CN111708276B - 基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于观测误差前馈补偿线性状态观测器的自适应鲁棒控制方法，属于机电伺服控制领域。针对机电伺服系统运行过程中存在的参数不确定性与外部干扰的问题，利用观测误差补偿的线性状态观测器和自适应鲁棒控制来解决上面存在的问题。针对系统参数不确定性设计了参数自适应律在线估计系统参数并补偿；针对系统受到的扰动，设计了线性扩张状态观测器进行估计并补偿；针对观测器的观测误差，设计了一种新型观测误差前馈补偿策略；针对所有前馈补偿误差，设计鲁棒项加以克服。本发明利用Lyapunov稳定性定理证明了该控制策略可以实现有界稳定，并通过仿真验证了该控制策略可以有效提高系统的跟踪精度和抗干扰能力。

Description

基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制方法

技术领域

本发明涉及机电伺服系统控制技术领域，具体涉及一种机电伺服系统基于观测误差前馈补偿的线性状态观测器的自适应鲁棒控制方法，

背景技术

随着现在社会经济的日益发展，由于永磁无刷电机具有响应速度快、污染小、能源利用率高等特点，现在对于直流电机的使用越来越广泛。随着电机的广泛发展，不可避免的在有些工况下会要求控制精度达到一定的高度，比如在光刻机、高精度数控机床等领域。因此对于直流电机精度的控制提出了更高的要求，如何能够提高直流电机的控制精度已经成为了现在的主要研究方向。由于在实际的机电伺服系统中，由于工作环境的复杂和一些结构上的限制，建立起来的系统模型难以完全反映出真实的系统情况，因此在设计控制器时，我们要充分考虑到系统的模型不确定性。我们可以将模型不确定性分为参数不确定性和不确定性非线性。这里的不确定性非线性扰动有：比如外部扰动、摩擦、死区等，会严重影响控制器的控制精度，从而导致跟踪精度降低，甚至是系统的失稳。

针对机电伺服系统中存在的模型不确定性问题，近些年来，随着控制理论的不断发展，已经有了许多成果。各种针对模型不确定性的控制策略相继提出，比如扩张状态观测器控制，但是由于扩张状态观测器存在观测误差，因此需要对其做一个改善，将观测误差最好量化之后进行补偿，增强系统的跟踪能力。目前也有人进行了尝试，我们可以将其与鲁棒自适应结合起来，形成一种新的符合控制算法，利用两者的优势，将系统的控制精度进行进一步的提高。

针对机电伺服系统中存在模型不确定性的特点，建立了基于该系统的数学模型，在模型的基础上设计了基于观测误差前馈补偿的线性状态观测器的自适应鲁棒控制方法来补偿模型不确定性。具体是针对系统参数不确定性设计了参数自适应律在线估计系统参数并补偿；针对系统受到的扰动，设计了线性扩张状态观测器进行估计并补偿；针对观测器的观测误差，设计了一种新型观测误差前馈补偿策略。针对所有前馈补偿误差，设计鲁棒项加以克服。

发明内容

本发明提出一种基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制方法，解决机电伺服系统中存在的参数不确定性和时变干扰等非线性的问题。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤1、建立机电伺服系统的数学模型，转入步骤2；

步骤2、设计基于所述机电伺服系统的线性状态观测器，转入步骤3；

步骤3、针对所述机电伺服系统的线性状态观测器设计其观测误差补偿器，转入步骤4；

步骤4、设计所述机电伺服系统的基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制器，转入步骤5；

步骤5、根据基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制器，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明。

