CN111722625B - 时变数量群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种时变数量群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性分析方法。该方法包括：利用微分方程建立群体机器人接力目标跟踪系统的追踪控制模型，并建立目标的动力学方程；基于所述追踪控制模型和目标的动力学方程，建立时变数量群体机器人接力目标跟踪系统的整体跟踪误差方程；利用拓扑理论、Lyapunov能量函数方法以及切换理论建立所述整体跟踪误差方程的渐近稳定的判定条件，根据所述判定条件分析群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性。本发明实施例能够对包含追踪机器人数量时变引起的接力系统误差跳变进行稳定性分析及控制器设计，且可应用于不同场景。

Description

时变数量群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性分析方法

技术领域

本发明涉及机器人技术领域，尤其涉及一种时变数量群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性分析方法。

背景技术

群体机器人协同目标追踪指一群具有传感通信功能的自主移动机器人，主动感知周边动态环境，与邻居(称两个能够通信的机器人互为邻居)机器人交互协调，自主决策并规划运动以调整与特定目标之间的相对位置，从而完成对特定目标的追踪。整个系统中不存在集中式的主控系统，每个机器人都是智能的，统称为智能体，具有分布式控制器，能够自主决策。

群体机器人协同目标追踪控制可应用于对车辆/舰队的护航，例如地面移动机器人集群可动态跟踪坦克伴随作战，对坦克起到协同护航的保护作用；也可应用于特定的军事、环境或者栖息区域的智能监控，及外界入侵目标的自主追踪等，例如在军事作战区域群体机器人通过协同交互，实现对敌方目标的动态追踪。

对于一个部署了大量智能移动机器人的区域，若无目标进入，称这些机器人为监控机器人，当有目标入侵时，智能机器人通过局部信息感知交互，距离目标较近的部分机器人开始追踪目标，成为追踪机器人，其他监控机器人仍处于静止。在追踪过程中，机器人可能因为出现故障或者到目标距离较远而退出追踪，或者根据任务复杂度需要更多的机器人加入追踪，新的监控智能机器人与目标及初始追踪机器人进行局部信息交互，根据接力替换策略，决策是否加入追踪，即实现对目标的自主协同接力追踪。系统整体动态性能由每个追踪机器人的动态和机器人之间的通信拓扑决定，这一特点使通信拓扑结构在决定群体机器人系统动态行为方面起着极其重要的作用。然而，与传统的具有切换拓扑的群体机器人系统不同，在接力追踪过程中，不只是机器人之间的通信拓扑结构发生切换，追踪机器人也发生了替换，在接力替换时刻跟踪误差发生跳变。

在追踪过程中，机器人可能出现损坏而退出追踪，或者根据任务复杂性可能需要更多的机器人加入追踪，这将导致追踪机器人的数量发生变化，相应地，导致群体机器人的通信拓扑结构的Laplacian矩阵维度变化。因此，时滞条件下数量时变的动态环境使得群体机器人协同接力追踪控制系统的分析和设计问题更为复杂，相比于理想的多机器人协同控制也更具有实际意义。

发明内容

本发明的实施例提供了一种群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性分析方法，以克服现有技术的问题。

为了实现上述目的，本发明采取了如下技术方案。

一种时变数量群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性分析方法，包括：

利用微分方程建立群体机器人接力目标跟踪系统的追踪控制模型，并建立目标的动力学方程；

基于所述追踪控制模型和目标的动力学方程，建立时变数量群体机器人接力目标跟踪系统的整体跟踪误差方程；

利用拓扑理论、Lyapunov能量函数方法以及切换理论建立所述整体跟踪误差方程的渐近稳定的判定条件，根据所述判定条件分析群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性和控制器设计。

优选地，所述的利用微分方程建立群体机器人接力目标跟踪系统的追踪控制模型，并建立目标的动力学方程，包括：

整个群体机器人接力目标跟踪系统包括追踪目标与监控机器人，以及无线数据传输的分布式控制器，每个机器人都有其独立的控制器，通过控制器控制不同机器人进行信息交互，当外界的目标入侵机器人的监控区域的时候，机器人对目标进行跟踪与监控；

机器人i的动力学方程为：

其中,

是第i个机器人的状态,

和

是常数矩阵，

是控制输入，

是第i个机器人的初始状态；

被追踪的目标的动力学方程描述为：

其中

为目标的状态量，

为目标的初始条件；

群体机器人系统根据下面的追踪控制方程追踪相对应的入侵的目标：

其中，i为跟踪机器人的索引，n(k)表示当前时间段内追踪机器人的数量，e_i(t-τ_i(t))＝x_i(t-τ_i(t))-x_t(t-τ_i(t))表示追踪机器人与目标的位置误差，e_ij(t-τ_i(t))＝x_i(t-τ_i(t))-x_j(t-τ_i(t))表示追踪机器人i与机器人j的位置误差，t表示时间，τ_i(t)为通信时滞，u_i(t)表示追踪机器人系统对应的第i个追踪机器人的控制输入，

