CN111344088B - 用于在具有测量延迟的双辊带铸造中的周期性干扰的迭代学习控制 - Google Patents

Abstract

一种双辊铸造系统，其中铸辊在铸辊之间具有辊隙，每个辊具有周长和旋转周期。铸辊控制器响应于控制信号来调节铸辊之间的辊隙。传感器测量铸带的至少一个参数。ILC控制器从传感器接收带测量信号，并将控制信号提供给铸辊控制器。ILC控制器包括ILC控制算法，以生成基于带测量信号的控制信号以及基于周长、旋转周期和辊隙与传感器之间的铸带长度的时间延迟估计，以补偿从铸带离开辊隙到被铸带传感器测量所经过的时间。

Description

用于在具有测量延迟的双辊带铸造中的周期性干扰的迭代学 习控制

相关申请的交叉引用

本申请要求于2017年9月22日向美国专利局提交的美国临时申请号 62/562056和于2018年4月6日向美国专利局提交的美国临时申请号 62/564304的优先权和利益，通过引用将二者全部内容并入本文。

背景技术

双辊铸造(TRC)是一种接近最终形状的制造过程，用于生产钢带和其他金属带。在此过程中，将熔融金属倒在两个铸辊的表面上，这两个铸辊同时冷却金属并将其固化成接近最终厚度的带。随着辊旋转，辊的形状和热力学特性的角度变化会在带的厚度轮廓中产生周期性干扰。这样的一个示例是，带的一侧因辊边缘之间的相对间隙距离的变化而被无意中铸造得比另一侧厚。这种干扰称为楔形，其存在会影响最终带的质量。然而，由带的铸造和测量之间存在较大延迟而使得补偿这种干扰复杂。

过去，研究人员一直专注于TRC过程的稳定性以及改善其整体性能。具体而言，许多研究人员分析了各种过程参数之间的相互作用以及这些相互作用如何影响过程的稳态行为。然而，几乎没有做任何工作来解决基于每转发生的干扰。如果不解决这些干扰，以前的作者得出的许多稳态模拟将无法实现他们概述的厚度性能目标。

由于TRC的旋转特性，辊的最显著动态是周期性的。这使得基于学习的控制算法成为解决每转干扰的理想方法。迭代学习控制(ILC)是用于消除重复过程中发生的周期性干扰的流行控制技术。迭代学习控制利用过程的可重复性来消除来自该过程的周期性干扰的影响。ILC最初于1980年代提出，已用于改善机器人技术、化学处理和制造领域中各种系统的跟踪性能。 ILC算法使用来自先前试验的误差信号(在这种情况下为滚动旋转)来生成对将在下一次试验期间应用的输入信号的修改。

许多ILC算法假定过程中没有时间延迟。然而，在实际应用中，并非总是如此。研究人员先前已经开发了ILC算法，以补偿在过程的单次迭代中发生的时间延迟。表明在延迟时间固定且延迟长度小于一次迭代长度的假设下，确保对于较小时间延迟估计误差收敛。然而，这些算法并未扩展到实际上是多次迭代长度的时间延迟的情况，在包括双辊钢铸造的各种应用中就是如此。他们也没有考虑时间延迟随时间变化的情况。

由于双辊带铸造的旋转特性，许多干扰可以表示为铸辊的旋转位置的函数。然而，由于许多物理限制，带特征传感器与系统致动器不在同一位置。结果，时间延迟可能超过过程的单次迭代的持续时间，即铸辊的一个完整旋转。这意味着在这些测量值可以与反馈算法结合使用以控制过程之前需要准确的时间延迟估计。

为了考虑时间延迟的可变性，需要时间延迟估计算法。最常见的时间延迟估计算法使用基于相关性的方法来估计过程内的时间延迟。然而，过程的周期性使基于相关性的方法不可靠，尤其是当延迟是多个周期长度时。这是因为周期性导致相关函数对于搜索窗口内的每个周期具有局部最大值。

发明内容

为了克服这些基本挑战，本文提供了一种用于重复过程的时间延迟估计方法，其中时间延迟大于一次迭代。该方法首先将时间延迟的搜索窗口缩小到包含该过程的单个周期的延迟值的间隔。然后可以使用基于相关性的方法来找到较小间隔内的实际延迟。

特别地，针对一类周期性或重复性过程描述了一种ILC算法，该过程的可变时间延迟大于一次迭代长度。延迟被分为两个分量：基于单个延迟周期内包含的迭代次数的n_k分量和定义为实际延迟与n_k分量之间的残差的τ分量。然后，该结构使得能够推导ILC算法的稳定性定律，其是n_k和τ的估计误差的函数。

