CN113158510A

CN113158510A - 一种索网结构的优化找形方法

Info

Publication number: CN113158510A
Application number: CN202110228886.5A
Authority: CN
Inventors: 刘超; 詹海鹏
Original assignee: Tongji University
Current assignee: Tongji University
Priority date: 2021-03-02
Filing date: 2021-03-02
Publication date: 2021-07-23
Anticipated expiration: 2041-03-02
Also published as: CN113158510B

Abstract

本发明涉及一种索网结构的优化找形方法，包括以下步骤：1)构建初始索网结构，并获得初始索网结构中各杆单元的初始长度、初始轴力以及外载荷；2)以索网结构各杆单元长度总和最小为优化目标，构建包含索网结构各节点的总体平衡迭代方程式；3)考虑施加边界条件，根据输入参数和求解目标的不同，采用迭代或直接求解的方式对总体平衡迭代方程式进行求解获得最终的优化索网结构。与现有技术相比，本发明具有满足设计总长要求、灵活设计边界条件、适用性强、无关网格划分方式等优点。

Description

一种索网结构的优化找形方法

技术领域

本发明涉及空间结构设计领域，尤其是涉及一种索网结构的优化找形方法。

背景技术

空间离散结构是将杆件沿着曲面有规律地布置而组成的结构体系，随着结构跨度的日益增大和结构造型的复杂化，传统的空间结构设计理念和方法难以完全满足其发展需求。荷载主要通过杆件轴力传递的结构遵循“form follow force”的准则，由于没有弯矩产生，结构形状主要由力控制。受拉的空间索网结构和受压的网壳结构都遵循此准则。在实践中通常只知道结构的边界条件，具体形状需要通过找形方法来得到。通过合理配置结构中的杆件，使得构件主要受轴向力作用，可以高效率地使用材料，早期使用悬挂法或者制造模型等物理方法对空间结构进行找形，随着计算机技术的发展，找形研究集中于数值计算方法，最早应用于膜结构屋盖的找形，后来渐渐扩展到索网等空间结构，力密度法、动态松弛法、更新策略法等已经广泛应用于空间结构的找形。

网状结构的特点是存在大量可能平衡的初始配置，很难先验地定义它们的几何形状，由于索网缆线不能承受弯曲，也不能压缩，一般不能施加形状，索网结构的设计涉及确定初始平衡配置，包括结构的形状和轴力，既需要架构(形式和功能)又满足结构要求(强度和稳定性)，索网结构在传递力方面非常高效。由于缆线本身会改变平衡负载变化时的配置，软缆线的形状通过将缆线排列成网状结构来形成一个表面(具有负高斯的表面曲率)。由以往的研究可知，索网结构的形状取决于静力学定律：几何形状是直接反映内力处于平衡状态；任意选择的形状而轴力值几乎不会达到平衡要求。因此，预应力索网结构设计的第一阶段是其形式的定义，即形状查找。形状查找过程中获得的最终形状会同时参考初始结构的形状及其相关轴力。索网结构整体设计过程的最系统方法是通过有限元方法(FEM)。它直接提供一个可行的形状，也提供结构受到的轴力。需要将在设计荷载下确定结构的行为以及将数据传输到模式例程；另一方面，基于FEM或其他形式的结构分析结果的过程，通常在非线性分析中，是需要一个规范的的初始几何形状，步数和边界条件。另外现有的力密度法只能选择固定节点，不能选择性控制单个节点的坐标。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种索网结构的优化找形方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种索网结构的优化找形方法，包括以下步骤：

1)构建初始索网结构，并获得初始索网结构中各杆单元的初始长度、初始轴力以及外载荷；

2)以索网结构各杆单元长度总和最小为优化目标，构建包含索网结构各节点的总体平衡迭代方程式；

3)考虑施加边界条件，根据输入参数和求解目标的不同，采用迭代或直接求解的方式对总体平衡迭代方程式进行求解获得最终的优化索网结构。

所述的步骤2)中，包含索网结构各节点的总体平衡迭代方程式具体为：

其中，

为索网结构的外荷载向量，

为节点坐标向量，F_ix、F_iy、F_iz、F_jx、F_jy、F_jz分别为杆单元i、j两端的杆端力，x_i、y_i、z_i、x_j、y_j、z_j分别为杆单元i、j两点的三维坐标，l_ij、N_ij分别为杆长与轴力，