是控制矩阵，b_i(σ(k))代表第i个追踪机器人与目标的连接状态，b_i(σ(k))＝1表示第i个追踪机器人能获取到目标的状态，否则b_i(σ(k))＝0，a_ij(σ(k))代表第i个追踪机器人与第j个追踪机器人在σ(k)状态下的通信关系，a_ij(σ(k))＝1代表第i个追踪机器人与第j个追踪机器人在σ(k)状态下的可以互相通信，否则a_ij(σ(k))＝0，σ(k)∈{1,2,...,M_p}，M_p是最大通信拓扑数；n(k)∈{1,2,...,N_p}，N_p表示最大的追踪机器人数量。

优选地，所述的基于所述追踪控制模型和目标的动力学方程，建立群体机器人接力目标跟踪系统的整体跟踪误差方程，包括：

将跟踪机器人与目标的同步问题设定为群体机器人接力追踪系统的稳定性问题，在时间段t∈[t_k,t_k+1),k＝0,1,2...，群体机器人接力目标跟踪系统的整体跟踪误差方程为：

其中

是追踪系统整体位置误差，

I_n(k)表示n(k)×n(k)的单位矩阵；

在整个接力跟踪过程中，设定当整体追踪误差小于δ₁时不再有新的机器人加入追踪，并且只有当新的机器人到目标的误差小于δ₂时该机器人才会加入追踪。

根据跟踪机器人的数量变化和跟踪误差，在切换时刻有三种可能的情况。

情况1.一些原始机器人退出跟踪，而没有新机器人加入任务，跟踪机器人的数量减少，即n(k)＜n(k-1)，追踪系统整体跟踪误差满足：

其中0＜γ_1k≤1表示在t_k时刻机器人退出跟踪导致的跟踪误差跳变；

情况2.一些新的机器人加入了任务，而原始机器人没有退出跟踪，跟踪机器人的数量增加，即n(k)＞n(k-1)，追踪系统整体跟踪误差满足：

其中γ_2k＞1表示在t_k时刻新的机器人加入跟踪导致的跟踪误差跳变，根据上面的设定，其满足

情况3.新的机器人在某些机器人退出跟踪的同时加入了跟踪，追踪系统整体跟踪误差满足：

引理1.考虑在[-h,0]区间上的Legendre多项式

其中

是系数，

基于Legendre多项式，令

R＞0，h＞0，那么，下面的不等式对于所有的

成立。

其中，

定义

其中

是追踪系统整体位置误差，L_k的定义见引理1；

为了简单起见，令N＝2，即

所以有

与

之间的关系为

其中

并且

构建分段线性函数g₀(t)＝1/(t_k+1-t_k),g₁(t)＝(t-t_k)g₀(t)，定义脉冲时间依赖函数

所以

能够反映机器人接力替换及数量变化引起的误差跳变，解决稳定性证明过程中切换时刻Lyapunov函数处理问题；

对于在时间间隔[t_k，t_k+1)上具有不同数量的机器人和通信时滞的多机器人接力跟踪系统，与脉冲时间依赖的平均Lyapunov函数定义为：

其中

其中λ＞0是一个正常数，

是对称正定矩阵；

对于给定的正常数λ，μ＞1和时间比率κ，如果存在正定对称矩阵Q₁₁，Q₁₂，Q₁₃，Q₂，矩阵

α₁,α₂,α₃满足如下的判断条件:

α₁lnμ-λ＜0 (2)

