CN107153729A - 一种可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供了一种可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法，1.确定天线前索网面的基本几何参数；2.生成前索网面，并对其进行初始网格划分得到前索网形态设计的初始构型；3.对前索网面内索段施加等张力，使用力密度迭代法找形得到初始找形后的前索网；4.选取有效反射面并将其连接于桁架上；5.用极小范数法求边界索张力；6.用节点坐标优化法进一步优化前索网面找形结果，该方法以“形”找“态”和以“态”找“形”方法相结合有效地减小了前索网结构的最大张力比，改善了前索网张力的均匀性，确保天线具有良好的射频性能，该方法同时适用于偏置抛物面天线和旋转抛物面天线。

Description

一种可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法
技术领域
本发明涉及雷达天线技术领，具体涉及一种可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法。
背景技术
在现代卫星通信领域中，大型空间可展开天线技术已经成为了一项关键技术。现代空间可展开天线技术朝着大口径、轻质地、高精度方向发展。周边桁架可展开网状天线因具备这些优点，已经成为了这方面研究的热门，并且在过去的几十年中已经取得了一定的发展。其主要结构分为：环形支撑桁架、前索网面、后索网面、金属反射网面。环形桁架就有较大的刚度和较高的稳定性，在天线展开时为索网结构提供支撑。前索网面和后索网面通过竖向拉索相连，并且提供竖向的拉力，从而使索网结构张紧。金属反射网附着于前索网面的后面，通过将索网面划分为一系列小三角形面片实现对金属反射网的定形。由于索网绳索的张力要不金属反射网绳索的张力大的多，所以可以忽略金属反射网对天线形面的影响，而只考虑索网结构的形态。
在设计周边桁架可展开网状天线时，有两个一般性的要求：首先是天线的形面精度要求。天线的形面精度取决于金属反射网上三角形面片的大小和形状，而三角面片的形状大小又取决于前索网结构的形态。因此，对前索网结构进行形态设计提升天线的工作性能极为重要。其次是索网张力的均匀性要求。环形桁架可展开抛物面天线绝大多数安装在卫星上，在轨运行时，受到太空环境温度变化的影响，索网结构张力的均匀性将直接影响天线反射面形面精度。现在业内普遍使用最大张力比(索网结构绳索段最大张力与最小张力的比值)来衡量张力的均匀性。
Thomson于1999年在IUTAM-IASS会议上提出的“测地线索网”，然而在设计索网天线时并不存在真实的“测地线索网”。TiberT在2002年的论文《Deployable TensegriTySTrucTures for Space ApplicaTions》中所阐述的研究测地线索网理由为：绳索沿着抛物面的测地线分布时在反射面表面施加横向载荷不会影响绳索的位置。然而，等间距节点沿着反射面的圆周分布，与边界相连的绳索不一定相较于一点。TiberT还提出准测地线索网，旨在使索网结构的绳索总长最小。但是，TiberT的论文中所生成的索网结构形态是纯粹的几何的，未考虑最终预紧力的分布。尽管TiberT在2003的论文《OpTimal Design ofTensionTruss AnTennas》中提到了索网张力均匀性的重要性，但在实际的索网结构设计过程中，却很少关注索网张力的分布状况。其主要研究目的是寻找一个均匀的平面几何结构，该结构上的每条绳索都有相等的力密度，然后将该几何结构投影到理想的抛物面。
MorTerolle在2012年的论文《Numerical form-finding of geoTensoid TensionTruss for mesh reflecTor》中提出了一种使用等张力对索网结构形态进行计算的数值找形方法。他认为索网结构的张力均匀，才可以找到绳索的最小长度，从而使索网结构的质量最小。因为具有等张力的索网的边界节点的要多于环形桁架的挂接节点数目，所以引入了锚定线，通过求解节点的力平衡方程，求出锚定线的拉力，然而，所求锚定线拉力变化范围较大，这直接影响了整个索网结构张力的均匀性。
中国专利申请201710032497.9：基于天线电性能优化策略，使用节点坐标优化法对可展开抛物面天线轴向坐标进行优化；以可展开抛物面天线照度加权型面误差的均方根δ0为目标函数，以索网面内部节点为设计变量，以边界节点固定为约束条件，达到索网面照度加权型面误差的最小值目的。
发明内容
本发明的目的是克服现有技术的不足，提供一种可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法。
本发明的技术方案是提供了一种可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法，包括如下步骤：
