CN113591237A - 一种可扩展近休止角的傅里叶级数凸轮设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种可扩展近休止角的傅里叶级数凸轮设计方法，基于傅里叶级数展开与最小二乘法原理确定有严格运动精度要求区域的从动件运动规律方程，利用该方程与约束条件计算傅里叶级数的各项系数，确定凸轮机构的位移传递函数，得到所设计凸轮的几何模型。本发明相比于傅式凸轮的传统求解算法，改进的算法求解速度更快；适用范围广，迭代收敛性更好；相比于傅式凸轮传统的求解算法，改进算法求解的傅式凸轮加速度峰值小，冲击力小。

Description

一种可扩展近休止角的傅里叶级数凸轮设计方法

技术领域

本发明属于机械加工领域，尤其涉及一种可扩展近休止角的傅里 叶级数凸轮设计方法。

背景技术

在机械传动中，为满足复杂的运动要求，凸轮机构得到了广泛应 用。凸轮传动的主要特点：1.从动件的运动规律由凸轮轮廓决定。2. 凸轮机构结构简单紧凑。当凸轮机构运动时，由于构件弹性变形,工 作端的实际运动与凸轮廓线所提供的理论运动间出现偏差,产生冲击、 振动和噪音。

凸轮轮廓曲线是凸轮设计的关键,凸轮轮廓曲线直接影响了凸轮 结构的精度、效率和寿命。傅式凸轮的传统求解算法求解速度慢，效 率低；其适用范围窄，仅能求解近休止角为90°时对应的近休止期： [0°,90°]U[270°,360°]。当近休止角为非90°，对应近休止期为 非[0°,90°]U[270°,360°]时，其迭代收敛性差；传统算法求解的傅 式凸轮，其速度及加速度峰值较大，对于一些冲击力要求小，动力性 能要求高的复杂机械系统无法适用；具体的傅式凸轮的近休止角越小， 其性能越好，但是现有的算法无法对求解小于90°近休止角的傅式 凸轮。如何解决傅式凸轮求解算法的上述缺陷是目前亟待解决的问题。

名词解释：

傅式凸轮：傅里叶级数从动件运动规律的凸轮。

近休止角：从动件在距凸轮轴心最近处停歇时对应的凸轮转角。

近休止期：近休止期就是近休止角对应的区间。

传统算法求解的傅式凸轮的近休止期：传统算法求解傅式凸轮主 要基于傅里叶级数展开与高斯平方差最小法确定有严格运动精度要 求区域的从动件运动规律方程，利用该方程与约束条件计算傅里叶级 数的各项系数，确定凸轮机构的位移传递函数，得到所设计凸轮的几 何模型。其主要用于求解近休止角为90°的傅式凸轮，对除近休止角 为90°之外的傅式凸轮存在迭代不收敛，甚至无法求出结果的情况。 (引用文献：基于傅里叶级数从动件运动规律的凸轮设计方法与性能 分析，期刊：机械传动)

傅式凸轮轮廓解析式：这里求解傅式凸轮轮廓主要是根据它的坐 标轴值，在本文中主要进行了笛卡尔凸轮型线坐标装换，如下：

将凸轮转动角度与位移坐标转化成笛卡尔凸轮型线坐标,如下：

式中，R为傅式凸轮半径，x,y,z分别为笛卡尔坐标系的x,y,z 轴坐标。这样就可以得到傅式凸轮轮廓。

傅式凸轮的实际位移函数：利用多项式，样条曲线，以及本文用 到的傅里叶级数去拟合凸轮的从动件运动规律，反求出凸轮的位移， 所得到的就是凸轮的实际位移函数。

发明内容

为解决上述问题，本发明提供了一种可扩展近休止角的傅里叶级 数凸轮设计方法。本发明相比于傅式凸轮的传统求解算法，改进的算 法求解速度更快；适用范围广，迭代收敛性更好；相比于傅式凸轮传 统的求解算法，改进算法求解的傅式凸轮加速度峰值小，冲击力小。

为达到上述技术效果，本发明的技术方案是：

一种可扩展近休止角的傅里叶级数凸轮设计方法，如下步骤：

步骤一、根据设计要求，给定傅式凸轮允许的位移的最大误差ε_s、速 度允许的最大误差ε_v、加速度允许的最大误差ε_a；

步骤二、根据工况确定傅式凸轮近休止期，求出系数γ和δ；

步骤三、利用有限项傅式级数来表示凸轮的位移函数；

步骤四、求解有限项n时，傅式凸轮允许的位移的最大误差为ε_s、速 度允许的最大误差为ε_v和加速度允许的最大误差为ε_a,若满足条件 ε_s≤ε′_s；ε_v≤ε′_v；ε_a≤ε′_a，则确定n的值，得到傅式凸轮的实际位移函数中 的S(θ),其中θ为傅式凸轮的转角，S(θ)为对应于θ角度时的推杆位移； 将S(θ)带入傅式凸轮轮廓解析式求得傅式凸轮轮廓；否则增加n值， 重新计算；

