CN113625174B - 一种锂离子电池soc与容量联合估计方法 - Google Patents

一种锂离子电池soc与容量联合估计方法 Download PDF

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CN113625174B CN202110675271.7A CN202110675271A CN113625174B CN 113625174 B CN113625174 B CN 113625174B CN 202110675271 A CN202110675271 A CN 202110675271A CN 113625174 B CN113625174 B CN 113625174B
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Abstract

本发明公开了一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，属于动力电池管理领域。具体步骤为：一，锂离子电池等效电路模型的建立；二，结合电池模型与安时积分模型建立状态空间方程；三，将电池容量衰减量作为电池模型误差在状态方程中表征；四，解耦估计算法得到并行的状态量估计器与模型误差估计器，即误差校正扩展卡尔曼滤波算法可以用来同时估计锂离子电池SOC和容量。本发明提出估计电池模型误差的EKF改进算法，将电池老化导致的容量衰退作为模型误差，使用基于EKF的SOC和模型误差的解耦估计算法，实现对容量的估计，并实时补偿SOC的估计误差。仿真结果表明，本方法不但可以提高SOC估计的准确度，还可以实现对容量误差的估计。

Description

一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法
技术领域
本发明属于动力电池管理领域，具体是指一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法。
背景技术
车用动力电池为电动汽车提供主要动力，其技术性能和经济成本决定着电动汽车的发展前景。为了提高电池的工作性能和延长电池的使用寿命，良好的电池管理系统(Battery Management System,BMS)已经成为当今电动汽车至关重要的一部分。电池SOC和容量估计是BMS最核心的功能，二者的估算精度和实用性非常重要。
电池荷电状态(State Of Charge,SOC)反映电池的剩余电量。目前主要的SOC估计方法有开路电压法、电化学阻抗法、安时积分法、神经网络法、卡尔曼滤波法等。各种算法存在的问题如下：开路电压法虽然在充放电开始和结束阶段能够较好地估计电池SOC，但充放电过程中因SOC-OCV“平台期”的存在导致SOC估计误差较大，并且因为需要长时间静置电池组才能获取开路电压，与实时性相矛盾，在工程实践中很少单独使用；电化学阻抗法在电池电量较低或较高时能够得到较为准确的SOC估计结果，但是因为电量在中间段时交流阻抗的变化较小，所以SOC估计不准，此外阻抗受电量初始值、温度、老化程度等较大程度的影响，BMS硬件也难以实现，很少用于实际的BMS中；安时积分法简单、实用有效，是目前最常用的SOC估计算法，安时积分法作为开环算法受到SOC初始误差、库伦效率、电流测量误差、容量误差等因素的影响，产生SOC估计误差且会不断累积；神经网络法需要依赖于大量数据集用于训练，且计算复杂，成本高，较少应用于实际；卡尔曼滤波法是目前估计电池SOC的研究重点，作为基于电池模型的闭环估计方法，能够消除SOC初始误差的影响，能够抑制电压及电流传感器噪声等的随机干扰。但是，传统的卡尔曼滤波算法对电池模型的精度有较高要求，如果模型参数与滤波器参数不匹配，会产生有偏差的SOC估计结果甚至可能造成最终的SOC预测结果发散。
电池容量是评价电池健康状况(State Of Health,SOH)的重要指标之一，可以衡量电池的老化程度。电池容量的估算可分为离线估算和在线估算。离线估算电池容量通常是在实验室完成的，对于在线使用的电池并不适用。在线估算电池可用容量的方法主要有以下两种：一是基于离线数据驱动的预测方法，使用大量电池性能的测试数据，从中发现电池性能变化规律用于寿命预测，由数据拟合得到电池相应指标的解析模型，进行电池健康状态预测。但该方法测试数据准备要求高，模型仅适用于对应电池类型，计算量大；二是基于特征的预测，利用电池老化过程中所表现出来的特征参量的演变，建立特征量与电池寿命之间的对应关系用于寿命预测。常用的算法有双卡尔曼滤波算法，这一方法通过建立电池模型以及电池参数衰减的状态空间方程，实现针对SOC和SOH的联合估计。这一算法对电池模型要求较高，同时对外部环境作了过于理想化的假设，导致了其难以很好处理具有偏置的噪声，在特定情况下同样易导致噪声的积累，削弱了SOC与SOH估算的抗干扰能力。
以上各种方法都存在一定的问题。因此，研究一种精度高、可靠实用的SOC和容量估算方法对车用动力电池使用和维护、促进电动汽车的发展具有积极意义。
发明内容