为总体平衡迭代矩阵，q＝N_ij/l_ij为杆单元的力密度。

所述的步骤3)中，当输入的参数为轴力和杆长时，采用迭代求解的方式对总体平衡迭代方程式进行求解获得最终的优化索网结构。

所述的迭代求解的具体步骤包括：

301)获取初始索网结构中各杆单元的初始长度

初始轴力

以及外载荷

302)对于迭代第n步，将上一步中各杆单元的长度

轴力

以及外载荷

代入总体平衡迭代方程式中，得到迭代第n步的各节点坐标向量

303)根据迭代第n步得到的各节点坐标向量

即各节点的三维坐标，进而得到迭代第n步各杆单元的长度

根据上一步中各杆单元的轴力

第n步各杆单元的长度

以及各节点的三维坐标，通过单元平衡方程更新得到迭代第n步的杆端力

再由杆端力

通过向量求和更新得到迭代第n步的轴力

304)重复步骤302)-303)直至满足迭代条件，最终得到各节点的三维坐标以及各杆单元的长度，即最终的优化索网结构。

所述的步骤302)中，得到迭代第n步的各节点坐标向量

的表达式为：

其中，

为与节点坐标向量相关的外荷载向量，当不考虑杆单元自重时，其为一恒定常量。

所述的步骤303)中，所述的单元平衡方程的具体表达式为：

所述的步骤3)中，当输入的参数为力密度q时，根据初始索网结构中各杆单元的力密度和外载荷数据直接代入总体平衡迭代方程式进行求解获得最终的优化索网结构。

所述的步骤3)中，施加不同的边界条件具体为将选定的一个或多个节点的三维坐标固定，在求解总体平衡迭代方程式的过程中恒定不变。

索网结构优化找形的假设前提条件包括：

忽略杆件抗弯刚度的影响，视作杆单元；

杆件自重均布荷载等分到杆单元两端节点形成等效节点力；

每个杆件作为独自单元，截面面积保持不变。

所述的索网结构包括极小曲面、马鞍形曲面和双曲抛物面结构，所述的极小曲面包括悬链线曲面、螺旋线曲面和Scherk曲面。

本发明基于坐标与杆端力的关系，对网状结构和索网结构进行找形，在整体坐标系中，按照杆单元的力学特性直接建立索网节点坐标和杆端力的单元平衡迭代矩阵，根据设置的参数类型，提供了不同的找形流程，寻找特定状态下结构的平衡形态，与现有技术相比，本方法能够适用于不同类型的索网找形，有以下优点：

(1)理论和实例都验证了在无荷载的前提下，最终形状能够满足总长度最小或者总长度平方和最小。

(2)边界条件会极大地影响最终的找形结果，同样的初始条件，改变边界条件会导致完全不同的找形结果，同时轴力一致或力密度一致时，边界处节点坐标相较于初始状态变化较小，远离边界处节点变化更大，且杆件长度更小。

(3)本方法相较于传统力密度法，可以很方便地改变边界，不只是固定节点，还可以控制节点三维坐标。

(4)只有特殊的结构能够满足轴力恒定的要求，部分结构在流程1中会不收敛，但流程2适用于所有实例，适用性更好。

(5)网格划分的方式不同(如四边形和三角形网格)不会影响最终的找形结果。

附图说明

图1为空间坐标图示。

图2为共节点单元示例。

图3为本发明的方法流程图(流程1)。

图4为本发明的方法流程图(流程2)。

图5a为极小曲面的初始结构。

图5b为采用流程1的迭代结果。

图5c为采用流程2的迭代结果。

图6a为螺旋曲面的初始结构。

图6b为采用流程1的迭代结果。

图6c为初始形状与迭代结果的对比。

图7a为Scherk曲面的初始结构。

图7b为采用流程1的迭代结果。

图7c为采用流程2的迭代结果。

图8a为双曲抛物面的初始结构。

图8b为双曲抛物面的平面投影。

图8c为采用流程1的迭代结果。

图9a为马鞍形曲面的初始结构。

图9b为采用流程1的迭代结果。

图9c为马鞍形曲面的平面投影。

图10a为释放另外两边约束后马鞍形曲面采用流程1的迭代三维结果。

图10b为图10a的平面投影图

图11a为螺旋线曲面采用三角形网格划分的初始网格。

图11b为螺旋线曲面采用三角形网格划分采用流程1的迭代结果。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。

本发明提供一种索网结构的优化找形方法，其总体技术方案介绍如下：

一、总体思想

本发明基于结构的几何形状是直接的反映力系统处于平衡状态的准则，提出索网结构的优化找形方法，本方法利用静力平衡和几何协调关系，得到整个系统的平衡方程，建立力与节点坐标的线性关系，既可以将轴力作为初始参数求解相应的平衡状态，也可以采用力密度作为描述力学平衡状态的参数，不同的力密度对应着不同的平衡状态。该方法相比现有的力密度法，将其拓扑关系改为更方便理解和计算的格式，同时传统力密度法只能选择固定节点，不能选择性控制节点的单个坐标，本方法可以自由控制节点的三维坐标，在实践中是不可忽视的优势，通过数学证明和实例验证，本方法在特定参数下可以得到网状结构杆件最小长度的解(与极小曲面类似)，具有较好的鲁棒性

