n_i为正常数；记y_r＝[y_1,r,…,y_N,r]^T；

其特征在于，步骤包括：

S1、在第一步时，定义面函数S_i,1＝x_i,1-y_i,r，其对时间的导数为用模糊逻辑系统逼近f_i,1，有

其中为逼近误差，满足Ψ_i,11为逼近误差的正常数边界；

对所述式作如下变换：

定义为代换误差ω_i,1，记

其中有ω_i,1＝υ_i,1+ν_i,1；

根据υ_i,1和ν_i,1满足下式

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&upsi;}}_{i,j}\&le;\left|\right|y_d-y_{r,d}\left|\right|l_{i,11}\\ v_{i,1}\&le;\left|\right|y_{r,d}-y_r\left|\right|l_{i,12}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中l_i,11和l_i,12为Lipschitz常数，上式中的υ_i,1≤||y_d-y_r,d||l_i,11将用于稳定性分析，对于ν_i,1≤||y_r,d-y_r||l_i,12，因||y_r,d-y_r||有界，且l_i,12为常数，存在未知正数Ψ_i,12≥|v_i,1|，定义误差为并令Ψ_i,1＝Ψ_i,11+Ψ_i,12，有

$\left|e_{i,1}\right|=|{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{i,1}+v_{i,1}|\&le;\left|{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{i,1}\right|+\left|v_{i,1}\right|\&le;{\mathrm{\&Psi;}}_{i,11}+{\mathrm{\&Psi;}}_{i,12}={\mathrm{\&Psi;}}_{i,1}---\left(5\right)$

式(3)可写为

选择如下虚拟控制律

其中，K_i,1为控制增益，τ_i,1为滤波器时间常数，δ_i,1为设计参数，和为用于消除e_i,1和υ_i,1对闭环系统稳定性的影响添加的自适应项，未知参数的自适应律为

其中，Γ_i,1为自适应增益，r_i>0为设计参数；

S2、在第j步时，定义S_i,j＝x_i,j-a_i,j-1，有

${\stackrel{.}{S}}_{i,j}=x_{i,j+1}+f_{i,j}({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{i,j},y_r)-{\stackrel{.}{a}}_{i,j-1}---\left(9\right)$

重复所述步骤S1中(3)～(6)，可得

未知参数的自适应律选择为

S3、在第n_i步时，定义面函数有

${\stackrel{.}{S}}_{i,n_i}=u_i+f_{{i,n}_i}(x_i,y_d)-{\stackrel{.}{a}}_{{i,n}_i}-1---\left(12\right)$

同样，根据所述步骤S1中第1步的时滞代换思想，可得

设计控制律如下

未知参数的自适应律选择为

存在常数ψ_i,r>0(j＝2,…,n_i)使得|e_i,1|<ψ_i,j，取有|e_i,j|<ψ_i(j＝1,…,n_i)，和的自适应律选择为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\widehat{\mathrm{\&psi;}}}}_i={\mathrm{\&gamma;}}_{i,1}(\underset{j=1}{\overset{n_i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\tanh \left(\frac{S_{i,j}}{{\mathrm{\&delta;}}_i}\right)-r_i{\widehat{\mathrm{\&psi;}}}_i)\\ {\stackrel{.}{\hat{l}}}_i={\mathrm{\&gamma;}}_{i,2}(\frac{1}{2}{n}_i\underset{k=1}{\overset{n_i}{\mathrm{\&Sigma;}}}{S}_{k,1}^2-r_i{\hat{l}}_i)\end{array}\right..$

2.如权利要求1所述的一种时滞关联大系统的自适应模糊动态面控制方法，其特征在于，系统参考信号y_1,r(t),…,y_N,r(t)在区间t∈(-∞,∞)上连续且有界，在紧集内，模糊逻辑系统可被用来逼近系统位置的函数，此时有

其中为F(x)的模糊逼近，ε(x)为逼近误差且满足|ε(x)<δ，δ为未知逼近误差上界；在紧集Ω_x上，满足Lipschitz条件，即存在常数l^*，使得下式成立