CN111693937B - 一种基于稀疏重构的无需网格化的近场信号源定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于稀疏重构的无需网格化的近场信号源定位方法，具体为：基于对称均匀线性阵列接收到的信号模型获取协方差矩阵

提取协方差矩阵

的反对角线元素构建类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

基于协方差拟合准则构造目标函数，使用半正定规划估计Toeplitz相关矩阵

基于Toeplitz相关矩阵

使用Prony方法估计近场信号源的波达方向

再使用常规的基于子空间的方法有效地估计范围

可以采用MUSIC方法估计范围

本发明通过提取信号协方差矩阵反对角线元素构造类似Toeplitz矩阵的相关矩阵，建立针对该相关矩阵重构的凸优化问题，基于恢复的相关矩阵使用Prony方法估计近场信号源的波达方向，避免迭代运算带来的高计算复杂度问题的同时避免传统网格化方法的网格失配问题。

Description

一种基于稀疏重构的无需网格化的近场信号源定位方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理技术领域，具体涉及一种基于稀疏重构的无需网格化的近场信号源定位方法。

背景技术

近场问题的复杂性带来的计算量通常都很大，如何在保证估计精度的同时降低计算量一直是近场源定位领域不断研究的方向。二维MUSIC算法是把传统的一维MUSIC方法推广到二维参数估计，这种方法需要搜索波达方向和距离两个参数，计算负担大。最大似然估计方法具有很好地统计性能，但是它通常需要优化一个高度非线性代价函数，而且需要不断迭代，计算量巨大。通过对接收传感器阵列周围空间进行网格化，利用网格匹配的方法估计信号源的波达方向以及位置，这种方法大大降低了计算量，但是当实际的信号不在该网格上的话，就会造成定位算法本身无法克服的误差。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中存在的缺陷，提供一种用于对称均匀线阵的基于稀疏重构的无需网格化的近场信号源定位方法，保证精度的同时避免了迭代算法带来的巨大计算量，也避免网格失配的问题。

为达到上述目的，本发明采用了以下技术方案：一种基于稀疏重构的无需网格化的近场信号源定位方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，基于对称均匀线性阵列接收到的信号模型获取协方差矩阵

提取协方差矩阵

的反对角线元素，利用协方差矩阵

的反对角线元素构建类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

对称均匀线性阵列包含2M+1个全向传感器阵元；

步骤2，基于步骤1所得类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

采用协方差拟合准则构造目标函数，使用半正定规划估计相关矩阵

步骤3，基于步骤2所得相关矩阵

使用Prony方法估计近场信号源的波达方向

再使用基于子空间的方法估计范围

角度

为入射信号的方位信息，

为入射信号的距离信息，入射信号为近场窄带非相干信号。

步骤1具体如下：

设K个近场窄带非相干信号源入射至拥有2M+1个全向传感器阵元的对称均匀线性阵列，K<M，阵元之间间距为d，阵元m接收到的信号为：

式中m＝-M，...，...0，...，M，s_k(n)表示第k个入射信号，ωm(n)表示阵元m上的噪声，其中：

使用矩阵表示对称均匀线性阵列接收到的信号模型为：

式中

而加性噪声ω(n)均值为0，σ为加性噪声的方差，且σ与入射信号{s_k(n)}不相关，阵列的响应矩阵

其中a(θ_K，

这里(.)^T表示矩阵转置；

基于表达式(3)所述信号模型求取协方差矩阵

式中N表示采样数，x(n)表示阵列接收数据。

步骤1中，基于协方差矩阵

反对角线元素构建类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

过程如下：

R和Γ均为理论值，协方差矩阵R为2M+1维矩阵，其计算式可以表示为

R＝E{x(n)x^H(n)}＝AR_sA^H+σI_2M+1                        (5)

式中

I_m为m维单位矩阵，E{.}表示期望，{.}^*表示共轭，{.}^H表示共轭转置；

根据协方差矩阵R的反对角线上元素得到空间相关性：

式中i＝-2M，...，-1，0，1，...，2M，p＝-M+i₂，...，-1，0，-1，M-i₁，这里i₁＝0.5(|i|+i)，i₂＝0.5(|i|-i)，γ_ik＝Ψ_k-iΦ_k；

设i＝0，则i₁＝i₂＝0，构建M+1维Toeplitz矩阵Γ

将式(6)代入式(7)，Toeplitz矩阵Γ可以表示为：

Γ＝B(θ)R_sB^H(θ)+σI_M+1                       (8)

式中：

步骤2具体包括以下步骤：

根据协方差拟合准则构建以下半正定规划问题(SDP)：

若采样数N≥2M+1，SDP问题为：

若采样数N＜2M+1，SDP问题为：

式中

T(u)为Toeplitz矩阵，通过求解所述半正定规划问题可以获得相关矩阵

协方差拟合准则为：

若采样数N≥2M+1:

若采样数N<2M+1:

表达式(12)和表达式(13)中θ＝[θ₁,θ₂,...,θ_K]表示K个入射信号的波达方向，入射信号

σ为加性噪声的方差，对式(12)和(13)进行化简可得：

其中

为步骤1提取协方差矩阵

反对角线元素构建的Toeplitz矩阵，Γ为理论上的更为精确的相关矩阵Γ，{.}-¹表示矩阵的逆矩阵。

步骤3中，基于Toeplitz相关矩阵

估计近场信号源的波达方向

具体如下：

301，Toeplitz相关矩阵

为

ΓB(θ)R_sB^H(θ)+σI_M+1

则有

假设

简化为：

式中{.}^*表示共轭，{.}_{2，...，_M+1}表示去除矩阵的第一行，取剩余元素；对方程式(16)直接使用Prony方法求解得到期望的波达方向

302，得到波达方向

后即可得到入射信号的个数K，在入射信号的数量K已知的情况下，通过特征值分解将协方差矩阵

分为信号子空间和噪声子空间：

协方差矩阵

共有2M+1个特征值，将所有特征值按大小排序，

是由前K个较大特征值构成的K维对角阵，

是由前K个较大特征值对应的特征向量张成的子空间，即信号子空间；

是由后2M+1-K个小特征值构成的2M+1-K维对角阵，

是由后2M+1-K个较小特征值对应的特征向量张成的子空间；

在已知波达方向的情况下估计距离参数

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：本发明通过提取信号协方差矩阵反对角线元素构造类似Toeplitz矩阵的相关矩阵，建立针对该相关矩阵重构的凸优化问题，基于恢复的相关矩阵使用Prony方法估计近场信号源的波达方向，在获得波达方向的情况下使用常规的基于子空间的方法有效地估计距离，该算法对波达方向和距离的估计都有卓越的性能，特别在采样数较小甚至单采样的情况下，估计结果的精度高于已有算法WLPM和GEMM，该算法将波达方向以及距离分开估计并自动关联，无需再做额外处理，使用非迭代的方式求解问题大大降低了计算量，由于不需要离散化处理，在提高性能的同时也避免了传统网格匹配算法的网格失配问题。

附图说明

图1a为波达方向的估计均方根误差随信噪比变化曲线,

图1b为距离的估计均方根误差随信噪比变化曲线。

图2a为波达方向的估计均方根误差随采样数变化曲线。

图2b为距离的估计均方根误差随采样数变化曲线。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做详细描述。

本发明中，对于任意变量a，a表示理论值，

表示变量a的实际计算值，

表示变量a的更接近理论值的估计值。

提取信号协方差矩阵反对角线元素，构造类似Toeplitz矩阵的相关矩阵，建立针对所述相关矩阵重构的凸优化问题，基于恢复的半正定规划估计得到的更接近于理论值的相关矩阵可以使用Prony方法估计近场信号源的波达方向，在已知波达方向的情况下使用常规的基于子空间的方法可以有效地估计信号源与对称均匀线性阵列的距离。所述近场信号为入射到对称均匀线性阵列上的K个不相干窄带信号

所述对称均匀线性阵列包含2M+1个全向传感器阵元，M的取值范围为M>K，

为入射信号的方位信息，其中θ_i表示第i个入射信号的波达方向角，所述波达方向角为第i个入射信号相对于y轴的逆时针夹角。

一种基于对称均匀线性阵列的应用于近场信号源定位的稀疏重构方法，具体实现步骤概括如下：

1)基于对称均匀线性阵列接收到的信号模型求取协方差矩阵

其中，N表示采样数，x(n)表示阵列接收数据，{.}^H表示共轭转置；

2)基于协方差矩阵

反对角线元素构建类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

3)基于类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

利用协方差拟合准则构造目标函数，使用半正定规划恢复相关矩阵

4)基于相关矩阵

使用Prony方法估计近场信号源的波达方向

5)使用常规的基于子空间的方法(例如MUSIC)有效地估计范围

下面进行具体描述。

K个近场窄带非相干信号源入射至拥有2M+1个全向传感器阵元的对称均匀线性阵列，要求K<M，阵元之间间距为d，阵元m接收到的信号为：

式中m＝-M，...，...0，...，M，s_k(n)表示第k个入射信号，ω_m(n)表示阵元m上的噪声，其中：

式中，λ为信号波长，θ_k为第k个入射信号的波达方向，r_k为第k个入射信号到均匀对称线性阵列的距离。

使用矩阵表示对称均匀线性阵列接收到的信号模型为：

式中

而加性噪声ω(n)均值为0，方差为σ且与入射信号{s_k(n)}不相关；阵列的响应矩阵

其中

这里(.)^T表示矩阵转置。

步骤1)基于对称均匀线性阵列接收到的信号模型求取协方差矩阵

基于信号模型(4)求取协方差矩阵

式中N表示采样数，x(n)表示阵列接收数据。

步骤2)基于协方差矩阵

反对角线元素构建类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

下文中R和Γ均为理论值，使用该方法构造的类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

为带有较大误差的实际值：

a、协方差矩阵R为2M+1维矩阵，其计算公式可以表示为

R＝E{x(n)x^H(n)}＝AR_sA^H+σI_2M+1                 (6)