在此，针对一类周期性过程描述了迭代学习控制(ILC)算法，该过程的可变时间延迟大于一次迭代长度。这种过程的示例是双辊带铸造，其中致动器和传感器不在同一位置，从而导致显著的时间延迟，其本身是过程参数比如辊速度的函数。我们将该延迟分为两个分量：基于一个延迟周期内包含的迭代次数的整数分量n_k和定义为实际延迟与n_kT_R之间的残差的第二分量τ。然后，该结构使得能够推导出ILC稳定性定律，其是n_k和τ的估计误差的函数。所提出的算法应用于双辊带铸造，其中n_k估计是基于过程的几何特性而被导出的，τ估计由标准相关性方法驱动。使用实验过程数据验证延迟估计算法。然后，通过模拟结果，我们证明了ILC算法n_k和τ的估计误差的敏感性以及由于每个估计中的误差而导致的性能折衷。

根据本发明的双辊铸造系统可以包括一对反向旋转铸辊、铸辊控制器、铸带传感器以及ILC控制器。一对反向旋转铸辊在铸辊之间具有辊隙并且能够从辊隙向下输送铸带，该辊隙是可调节的，每个辊具有周长C和旋转周期 T_R。铸辊控制器配置为响应于控制信号来调节铸辊之间的辊隙。铸带传感器能够测量铸带的至少一个参数，其中在辊隙和铸带传感器之间存在长度为L 的铸带，长度L大于周长C。ILC控制器耦合到铸带传感器以从铸带传感器接收带测量信号并且耦合到铸辊控制器以向铸辊控制器提供控制信号，该 ILC控制器包括迭代学习控制算法，以生成基于带测量信号的控制信号和表示从铸带离开辊隙到被铸带传感器测量所经过的时间的时间延迟估计ΔT。时间延迟估计ΔT还包括：迭代延迟T_I，其包括滚动转数n_k和旋转周期T_R的乘积；和残余延迟τ，其使得在迭代延迟和迭代延迟加一次迭代的窗口内提供给控制器的控制信号与从传感器接收的测量信号之间的相关性最大化。ILC控制器可以配置为计算残余延迟τ、迭代延迟T_I或这两者。

在一示例中，滚动转数n_k与周长C的乘积提供了迭代长度L_I，其中迭代长度L_I小于长度L，并且长度L与迭代长度L_I之差小于周长C。滚动转数 n_k可以至少为2或更多。铸带传感器可以包括厚度计，其在整个铸带宽度上的间隔中测量铸带的厚度。

铸辊控制器还可以包括动态可调节楔形控制器，并且响应于来自ILC控制器的控制信号，由楔形控制器调节辊隙。在另一示例中，铸辊可以包括用于调节辊隙的膨胀环，并且铸辊控制器可以响应于来自ILC控制器的控制信号来控制膨胀环。

铸带传感器可以对于至少一个周期性干扰对铸带进行测量，并且迭代学习算法可以适于降低至少一个周期性干扰的严重性。

一种在双辊铸造系统中减少铸带金属产品中的周期性干扰的方法，该系统具有一对反向旋转铸辊，其在铸辊之间的辊隙处产生铸带，该辊隙可由铸辊控制器调节，每个辊具有周长C和旋转周期T_R；该方法可以包括：在铸带从之开始离开辊隙的时间延迟T_D处测量铸带的至少一个参数，其中时间延迟 T_D超过旋转周期T_R；计算时间延迟估计ΔT以补偿时间延迟T_D，其中时间延迟估计ΔT还包括迭代延迟T_I，其包括旋转周期T_R的倍数，以及残余延迟τ，其使得在迭代延迟和迭代延迟加一次迭代的窗口内提供给铸辊控制器的控制信号与测量的至少一个参数之间的相关性最大化；将时间延迟估计ΔT和测量的至少一个参数提供给迭代学习控制器；以及由迭代学习控制器基于时间延迟估计ΔT和测量的至少一个参数为铸辊控制器生成控制信号；其中铸辊控制器响应于来自迭代学习控制器的控制信号来调节辊隙，以减少周期性干扰。旋转周期T_R的倍数可以选择成使得残余延迟τ小于旋转周期T_R。

参数可以包括在整个铸带宽度上的间隔中的铸带的厚度的测量。铸辊控制器还可以包括动态可调节楔形控制器，其中响应于来自ILC控制器的控制信号，由楔形控制器调节辊隙。铸辊可以包括用于调节辊隙的膨胀环，并且铸辊控制器可以响应于来自迭代学习控制器的控制信号来控制膨胀环。