本发明针对现有技术中存在的问题，公开了一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，将容量衰退作为模型误差，实现电池模型误差的识别、估计、补偿，得到更精确的SOC和容量估计值，使电动汽车充分地利用电能，提高行车效率。
本发明是这样实现的：
一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，所述的估算方法包括以下步骤：
步骤一，建立锂离子电池等效电路模型，其作用是用来研究包括电池的端电压、充、放电电流、工作温度外特性之间的关系，表征电池静态特性及动态特性；
步骤二，结合电池模型与安时积分模型建立状态空间方程；
步骤三，将电池容量衰减量作为电池模型误差在状态方程中表征；
步骤四，将以上状态空间方程代入EKF算法迭代式，解耦估计算法得到并行的状态量估计器与模型误差估计器，即误差校正扩展卡尔曼滤波算法用来同时估计锂离子电池SOC和容量。
进一步地，步骤一，建立一阶RC锂离子电池等效电路模型的表达式为：
Figure GDA0003516179010000031
其中Ut为电池端电压；UOCV为电池开路电压；IB为电流，规定放电时为正，充电时为负；R0为电池欧姆内阻；UP为极化电压；RP与CP分别是极化内阻和极化电容。
进一步地，步骤二，安时积分模型：
Figure GDA0003516179010000032
其中，SOCk和SOCk+1分别为迭代至第k步和第k+1步的电池荷电状态的数值；η为库伦效率；Δt为系统采样周期；CN为电池标称容量；IB,k为电流值，规定放电为正，充电为负。
则系统的状态空间方程是：
Figure GDA0003516179010000041
式中w1,k和w2,k分别为系统状态方程中对应于SOC和UP的高斯白噪声项，vk+1为系统观测方程的高斯白噪声项。
进一步地，所述的步骤三具体为：
将电池容量衰减量作为电池模型误差在状态方程中表征，得到以下的状态空间表达式
Figure GDA0003516179010000042
其中bk为电池容量衰减导致的模型误差。
进一步地，所述步骤四中，将所述状态空间表达式代入EKF算法迭代式，解耦估计算法得到并行的状态量估计器与模型误差估计器，可用来同时估计锂离子电池SOC和容量，
首先，非线性时变系统的状态方程为：
Figure GDA0003516179010000043
式中，xk和xk-1分别为系统处于k时刻和k-1时刻的状态向量，uk和uk-1分别为系统k时刻和k-1时刻的控制输入向量，f(xk-1,uk-1)是非线性系统的状态方程函数，wk-1为过程噪声，yk为系统k时刻的观测向量，h(xk,uk)为非线性系统的观测方程函数，vk为观测噪声。
进一步地，为了达到线性化处理，采用泰勒公式进行展开，定义
Figure GDA0003516179010000051
Figure GDA0003516179010000052
其中，Ak为系统状态转移矩阵，Ck为系统的观测矩阵。
扩展卡尔曼滤波算法的递推过程式可表达如下：
滤波状态初始条件:
Figure GDA0003516179010000053
Figure GDA0003516179010000054
式中，
Figure GDA0003516179010000055
为状态量初始值；
Figure GDA0003516179010000056
为误差协方差矩阵初始值；x0为状态量真实值。
假定系统当前处于k时刻，根据系统的状态空间表达式，系统从上一时刻k-1转移到k时刻的状态可由k-1时刻预测：
Figure GDA0003516179010000057
式中，
Figure GDA0003516179010000058
是系统处于k时刻状态量的先验估计值，
Figure GDA0003516179010000059
是系统处于k-1时刻状态的后验估计值，uk-1为k-1时刻系统的输入量。
P表示xk的协方差，
Figure GDA00035161790100000510
式中，
Figure GDA00035161790100000511
是与
Figure GDA00035161790100000512
对应的协方差，
Figure GDA00035161790100000513
是与
Figure GDA00035161790100000514
对应的协方差，Ak-1为系统状态转移矩阵，Qk-1是过程噪声wk-1的方差。
进一步地，利用卡尔曼增益对k时刻系统状态的估计值
Figure GDA00035161790100000515
进行修正，修正方程如下：
Figure GDA0003516179010000061
式中
Figure GDA0003516179010000062
是系统处于k时刻状态量的先验估计值，
Figure GDA0003516179010000063
是系统处于k时刻状态的后验估计值，yk为系统k时刻的观测向量，
Figure GDA0003516179010000064
为非线性系统的观测方程函数，Kk即为卡尔曼增益：
Figure GDA0003516179010000065
式中