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：

(1)针对系统参数不确定性设计了参数自适应律在线估计系统参数并补偿。

(2)针对系统受到的扰动，设计了线性扩张状态观测器进行估计并补偿；针对观测器的观测误差，设计了一种新型观测误差前馈补偿策略。

(3)针对所有前馈补偿误差，设计鲁棒项加以克服。

附图说明

图1是机电伺服系统控制流程图。

图2是基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制策略图。

图3是在干扰(1)下的系统输入-输出曲线图。

图4是在干扰(1)下的系统跟踪误差曲线图。

图5是在干扰(1)下的系统x₁与观测器对x₁的估计曲线图。

图6是在干扰(1)下的x₁观测误差曲线图。

图7是在干扰(1)下的系统x₂与观测器对x₂的估计曲线图。

图8是在干扰(1)下的x₂观测误差曲线图。

图9是在干扰(1)下的系统x₃与观测器对x₃的估计曲线图。

图10是在干扰(1)下的x₃观测误差曲线图。

图11是在干扰(1)下的控制输入u曲线图。

图12是在干扰(1)下的ARC+LESO控制与ARC+LESO观测误差补偿控制曲线图。

图13是在干扰(2)下的系统输入-输出曲线图。

图14是在干扰(2)下的系统跟踪误差曲线图。

图15是在干扰(2)下的系统x₁与观测器对x₁的估计曲线图。

图16是在干扰(2)下的x₁观测误差曲线图。

图17是在干扰(2)下的系统x₂与观测器对x₂的估计曲线图。

图18是在干扰(2)下的x₂观测误差曲线图。

图19是在干扰(2)下的系统x₃与观测器对x₃的估计曲线图。

图20是在干扰(2)下的x₃观测误差曲线图

图21是在干扰(2)下的控制输入u曲线图。

图22是在干扰(2)下的ARC+LESO控制与ARC+LESO观测误差补偿控制曲线图。

具体实施方式

结合图1和图2，一种基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制方法，具体步骤如下：

步骤1、建立机电伺服系统数学模型，具体步骤如下：

对于机电伺服系统，根据牛顿第二定律，在考虑到内部扰动与外部扰动对机电伺服系统模型产生的影响后，机电伺服系统的动力学模型表示为；

在式(1)中，J表示机电伺服系统的惯性负载参数，y表示角度输出，k_u表示电机输出端电压与力矩放大系数，u表示控制输入，B表示粘性阻尼系数，d_n表示机电伺服系统的常值扰动，m(t)表示其它未补偿干扰以及建模误差。

为了方便后续控制器的设计与系统稳定性分析，在不影响系统跟踪精度的前提下，作出如下假设：

假设1：机电伺服系统各参数J、k_u、B、d_n为随时间变化缓慢或不变的未知量，即：

假设2：m(t)为随时间变化的未知量，即m(t)≠0，且上界已知；

假设3：机电伺服系统各参数J、k_u、B、d_n的上下界已知；

定义：定义参数集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]，其中：θ₁＝k_u/J，θ₂＝B/J，θ₃＝d_n/J，d(t)＝m(t)/J；

式(1)改写为：

定义机电伺服系统的状态变量为X，

所以式(3)状态方程线性化后写为：

由前面的假设可知：

其中，定义最小参数集：θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T，最大参数集：θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T是系统已知的，另外定义一个已知常数δ_d。

步骤2、设计基于机电伺服系统的线性状态观测器，具体步骤如下：

步骤2-1、设计线性状态观测器

式(4)的空间方程可以改写为：

其中，定义参数集

表示为对θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]的估计，定义参数误差集：

定义常数集：ε＝[u,-x₂,-1]^T。引入扩张状态x₃＝f(t)，f(t)可微，

且

则由式(6)得机电伺服系统的空间状态方程可以写为：

在f(t)未知，无法利用干扰模型的情况下，设定

表示为对状态变量x＝[x₁,x₂,x₃]的估计，状态变量的误差可以表示为：

按照经典扩张状态观测器的设计思路，建立如下式的观测模型：

步骤2-2、线性状态观测器的稳定性证明

式(8)中，

表示的是x₁的误差值，

作为x₁的观测值，β_i(i＝1,2,3)是线性状态观测器的增益系数，通过式(7)和式(8)做差，得出观测误差系统：

式(9)的矩阵表达式写为：

式(10)中，定义状态变量误差集：

中间变量：E＝[0,0,1]^T，中间变量：

式(10)的特征多项式为：

f(λ)＝|A-λI₃|＝λ³+β₁λ²+β₂λ+β₃ (11)

式(10)的特征多项式为：

f(λ)＝|A-λI₃|＝λ³+β₁λ²+β₂λ+β₃ (11)

对于β_i(i＝1,2,3)值的确定上，可以按照高志强基于带宽的参数配置方法，将式(11)配成如下形式：

f(λ)＝(λ+w₀)³ (12)

通过式(12)中w₀的取值使得式(10)补偿矩阵A的所有的特征根落在了坐标轴的第二、三象限内，满足了李雅普诺夫的第一稳定条件，从而保证了等式(10)的收敛性；使得对于β_i(i＝1,2,3)的调节简化为只对w₀的调节，极大的方便了参数整定的过程；

根据二项式定理，对于β_i(i＝1,2,3)最终可确定为：

n代表所设计的扩张状态观测器的阶数，本发明所取扩张状态观测器阶数：n＝2。由式(13)确定的取值为：

将式(14)带入式(8)中得到线性状态观测器的观测模型最终形式为：

步骤3、针对所述机电伺服系统的线性状态观测器设计其观测误差补偿器，具体步骤如下：

由步骤2中可知，设计线性状态观测器时，本身会存在误差，只是通过设计w₀让其满足李雅普诺夫的第一稳定条件，在t→∞时，误差方程结果趋近于0。下面我们对建立的线性状态观测器的观测误差进行分析。