根据权利要求10所述的方法，其中，所述迭代学习控制器配置为计算残余延迟τ、迭代延迟T_I或这两者。

在上述系统或方法中，可以替代地根据辊周长C和旋转周期T_R以及在铸带离开辊隙时与随后在时间延迟T_D测量铸带时之间的至少一个测量的铸带长度参数来计算用于补偿时间延迟T_D的整个时间延迟估计ΔT。

长度参数可以包括铸带环高度。在该示例中，计算时间延迟估计ΔT的步骤还包括计算在辊隙与铸带的一部分之间的铸带长度L，其中至少一个参数是基于环高度测量的。时间延迟估计ΔT还可以包括：迭代延迟T_I，其包括旋转周期T_R的倍数n，其中倍数n是最大自然数，使得n和C的乘积小于L；以及残余延迟τ，其中τ是基于从L减去n和C的乘积之差乘以旋转周期T_R除以L而被估计的。

如附图所示，根据以下对特定实施例的更详细描述，上述及其他目的、特征和优点将变得显而易见，其中相同的附图标记表示特定实施例的相同部分。

附图说明

图1A是具有ILC控制的双辊连铸机的示意性侧视图；

图1B是图1A的连铸机的放大局部图；

图2是用于以约1.5秒的旋转周期运行的TRC过程的测量的楔形信号的示例；

图3示出了用于系统识别的输入信号是施加到铸辊的倾斜的方波；

图4示出了响应于图3所示的输入信号而变化的测量的楔形信号；

图5示出了由受控对象(plant)的响应加上周期性干扰和测量噪声构成的测量的楔形信号；

图6示出了测量的楔形信号的快速傅立叶变换，其在旋转频率及两倍旋转频率处具有大峰值；

图7示出了反映输入信号中的阶跃的经滤波的测量的楔形信号。实线是经滤波的楔形信号，虚线是来自图3的输入信号；

图8示出了估计的受控对象动态与经滤波的楔形动态的比较；

图9示出了影响受控对象的干扰信号；

图10示出了干扰信号的放大图；

图11示出了一个辊旋转期间的楔形信号；

图12示出了将ILC算法应用于具有严格周期性干扰的受控对象之后的楔形信号的范数；

图13示出了将ILC算法应用于D具有类似于真实过程的一些非周期性行为的系统之后的楔形信号的范数；

图14示出了将ILC算法和遗忘因子应用于D具有类似于真实过程的一些非周期性行为的系统之后的楔形信号的范数；

图15是示出对于SISO系统而言方程式(15)如何可以表示为频域中向量的总和的图；

图16是示出使用方程式(28)中定义的关系的归一化环高度测量与n_k之间的关系的图；

图17是示出使用方程式(29)中定义的关系的归一化环高度测量与n_k之间的关系的图；

图18是表示如何通过确定在经滤波的楔形信号与延迟且经滤波的铸辊位置信号之间产生最大相关性的延迟值来获得τ估计的图；

图19是示出使用数据集1的归一化环高度的图；

图20是示出使用数据集1的时间延迟估计的图；

图21示出了两个图，其中可以通过比较在连铸机辊倾斜信号(上图) 和楔形测量(下图)中发生阶跃的时间来测量时间延迟；

图22是示出数据集2中的归一化环高度的图；

图23是示出基于使用数据集2的环高度测量的n_k估计的图；

图24是示出使用数据集2的时间延迟估计的图；

图25是示出当n_k和τ的估计值与其真实值相等时渐近收敛为零的误差信号的范数的图；

图26是示出当估计值τ与其真实值相差小量时仍收敛于小于初始误差的值的误差信号的范数的图；

图27是示出当估计值τ与其真实值相差大量时收敛于大于其初始值的值的误差信号的范数的图；

图28是示出当估计值n_k与其真实值相差小量时仍收敛于小于具有瞬态响应变化的初始误差的值的误差信号的范数的图；以及

图29是双辊连铸机的简化图，其示出了辊隙和测量位置之间的铸带长度。

具体实施方式

参照图1A和1B，双辊连铸机总体上由11表示，其生产薄铸钢带12，该薄铸钢带12进入过渡路径穿过引导台13到达夹送辊架14。在离开夹送辊架14之后，薄铸带12进入并通过热轧机16，其由支承辊16B和上下工作辊16A构成，在上下工作辊16A处带的厚度减小。带12在离开轧机15时，通过跳动台17，在该处其可以被迫由水射流18冷却，然后通过包括一对夹送辊20A的夹送辊架20并到达卷取机19。