步骤1：确定抛物面天线的物理口径、光学口径、偏置距离、焦距、前索网面绳索段均匀张力这些基本参数；
步骤2：根据步骤1的抛物面天线基本参数生成前索网面，将前索网面划分为准测地线网格形式，并将其作为前索网形态设计的初始构型；
步骤3：对前索网内的各索段施加相等张力Tu，然后对前索网进行等张力找形，并且使前索网的所有节点都恰好落在抛物面上，得到初始找形后的前索网；
步骤4：从步骤3中得到的初始找形后的前索网中选取一个区域作为有效反射面，并将该有效反射面连接于桁架上，以有效反射面为界，有效反射面以外的索段为前索网边界索，前索网各边界索张力记为Tcb，有效反射面内部为前索网内部索段，前索网内部索段张力即为Tu；
步骤5：以前索网各边界索张力Tcb作为设计变量，通过极小范数法求出最终前索网各边界索张力Tcb'，并满足Tcb'≥Tu；
步骤6：由步骤5求出的最终前索网各边界索张力Tcb'，再对前索网进行找形，从而确定前索网结构的最终形态。
所述步骤3包括如下步骤：
步骤301：根据式(1)计算出前索网各索段的力密度系数：
qj＝Tu/lj (1)
式(1)中，qj为编号j索段的力密度系数；
Tu为对前索网内各索段施加的张力；
lj为编号j索段的长度；
步骤302：将Tu作为前索网内各索段的张力，使用力密度迭代法对前索网进行找形，并且使所有的索网节点都恰好落在抛物面上，得到初始找形后的前索网；
步骤303：更新前索网的各节点的坐标信息。
所述步骤4包括如下步骤：
步骤401：在步骤3所得初始找形后的前索网中选取一个区域作为有效反射面；
步骤402：将步骤401得到的有效反射面连接于桁架上，以有效反射面为界，有效反射面以外的索段为前索网边界索，前索网各边界索张力记为Tcb，有效反射面内部为前索网内部索段，前索网内部索段张力即为Tu；
步骤403：记录前索网各边界索和前索网内部索段的节点坐标信息和连接信息。
所述步骤401中选取的区域有六边形和圆形两种形状。
所述步骤402中有效反射面形状不同，连接于桁架上的方式不同：当有效反射面形状为六边形时，引入一套新的锚定绳索，配合前索网的边界绳索，将六边形索网连接于桁架上；
当有效反射面形状为圆形时，引入一套连接绳索，将圆形索网连接于桁架上。
所述步骤5包括如下步骤：
步骤501：假设前索网面含有c条边界索，n个边界节点，则在X′和Y′方向上列出2nb个力平衡方程，形成的方程组如式(2)所示:
AT＝b (2)
式(2)中，向量T有c个元素，表示前索网所有边界索的张力向量；
A和b是已知的，系数矩阵A为2n×c阶，向量b有2n个元素；
步骤502：构造一个向量其含有c个元素，得到式(3)：
式(3)中中的各元素相等，前索网所有边界索的张力相等；
为向量各个元素的值；
H为向量或矩阵的转置符号；
e为单位向量；
向量与向量T之间的关系如式(4)所示：
式(4)中向量δ是一个差值向量；
当向量δ的范数取得到最小值，所求向量T即为最优解，记一个向量T使式(4)可解，并使||δ||2最小，则得到式(5)：
式(5)中A+是A的Moore–Penrose广义逆矩阵，||δ||2为向量δ的2-范数；
步骤503：求出||δ||2达到最小时的向量T，得到式(6)：
对式(6)求导可得式(7)：
简化式(7)得到式(8)：
式(8)中为假设的向量的元素值，即前索网边界索的张力相等时的一个解；
步骤504：将式(7)代入式(5)和式(4)求得如下式(9)：
式(8)中T*为向量T的解，即前索网所有边界索的张力向量的解；
利用式(9)可将式(7)改写为式(10)：
步骤505：将向量T*求出的前索网的各边界索张力中小于前索网内部索段张力Tu的张力改为Tu，再执行步骤501到步骤505，求出新的前索网各边界索张力值，直到求出的最终的前索网边界索张力Tcb'均不小于前索网内部索段张力Tu。
所述步骤6中由步骤5求出的最终前索网各边界索张力Tcb'，使用节点坐标优化法再对前索网进行找形，从而确定前索网结构的最终形态。
本发明的有益效果：
本发明的这种可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法以“形”找“态”和以“态”找“形”方法相结合有效地减小了前索网结构的最大张力比，有效反射面连接于桁架上的两种方式都采用极小范数法来确保前索网各边界索张力的均匀性，确保天线具有良好的射频性能，该方法同时适用于偏置抛物面天线和旋转抛物面天线。
以下将结合附图对本发明做进一步详细说明。
附图说明
图1是本发明中抛物面天线为偏置抛物面天线时的前索网面生成示意图；
图2是本发明的有效反射面为六边形的示意图；
图3是本发明实施例2中对边界索张力进行设计找形的结果示意图；
图4是本发明实施例2中前索网最终找形结果示意图。
具体实施方式
实施例1：
为了克服现有技术的不足，本实施例提供了一种可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法，包括如下步骤：