步骤3-1、建立观测误差的量化表达式

假设时变扰动f(t)函数光滑且有界，在t₀时刻对其进行泰勒公式展开，可得：

设Δt＝t-t₀，当Δt取得足够小时，o(t-t₀)可忽略不计，这时将式(16)中的时变扰动进行线性化处理，同时我们也需要在分析该时变扰动时做如下近似：

近似1：由于Δt时间足够短，在Δt时间内认为h(t)＝h(t₀)＝h₀为一个定值；此时，式(10)转化为：

对式(17)展开得到的误差方程组为：

通过对基带宽w₀的参数整定，使得式(17)的系数A是Hurwitz矩阵，故当t→∞，式(17)结果趋近于0，即：

将式(19)带入到式(17)得：

方程(20)中：

E＝[0,0,1]^T。

近似2：对于t∈[t₀,t₀+Δt]时，选取适当的带宽w₀，使

成立。

通过近似2，我们认为在Δt时间内，利用式(20)来描述线性状态观测器的观测精度：

对式(21)展开得出线性状态观测器的观测误差得表达式为：

步骤3-1、设计补偿器D：

由式(21)得出补偿后的观测值为：

由式(8)得出扰动的具体表达式为：

将式(23)带入到式(22)中得：

方程组(25)可以写为

式(26)中β₀＝1。

步骤4、设计基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制器，具体步骤如下：

步骤4-1、设置虚拟控制率

定义：期望状态下的位置：x_1d，实际状态下的位置：x₁，虚拟控制量：x_2eq，x_2eq作为相对应于x₂理想状态下的输入，跟踪误差项：z₁，z₂，反馈增益：k₁，k₂：

由上面设计的变量可知：

z₁＝x₁-x_1d (27)

z₂＝x₂-x_2eq (28)

设计

由式(27)、(28)、(29)可得

根据式(30)，当z₂→0时，z₁→0；所以我们只需要设计z₂→0，就能保证机电伺服系统的高精度的控制要求；

步骤4-1、设计控制输入量u

由式(7)与式(28)可得

设计的控制量u的形式如下：

上式中，

为扩张状态观测器对于状态变量x₃的观测值，D₃为

的观测补偿值，

是机电伺服系统参数θ＝θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]的估计，将控制量u分为两个部分，第一个部分为u_a是机电伺服系统的模型补偿项，第二部分为鲁棒项u_s，u_s又被分为线性鲁棒项u_s1和非线性鲁棒项u_s2；

线性鲁棒项u_s1设计为：

u_s1＝-k₂z₂ (33)

将式(32)、式(33)带入到式(31)中可得到：

令

则式(34)变换为：

引理1：假设h(t)是有界的，则估计的状态总是有界的，并且存在一个常数γ_i>0，正整数m和一个有限的时间T₁>0使得下式成立使得下式成立：

由

β₂为一个常数得：

u_s2满足以下条件：

我们在这里给出一个u_s2的形式如下：

由式(36)可知,当

时，

所以，设计的u_s2满足式(37)，符合要求；

所以，我们所设计的u_s2满足式(37)，符合要求。由式(32)可知，我们用到了参数的估计值来代替参数的真值。为了使得参数估计对系统性能的影响尽可能小，我们采用不连续投影映射来估计系统的参数。这种映射法的前提条件是假设系统参数的不确定性是有界的。参数投影法的定义如下：

在式(39)中i＝1,2,3，且τ是一个合成的自适应率。参数自适应率如下：

自适应率τ如下：

τ＝εz₂ (41)

式(41)的ε＝[u,-x₂,-1]^T；

对于不连续映射等式(40)满足以下两个性质：

Γ>0，是一个对角自适应速率矩阵。

步骤5、根据所提出的观测误差前馈补偿的线性状态观测器的自适应鲁棒控制方法，利用李雅普诺夫稳定性对其进行稳定性证明，证明该系统处于有界稳定状态，具体证明如下：

步骤5-1，当t＜T₁时：

由式(38)带入式(35)得：

根据系统状态估计误差

总是有界的，由式(43)求解可知，当t＜T₁时，z₂有界。

步骤5-2，当t≥T₁时，定义的李雅普诺夫函数为：

将式(35)和(37)带入到式(44)中得：

求解微分方程可得：

在式(46)中，T＝t-T₁。

所以当t→∞时，

由以上证明可以看出，基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制器实现了机电伺服系统的有界稳定。