其中

则判定具有时滞τ的接力跟踪多机器人系统和控制器是稳定的；

当

平均驻留时间

最小驻留时间

优选地，所述的基于所述追踪控制模型和目标的动力学方程，建立群体机器人接力目标跟踪系统的整体跟踪误差方程，还包括：

对于时间间隔[t_k,t_k+1]上的接力跟踪系统，设计与脉冲时间相关的平均Lyapunov函数为：

V(t)沿所述整体跟踪误差方程确定的轨迹的右上Dini导数为：

推导得到

其中，

应用引理1，推导得到

结合脉冲时间依赖函数及不等式(1)，进一步得到：

当上述判断条件成立，则保证右上Dini导数小于零，群体机器人接力目标跟踪系统在时间间隔[t_k,t_k+1]是渐近稳定的。

优选地，所述的基于所述追踪控制模型和目标的动力学方程，建立群体机器人接力目标跟踪系统的整体跟踪误差方程，还包括：

针对包含切换时刻误差跳变的整体追踪系统稳定性分析如下：

在切换时刻t_k，Lyapunov函数满足：

当t∈[t_k,t_k+1),k∈N，对于追踪机器人数量增加的情况，由于新加入的机器人在开始跟踪之前保持静态，存在一个

使得

鉴于

并且跟踪误差在切换时间处跳变，当基于脉冲时间依赖的平均Lyapunov函数在切换时间t_k满足以下不等式：

则判定群体机器人接力目标跟踪系统是渐近稳定的，整体跟踪误差收敛到零。

优选地，所述的方法还包括：

上述接力跟踪多机器人系统稳定性的判断条件适用于下面的3种应用场景：

应用场景1：对于具有给定收敛速率λ的接力跟踪多机器人系统，控制器保证随时间的收敛性，则通过上述判断条件判断接力跟踪多机器人系统是否稳定，最小停留时间β₂，平均停留时间t_α1，t_α2的耦合约束用各种时间比κ估算；

应用场景2：给出了切换信号的特性、时间比率κ、最小停留时间β₂和平均停留时间t_α1，t_α2是已知的，则基于上述判断条件计算出收敛速率λ，并计算出控制器矩阵；

应用场景3：如果切换信号的特性未知，则为了实现控制器的设计，则基于上述判断条件选择μ保证ln[(δ2/δ1+1)/μ]＜0，调整最小驻留时间β₂，计算出收敛速率λ并确保上述不等式(1)同时具有可行解。

由上述本发明的实施例提供的技术方案可以看出，本发明实施例能够对包含追踪机器人数量时变引起的接力系统误差跳变进行稳定性分析及控制器设计，且可应用于不同场景。

本发明附加的方面和优点将在下面的描述中部分给出，这些将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例提供的一种时滞条件下数量时变多机器人接力追踪系统稳定性分析方法的流程图；

图2为本发明实施例提供的一种不同情况下切换信号说明图；

图3为本发明实施例提供的一种慢切换追踪机器人数量图；

图4为本发明实施例提供的一种慢切换追踪轨迹图；

图5为本发明实施例提供的一种慢切换跟踪误差曲线图；

图6为本发明实施例提供的一种快切换追踪机器人数量图；

图7为本发明实施例提供的一种快切换追踪轨迹图；

图8为本发明实施例提供的一种快切换跟踪误差曲线图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施方式，所述实施方式的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施方式是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。

本技术领域技术人员可以理解，除非特意声明，这里使用的单数形式“一”、“一个”、“所述”和“该”也可包括复数形式。应该进一步理解的是，本发明的说明书中使用的措辞“包括”是指存在所述特征、整数、步骤、操作、元件和/或组件，但是并不排除存在或添加一个或多个其他特征、整数、步骤、操作、元件、组件和/或它们的组。应该理解，当我们称元件被“连接”或“耦接”到另一元件时，它可以直接连接或耦接到其他元件，或者也可以存在中间元件。此外，这里使用的“连接”或“耦接”可以包括无线连接或耦接。这里使用的措辞“和/或”包括一个或更多个相关联的列出项的任一单元和全部组合。

本技术领域技术人员可以理解，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义。还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。

为便于对本发明实施例的理解，下面将结合附图以几个具体实施例为例做进一步的解释说明，且各个实施例并不构成对本发明实施例的限定。

本发明实施例提供了一种时滞条件下数量时变的群体机器人的接力追踪控制方法，每个机器人都有其独立的控制器，通过控制器控制不同机器人进行信息交互并最终实现协同控制。

整个群体机器人系统包括追踪目标与监控机器人，以及无线数据传输的分布式控制器。当外界的目标入侵监控区域的时候，监控机器人对目标进行跟踪与监控。系统中的每一个机器人都可以设定为跟踪者，根据协同控制器提供机器人跟踪控制信号，通过控制器控制群体机器人协同追踪目标。当追踪机器人因为某些原因退出跟踪行列时，判断追踪机器人数量以及状态，去除失效的追踪机器人，重新调整追踪机器人的数量，包括不加入新机器人与新加入若干机器人，使得整体追踪系统继续完成整体追踪任务。

在追踪过程中，追踪机器人可能会发生故障。一旦追踪机器人发生故障，机器人的数量和通信拓扑结构将在不同的时间间隔内发生变化。

首先建立一个准确的数学模型来描述接力跟踪过程，该过程涉及误差跳变和不同时间间隔内不同维度的整体跟踪误差。因此，提出了一种新型的平均李雅普诺夫函数，用于设计数量时变的群体机器人接力目标跟踪系统。根据线性矩阵不等式，给出了接力跟踪控制器存在的充分条件。