1、基本假设：

11)忽略杆件的抗弯刚度的影响，看作杆单元；

12)杆件自重均布荷载等分到杆单元两端节点形成等效节点力；

13)每个杆件作为独自单元，截面面积保持不变。

2、依据之前的假设，索网的合理受力状态是满足力学平衡的一种状态，主要包括两点，即相当于充要条件：

21)每个杆单元的横向、竖向长度与杆端力成比例，满足单元平衡。

22)每个节点各个方向的集中力的代数和为0，即满足节点力平衡。

二、各部分细节说明

2.1单元平衡迭代方程

在杆长和轴力已知的情况下，如要保持杆单元平衡，杆端力之间必然符合一定的三角函数关系，此外，迭代过程中在正确的收敛趋势下，各力之间符号的相对关系是不变的，如图1所示，设定轴力符号与单元i端杆端力的符号保持一致，在实际情况中受压为正，则可获得杆端力与坐标的关系式：

该杆单元的单位矢量如下：

设轴力为N_ij，根据单元平衡可以得到轴力与杆端力和坐标的关系如下：

通过整理转化可以得到单元平衡迭代方程：

在杆长和轴力已知的情况下，可以直接建立单元杆端力与节点坐标的单元平衡迭代矩阵方程，其中，K_e表示式(4)中的平衡迭代矩阵，H_e表示

P_e表示(F_ix F_jx F_iy F_jy F_iz F_jz)^t，令N_ij/l_ij＝q，则有：

P_e＝qK_eH_e (5)

2.2杆件总长度最小状态推导

结构杆件总长度是衡量成本的一项重要指标，在静力平衡状态下，结构轴力与杆件长度达到比例平衡，通过控制二者的比例关系，理论上能达到结构杆件总长度最小的目标。

观察矩阵K可以发现，其与坐标向量的乘积实际含义是相邻节点之间在三个坐标轴的投影距离。通过调整K元素的位置，可以得到：

设所有杆件的长度向量为l，则长度平方加权总和为：

将对称矩阵K分为三块K_x，K_y，K_z，则有：

K＝[K_x K_y K_z] (9)

KK^t＝K^tK＝＝K_x ^tK_x+K_y ^tK_y+K_z ^tK_z (10)

对于l^tl取得最小值的问题，本例中通过对x,y,z求导来解决：

合并简化为：

比较两式可以发现杆件最小总长度的状态方程与坐标迭代法的平衡方程非常相像，只需要式(5)中N/l＝1，并且荷载为零，当结构荷载为零时，使用坐标迭代法求解即找到杆件总平方长度最小的形状。

更一般的情况，将长度平方加权累加，设置权重G＝N_const/l，其中N_const为恒定力，可以得到总长度最小的状态方程，此时结构杆件轴力均为N_const。

2.3迭代格式

如图2所示，杆单元①②共用节点2，按照上述流程，根据平衡条件与比例关系，建立格式相同的平衡方程，可以发现，两个单元可以依照组集规则，构建平衡迭代矩阵。以图2中的共节点单元为例，组集总体平衡迭代矩阵：

类似地，组集所有的单元平衡迭代方程可以形成总体平衡迭代矩阵

平衡迭代矩阵是关于力密度的函数，分开来说是杆件轴力和长度的函数，依照组集规则，可以推导得到整个节点的总体平衡迭代方程式。

其中，

表示第n-1阶段结构的外荷载向量，是上一迭代阶段坐标解的函数，当不考虑杆单元自重时，在迭代过程中恒定不变，

表示节点坐标向量。

其中，

分别表示迭代第n阶段i、j两端的杆端力；

分别表示第n阶段i、j两点的坐标，

分别表示迭代第n-1阶段所确定的杆长与轴力。

2.4平衡方程的迭代求解条件

41)初始参数的设定

本方法适用于受拉的网状结构和受压的索网结构，初始参数设置可以分为三种：

1)确定杆件恒定轴力N，在迭代过程中通过设置Nⁿ＝N^n-1lⁿ/l^n-1达到力一致的目的。

2)确定杆件力密度，直接输入方程即可，无需迭代；

3)确定杆件长度。

由于坐标作为待求解参数，所以长度无法提前确定，而且在实践中对于固定长度的需求较小，因此在本例中初始参数设置有两种流程，分别为流程1(图1)和流程2(图2)。

42)边界条件的处理

因为总体平衡方程的未知数是坐标，而不是有限元中的位移，故在考虑边界条件时，应将已知的节点坐标类似于强迫位移对其进行处理。采用主元充大数法，对于总体平衡迭代矩阵的第i个自由度点坐标U_i，原第i个平衡方程为：