步骤1：确定抛物面天线的物理口径、光学口径、偏置距离、焦距、前索网面绳索段均匀张力这些基本参数；
步骤2：根据步骤1的抛物面天线基本参数生成前索网面，本发明以偏置抛物面天线为例，其前索网面的生成方式如图1所示，将前索网面划分为准测地线网格形式，并将其作为前索网形态设计的初始构型，并记录前索网初始构型的节点坐标信息和索段的连接信息；
步骤3：对前索网内的各索段施加相等张力Tu，然后对前索网进行等张力找形，并且使前索网的所有节点都恰好落在抛物面上，得到初始找形后的前索网，具体如下：
步骤301：根据式(1)计算出前索网各索段的力密度系数：
qj＝Tu/lj (1)
式(1)中，qj为编号j索段的力密度系数；
Tu为对前索网内各索段施加的张力；
lj为编号j索段的长度；
步骤302：将Tu作为前索网内各索段的张力，使用力密度迭代法对前索网进行找形，并且使所有的索网节点都恰好落在抛物面上，得到初始找形后的前索网；
步骤303：更新前索网的各节点的坐标信息；
步骤4：从步骤3中得到的初始找形后的前索网中选取一个区域作为有效反射面，并将该有效反射面连接于桁架上，以有效反射面为界，有效反射面以外的索段为前索网边界索，前索网各边界索张力记为Tcb，有效反射面内部为前索网内部索段，前索网内部索段张力即为Tu，具体如此下：
步骤401：在步骤3所得初始找形后的前索网中选取一个区域作为有效反射面，选取的区域有六边形和圆形两种形状；
步骤402：将步骤401得到的有效反射面连接于桁架上，以有效反射面为界，有效反射面以外的索段为前索网边界索，前索网各边界索张力记为Tcb，有效反射面内部为前索网内部索段，前索网内部索段张力即为Tu；
有效反射面形状不同，连接于桁架上的方式不同：
当有效反射面形状为六边形时，引入一套新的锚定绳索，配合前索网的边界绳索，将六边形索网连接于桁架上；
当有效反射面形状为圆形时，引入一套连接绳索，将圆形索网连接于桁架上；
上述两中连接方式为已知技术，在这里不详细说明；
步骤403：记录前索网各边界索和前索网内部索段的节点坐标信息和连接信息。
步骤5：以前索网各边界索张力Tcb作为设计变量，通过极小范数法求出最终前索网各边界索张力Tcb'，并满足Tcb'≥Tu，具体如下：
步骤501：假设前索网面含有c条边界索，n个边界节点，则在X′和Y′方向上列出2nb个力平衡方程，形成的方程组如式(2)所示:
AT＝b (2)
式(2)中，向量T有c个元素，表示前索网所有边界索的张力向量；
A和b是已知的，系数矩阵A为2n×c阶，向量b有2n个元素；
步骤502：构造一个向量其含有c个元素，得到式(3)：
式(3)中中的各元素相等，前索网所有边界索的张力相等；
为向量各个元素的值；
H为向量或矩阵的转置符号；
e为单位向量；
向量与向量T之间的关系如式(4)所示：
式(4)中向量δ是一个差值向量；
当向量δ的范数取得到最小值，所求向量T即为最优解，记一个向量T使式(4)可解，并使||δ||2最小，则得到式(5)：
式(5)中A+是A的Moore–Penrose广义逆矩阵，||δ||2为向量δ的2-范数；
步骤503：求出||δ||2达到最小时的向量T，得到式(6)：
对式(6)求导可得式(7)：
简化式(7)得到式(8)：
式(8)中为假设的向量的元素值，即前索网边界索的张力相等时的一个解；
步骤504：将式(7)代入式(5)和式(4)求得如下式(9)：
式(8)中T*为向量T的解，即前索网所有边界索的张力向量的解；
利用式(9)可将式(7)改写为式(10)：
步骤505：将向量T*求出的前索网的各边界索张力中小于前索网内部索段张力Tu的张力改为Tu，再执行步骤501到步骤505，求出新的前索网各边界索张力值，直到求出的最终的前索网边界索张力Tcb'均不小于前索网内部索段张力Tu。
步骤6：由步骤5求出的最终前索网各边界索张力Tcb'，使用节点坐标优化法再对前索网进行找形，从而确定前索网结构的最终形态，使得前索网的各个小面片沿抛物面旋转轴轴方向均方根误差最小。
本发明的这种可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法以“形”找“态”和以“态”找“形”方法相结合有效地减小了前索网结构的最大张力比，有效反射面连接于桁架上的两种方式都采用极小范数法来确保前索网各边界索张力的均匀性，确保天线具有良好的射频性能，该方法同时适用于偏置抛物面天线和旋转抛物面天线。
实施例2：
本实施例提供了一种如图1所示的可展开抛物面天线前索网结构的形态
设计方法：
1.仿真条件
天线口径为12m，焦径比为0.45，偏置距离为8.3m，有效反射面等张力为100N，有效反射面以六边形为例，如图2所示，这些参数与2012年MorTerolle的论文《Numerical form-finding of geoTensoid Tension Truss for mesh reflecTor》中的算例参数相同，以便将结果进行对比，采用本发明的方法对该天线的前索网进行形态设计。