仿真实例：

系统仿真时参数选取如下表1所示：

表1

由于u_s1＝λ₁z₂，u_s2＝λ₂z₂都是关于z₂的一次性函数，为了仿真方便，将两项合并，在仿真过程中只调节一个参数k₂，选取的控制增益k₁＝100，k₂＝50。参数设置参数的上界为：θ_max＝[10000,500,500]^T，参数的下界为：θ_min＝[10,0,0]^T，参数的更新速率为：Γ＝[50000,2,10]^T。基带宽w₀＝100。指令信号设置为x_1d＝10sin(2t)[1-exp(0.5t)]。(1)只存在常值扰动d_n。(2)常值扰动和时变扰动共存，且m(t)＝2sin(0.5t)[1-exp(0.5t)]

控制器作用效果如图3至图22所示，可以看出,本发明所提出的基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制方法(ARC+LESO观测误差补偿控制)在仿真环境下能够提高系统的控制精度。研究结果表明在时变干扰和常值干扰共存的情况下，本发明提出的控制算法满足性能指标。

Claims (3)

1.一种基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤1、建立机电伺服系统的数学模型，具体如下：

对于机电伺服系统，根据牛顿第二定律，在考虑到内部扰动与外部扰动对机电伺服系统模型产生的影响后，机电伺服系统的动力学模型表示为；

在式(1)中，J表示机电伺服系统的惯性负载参数，y表示角度输出，k_u表示电机输出端电压与力矩放大系数，u表示控制输入，B表示粘性阻尼系数，d_n表示机电伺服系统的常值扰动，m(t)表示其它未补偿干扰以及建模误差；

为了方便后续控制器的设计与机电伺服系统稳定性分析，在不影响机电伺服系统跟踪精度的前提下，作出如下假设：

假设1：机电伺服系统各参数J、k_u、B、d_n为随时间变化缓慢或不变的未知量，即：

假设2：m(t)为随时间变化的未知量，即m(t)≠0，且上界已知；

假设3：机电伺服系统各参数J、k_u、B、d_n的上下界已知；

定义：定义参数集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]，其中：θ₁＝k_u/J，θ₂＝B/J，θ₃＝d_n/J，d(t)＝m(t)/J；

式(1)改写为：

定义机电伺服系统的状态变量为X，

所以式(3)状态方程线性化后写为：

由前面的假设可知：

其中，定义最小参数集：θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T，最大参数集：θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T是系统已知的，另外定义一个已知常数δ_d；

转入步骤2；

步骤2、设计基于所述机电伺服系统的线性状态观测器，具体如下：

步骤2-1、设计线性状态观测器

式(4)的空间方程改写为：

其中，定义参数集

表示为对θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]的估计，定义参数误差集：

定义常数集：ε＝[u,-x₂,-1]^T；引入扩张状态x₃＝f(t)，f(t)可微，

且

则由式(6)得机电伺服系统的空间状态方程写为：

在f(t)未知，无法利用干扰模型的情况下，设定

表示为对x＝[x₁,x₂,x₃]的估计，

按照经典扩张状态观测器的设计思路，建立如下式的观测模型：

步骤2-2、线性状态观测器的稳定性证明：

式(8)中，

表示的是x₁的误差值，

作为x₁的观测值，β_i(i＝1,2,3)是线性状态观测器的增益系数，通过式(7)和式(8)做差，得出观测误差系统：

式(9)的矩阵表达式写为：

式(10)中，定义状态变量误差集：

中间变量：E＝[0,0,1]^T，中间变量：

式(10)的特征多项式为：

f(λ)＝|A-λI₃|＝λ³+β₁λ²+β₂λ+β₃ (11)

对于β_i值的确定上，i＝1,2,3，将式(11)配成如下形式：

f(λ)＝(λ+w₀)³ (12)

通过式(12)中w₀的取值使得式(10)补偿矩阵A的所有的特征根落在了坐标轴的第二、三象限内，满足了李雅普诺夫的第一稳定条件，从而保证了等式(10)的收敛性；使得对于β_i的调节简化为只对w₀的调节，极大的方便了参数整定的过程；