系统中的不同机器人之间的通信存在通信时滞τ，为了简化本发明实施例的方法的计算复杂度，可以不考虑上述通信时滞τ，即令通信时滞τ＝0。下面以考虑通信时滞τ为例来说明书本发明实施例的方法。

本发明实施例提供的一种时滞条件下数量时变的群体机器人接力跟踪控制方法的处理流程如图1所示，包括如下的处理步骤：

步骤10、利用微分方程对群体机器人接力目标跟踪系统中存在的控制关系进行建模，建立群体机器人接力目标跟踪系统的追踪控制模型以及分布式控制模型。

该步骤需要建立群体机器人的动力学方程、追踪控制方程和分布式同步控制器，并建立目标的动力学方程。

接力追踪系统由多个机器人组成，机器人i的动力学方程为：

其中,

是第i个机器人的状态,

和

是常数矩阵，

是控制输入，

是第i个机器人的初始状态，由于该模型具有普适性，所以适用于不同类型机器人。

目标的动力学方程描述为：

其中

为目标的状态量，

为目标的初始条件。

由于每个追踪机器人都能与其通信范围内的其他机器人进行信息交互，群体机器人系统根据下面的追踪控制方程追踪相对应的入侵的目标：

其中，i为跟踪机器人的索引，n(k)表示当前时间段内追踪机器人的数量，在不同的时间段内其数值不同，用以描述接力追踪系统中机器人的时变数量。e_i(t-τ_i(t))＝x_i(t-τ_i(t))-x_t(t-τ_i(t))表示追踪机器人与目标的位置误差，e_ij(t-τ_i(t))＝x_i(t-τ_i(t))-x_j(t-τ_i(t))表示追踪机器人i与机器人j的位置误差，t表示时间，τ_i(t)为通信时滞，u_i(t)表示追踪机器人系统对应的第i个追踪机器人的控制输入，

是控制矩阵，b_i(σ(k))代表第i个追踪机器人与目标的连接状态，b_i(σ(k))＝1表示第i个追踪机器人能获取到目标的状态，否则b_i(σ(k))＝0，a_ij(σ(k))代表第i个追踪机器人与第j个追踪机器人在σ(k)状态下的通信关系，a_ij(σ(k))＝1代表第i个追踪机器人与第j个追踪机器人在σ(k)状态下的可以互相通信，否则a_ij(σ(k))＝0，σ(k)∈{1,2,...,M_p}，M_p是最大通信拓扑数；n(k)∈{1,2,...,N_p}，N_p表示最大的追踪机器人数量。

步骤20、从实用及理论角度出发给出适用的整体稳定性定义，建立群体机器人接力目标跟踪系统的整体跟踪误差方程。

步骤30、利用拓扑理论、Lyapunov能量函数方法以及切换理论建立上述整体跟踪误差方程的渐近稳定的判定条件，根据上述判定条件分析群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性。

步骤40、通过数值仿真验证了此稳定性分析方法的有效性。

所述方法中的步骤20主要包括：

跟踪机器人成功跟踪目标等效于跟踪误差系统的稳定性问题。

步骤201、跟踪机器人成功跟踪目标，即跟踪机器人与目标的同步问题可以理解为群体机器人接力追踪系统的稳定性问题，在时间段t∈[t_k,t_k+1),k＝0,1,2...，系统的整体跟踪误差方程可以定义为：

其中

是追踪系统整体位置误差，

I_n(k)表示n(k)×n(k)的单位矩阵。

步骤202、在故障发生时刻，追踪机器人的数量发生改变，则通信拓扑的拉普拉斯矩阵也发生了变化，一些原始机器人退出跟踪，而没有新机器人加入任务。在这种情况下，跟踪机器人的数量减少，并且系统整体跟踪误差的绝对值为