Figure GDA0003516179010000066
是与
Figure GDA0003516179010000067
对应的协方差，Ck为系统的观测矩阵，Rk是观测噪声vk的方差。
经过以上推导过程便可输出k时刻系统状态的最优估计值
Figure GDA0003516179010000068
协方差更新：
Figure GDA0003516179010000069
其中I为单位矩阵。
进一步地，对算法解耦得到并行的SOC估计器与模型误差估计器：
定义：
xk＝[SOCk Up,k]T；yk＝Ut,k；
Figure GDA00035161790100000610
Figure GDA00035161790100000611
Dk＝0；
Figure GDA00035161790100000612
Figure GDA00035161790100000613
进一步地，初始化：当k＝0时，
(a)用于SOC估计的标准EKF算法
Figure GDA0003516179010000071
式中，
Figure GDA0003516179010000072
为状态量初始值；
Figure GDA0003516179010000073
为状态量误差协方差初始值；x0为状态量真实值。
(b)容量误差估计器算法
Figure GDA0003516179010000074
式中，
Figure GDA0003516179010000075
为模型误差量初始值；Ux,0为迭代矩阵初始值；
Figure GDA0003516179010000076
为模型误差量误差协方差初始值；b0为模型误差量真实值。
进一步地，当k＝1,2,……
(a)用于SOC估计的标准EKF算法
时间更新环节
先验状态量估计值更新：
Figure GDA0003516179010000077
先验状态量估计误差协方差更新：
Figure GDA0003516179010000078
式中，
Figure GDA0003516179010000079
是SOC估计器的先验状态量估计误差协方差，
Figure GDA00035161790100000710
是SOC估计器的后验状态量估计误差协方差。
测量更新环节
测量新息更新：
Figure GDA00035161790100000711
式中，rx,k是SOC估计器的状态量测量新息。
状态量卡尔曼增益更新：
Figure GDA00035161790100000712
式中，Kx,k是SOC估计器的卡尔曼增益。
后验状态量估计值更新：
Figure GDA00035161790100000713
后验状态量估计误差协方差更新：
Figure GDA00035161790100000714
(b)容量误差估计器算法
模型误差时间更新环节
先验模型误差估计值更新：bk＝bk-1；
先验误差量估计误差协方差更新：
Figure GDA0003516179010000081
算法迭代矩阵：
Figure GDA0003516179010000082
模型误差测量更新环节
模型误差估计误差协方差更新：
Figure GDA0003516179010000083
式中，
Figure GDA0003516179010000084
是容量误差估计器的先验模型误差量估计误差协方差，Pb,k+1是容量误差估计器的后验状态量估计误差协方差。
模型误差卡尔曼增益更新：
Figure GDA0003516179010000085
式中，Kb,k是容量误差估计器的模型误差量卡尔曼增益。
模型误差测量新息更新：
Figure GDA0003516179010000086
式中，rb,k是容量误差估计器的模型误差量测量新息。
后验模型误差估计值更新：
Figure GDA0003516179010000087
(c)SOC最优估计
Figure GDA0003516179010000088
式中，
Figure GDA0003516179010000089
是SOC的最优估计值。
与现有技术相比，本发明的有益效果在于：
本发明不仅保留了安时积分法和扩展卡尔曼滤波法各自的优点，状态量估计器可以滤去误差干扰，从而提高SOC估算精度；同时，并行的模型误差估计器可以估得因容量衰退造成的容量误差，及时地了解电池健康状态，对安时积分方程中的容量及时修正，避免长期积累造成SOC计算误差。本发明实现了电池模型误差的识别和估计，并且能够对状态量的估计结果进行误差补偿，得到更精确的SOC与容量估计值。
附图说明
图1为本发明锂离子电池SOC与容量联合估计方法实施例中所建立的一阶等效电路模型。
图2为本发明锂离子电池SOC与容量联合估计方法实施例中的SOC-OCV关系图。
图3为本发明锂离子电池SOC与容量联合估计方法实施例中SOC与容量并行估计算法流程图。
图4(a)、(b)、(c)为本发明锂离子电池SOC与容量联合估计方法实施例中的结果误差分析图，其中：
图4(a)为EKF与BCEKF两种算法的SOC估计结果；
图4(b)为EKF与BCEKF两种算法的SOC估计误差；
图4(c)为容量误差估计结果。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明作进一步描述。实施例用来解释本发明，但不作为对本发明的限定。