式中

I_m为m维单位矩阵，E{.}表示期望，{.}*表示共轭，{.}^H表示共轭转置。

b、根据协方差矩阵R的反对角线上元素可以得到空间相关性：

式中i＝-2M，...，-1，0，1，...，2M，p＝-M+i₂，...，-1，0，-1，M-i₁，，这里i₁＝0.5(|i|+i)，i₂＝0.5(|i|-i)，γ_ik＝Ψ_k-iΦ_k。

c、设i＝0，则i₁＝i₂＝0，构建M+1维Toeplitz矩阵Г

d、将式(7)代入式(8)，Toeplitz矩阵Γ可以表示为：

Γ＝B(θ)R_sB^H(θ)+σI_M+1                            (9)式中：

步骤3)基于步骤2)所得类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

利用协方差拟合准则构造目标函数，使用半正定规划恢复相关矩阵

根据协方差拟合准则构建以下半正定规划问题(SDP)：

若采样数N≥2M+1，SDP问题为：

若采样数N<2M+1，SDP问题为：

式中

T(u)为Toeplitz矩阵。

通过求解所述半正定规划问题可以获得相关矩阵

步骤4)基于步骤3所得相关矩阵

使用Prony方法估计近场信号源的波达方向

相关矩阵

为Toeplitz矩阵，且可表示为公式(8)所示形式，则有

根据式(9)可以假设

也可以简单的表示为：

式中{.}^*表示共轭，{.}_{{2，...，M+1}}表示去除矩阵的第一行，取剩余元素，式(13)中的方程可以直接使用Prony方法求解得到期望的波达方向

步骤5)使用常规的基于子空间的方法有效地估计距离

本发明优选采用MUSIC子空

间的方法估计距离

a、在入射信号的数量K已知的情况下，通过特征值分解将协方差矩阵

分为信号子空间和噪声子空间：

协方差矩阵

共有2M+1个特征值，将所有特征值按大小排序，

是由前K个较大特征值构成的K维对角阵，

是由K个较大特征值对应的特征向量张成的子空间，即信号子空间；

是由后2M+1-K个较小特征值构成的2M+1-K维对角阵，

是由后2M+1-K个小特征值对应的特征向量张成的子空间。

b、在已知波达方向的情况下使用常规的基于子空间的方法可以有效地估计距离参数

如MUSIC算法可求解下式得到

下面通过以下不同情形对上述方法的效果进行说明：

空间有两个波达方向及距离未知的不相干近场信号，其入射方向及距离分别为(12°，1.5λ)，(31°，1.7λ)。对称均匀线性阵列含有2M+1＝7个阵元，阵元间隔为d＝λ/4，仿真中加入近场源定位的加权线性预测方法(WLPM)和基于对称子阵的近场源定位(GEMM)作为对比，同时给出了CRB界。每一个仿真结果都是经由1000次独立重复实验得到的。

参考图1a和图1b，所有的方法都相对准确地估计近场信号的波达方向以及距离，波达方向以及距离的估计均方根误差(RMSE)随着信噪比的增加而显著降低；采样数N＝200,实线为本发明方法所得；长虚线为GEMM算法所得；点虚线为WLPM算法所得；短虚线为克拉美罗下界(CRB)；可以看出本发明提出的方法在低信噪比下完全优于WLPM方法和GEMM方法，图b中的结果可以看出本发明提出的方法在距离估计上有卓越的性能，远优于WLPM方法和GEMM方法。

参考图2a和图2b，信噪比为10dB，实线为本发明方法所得；长虚线为GEMM算法所得；点虚线为WLPM算法所得；短虚线为克拉美罗下界(CRB)；所有的方法都相对准确地估计近场信号的波达方向以及距离，波达方向以及距离的估计均方根误差(RMSE)随着采样数的增加而显著降低，由图可以看出本发明提出的方法在低采样数甚至单采样的情况下效果完全优于WLPM方法和GEMM方法，由图2b的结果可以看出本发明提出的方法在距离估计上有卓越的性能，远优于WLPM方法和GEMM方法。