其中

跟踪误差是指追踪机器人与被追踪目标之间的位置误差。

一些新的机器人加入了任务，而原始机器人没有退出跟踪或者退出的比加入是少。在这种情况下，跟踪机器人的数量增加

其中

步骤203、

在整个接力跟踪过程中，设定当整体追踪误差小于δ₁时不再有新的机器人加入追踪，并且只有当新的机器人到目标的误差小于δ₂时该机器人才会加入追踪。

根据跟踪机器人的数量变化和跟踪误差，在切换时刻有三种可能的情况。

情况1.一些原始机器人退出跟踪，而没有新机器人加入任务。在这种情况下，跟踪机器人的数量减少，即n(k)＜n(k-1)，并且系统整体跟踪误差的绝对值为

其中0＜γ_1k≤1表示在t_k时刻机器人退出跟踪导致的跟踪误差跳变。

情况2.一些新的机器人加入了任务，而原始机器人没有退出跟踪。在这种情况下，跟踪机器人的数量增加，即n(k)＞n(k-1)。表示

其中γ_2k＞1表示在t_k时刻新的机器人加入跟踪导致的跟踪误差跳变，根据上面的设定，其满足

情况3.新的机器人在某些机器人退出跟踪的同时加入了跟踪。通信拓扑可能会更改，并且跟踪误差会不连续。在这种情况下，

图2表示出了不同情况的切换。设

表示情况1的平均驻留时间，p1表示情况1情况的数量。设

表示情况2和3的平均驻留时间，p2表示情况2和3的平均驻留时间。驻留时间是指系统在该情况下停留的时间。

引理1.考虑在[-h,0]区间上的Legendre多项式

其中

是系数，

基于Legendre多项式，令

R＞0，h＞0，那么，下面的不等式对于所有的

成立。

其中，

在分析具有不同数量的机器人和通信时滞的多机器人接力跟踪系统的稳定性之前，我们先定义：

其中

是追踪系统整体位置误差，L_k的定义见引理1.

为了简单起见，令N＝2，即

所以有

与

之间的关系为

其中

并且

构建分段线性函数g₀(t)＝1/(t_k+1-t_k),g₁(t)＝(t-t_k)g₀(t)，定义脉冲时间依赖函数

所以

能够反映机器人接力替换及数量变化引起的误差跳变，解决稳定性证明过程中切换时刻Lyapunov函数处理问题。

由于机器人在追踪目标的过程中，会出现追踪机器人的替换和数量变化，所以，从初始追踪时刻到成功追踪到目标的时刻，整体机器人接力追踪系统是被分为很多时间段[t_k，t_k+1)的，切换时刻就是追踪机器人替换和数量变化的时刻。所以，追踪过程的稳定性分析分为两部分：

1：在时间段[t_k，t_k+1)内的稳定性分析，该部分不涉及切换时刻的追踪误差跳变等；

2：包含切换时刻误差跳变等因素的整体追踪系统稳定性分析。

本发明的目的分3种，见后面的应用1-3.在不同的已知条件下，可用作不同的目的。可以用于判断稳定性，也可以用于设计控制器，若判断系统在该条件下不稳定，可以根据应用3的描述认为限制调整系统切换的时刻，以保证能够找到保证系统稳定的控制器参数。

对于在时间间隔[t_k，t_k+1)上具有不同数量的机器人和通信时滞的多机器人接力跟踪系统，该部分不涉及切换时刻的追踪误差跳变等，与脉冲时间依赖的平均Lyapunov函数定义为：

其中

其中λ＞0是一个正常数，

是对称正定矩阵。

步骤204、对于给定的正常数λ，μ＞1和时间比率κ，如果存在正定对称矩阵Q11，Q12，Q13，Q2，矩阵

α₁,α₂,α₃满足如下的判断条件:

α₁lnμ-λ＜0 (2)

其中

则判定具有时滞τ的接力跟踪多机器人系统和控制器是稳定的。

当

平均驻留时间

最小驻留时间

所述方法中的步骤30主要包括：

步骤301、对于时间间隔[t_k,t_k+1]上的接力跟踪系统，设计与脉冲时间相关的平均Lyapunov函数为：

V(t)沿步骤201的轨迹的右上Dini导数为

定义脉冲时间依赖函数

所以

推导可以得到

其中，

应用引理1，可推导得到

结合脉冲时间依赖函数及不等式(1)，可以进一步得到

所以步骤204成立可保证右上Dini导数小于零，子系统渐近稳定。至此，是在时间段[t_k，t_k+1)内的稳定性分析。

步骤302、下面是包含切换时刻误差跳变等因素的整体追踪系统稳定性分析,在切换时刻t_k，Lyapunov函数满足：

当t∈[t_k,t_k+1),k∈N，对于追踪机器人数量增加的情况，由于新加入的机器人在开始跟踪之前保持静态，因此上述

中的第三项不大于切换之前的项。因此，存在一个

使得

鉴于

并且跟踪误差在切换时间处跳变，因此基于脉冲时间依赖的平均Lyapunov函数在切换时间t_k满足以下不等式。

所以整体系统是渐近稳定的，表示整体跟踪误差收敛到零。

步骤204中给出的3个条件可以用于下面的3种应用情况。

步骤204为时变数量的机器人的接力跟踪系统的控制器设计提供了充分的条件。在具有给定变量不同的实际应用中，步骤204的条件可以适用于不同的应用场景，主要分为三种情况。