一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，所述的估算方法包括以下步骤：
步骤一，锂离子电池等效电路模型的建立。
建立等效电路模型是用来研究电池的端电压、充、放电电流、工作温度等外特性之间的关系，能很好地表征电池静态特性及动态特性。建立一阶RC锂离子电池等效电路模型如图1所示，该等效电路模型的表达式为
Figure GDA0003516179010000101
其中Ut为电池端电压；UOCV为电池开路电压；IB为电流，规定放电时为正，充电时为负；R0为电池欧姆内阻；UP为极化电压；RP与CP分别是极化内阻和极化电容。
本实施例的SOC-OCV关系图如图2所示。电池开路电压UOCV与SOC的拟合函数采用7阶拟合，函数关系表达式如下：
UOCV(SOCk+1)＝83.212*SOCk 7-302.18*SOCk 6+445.2*SOCk 5-341.85*SOCk 4+146.86*SOCk 3-35.578*SOCk 2+4.8137*SOCk+2.9606
为方便起见，将本发明所提出的算法简称为BCEKF(Bias-corrected EKF)算法。
步骤二，结合电池模型与安时积分模型建立状态空间方程。
EKF原理处理的系统是离散化的，因此需要对模型离散化处理。其中，安时积分模型的离散化较为简单，可直接得出：
Figure GDA0003516179010000102
其中，SOCk和SOCk+1分别为迭代至第k步和第k+1步的电池荷电状态的数值；η为库伦效率；Δt为系统采样周期；CN为电池标称容量；IB,k为电流值，规定放电为正，充电为负。
则系统的状态空间方程是：
Figure GDA0003516179010000103
式中w1,k和w2,k分别为系统状态方程中对应于SOC和UP的高斯白噪声项，vk+1为系统观测方程的高斯白噪声项。
步骤三，将电池容量衰减量作为电池模型误差在状态方程中表征，得到以下的状态空间表达式
Figure GDA0003516179010000111
其中bk为电池容量衰减导致的模型误差。
步骤四，将以上状态空间方程代入EKF算法迭代式，解耦估计算法得到并行的状态量估计器与模型误差估计器，可以用来同时估计锂离子电池SOC和容量。
首先，非线性时变系统的状态方程为：
Figure GDA0003516179010000112
式中，xk和xk-1分别为系统处于k时刻和k-1时刻的状态向量，uk和uk-1分别为系统k时刻和k-1时刻的控制输入向量，f(xk-1,uk-1)是非线性系统的状态方程函数，wk-1为过程噪声，yk为系统k时刻的观测向量，h(xk,uk)为非线性系统的观测方程函数，vk为观测噪声。
为了达到线性化处理的目的，采用泰勒公式进行展开，定义
Figure GDA0003516179010000113
Figure GDA0003516179010000114
其中，Ak为系统状态转移矩阵，Ck为系统的观测矩阵。
扩展卡尔曼滤波(EKF)算法的递推过程式可表达如下：
滤波状态初始条件:
Figure GDA0003516179010000121
Figure GDA0003516179010000122
式中，
Figure GDA0003516179010000123
为状态量初始值；
Figure GDA0003516179010000124
为误差协方差矩阵初始值；x0为状态量真实值。
假定系统当前处于k时刻，根据系统的状态空间表达式，系统从上一时刻k-1转移到k时刻的状态可由k-1时刻预测：
Figure GDA0003516179010000125
式中，
Figure GDA0003516179010000126
是系统处于k时刻状态量的先验估计值，
Figure GDA0003516179010000127
是系统处于k-1时刻状态的后验估计值，uk-1为k-1时刻系统的输入量。
P表示xk的协方差，
Figure GDA0003516179010000128
式中，
Figure GDA0003516179010000129
是与
Figure GDA00035161790100001210
对应的协方差，
Figure GDA00035161790100001211
是与
Figure GDA00035161790100001212
对应的协方差，Ak-1为系统状态转移矩阵，Qk-1是过程噪声wk-1的方差。
利用卡尔曼增益对k时刻系统状态的估计值
Figure GDA00035161790100001213
进行修正，修正方程如下：
Figure GDA00035161790100001214
式中
Figure GDA00035161790100001215
是系统处于k时刻状态量的先验估计值，
Figure GDA00035161790100001216
是系统处于k时刻状态的后验估计值，yk为系统k时刻的观测向量，
Figure GDA00035161790100001217