将矩阵中对角元中充一大数D，并采取修改荷载项的方式处理，平衡方程变为：

由于大数D数值很大，可得到

从而将限制坐标体现在平衡迭代方程中。

43)收敛条件的确定

对流程1中的第一种流程需要收敛条件，设置相较于上一迭代阶段的三个方向坐标差绝对值之和小于10^-6，满足条件后说明迭代过程中节点不再移动，则有：

实施例

如图3和4所示，本发明分别给出两种找形流程，具体实施方式如下：

1、由推导可知，当外荷载为零，并且索网的杆件力相同时，其杆件总长度最小，此时二者的求解方程等价，在数学层面上，普拉托提出过极小曲面的概念，由肥皂泡引发的猜想，利用一根铁丝，就会形成一个处于平衡状态的彩色薄膜。如果我们忽略混合液体自身的重量，也不考虑风力等外部干扰因素，那么薄膜的势能在表面张力的作用下会达到最小值，而肥皂膜所呈现的曲面形状必然具有最小的面积。目前具有解析式的常见极小曲面有悬链线曲面、螺旋线曲面和Scherk曲面，利用本方法可以便捷地形成上述三种曲面。

(1)极小曲面

悬链线曲面数学解析式为：

选取图5a所示的初始结构，高度和半径均为5。图5b是使用流程1的迭代结果，网格中所有杆件的力都为1，可以看出网格结构中间萎缩严重，中间杆件长度几乎为零，悬链线曲面母线杆件与环向杆件受力不同，其中母线部分受力较大，因此悬链线曲面不适用于流程1。图5c是流程2的迭代结果，每个杆件的力密度相一致，都设为1。可以明显看出边界区的母线杆件受力大于环向的杆件，也能够论证前述解释。

(2)螺旋曲面

螺旋曲面的数学参数表达式为：

选取螺旋线作为固定边界，并等分为20份，依次连接形成如图6a所示网格，图6b是使用流程1的迭代结果，网格中所有杆件的力都为1，边缘网格较为稀疏，网格集中于曲率较大的位置，如图6c所示，蓝色为初始形状，红色为迭代后的网格形状，曲面特征很明显，根据前述所证明的结论，轴力相等的网格曲面总长度最小。

(3)Scherk曲面

Scherk曲面的数学解析式为：

初始平面等分为20份，依次连接形成如图7a所示网格，选取Scherk曲面的边缘作为固定边界。网格平面形状图7b是使用流程1的迭代结果，网格中所有杆件的力都为1，同样地，边缘网格较为稀疏，网格集中于中间位置，边缘网格杆件较长，网格无规则分布。流程2的迭代结果如图7c所示，网格力密度相同，杆件分布均匀，曲面特征明显，更为美观。这两个结果验证了部分曲面不适用于流程1的原理，会导致迭代结果网格分布过于混乱。

(4)双曲抛物面和马鞍形曲面

为了进一步验证本方法的有效性，选取建筑设计中最为常见的双曲抛物面和马鞍形曲面作为实例。其中，设置双曲抛物面网格参数与迭代条件，正方形平面边长为10，立面高度为5，迭代结束的条件为网格总长度∑L＝294。

双曲抛物面的初始网格如图8a网格所示，其平面投影如图8b所示。流程1迭代结果如图8c所示，所有杆件力为1，网格分布均匀，也验证了此类型网格适用于流程1的原理。从图8c平面投影变化可以看出，网格向内收缩，对角线网格位置不变，其他网格向对角线偏移靠近。越远离边界的网格偏移的幅度越大。

马鞍形曲面平面网格参数与双曲抛物面相同，正方形平面边长为10，初始网格如图9a网格所示，边界条件两边为半径5的圆弧，另外两边固定。流程1迭代结果如图9b所示，所有杆件力为1，马鞍形曲面特征明显。从图9c平面投影变化可以看出网格分布呈现对称分布，网格均匀。对角线网格为适应马鞍形曲面的特征，位置发生变化，网格向两固定边收缩。

2、边界条件的影响

从双曲抛物面和马鞍形曲面的实例可以看出相同的网格划分会因为边界条件的不同出现不同的优化结果。为了进一步探究边界条件对于本方法找形结果的影响，选取与马鞍形曲面相同的平面网格，将圆弧边界保留，释放另外两边的约束，流程1迭代三维结果如图10a所示，所有杆件力为1，从平面投影图10b明显看出，释放边界约束后，网格会向中间猛烈收缩，导致中间网格密度较大。同时受约束的边界网格则分布较为均匀。从极小曲面实例中也可以看出，边界约束会影响周围网格的长度和分布均匀程度。

3、网格划分的影响

选取螺旋线曲面，采用三角形网格划分，其余参数和图6a相同，如图11a网格所示。流程1迭代结果如图11b所示，杆件力均相同，与四边形网格划分的迭代结果图6b相同，可见网格划分对于本方法找形结果无影响。