本发明通过提取信号协方差矩阵反对角线元素构造类似Toeplitz矩阵的相关矩阵，建立针对该相关矩阵重构的凸优化问题，基于恢复的相关矩阵使用Prony方法估计近场信号源的波达方向，在获取波达方向的情况下使用常规的基于子空间的方法可以有效地估计距离。本发明使用无需网格化的稀疏重构方法，避免了迭代运算带来的高计算复杂度问题的同时也没有传统网格化方法的网格失配问题。

Claims (3)

1.一种基于稀疏重构的无需网格化的近场信号源定位方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，基于对称均匀线性阵列接收到的信号模型获取协方差矩阵

提取协方差矩阵

的反对角线元素，利用协方差矩阵

的反对角线元素构建类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

对称均匀线性阵列包含2M+1个全向传感器阵元；基于协方差矩阵

反对角线元素构建类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

过程如下：

R和Γ均为理论值，协方差矩阵R为2M+1维矩阵，其计算式可以表示为R＝E{x(n)x^H(n)}＝AR_sA^H+σI_2M+1                      (5)

式中

I_m为m维单位矩阵，E{.}表示期望，{.}^*表示共轭，{.}^H表示共轭转置；

根据协方差矩阵R的反对角线上元素得到空间相关性：

式中i＝-2M，...，-1，0，1，...，2M，p＝-M+i₂，...，-1，0，-1，M-i₁，这里i₁＝0.5(|i|+i)，i₂＝0.5(|i|-i)，γ_ik＝Ψ_k-iΦ_k；

设i＝0，则i₁＝i₂＝0，构建M+1维Toeplitz矩阵Γ

将式(6)代入式(7)，Toeplitz矩阵Γ可以表示为：

Γ＝B(θ)R_sB^H(θ)+σI_M+1                     (8)

式中：

步骤2，基于步骤1所得类似Toeplitz矩阵的相关矩阵

采用协方差拟合准则构造目标函数，使用半正定规划估计相关矩阵

根据协方差拟合准则构建以下半正定规划问题(SDP)：

若采样数N≥2M+1，SDP问题为：

若采样数N<2M+1，SDP问题为：

式中

T(u)为Toeplitz矩阵，通过求解所述半正定规划问题可以获得相关矩阵

协方差拟合准则为：

若采样数N≥2M+1:

若采样数N<2M+1:

表达式(12)和表达式(13)中θ＝[θ₁,θ₂,...,θ_K]表示K个入射信号的波达方向，入射信号{s_k(n)}，

σ为加性噪声的方差，对式(12)和(13)进行化简可得：

其中

为步骤1提取协方差矩阵

反对角线元素构建的Toeplitz矩阵，Γ为理论上的更为精确的相关矩阵Γ，{.}^-1表示矩阵的逆矩阵；

步骤3，基于步骤2所得相关矩阵

使用Prony方法估计近场信号源的波达方向

再使用基于子空间的方法估计范围

角度

为入射信号的方位信息，

为入射信号的距离信息，入射信号为近场窄带非相干信号。

2.根据权利要求1所述的基于稀疏重构的无需网格化的近场信号源定位方法，其特征在于，步骤1具体如下：

设K个近场窄带非相干信号源入射至拥有2M+1个全向传感器阵元的对称均匀线性阵列，K<M，阵元之间间距为d，阵元m接收到的信号为：

式中m＝-M，...，...0，...，M，s_k(n)表示第k个入射信号，ω_m(n)表示阵元m上的噪声，其中：

使用矩阵表示对称均匀线性阵列接收到的信号模型为：

式中

而加性噪声ω(n)均值为0，σ为加性噪声的方差，且σ与入射信号{s_k(n)}不相关，阵列的响应矩阵

其中

这里(.)^T表示矩阵转置；

基于表达式(3)所述信号模型求取协方差矩阵

式中N表示采样数，x(n)表示阵列接收数据。

3.根据权利要求1所述的基于稀疏重构的无需网格化的近场信号源定位方法，其特征在于，步骤3中，基于Toeplitz相关矩阵

估计近场信号源的波达方向

具体如下：

301，Toeplitz相关矩阵

为Γ＝B(θ)R_sB^H(θ)+σI_M+1

则有

假设

简化为：

式中{.}^*表示共轭，{.}_{{2，...，M+1}}表示去除矩阵的第一行，取剩余元素；对方程式(16)直接使用Prony方法求解得到期望的波达方向

302，得到波达方向

后即可得到入射信号的个数K，在入射信号的数量K已知的情况下，通过特征值分解将协方差矩阵

分为信号子空间和噪声子空间：

协方差矩阵

共有2M+1个特征值，将所有特征值按大小排序，

是由前K个较大特征值构成的K维对角阵，

是由前K个较大特征值对应的特征向量张成的子空间，即信号子空间；

是由后2M+1-K个小特征值构成的2M+1-K维对角阵，

是由后2M+1-K个较小特征值对应的特征向量张成的子空间；

在已知波达方向的情况下估计距离参数

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