为非线性系统的观测方程函数，Kk即为卡尔曼增益：
Figure GDA00035161790100001218
式中
Figure GDA00035161790100001219
是与
Figure GDA00035161790100001220
对应的协方差，Ck为系统的观测矩阵，Rk是观测噪声vk的方差。
经过以上推导过程便可输出k时刻系统状态的最优估计值
Figure GDA00035161790100001221
协方差更新：
Figure GDA0003516179010000131
其中I为单位矩阵。
对算法解耦得到并行的SOC估计器与模型误差估计器：
定义：
xk＝[SOCk Up,k]T；yk＝Ut,k；
Figure GDA0003516179010000132
Figure GDA0003516179010000133
Dk＝0；
Figure GDA0003516179010000134
Figure GDA0003516179010000135
1.初始化：当k＝0时，
(a)用于SOC估计的标准EKF算法
Figure GDA0003516179010000136
式中，
Figure GDA0003516179010000137
为状态量初始值；
Figure GDA0003516179010000138
为状态量误差协方差初始值；x0为状态量真实值。
(b)容量误差估计器算法
Figure GDA0003516179010000139
式中，
Figure GDA00035161790100001310
为模型误差量初始值；Ux,0为迭代矩阵初始值；
Figure GDA00035161790100001311
为模型误差量误差协方差初始值；b0为模型误差量真实值。
2.当k＝1,2,……
(a)用于SOC估计的标准EKF算法
时间更新环节
先验状态量估计值更新：
Figure GDA0003516179010000141
先验状态量估计误差协方差更新：
Figure GDA0003516179010000142
式中，
Figure GDA0003516179010000143
是SOC估计器的先验状态量估计误差协方差，
Figure GDA0003516179010000144
是SOC估计器的后验状态量估计误差协方差。
测量更新环节
测量新息更新：
Figure GDA0003516179010000145
式中，rx,k是SOC估计器的状态量测量新息。
状态量卡尔曼增益更新：
Figure GDA0003516179010000146
式中，Kx,k是SOC估计器的卡尔曼增益。
后验状态量估计值更新：
Figure GDA0003516179010000147
后验状态量估计误差协方差更新：
Figure GDA0003516179010000148
(b)容量误差估计器算法
模型误差时间更新环节
先验模型误差估计：bk＝bk-1；
先验误差量估计误差协方差：
Figure GDA0003516179010000149
算法迭代矩阵：
Figure GDA00035161790100001410
模型误差测量更新环节
模型误差估计误差协方差：
Figure GDA00035161790100001411
式中，
Figure GDA00035161790100001412
是容量误差估计器的先验模型误差量估计误差协方差，Pb,k+1是容量误差估计器的后验状态量估计误差协方差。
模型误差卡尔曼增益更新：
Figure GDA0003516179010000151
式中，Kb,k是容量误差估计器的模型误差量卡尔曼增益。
模型误差测量新息更新：
Figure GDA0003516179010000152
式中，rb,k是容量误差估计器的模型误差量测量新息。
后验模型误差估计：
Figure GDA0003516179010000153
(c)SOC最优估计
Figure GDA0003516179010000154
式中，
Figure GDA0003516179010000155
是SOC的最优估计值。
以上提供了SOC与容量的并行估计算法，其流程如图3所示。
考虑一种电池容量衰退的情形：EKF、BCEKF算法的SOC初值都设为100％；电池当前的容量真实值Ca与标称容量CN存在1Ah的误差；电池从满电状态开始经过8个完整的UDDS工况放至接近空电，验证结果由图4(a)-(c)给出。
图4(a)为EKF与BCEKF两种算法的SOC估计结果。可以看到，EKF与BCEKF均能够有效地对SOC值进行估计。由图4(b)可以看出，EKF全局的最大SOC估计误差不超过1.2％，而BCEKF算法在误差的有效估计与补偿下，能够更精确地对SOC值进行估计，其全局最大SOC估计误差不超过0.3％。图4(c)表明了本发明提出的算法在能够更加准确地估计SOC的同时还能够快速追踪容量误差至1Ah的真实值，即可以有效估计电池当前的真实容量。
本发明从电池模型误差的角度展开研究，将电池老化导致的容量衰退作为模型误差，提出了一种能够同时估计SOC和容量的算法。以上仿真结果表明，该算法对电动汽车的复杂工况有较好的适应性，可以实现电池容量的实时在线估计，并且提高SOC估计的准确度。