应用场景1：对于具有给定收敛速率λ的接力跟踪多机器人系统，控制器保证随时间的收敛性，则通过上述判断条件判断接力跟踪多机器人系统是否稳定，最小停留时间β₂，平均停留时间t_α1，t_α2的耦合约束用各种时间比κ估算；

应用场景2：给出了切换信号的特性、时间比率κ、最小停留时间β₂和平均停留时间t_α1，t_α2是已知的，则基于上述判断条件计算出收敛速率λ，并计算出控制器矩阵；

应用场景3：如果切换信号的特性未知，则为了实现控制器的设计，则基于上述判断条件选择μ保证ln[(δ2/δ1+1)/μ]＜0，调整最小驻留时间β₂，计算出收敛速率λ并确保上述不等式(1)同时具有可行解。

针对上面的应用1，所述方法中的步骤40主要包括：

本部分验证步骤204的正确性，该步骤对于随时间变化的机器人数量而使接力跟踪多机器人系统稳定。在下面的特定仿真中，选择λ＝0.4，μ＝1.1，并且通信时间延迟设置为τ＝0.15s。在这种配置下，可行的解决方案是：

所以有K₁＝[0.6778 0.3873],K₂＝[0.4382 0.2505]

仿真中，机器人被随机部署在正方形区域中。最初，分配了5个机器人来跟踪目标，然后，在整个跟踪过程中，跟踪机器人的数量在3-4和5之间变化。设置为在当前规范下，没有新的机器人愿意加入跟踪任务。跟踪误差的总和不大于δ₁＝4。只有当其跟踪误差的范数不大于δ₂＝15时，才允许新机器人加入跟踪任务。

在表一中列出了具有不同收敛率λ的最大允许通信时间延迟。从表中可以看出，最大允许通信时间延迟τ与收敛率λ成反比。这两个关键指标之间的权衡应针对特定的应用方案。表一为设计控制器时选择λ提供了参考。

表一

仿真过程中，使用数学软件“Maple”获得了最小驻留时间β₂和平均停留时间t_α1，t_α2的可行解决方案，并列于表二与表三中。从图3可以计算出，最小驻留时间β₂＝0.719s，平均驻留时间t_α1＝1.559s，t_α2＝3.6615s，满足表三中的第二种情况，时间比例为κ＝0.6387，最小驻留时间β₂与平均驻留时间t_α1,t_α2如下表所示：

表二

从图3可以计算出，最小驻留时间β₂＝0.719s，平均驻留时间t_α1＝1.559s，t_α2＝3.6615s，满足表二中的第二种情况。接力跟踪轨迹如图4所示。从图中可以看出，采用提出的接力跟踪策略，随时间变化的机器人也可以成功地跟踪目标。

最终，即使存在误差跳变和不连续，跟踪误差也最终收敛到零。此外，图5还反映了每个时间间隔内退出跟踪的跟踪机器人的数量。例如，最初有5条跟踪误差轨迹，然后在时间1.199s，该轨迹减少到3条线。这意味着跟踪数量从5变为3，可以通过图3进行验证。具体来说，菱形(机器人3)和十字(机器人5)在时间1.199s中断，代表机器人3和机器人5退出跟踪。然后，原始机器人4变为机器人3。因此，三角形继续带有菱形。当机器人的数量在时间1.199s从5到3的降低，跟踪误差减小。当机器人数量从4.199s的3个增加到5个时，跟踪误差也会增加。

接下来，我们以时间比κ＝0.8388进行仿真。如表三所示，获得了最小驻留时间β₂和平均驻留时间t_α1，t_α2的可行解。从图6可以计算出最小驻留时间β₂＝0.349s，平均驻留时间t_α1＝0.4562s，t_α2＝0.4079s。根据表三，当最小驻留时间β₂＝0.349s时，要求平均驻留时间t_α2＞3.1621s，这显然是不满足的。即，如果机器人的数量以高频率切换，则不能成功地跟踪目标。分别通过图7和图8所示的跟踪轨迹和跟踪误差对此进行了验证。

表三

综上所述，本发明实施例描述了能够对包含追踪机器人数量时变引起的接力系统误差跳变进行稳定性分析及控制器设计的方法，且可应用于不同场景。弥补了现有文献中的成果不能对时滞条件下数量时变群体机器人接力追踪系统进行稳定性分析的空白。