步骤五、根据近休止期的映射关系，反求出S(t)′、V(t)和A(t)；S(t)′ 表示运用改进算法求解的傅式凸轮位移传递函数，V(t)表示运用改进 算法求解的傅式凸轮速度函数，A(t)表示运用改进算法求解的傅式凸 轮加速度函数；

步骤六、基于S(t)′、V(t)和A(t)，设计出傅式凸轮轮廓。

进一步的改进，所述步骤二包括如下步骤：

2.1、当傅式凸轮近休止角为90°，傅式凸轮对应的近休止期为 [0,90°]U[360°-90°,360°]；运用传统算法求解的傅式凸轮位移传 递函数S(t)为：

2.2当限定设计的傅式凸轮的近休止角为θ’，且0≤θ’＜90°；则 θ’对应的近休止期为[0,θ’]U[360°-θ’,360°]；

此时，建立改进算法求解的傅式凸轮位移传递函数S(t)′，改进算 法如下：

其中，a₀表示傅里叶级数展开式中的常数项；a_k表示傅里叶级数 展开式中第k个a值系数；k表示傅里叶级数展开式中第k个值；ω 表示凸轮机构的运动角速度，t表示时间；b_k表示傅里叶级数展开式 中第k个b值系数；γ和δ均表示系数；

由公式(2)建立起θ与θ₀之间的关系，

θ₀＝γθ+δ (2)

θ₀表示采用改进算法求解时傅式凸轮位移传递函数是的傅 式凸轮转角，θ表示采用传统算法求解时的傅式凸轮转角；

建立傅式凸轮的近休止期[0,θ’]U[360-θ’,360]与傅式凸轮的 近休止期[0,90]U[360-90,360]的映射关系，则在傅式凸轮的升程 阶段，有以下一元二次方程：

当θ₀取值为θ’，θ取值为90°时，求解得到γ和δ的值如下：

同理在傅式凸轮回程阶段，得到θ与θ₀之间的关系也如公式(2) 所示。

进一步的改进，所述步骤三中，傅式凸轮的位移函数S(θ)的 确定方法如下所示：

式(2)中，θ为傅式凸轮转角，a₀,a_k,b_k为凸轮位移函数的待 定系数，k＝1,2,3,…；n为选取项数；n为是傅里叶级数展开项数， 初始值为1；

设一个运动周期中S(θ)有n段运动曲线有严格运动精度要求， 用

表示第i段有运动精度要求的理想运动函数，i＝1,2,…,n；θ_ai, θ_bi分别表示第i段凸轮的起始和终止转角；对于S_i(θ)＝c，当c>0， 表示θ_ai≤θ≤θ_bi区间为远休止期；当c＝0，表示θ_ai≤θ≤θ_bi区间 为近休止期；理想运动函数

与实际运动函数S_i(θ)之间的误差ε 构造为：

其中，α_i表示从动件的远休止期和近休止期运动的对应区域段的 权重系数；

表示傅式凸轮的理想运动函数；

式(3)共计n+10个未知数，若有p个约束条件，约束条件由

S(t)、V(t)、A(t)在角度θ确定；p个参数由p个约束条件求解:

其中；a_p-1表示求傅里叶级数展开的第ap-1参数值，

表示推杆在 hp-1位置时对应的凸轮转角，a_n表示傅里叶级数展开式的第n个a的 值，b_n表示傅里叶级数展开式的第n个b的值；

基于最小二乘法原理，对剩余(n+1-p)个参数求导为0，求出位移的 最大误差ε_s的最小值，剩余(n+1-p)个参数由下式得出：

求得对应从动件类速度V(θ)，类加速度的函数A(θ)，如下：

式中V(θ)代表从动件的类速度，A(θ)表示从动件的类加速度。

进一步的改进，所述步骤五中，θ与θ₀之间的近休止期的映射关 系如公式(1)所示，则近休止角θ₀与时间t的关系如公式(10)所 示：

其中，ω表示凸轮机构的运动角速度；

联立求解公式(1)和(8)得到θ与t的映射关系：

则根据式(1)、(3)、(8)、(9)和(11)得到：

本发明的优点：

本发明相比于傅式凸轮的传统求解算法，改进的算法求解速度更 快；适用范围广，迭代收敛性更好；相比于傅式凸轮传统的求解算法， 改进算法求解的傅式凸轮加速度峰值小，冲击力小。