以上所述仅是本发明的优选实施方式。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，所述的估计方法包括以下步骤：
步骤一，建立锂离子电池等效电路模型，其作用是用来研究包括电池的端电压、充、放电电流、工作温度外特性之间的关系，表征电池静态特性及动态特性；
步骤二，结合电池模型与安时积分模型建立状态空间方程；
步骤三，将电池容量衰减量作为电池模型误差在状态方程中表征；
步骤四，将以上状态空间方程代入EKF算法迭代式，解耦估计算法得到并行的状态量估计器与模型误差估计器，即误差校正扩展卡尔曼滤波算法用来同时估计锂离子电池SOC和容量。
2.根据权利要求1所述的一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，步骤一，建立一阶RC锂离子电池等效电路模型的表达式为：
Figure FDA0003520187370000011
其中Ut为电池端电压；UOCV为电池开路电压；IB为电流，规定放电时为正，充电时为负；R0为电池欧姆内阻；UP为极化电压；RP与CP分别是极化内阻和极化电容。
3.根据权利要求1所述的一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，步骤二，安时积分模型：
Figure FDA0003520187370000012
其中，SOCk和SOCk+1分别为迭代至第k步和第k+1步的电池荷电状态的数值；η为库伦效率；Δt为系统采样周期；CN为电池标称容量；IB,k为电流值，规定放电为正，充电为负，
则系统的状态空间方程是：
Figure FDA0003520187370000021
式中w1,k和w2,k分别为系统状态方程中对应于SOC和UP的高斯白噪声项，vk+1为系统观测方程的高斯白噪声项。
4.根据权利要求1所述的一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，所述的步骤三具体为：
将电池容量衰减量作为电池模型误差在状态方程中表征，得到以下的状态空间表达式
Figure FDA0003520187370000022
其中bk为电池容量衰减导致的模型误差。
5.根据权利要求1所述的一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，所述步骤四中，将所述状态空间表达式代入EKF算法迭代式，解耦估计算法得到并行的状态量估计器与模型误差估计器，可用来同时估计锂离子电池SOC和容量，
首先，非线性时变系统的状态方程为：
Figure FDA0003520187370000023
式中，xk和xk-1分别为系统处于k时刻和k-1时刻的状态向量，uk和uk-1分别为系统k时刻和k-1时刻的控制输入向量，f(xk-1,uk-1)是非线性系统的状态方程函数，wk-1为过程噪声，yk为系统k时刻的观测向量，h(xk,uk)为非线性系统的观测方程函数，vk为观测噪声。
6.根据权利要求5所述的一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，
为了达到线性化处理，采用泰勒公式进行展开，定义
Figure FDA0003520187370000031
Figure FDA0003520187370000032
其中，Ak为系统状态转移矩阵，Ck为系统的观测矩阵，
扩展卡尔曼滤波算法的递推过程式可表达如下：
滤波状态初始条件:
Figure FDA0003520187370000033
Figure FDA0003520187370000034
式中，
Figure FDA0003520187370000035
为状态量初始值；
Figure FDA0003520187370000036
为误差协方差矩阵初始值；x0为状态量真实值，
假定系统当前处于k时刻，根据系统的状态空间表达式，系统从上一时刻k-1转移到k时刻的状态可由k-1时刻预测：
Figure FDA0003520187370000037
式中，
Figure FDA0003520187370000038
是系统处于k时刻状态量的先验估计值，
Figure FDA0003520187370000039
是系统处于k-1时刻状态的后验估计值，uk-1为k-1时刻系统的输入量，
P表示xk的协方差，
Figure FDA00035201873700000310
式中，
Figure FDA0003520187370000041
是与
Figure FDA0003520187370000042
对应的协方差，
Figure FDA0003520187370000043
是与
Figure FDA0003520187370000044
对应的协方差，Ak-1为系统状态转移矩阵，Qk-1是过程噪声wk-1的方差。
7.根据权利要求6所述的一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，
利用卡尔曼增益对k时刻系统状态的估计值