2.仿真结果
表1 对边界索张力进行设计找形结果
参数 Mesh1 MorTerolle
最大张力比 1.92 4.89
有效孔径面积/m2 89.81 89.68
有效反射面面片误差/mm 0.57 0.68
整个索网面面片误差/mm 0.84 1.23
平均索段长度/mm 711.20 711.34
索段总数 840 840
面片平均投影面积/dm2 20.12 20.12
面片总数 558 558
表1中，Mesh1为采用本发明的方法得到的数据，MorTerolle为采用其论文《Numerical form-finding of geoTensoid Tension Truss formesh reflecTor》中方法得到的数据，由表1的数据可知，使用本发明对前索网进行形态设计之后，索网张力的均匀性得到了很大的改善。
对边界索张力进行设计找形结果如图3所示，前索网最终找形结果如图4所示，最终找形过程中，在求解最大张力比的最小值时，对节点位置稍微进行了调整，所以图3和图4差别并不明显。
上述仿真数值证明，采用本发明可合理有效地对可展开抛物面天线前索网结构进行形态设计。
以上例举仅仅是对本发明的举例说明，并不构成对本发明的保护范围的限制，凡是与本发明相同或相似的设计均属于本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤1：确定抛物面天线的物理口径、光学口径、偏置距离、焦距、前索网面绳索段均匀张力这些基本参数；
步骤2：根据步骤1的抛物面天线基本参数生成前索网面，将前索网面划分为准测地线网格形式，并将其作为前索网形态设计的初始构型；
步骤3：对前索网初始构型内的各索段施加相等张力Tu，然后对前索网进行等张力找形，并且使前索网的所有节点都恰好落在抛物面上，得到初始找形后的前索网；
步骤4：从步骤3中得到的初始找形后的前索网中选取一个区域作为有效反射面，并将该有效反射面连接于桁架上，以有效反射面为界，有效反射面以外的索段为前索网边界索，前索网各边界索张力记为Tcb，有效反射面内部为前索网内部索段，前索网内部索段张力即为Tu；
步骤5：以前索网各边界索张力Tcb作为设计变量，通过极小范数法求出最终前索网各边界索张力Tcb'，并满足Tcb'≥Tu；
步骤6：由步骤5求出的最终前索网各边界索张力Tcb'，再对前索网进行找形，从而确定前索网结构的最终形态。
2.如权利要求1所述的可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法，其特征在于：所述步骤3包括如下步骤：
步骤301：根据式(1)计算出前索网各索段的力密度系数：
qj＝Tu/lj (1)
式(1)中，qj为编号j索段的力密度系数；
Tu为对前索网内各索段施加的张力；
lj为编号j索段的长度；
步骤302：将Tu作为前索网内各索段的张力，使用力密度迭代法对前索网进行找形，并且使所有的索网节点都恰好落在抛物面上，得到初始找形后的前索网；
步骤303：更新前索网的各节点的坐标信息。
3.如权利要求1所述的可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法，其特征在于：所述步骤4包括如下步骤：
步骤401：在步骤3所得初始找形后的前索网中选取一个区域作为有效反射面；
步骤402：将步骤401得到的有效反射面连接于桁架上，以有效反射面为界，有效反射面以外的索段为前索网边界索，前索网各边界索张力记为Tcb，有效反射面内部为前索网内部索段，前索网内部索段张力即为Tu；
步骤403：记录前索网各边界索和前索网内部索段的节点坐标信息和连接信息。
4.如权利要求4所述的可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法，其特征在于：所述步骤401中选取的区域有六边形和圆形两种形状。
5.如权利要求5所述的可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法，其特征在于：所述步骤402中有效反射面形状不同，连接于桁架上的方式不同：当有效反射面形状为六边形时，引入一套新的锚定绳索，配合前索网的边界绳索，将六边形索网连接于桁架上；
当有效反射面形状为圆形时，引入一套连接绳索，将圆形索网连接于桁架上。
6.如权利要求1所述的可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法，其特征在于：所述步骤5包括如下步骤：
步骤501：假设前索网面含有c条边界索，n个边界节点，则在X′和Y′方向上列出2nb个力平衡方程，形成的方程组如式(2)所示:
AT＝b (2)
式(2)中，向量T有c个元素，表示前索网所有边界索的张力向量；
A和b是已知的，系数矩阵A为2n×c阶，向量b有2n个元素；
