CN106844875A - 一种基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法。该方法中用傅里叶级数有限项来近似凸轮机构传递函数运动规律以避免凸轮机构运动发生共振，并通过高斯平方差最小法确定傅式级数运动规律，解决了传统凸轮高速运转时易导致摩擦磨损，疲劳破坏和噪声大等问题；并避免了高速下动力响应差，从动件剧烈振动的现象，对于解决高速凸轮的动力学问题具有重要意义。

Description

一种基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法

技术领域

本发明属于机械领域，尤其涉及一种基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法。

背景技术

凸轮机构具有传动、导向及控制机构的各种功能，被广泛应用于自动机械中。利用凸轮机构以及利用凸轮机构和其他型式的机构组合，可以在任意设计凸轮构件形状的基础上，能够精确地实现所有的运动规律。

目前，对高速凸轮机构分析采用谐分析、谐综合等设计方法，使得高速凸轮机构动力性能有了很大改善，但对于解决高速状态下从动件振动问题欠佳。

发明内容

为解决上述问题，本发明提供了一种基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法。利用该方法设计的凸轮能有效的解决高速状态下从动件振动问题，具有重要的工程实际意义。

本发明的一个方面是取傅式级数的有限项近似原来的理论运动函数，既能满足凸轮机构的运动精度又能避免高阶谐量使凸轮机构产生共振。

本发明的另一个方面是为使从动件运动与理想运动保持一致，采用在保证傅式级数凸轮运动函数与理想运动函数之间误差量最小的前提下，兼顾最大加速度尽可能最小的原则。

本发明可以有效的避免高速凸轮从动件的振动。应用本发明的技术方案可以在保证避免振动的基础上，满足高速凸轮光滑性要求。

为达到上述技术效果，本发明的技术方案是：

一种基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法，包括以下步骤：步骤一、根据设计要求，给定凸轮允许的位移的最大偏差量δ_S’、速度允许的最大偏差量δ_V’和加速度允许的最大偏差量δ_A’；

步骤二、确定傅氏凸轮运动函数，利用有限项傅氏级数来表示凸轮的实际输出运动方程；

其中，有限项n使末级谐波最高激振频率低于凸轮第一阶危险固有频率，即nω<ω_n；其中为凸轮的运动角速度，ω_n为凸轮的固有频率；

步骤三、求解有限项为n时，凸轮位移的最大偏差量δ_S、速度的最大偏差量δ_V和加速度的最大偏差量δ_A，若δ_S≤δ_S’；δ_V≤δ_V’；δ_A≤δ_A’则确定n的值，得到凸轮的实际输出运动方程中的S(θ)，其中θ为凸轮的转角，S(θ)为对应于θ角度时推杆位移；S(θ)带入摆动凸轮轮廓解析式可求得凸轮轮廓；否则增加n值，重新计算。

进一步的改进：所述步骤二中，傅氏凸轮运动函数为：

式(1)中θ为凸轮转角，a₀、a_k、b_k均为待定系数；k＝1,2,3,…；利用有限项傅氏级数表示的凸轮的实际输出运动方程为：

其中，n为选取项数。

3.如权利要求2所述的基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法，其特征是：

所述步骤三中，设在一个凸轮的运动周期中有m段有严格要求，用表示第i个有严格要求的理想运动输出函数，i＝1,2,3,…,m；表示第i区域段的起始角度；表示第i区域段的终止角度；对于一般凸轮机构而言，当时，表示近静止区域段；表示远静止区域段；表示匀速上升区域段和下降区域段；其中，c为对应S(θ)中推程段的增长斜率，为一常数；

采用高斯平方差最小法使有限项傅式级数方程S(θ)更逼近理想运动输出函数来确定a₀、a_k、b_k，即要求：

式(3)中ρ_i表示各个有严格要求区域段的权重系数(取值范围为[0,1]；若要求非常严格，可取1；若严格度较低，可取较小值)；

将式(3)分别对a₀、a_n、b_n求偏导，并令其等于零，则有：

dθ为微分算子，为偏微分算子；

展开后如下列形式：

式(5)中为含有a₀，a₁，b₁，…，a_k，b_k，…，a_n，b_n的2n+1个未知量的线性方程组；求解线性方程组(5)，将所求解得出的a_k，b_k值代入式(2)中，可得出傅式级数凸轮运动规律实际输出方程；运用一维搜索优化设计方法对傅式凸轮运动特性分析，求出求解有限项为n时，凸轮位移的最大偏差量δ_S、速度的最大偏差量δ_V和加速度的最大偏差量δ_A。