附图说明

图1为傅式凸轮设计流程图；

图2为傅式凸轮结构图；

图3为傅式凸轮三维图。

图4为从动件位移对比图；

图5为从动件速度对比图；

图6为从动件加速度对比图；

图7为凸轮压力角对比图。

具体实施方式

以下通过具体实施方式对本发明的技术方案作具体说明。

实施例1

以某机械厂傅式凸轮—推杆系统为例，其凸轮的近休止期为 [0,20°]U[340°,360°]；建立其与传统算法求解的傅式凸轮的近休止 期[0°,90°]U[270°,360°]的映射关系。

传统算法求解的傅式凸轮的升程为[90°,180°]，回程为[180°,270°]， 改进算法求解的傅式凸轮的升程为[20°,180°]，回程为[180°,340°]。

先研究凸轮的升程阶段，可以建立以下一元二次方程：

解得：

因此可得到θ与θ₀之间的关系

θ₀＝1.778θ-140

当θ₀＝0时，解得θ＝78.75

同理在凸轮回程阶段，可得到θ与θ₀之间的关系：θ₀＝1.778θ-140 当θ₀＝360时，解得θ＝281.25

本次设计基于两种约束条件，第一组为改进算法求解的的傅式凸 轮，其近休止期为[0°,20°]，[340°,360°]。第二组为传统算法求解的 傅式凸轮，其近休止期设计为[0°,90°]，[270°,360°]。

根据第一组模型建立约束方程组：

通过约束位移误差函数，根据约束1调整为：

取ε为10^-10,解得当n＝5满足上述要求。剩余11-4＝7个参数利 用最小二乘法求解为：

根据第二组模型建立约束方程组：

通过约束位移误差函数，根据约束1调整为：

取ε为10^-10,解得当n＝7满足上述要求。剩余15-4＝11个参数利 用最小二乘法求解为：

解得未知参数后，加入升程约束，位移函数变为：

s(θ)＝hS(θ)＝h(AΘ₁+BΘ₂) (20)

式中，h表示升程，A,Θ₁,B,Θ₂表示如下：

A＝[a₀,a₁,...,a_n]

B＝[b₁,...,b_n]

Θ₁＝[1,cosθ,...,cosnθ]^T

Θ₂＝[sinθ,...,sinnθ]^T (21)

当推杆升程为20mm时，h＝20,根据方程(20)—(21)，系数 矩阵A,Θ₁,B,Θ₂可以求解得：

根据傅式凸轮直径为152mm，将角度与位移坐标转化成笛卡尔 凸轮型线坐标,如下：

式中，R为傅式凸轮半径，在本机构中，R＝76mm。x,y,z分别 为笛卡尔坐标系的x,y,z轴坐标。

凸轮的压力角计算公式：

式中，α为凸轮压力角，R为傅式凸轮的半径。计算的压力角应 该小于许用压力角[α]，对于直从动件许用压力角[α]为30°。

所得到的图4-图6就是所求出的S(t)、V(t)和A(t))

由此分别求出改进傅式凸轮与传统傅式凸轮的运动学特性曲线， 包括从动件的位移特性曲线，速度曲线，加速度曲线和凸轮压力角曲 线(图4—图7)。

图中可以看到，改进算法求解的傅式凸轮的位移曲线更平缓，传 统算法求解的傅式凸轮最大速度为144.6851mm/s，最大加速度为 1316.1153mm/s²，改进算法求解的傅式凸轮最大速度为81.2865mm/s， 最大加速度为415.4164mm/s²，速度和加速度的峰值相比更小，而且 减小的幅度较大，说明滚轮与凸轮之间的接触冲击更小，能更好地减 小凸轮的振动与摩擦，更适用于冲击力要求小，动力性能要求高的复 杂机械系统。而且改进算法求解的傅式级数凸轮所拟合的曲线较平滑， 传统算法求解的傅式凸轮最大压力角为27.6328°，改进算法求解的傅 式凸轮最大压力角为11.5450°，可以得到改进算法求解的傅式凸轮最大压力角也较小，能更好保证凸轮机构正常运转，更好地减小由于机 构的加工、安装等方面的误差对位移、速度、加速度等输出参数产生 的影响。

上述仅为本发明的一个具体导向实施方式，但本发明的设计构思 并不局限于此，凡利用此构思对本发明进行非实质性的改动，均应属 于侵犯本发明的保护范围的行为。

Claims (4)

1.一种可扩展近休止角的傅里叶级数凸轮设计方法，其特征在于，如下步骤：

步骤一、根据设计要求，给定傅式凸轮允许的位移的最大误差ε_s、速度允许的最大误差ε_v、加速度允许的最大误差ε_a；

步骤二、根据工况确定傅式凸轮近休止期，求出系数γ和δ；

步骤三、利用有限项傅式级数来表示凸轮的位移函数；

步骤四、求解有限项n时，傅式凸轮允许的位移的最大误差为ε_s、速度允许的最大误差为ε_v和加速度允许的最大误差为ε_a,若满足条件ε_s≤ε′_s；ε_v≤ε′_v；ε_a≤ε′_a，则确定n的值，得到傅式凸轮的实际位移函数中的S(θ),其中θ为傅式凸轮的转角，S(θ)为对应于θ角度时的推杆位移；将S(θ)带入傅式凸轮轮廓解析式求得傅式凸轮轮廓；否则增加n值，重新计算；