Figure FDA0003520187370000045
进行修正，修正方程如下：
Figure FDA0003520187370000046
式中
Figure FDA0003520187370000047
是系统处于k时刻状态量的先验估计值，
Figure FDA0003520187370000048
是系统处于k时刻状态的后验估计值，yk为系统k时刻的观测向量，
Figure FDA0003520187370000049
为非线性系统的观测方程函数，Kk即为卡尔曼增益：
Figure FDA00035201873700000410
式中
Figure FDA00035201873700000411
是与
Figure FDA00035201873700000412
对应的协方差，Ck为系统的观测矩阵，Rk是观测噪声vk的方差，
经过以上推导过程便可输出k时刻系统状态的最优估计值
Figure FDA00035201873700000413
协方差更新：
Figure FDA00035201873700000414
其中I为单位矩阵。
8.根据权利要求7所述的一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，
对算法解耦得到并行的SOC估计器与模型误差估计器：
定义：
xk＝[SOCk Up,k]T；yk＝Ut,k；
Figure FDA00035201873700000415
Figure FDA00035201873700000416
Figure FDA0003520187370000051
Figure FDA0003520187370000052
9.根据权利要求8所述的一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，
初始化：当k＝0时，
(a)用于SOC估计的标准EKF算法
Figure FDA0003520187370000053
式中，
Figure FDA0003520187370000054
为状态量初始值；
Figure FDA0003520187370000055
为状态量误差协方差初始值；x0为状态量真实值，
(b)容量误差估计器算法
Figure FDA0003520187370000056
式中，
Figure FDA0003520187370000057
为模型误差量初始值；Ux,0为迭代矩阵初始值；
Figure FDA0003520187370000058
为模型误差量误差协方差初始值；b0为模型误差量真实值。
10.根据权利要求9所述的一种锂离子电池SOC与容量联合估计方法，其特征在于，
当k＝1,2,……
(a)用于SOC估计的标准EKF算法
时间更新环节
先验状态量估计值更新：
Figure FDA0003520187370000059
先验状态量估计误差协方差更新：
Figure FDA00035201873700000510
式中，
Figure FDA0003520187370000061
是SOC估计器的先验状态量估计误差协方差，
Figure FDA0003520187370000062
是SOC估计器的后验状态量估计误差协方差，
测量更新环节
测量新息更新：
Figure FDA0003520187370000063
式中，rx,k是SOC估计器的状态量测量新息，
状态量卡尔曼增益更新：
Figure FDA0003520187370000064
式中，Kx,k是SOC估计器的卡尔曼增益，
后验状态量估计值更新：
Figure FDA0003520187370000065
后验状态量估计误差协方差更新：
Figure FDA0003520187370000066
(b)容量误差估计器算法
模型误差时间更新环节
先验模型误差估计值更新：bk＝bk-1；
先验误差量估计误差协方差更新：
Figure FDA0003520187370000067
算法迭代矩阵：
Figure FDA0003520187370000068
模型误差测量更新环节
模型误差估计误差协方差更新：
Figure FDA0003520187370000069
式中，
Figure FDA00035201873700000610
是容量误差估计器的先验模型误差量估计误差协方差，Pb,k+1是容量误差估计器的后验状态量估计误差协方差，
模型误差卡尔曼增益更新：
Figure FDA00035201873700000611
式中，Kb,k是容量误差估计器的模型误差量卡尔曼增益，
模型误差测量新息更新：
Figure FDA00035201873700000612
式中，rb,k是容量误差估计器的模型误差量测量新息，
后验模型误差估计值更新：
Figure FDA0003520187370000071
(c)SOC最优估计
Figure FDA0003520187370000072
式中，
Figure FDA0003520187370000073
是SOC的最优估计值。
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