进一步的改进：远静止区域段和近静止区域段的权重系数大于匀速上升区域段和下降区域段的权重系数。

进一步的改进：所述步骤三中，选取的n的值为符合条件的n的最小值。

附图说明

图1是本发明的流程示意图；

图2是本发明在具体应用实例中的一种傅氏级数凸轮运动规律；

图3是本发明在具体应用实例中不同λ时δ_k值随n值变化规律；

图4是本发明在具体应用实例中停留区域内相对位移最大偏差量δ_S随最大加速度A_m值变化规律；

图5是本发明在具体应用实例中停留区域内相对速度最大偏差量δ_V随最大加速度A_m值变化规律；

图6是本发明在具体应用实例中停留区域内相对加速度最大偏差量δ_A随最大加速度A_m值变化规律。

图7是按本发明在具体应用实例中，优化设计的凸轮轮廓线。

具体实施方式

以下通过具体实施方式并且结合附图对本发明的技术方案作具体说明。

本发明的目的通过下述技术方案实现：

(1)首先根据设计要求，给定允许的位移、速度和加速度的最大偏差量为δ_S’、δ_V’和δ_A’；

(2)确定傅氏凸轮运动函数(即使用傅里叶级数展开凸轮的运动函数)，利用有限项傅氏级数来表示凸轮机构的实际输出运动方程；

设在一个运动周期中有m段有严格要求，用表示第i个有严格要求的理想运动输出函数，i＝1,2,3,…,m。用和表示第i区域段的起始角度和终止角度。对于一般凸轮机构而言，当时，表示近静止区域段；表示远静止区域段；c为常数，表示匀速上升和下降区域段，可用斜率定义求出。

有限项n的选取应使末级谐波最高激振频率低于凸轮结构第一阶危险固有频率，即nω<ω_n(其中为凸轮机构的运动角速度，ω_n为机构固有频率)，第一执行本部，取n＝3。

采用高斯平方差最小法使有限项傅式级数方程S(θ)更逼近理想运动输出函数来确定a₀、a_k、b_k，即要求：

式(3)中ρ_i是各有严格要求区域段的权重系数。一般情况，从动件运动规律的远近静止区域段要求比较严格，此时权重系数可取较大。将式(3)分别对a₀、a_n、b_n求偏导，并令其等于零：

展开后如下列形式：

式(5)中为含有a₀，a₁，b₁，…，a_k，b_k，…，a_n，b_n的2n+1个未知量的线性方程组。求解线性方程组(5)，将所求解得出的a_k，b_k值代入式(2)中，可得出傅式级数凸轮运动规律实际输出方程S(θ)。

(3)求解位移、速度和加速度最大偏差量δ_S、δ_V和δ_A。

运用一维搜索优化设计方法(对单变量直接探索称为一维搜索或探索，是一种优化方法)对傅式凸轮运动特性分析可求出位移、速度和加速度最大偏差量δ_S、δ_V和δ_A，所求结果如图4～6所示。取θ的序列，如θ∈[0,0.01π,0.02π,...,2π]，当θ＝θ^*(θ^*为序列(即搜索区间)中的某个元素)时有：

(4)判断δ_S、δ_V和δ_A是否均小于δ_S’、δ_V’和δ_A’

若小于，则计算凸轮轮廓，完成设计；

若某项大于，则取n＝n+1，从新计算(2)、(3)、(4)

具体例子为：

(1)假设要求设计的凸轮为摆动凸轮，凸轮摆杆位移曲线为：

工作参数λ＝0.5；

且最大偏差要满足

(2)、(3)确定傅氏凸轮运动函数，当取n＝3时,计算偏差不满足最大偏差要求；当n＝6时

按前面步骤(2)，可得系数为：

计算得到的最大偏差为：

(4)将本文方法优化得到的S(θ)带入摆动凸轮轮廓解析式，可求得凸轮轮廓。摆动凸轮轮廓解析式见机械原理第7版孙恒等著，p163(9-19)，摆动滚子推杆盘形凸轮机构的轮廓解析设计方法。

技术效果：

如图5，随着傅氏方程项数n的增多，最大位移偏量明显减小，运动精度显著提高；

如图4-图6，当A_m落在[-6,-4.5]时，δ_S、δ_V和δ_A最小，即设计的凸轮实际特性与理想运动输出函数比较接近；

可以根据需要设定相对位移、相对速度和相对加速度最大偏差量δ_S、δ_V和δ_A，控制优化设计的目标，以达到需要的精度要求并可避免共振。

上述仅为本发明的一个具体导向实施方式，但本发明的设计构思并不局限于此，凡利用此构思对本发明进行非实质性的改动，均应属于侵犯本发明的保护范围的行为。

Claims (5)

1.一种基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法，其特征是：包括以下步骤：

步骤一、根据设计要求，给定凸轮允许的位移的最大偏差量δ_S’、速度允许的最大偏差量δ_V’和加速度允许的最大偏差量δ_A’；

步骤二、确定傅氏凸轮运动函数，利用有限项傅氏级数来表示凸轮的实际输出运动方程；

其中，有限项n使末级谐波最高激振频率低于凸轮第一阶危险固有频率，即nω<ω_n；其中为凸轮的运动角速度，ω_n为凸轮的固有频率；

步骤三、求解有限项为n时，凸轮位移的最大偏差量δ_S、速度的最大偏差量δ_V和加速度的最大偏差量δ_A，若δ_S≤δ_S’；δ_V≤δ_V’；δ_A≤δ_A’则确定n的值，得到凸轮的实际输出运动方程中的S(θ)，其中θ为凸轮的转角，S(θ)为对应于θ角度时推杆位移；S(θ)带入摆动凸轮轮廓解析式可求得凸轮轮廓；否则增加n值，重新计算。