步骤502：构造一个向量其含有c个元素，得到式(3)：
<mrow> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>}</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>,</mo> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>,</mo> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>}</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(3)中中的各元素相等，前索网所有边界索的张力相等；
为向量各个元素的值；
H为向量或矩阵的转置符号；
e为单位向量；
向量与向量T之间的关系如式(4)所示：
<mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(4)中向量δ是一个差值向量；
当向量δ的范数取得到最小值，所求向量T即为最优解，记一个向量T使式(4)可解，并使||δ||2最小，则得到式(5)：
<mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(5)中A+是A的Moore–Penrose广义逆矩阵，||δ||2为向量δ的2-范数；
步骤503：求出||δ||2达到最小时的向量T，得到式(6)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>H</mi> </msup> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <msup> <mi>AA</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <msup> <mi>AA</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对式(6)求导可得式(7)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d&amp;delta;</mi> <mi>H</mi> </msup> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <msup> <mi>e</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mi>e</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>e</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <msup> <mi>e</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
简化式(7)得到式(8)：
<mrow> <msup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>*</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(8)中为假设的向量的元素值，即前索网边界索的张力相等时的一个解；
步骤504：将式(7)代入式(5)和式(4)求得如下式(9)：
<mrow> <msup> <mi>T</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(8)中T*为向量T的解，即前索网所有边界索的张力向量的解；
利用式(9)可将式(7)改写为式(10)：
<mrow> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> </msup> <mi>A</mi> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>H</mi> </msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
步骤505：将向量T*求出的前索网的各边界索张力中小于前索网内部索段张力Tu的张力改为Tu，再执行步骤501到步骤505，求出新的前索网各边界索张力值，直到求出的最终的前索网边界索张力Tcb'均不小于前索网内部索段张力Tu。
7.如权利要求1所述的可展开抛物面天线前索网结构的形态设计方法，其特征在于：所述步骤6中由步骤5求出的最终前索网各边界索张力Tcb'，使用节点坐标优化法再对前索网进行找形，从而确定前索网结构的最终形态。
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