根据二项式定理，对于β_i最终可确定为：

n代表所设计的扩张状态观测器的阶数，所取扩张状态观测器阶数：n＝2；由式(13)确定的取值为：

将式(14)代入式(8)中得到线性状态观测器的观测模型最终形式为：

转入步骤3；

步骤3、针对所述机电伺服系统的线性状态观测器设计其观测误差补偿器，具体步骤如下：

步骤3-1、建立观测误差的量化表达式

假设时变扰动f(t)函数光滑且有界，在t₀时刻对其进行泰勒公式展开，可得：

设Δt＝t-t₀，当Δt取得足够小时，o(t-t₀)可忽略不计，这时将式(16)中的时变扰动进行线性化处理，同时我们也需要在分析该时变扰动时做如下近似：

近似1：由于Δt时间足够短，在Δt时间内认为h(t)＝h(t₀)＝h₀为一个定值；此时，式(10)转化为：

对式(17)展开得到的误差方程组为：

通过对基带宽w₀的参数整定，使得式(17)的系数A是Hurwitz矩阵，故当t→∞，式(17)结果趋近于0，即：

将式(19)代入到式(17)得：

方程(20)中：

E＝[0,0,1]^T；

近似2：对于t∈[t₀,t₀+Δt]时，选取适当的带宽w₀，使

成立；

通过近似2，我们认为在Δt时间内，利用式(20)来描述线性状态观测器的观测精度：

对式(21)展开得出线性状态观测器的观测误差得表达式为：

步骤3-2、设计补偿器D：

由式(21)得出补偿后的观测值为：

由式(8)得出扰动的具体表达式为：

将式(23)代入到式(22)中得：

方程组(25)写为

式(26)中β₀＝1，

转入步骤4；

步骤4、设计所述机电伺服系统的基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制器，转入步骤5；

步骤5、根据基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制器，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明。

2.根据权利要求1所述的基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制方法，其特征在于：步骤4中设计的基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制器，具体步骤如下：

步骤4-1、设置虚拟控制率

定义：期望状态下的位置：x_1d，实际状态下的位置：x₁，虚拟控制量：x_2eq，x_2eq作为相对应于x₂理想状态下的输入，跟踪误差项：z₁，z₂，反馈增益：k₁，k₂：

由上面设计的变量可知：

z₁＝x₁-x_1d (27)

z₂＝x₂-x_2eq (28)

设计

由式(27)、(28)、(29)可得

根据式(30)，当z₂→0时，z₁→0；所以我们只需要设计z₂→0，就能保证机电伺服系统的高精度的控制要求；

步骤4-2、设计控制输入量u

由式(7)与式(28)可得

设计的控制量u的形式如下：

上式中，

为扩张状态观测器对于状态变量x₃的观测值，D₃为

的观测补偿值，

是机电伺服系统参数θ＝θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]的估计，将控制量u分为两个部分，第一个部分为u_a是机电伺服系统的模型补偿项，第二部分为鲁棒项u_s，u_s又被分为线性鲁棒项u_s1和非线性鲁棒项u_s2；

线性鲁棒项u_s1设计为：

u_s1＝-k₂z₂ (33)

将式(32)、式(33)代入到式(31)中可得到：

令

则式(34)变换为：

引理1：假设h(t)是有界的，则估计的状态总是有界的，并且存在一个常数γ_i>0，正整数m和一个有限的时间T₁＞0使得下式成立：

由

β₂为一个常数得：

u_s2满足以下条件：

我们在这里给出一个u_s2的形式如下：

由式(36)可知，当

时，

所以，设计的u_s2满足式(37)，符合要求；

假设机电伺服系统参数的不确定性是有界的，采用不连续投影映射来估计机电伺服系统的参数，参数投影法的定义如下：

在式(39)中，i＝1,2,3，且τ是一个合成的自适应率，参数自适应率如下：

且

自适应率τ如下：

τ＝εz₂ (41)

式(41)的ε＝[u,-x₂,-1]^T；

对于不连续映射等式(40)满足以下两个性质：

Γ>0，是一个对角自适应速率矩阵；

转入步骤5。

3.根据权利要求2所述的线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制方法，其特征在于，步骤5中，根据所提出的基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制器，利用李雅普诺夫稳定性理论对机电伺服系统进行稳定性证明，证明上述基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制器的收敛性过程如下：

步骤5-1，当t＜T₁时：

由式(38)代入式(35)得：

根据系统状态估计误差

总是有界的，由式(43)求解可知，当t＜T₁时，z₂有界；

步骤5-2，当t≥T₁时，定义的李雅普诺夫函数为：

将式(35)和(37)代入到式(44)中得：

求解微分方程可得：

在式(46)中，T＝t-T₁；

所以当t→0时，

由以上证明看出，基于线性状态观测器观测误差补偿的自适应鲁棒控制器实现了机电伺服系统的有界稳定。

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