步骤五、根据近休止期的映射关系，反求出S(t)′、V(t)和A(t)；S(t)′表示运用改进算法求解的傅式凸轮位移传递函数，V(t)表示运用改进算法求解的傅式凸轮速度函数，A(t)表示运用改进算法求解的傅式凸轮加速度函数；

步骤六、基于S(t)′、V(t)和A(t)，设计出傅式凸轮轮廓。

2.如权利要求1所述的可扩展近休止角的傅里叶级数凸轮设计方法，其特征在于，所述步骤二包括如下步骤：

2.1、当傅式凸轮近休止角为90°，傅式凸轮对应的近休止期为[0,90°]U[360°-90°,360°]，运用传统算法求解的傅式凸轮位移传递函数S(t)为：

2.2当限定设计的傅式凸轮的近休止角为θ’，且0≤θ’＜90°；则θ’对应的近休止期为[0,θ’]U[360°-θ’,360°]；

此时，建立改进算法求解的傅式凸轮位移传递函数S(t)′，改进算法如下：

其中，a₀表示傅里叶级数展开式中的常数项；a_k表示傅里叶级数展开式中第k个a值系数；k表示傅里叶级数展开式中第k个值；ω表示凸轮机构的运动角速度，t表示时间；b_k表示傅里叶级数展开式中第k个b值系数；γ和δ均表示系数；

由公式(2)建立起θ与θ₀之间的关系，

θ₀＝γθ+δ (2)

θ₀表示采用改进算法求解时傅式凸轮位移传递函数是的傅式凸轮转角，θ表示采用传统算法求解时的傅式凸轮转角；

建立傅式凸轮的近休止期[0,θ’]U[360-θ’,360]与傅式凸轮的近休止期[0,90]U[360-90,360]的映射关系，则在傅式凸轮的升程阶段，有以下一元二次方程：

当θ₀取值为θ’，θ取值为90°时，求解得到γ和δ的值如下：

同理在傅式凸轮回程阶段，得到θ与θ₀之间的关系也如公式(2)所示。

3.如权利要求2所述的可扩展近休止角的傅里叶级数凸轮设计方法，其特征在于，所述步骤三中，傅式凸轮的位移函数S(θ)的确定方法如下所示：

式(2)中，θ为傅式凸轮转角，a₀,a_k,b_k为凸轮位移函数的待定系数，k＝1,2,3,…；n为选取项数；n为是傅里叶级数展开项数，初始值为1；

设一个运动周期中S(θ)有n段运动曲线有严格运动精度要求，用

表示第i段有运动精度要求的理想运动函数，i＝1,2,…,n；θ_ai,θ_bi分别表示第i段凸轮的起始和终止转角；对于S_i(θ)＝c，当c>0，表示θ_ai≤θ≤θ_bi区间为远休止期；当c＝0，表示θ_ai≤θ≤θ_bi区间为近休止期；理想运动函数

与实际运动函数S_i(θ)之间的误差ε构造为：

其中，α_i表示从动件的远休止期和近休止期运动的对应区域段的权重系数；

表示傅式凸轮的理想运动函数；

式(3)共计n+10个未知数，若有p个约束条件，约束条件由S(t)、V(t)、A(t)在角度θ确定；p个参数由p个约束条件求解:

其中；a_p-1表示求傅里叶级数展开的第ap-1参数值，

表示推杆在hp-1位置时对应的凸轮转角，a_n表示傅里叶级数展开式的第n个a的值，b_n表示傅里叶级数展开式的第n个b的值；

基于最小二乘法原理，对剩余(n+1-p)个参数求导为0，求出位移的最大误差ε_s的最小值，剩余(n+1-p)个参数由下式得出：

求得对应从动件类速度V(θ)，类加速度的函数A(θ)，如下：

式中V(θ)代表从动件的类速度，A(θ)表示从动件的类加速度。

4.如权利要求3所述的可扩展近休止角的傅里叶级数凸轮设计方法，其特征在于，所述步骤五中，θ与θ₀之间的近休止期的映射关系如公式(1)所示，则近休止角θ₀与时间t的关系如公式(10)所示：

其中，ω表示凸轮机构的运动角速度；

联立求解公式(1)和(8)得到θ与t的映射关系：

则根据式(1)、(3)、(8)、(9)和(11)得到：

Images