2.如权利要求1所述的基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法，其特征是：所述步骤二中，傅氏凸轮运动函数为：

$S\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\frac{a_0}{2}+\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\left(a_{k}cos\right(k\mathrm{\&theta;})+b_{k}sin(k\mathrm{\&theta;}\left)\right);---\left(1\right)$

式(1)中θ为凸轮转角，a₀、a_k、b_k均为待定系数；k＝1,2,3,…；

利用有限项傅氏级数表示的凸轮的实际输出运动方程为：

$S\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\frac{a_0}{2}+\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\left(a_{k}cos\right(k\mathrm{\&theta;})+b_{k}sin(k\mathrm{\&theta;}\left)\right)---\left(2\right)$

其中，n为选取项数。

3.如权利要求2所述的基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法，其特征是：

所述步骤三中，设在一个凸轮的运动周期中有m段有严格要求，用表示第i个有严格要求的理想运动输出函数，i＝1,2,3,…,m；表示第i区域段的起始角度；表示第i区域段的终止角度；当时，表示近静止区域段；表示远静止区域段；表示匀速上升区域段和下降区域段；其中，c为对应S(θ)中推程段的增长斜率；

采用高斯平方差最小法使有限项傅式级数方程S(θ)更逼近理想运动输出函数来确定a₀、a_k、b_k，即要求：

$\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left\{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&lsqb;S\left(\mathrm{\&theta;}\right)-\stackrel{\&OverBar;}{S_i}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\&rsqb;}^{2}d\mathrm{\&theta;}\right\}\&RightArrow;min---\left(3\right);$

式(3)中ρ_i表示各个有严格要求区域段的权重系数；

将式(3)分别对a₀、a_n、b_n求偏导，并令其等于零，则有：

$\&part;\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i\left\{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}{\&lsqb;S\left(\mathrm{\&theta;}\right)-\stackrel{\&OverBar;}{S_i}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\&rsqb;}^{2}d\mathrm{\&theta;}\right\}/\&part;a_0=0$

$\&part;\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i\left\{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}{\&lsqb;S\left(\mathrm{\&theta;}\right)-\stackrel{\&OverBar;}{S_i}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\&rsqb;}^{2}d\mathrm{\&theta;}\right\}/\&part;a_k=0$

$\&part;\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i\left\{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}{\&lsqb;S\left(\mathrm{\&theta;}\right)-\stackrel{\&OverBar;}{S_i}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\&rsqb;}^{2}d\mathrm{\&theta;}\right\}/\&part;b_k=0---\left(4\right)$

dθ为微分算子，为偏微分算子；

展开后如下列形式：

$\begin{array}{c}{a}_0\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}d\mathrm{\&theta;}+2\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_k\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\cos \left(k\mathrm{\&theta;}\right)d\mathrm{\&theta;}+2\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_k\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\sin \left(k\mathrm{\&theta;}\right)d\mathrm{\&theta;}\\ +2\underset{k=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(\mathrm{\&theta;}\right)d\mathrm{\&theta;}\end{array}$

$\begin{array}{c}{a}_0\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\cos \mathrm{\&theta;}d\mathrm{\&theta;}+2\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_k\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\cos \mathrm{\&theta;}\cos \left(k\mathrm{\&theta;}\right)d\mathrm{\&theta;}\\ +2\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_k\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\cos \mathrm{\&theta;}\sin \left(k\mathrm{\&theta;}\right)d\mathrm{\&theta;}=2\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\cos \mathrm{\&theta;}d\mathrm{\&theta;}\end{array}$

$\begin{array}{c}{a}_0\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\sin \left(n\mathrm{\&theta;}\right)d\mathrm{\&theta;}+2\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_k\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\sin \left(n\mathrm{\&theta;}\right)\cos \left(k\mathrm{\&theta;}\right)d\mathrm{\&theta;}\\ +2\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_k\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\sin \left(n\mathrm{\&theta;}\right)\sin \left(k\mathrm{\&theta;}\right)d\mathrm{\&theta;}=2\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&theta;}}_{a_i}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{e_i}}\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\sin \left(n\mathrm{\&theta;}\right)d\mathrm{\&theta;}\end{array}---\left(5\right)$

式(5)中为含有a₀，a₁，b₁，…，a_k，b_k，…，a_n，b_n的2n+1个未知量的线性方程组；求解线性方程组(5)，将所求解得出的a_k，b_k值代入式(2)中，可得出傅式级数凸轮运动规律实际输出方程；运用一维搜索优化设计方法对傅式凸轮运动特性分析，求出求解有限项为n时，凸轮位移的最大偏差量δ_S、速度的最大偏差量δ_V和加速度的最大偏差量δ_A。

4.如权利要求1述的基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法，其特征是：远静止区域段和近静止区域段的权重系数大于匀速上升区域段和下降区域段的权重系数。

5.如权利要求1述的基于傅里叶级数的高速凸轮优化设计方法，其特征是：所述步骤三中，选取的n的值为符合条件的n的最小值。