本领域普通技术人员可以理解：附图只是一个实施例的示意图，附图中的模块或流程并不一定是实施本发明所必须的。

通过以上的实施方式的描述可知，本领域的技术人员可以清楚地了解到本发明可借助软件加必需的通用硬件平台的方式来实现。基于这样的理解，本发明的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品可以存储在存储介质中，如ROM/RAM、磁碟、光盘等，包括若干指令用以使得一台计算机设备(可以是个人计算机，服务器，或者网络设备等)执行本发明各个实施例或者实施例的某些部分所述的方法。

本说明书中的各个实施例均采用递进的方式描述，各个实施例之间相同相似的部分互相参见即可，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处。尤其，对于装置或系统实施例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述得比较简单，相关之处参见方法实施例的部分说明即可。以上所描述的装置及系统实施例仅仅是示意性的，其中所述作为分离部件说明的单元可以是或者也可以不是物理上分开的，作为单元显示的部件可以是或者也可以不是物理单元，即可以位于一个地方，或者也可以分布到多个网络单元上。可以根据实际的需要选择其中的部分或者全部模块来实现本实施例方案的目的。本领域普通技术人员在不付出创造性劳动的情况下，即可以理解并实施。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (4)

1.一种时变数量群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性分析方法，其特征在于，包括：

利用微分方程建立群体机器人接力目标跟踪系统的追踪控制模型，并建立目标的动力学方程；

基于所述追踪控制模型和目标的动力学方程，建立时变数量群体机器人接力目标跟踪系统的整体跟踪误差方程；

利用拓扑理论、Lyapunov能量函数方法以及切换理论建立所述整体跟踪误差方程的渐近稳定的判定条件，根据所述判定条件分析群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性和控制器设计；

所述的利用微分方程建立群体机器人接力目标跟踪系统的追踪控制模型，并建立目标的动力学方程，包括：

整个群体机器人接力目标跟踪系统包括追踪目标与监控机器人，以及无线数据传输的分布式控制器，每个机器人都有其独立的控制器，通过控制器控制不同机器人进行信息交互，当外界的目标入侵机器人的监控区域的时候，机器人对目标进行跟踪与监控；

机器人i的动力学方程为：

x_i(t₀)＝x_i0,t₀≥0

其中,

是第i个机器人的状态,

和

是常数矩阵，

是控制输入，

是第i个机器人的初始状态；

被追踪的目标的动力学方程描述为：

其中

为目标的状态量，

为目标的初始条件；

群体机器人系统根据下面的追踪控制方程追踪相对应的入侵的目标：

其中，i为跟踪机器人的索引，n(k)表示当前时间段内追踪机器人的数量，e_i(t-τ_i(t))＝x_i(t-τ_i(t))-x_t(t-τ_i(t))表示追踪机器人与目标的位置误差，e_ij(t-τ_i(t))＝x_i(t-τ_i(t))-x_j(t-τ_i(t))表示追踪机器人i与机器人j的位置误差，t表示时间，τ_i(t)为通信时滞，u_i(t)表示追踪机器人系统对应的第i个追踪机器人的控制输入，

是控制矩阵，b_i(σ(k))代表第i个追踪机器人与目标的连接状态，b_i(σ(k))＝1表示第i个追踪机器人能获取到目标的状态，否则b_i(σ(k))＝0，a_ij(σ(k))代表第i个追踪机器人与第j个追踪机器人在σ(k)状态下的通信关系，a_ij(σ(k))＝1代表第i个追踪机器人与第j个追踪机器人在σ(k)状态下可以互相通信，否则a_ij(σ(k))＝0，σ(k)∈{1,2,...,M_p}，M_p是最大通信拓扑数；n(k)∈{1,2,...,N_p}，N_p表示最大的追踪机器人数量；

所述的利用拓扑理论、Lyapunov能量函数方法以及切换理论建立所述整体跟踪误差方程的渐近稳定的判定条件，根据所述判定条件分析群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性和控制器设计，包括：

将跟踪机器人与目标的同步问题设定为群体机器人接力追踪系统的稳定性问题，在时间段t∈[t_k,t_k+1),k＝0,1,2...，群体机器人接力目标跟踪系统的整体跟踪误差方程为：

其中

是追踪系统整体位置误差，

I_n(k)表示n(k)×n(k)的单位矩阵；

在整个接力跟踪过程中，设定当整体追踪误差小于δ₁时不再有新的机器人加入追踪，并且只有当新的机器人到目标的误差小于δ₂时该机器人才会加入追踪；

根据跟踪机器人的数量变化和跟踪误差，在切换时刻有三种可能的情况；

情况1.一些原始机器人退出跟踪，而没有新机器人加入任务，跟踪机器人的数量减少，即n(k)＜n(k-1)，追踪系统整体跟踪误差满足：

其中0＜γ_1k≤1表示在t_k时刻机器人退出跟踪导致的跟踪误差跳变；

情况2.一些新的机器人加入了任务，而原始机器人没有退出跟踪，跟踪机器人的数量增加，即n(k)＞n(k-1)，追踪系统整体跟踪误差满足：

其中γ_2k＞1表示在t_k时刻新的机器人加入跟踪导致的跟踪误差跳变，根据上面的设定，其满足

情况3.新的机器人在某些机器人退出跟踪的同时加入了跟踪，追踪系统整体跟踪误差满足：

引理1.考虑在[-h,0]区间上的Legendre多项式

其中,

是系数

基于Legendre多项式，令函数

R＞0,h＞0，那么，下面的不等式对于所有的

成立；

其中，

定义

其中

是追踪系统整体位置误差，L_k的定义见引理1；

为了简单起见，令N＝2，即

所以有

与扩展矩阵

之间的关系为

其中

并且

构建分段线性函数g₀(t)＝1/(t_k+1-t_k),g₁(t)＝(t-t_k)g₀(t)，定义脉冲时间依赖函数

μ＞1，所以

能够反映机器人接力替换及数量变化引起的误差跳变，解决稳定性证明过程中切换时刻Lyapunov函数处理问题；

对于在时间间隔[t_k，t_k+1)上具有不同数量的机器人和通信时滞的多机器人接力跟踪系统，与脉冲时间依赖的平均Lyapunov函数定义为：

其中

其中λ＞0是一个正常数，

是对称正定矩阵；

对于给定的正常数λ，μ＞1和时间比率κ，如果存在正定对称矩阵Q₁₁，Q₁₂，Q₁₃，Q₂，矩阵

变量系数α₁,α₂,α₃满足如下的判断条件:

α₁lnμ-λ＜0 (2)

*表示左下角对应位置的转置，表明该矩阵是对称阵；

其中

则判定具有时滞τ的接力跟踪多机器人系统和控制器是稳定的；

当

平均驻留时间

最小驻留时间

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的利用拓扑理论、Lyapunov能量函数方法以及切换理论建立所述整体跟踪误差方程的渐近稳定的判定条件，根据所述判定条件分析群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性和控制器设计，还包括：

对于时间间隔[t_k,t_k+1]上的接力跟踪系统，设计与脉冲时间相关的平均Lyapunov函数为：

V(t)沿所述整体跟踪误差方程确定的轨迹的右上Dini导数为：

推导得到

其中，

其中，

应用引理1，推导得到

结合脉冲时间依赖函数及不等式(1)，进一步得到：

当上述判断条件成立，则保证右上Dini导数小于零，群体机器人接力目标跟踪系统在时间间隔[t_k,t_k+1]是渐近稳定的。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述的利用拓扑理论、Lyapunov能量函数方法以及切换理论建立所述整体跟踪误差方程的渐近稳定的判定条件，根据所述判定条件分析群体机器人接力目标跟踪系统的稳定性和控制器设计，还包括：

针对包含切换时刻误差跳变的整体追踪系统稳定性分析如下：

在切换时刻t_k，Lyapunov函数满足：

当t∈[t_k,t_k+1),k∈N，对于追踪机器人数量增加的情况，由于新加入的机器人在开始跟踪之前保持静态，存在一个

使得

鉴于

并且跟踪误差在切换时间处跳变，当基于脉冲时间依赖的平均Lyapunov函数在切换时间t_k满足以下不等式：

则判定群体机器人接力目标跟踪系统是渐近稳定的，整体跟踪误差收敛到零。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的方法还包括：

上述接力跟踪多机器人系统稳定性的判断条件适用于下面的3种应用场景：

应用场景1：对于具有给定收敛速率λ的接力跟踪多机器人系统，控制器保证随时间的收敛性，则通过上述判断条件判断接力跟踪多机器人系统是否稳定，最小驻留时间β₂，平均驻留时间t_α1，t_α2的耦合约束用各种时间比κ估算；

应用场景2：给出了接力切换信号的特性、时间比率κ、最小驻留时间β₂和平均驻留时间t_α1，t_α2是已知的，则基于上述判断条件计算出收敛速率λ，并计算出控制器矩阵；

应用场景3：如果接力切换信号的特性未知，则为了实现控制器的设计，则基于上述判断条件选择μ保证ln[(δ2/δ1+1)/μ]＜0，调整最小驻留时间β₂，计算出收敛速率λ并确保上述不等式(1)同时具有可行解。

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