双辊连铸机11包括主机框架21，其支撑一对侧向定位的铸辊22，铸辊 22具有铸表面22A并在它们之间形成辊隙27。熔融金属在铸造活动过程中从钢包(未示出)供应到中间包23，通过耐火罩24到达可移动中间包25(也称为分配器容器或过渡件)，然后通过辊隙27上方的铸辊22之间的金属输送喷嘴26(也称为芯喷嘴)。将熔融钢从中间包23通过罩24的出口引入到可移动中间包25中。中间包23装配有滑门阀(未示出)以选择性地打开和关闭出口24，并有效地控制熔融金属从中间包23流到连铸机。熔融金属从可移动中间包25流动通过出口并可选地到达并通过芯喷嘴26。

如此输送到铸辊22的熔融金属在由铸辊表面22A支撑的辊隙27上方形成铸池30。该铸池由一对侧挡或板28限制在辊的端部，该对侧挡或板28 通过一对推进器(未示出)施加到辊的端部，推进器包括连接至侧挡的液压缸单元。铸池30的上表面(通常称为“弯月面”水平)可以上升到输送喷嘴 26的下端部上方，使得输送喷嘴26的下端部浸入铸池内。

铸辊22在内部通过冷却剂供应(未示出)进行水冷并由驱动器(未示出)沿反向旋转方向驱动，以使壳在移动的铸辊表面上凝固并在辊隙27处聚集在一起以生产薄铸带12，其从铸辊之间的辊隙向下输送。

在双辊连铸机11下方，铸钢带12穿过密封外壳10内到达引导台13，其将带引导到夹送辊架14，带通过其离开密封外壳10。外壳10的密封可以不完整，但适合允许控制外壳内的大气并允许氧气进入外壳内的铸带。在离开密封外壳10之后，带可以在夹送辊架14之后穿过其他密封外壳(未示出)。

在带进入热轧机架之前，通过厚度计44获得横向厚度轮廓并将其传送给ILC控制器92。就是在该位置，通过从另一侧减去一侧的厚度测量来测量楔形。为了将这些侧彼此区分，一侧指定为驱动侧(DS)，而另一侧指定为操作侧(OS)。然后，楔形量是DS厚度减去OS厚度。ILC控制器向铸辊控制器94提供输入，铸辊控制器94例如可以控制辊隙几何形状。

在典型铸造中，楔形根据辊的角位置而变化。随着辊旋转，辊偏心率的变化加上辊表面的热变化会导致楔形从偏向一侧偏移到偏向另一侧。然后，随着下一旋转开始，楔形信号恢复为偏向第一侧且循环继续。这种类型的周期信号的示例在图2中示出，其中旋转周期约为1.5秒。图2中的信号显示的行为在旋转频率和两倍旋转频率处都是周期性的。尽管楔形信号不是纯粹周期性的(如由信号幅度的低频变化所示)，但其显然表现出很强的周期性行为。

用于调节厚度轮廓的主要致动变量是由于定位铸辊而产生的间隙。该间隙称为辊隙。为了减少楔形缺陷，ILC需要受控对象模型，其映射辊隙参考信号如何影响热箱中的楔形测量。影响楔形的一个控制是“倾斜”，它表示如分别在驱动侧和操作侧测量的间隙距离之间的差。

为了识别系统模型，可以将方波用作输入倾斜控制信号，表示为u且如图3所示。对于输出信号，可以在厚度计处测量铸带厚度，以测量输入倾斜信号对楔形的影响。厚度计可以位于热轧机之前的推出台上。产生的楔形信号X_W如图4所示。它是输入倾斜控制信号、测量噪声和周期性干扰信号的总和，如图5所示。将受控对象对输入信号的响应与测量噪声和周期性干扰信号相加，以重建测量信号。

方波的影响在图4中显而易见，但动态响应被干扰和噪声信号的存在掩盖。测量信号的快速傅里叶变换的幅值图如图6所示。在旋转频率(0.68Hz) 和两倍旋转频率(1.36Hz)处都有较大周期性干扰。在1.5Hz以上还存在显著的测量噪声，这可能会妨碍受控对象识别过程。为了减少这些信号对受控对象模型创建的影响，可以使用一组带阻和低通滤波器对测量的信号进行滤波。例如，可以在MATLAB中使用带有两个三阶Butterworth带阻滤波器的filtfilt命令来移除两个周期性干扰：一个具有以3弧度/秒和6弧度/秒的截止频率，另一个具有以6弧度/秒和10弧度/秒的截止频率。然后，使用具有9 弧度/秒的截止频率的六阶低通Butterworth滤波器以类似的方式移除高频噪声。产生的经滤波的信号如图7所示。

除了噪声之外，通过存在倾斜动态和楔形测量之间的大量延迟而使受控对象模型识别进一步复杂。如图1A和图1B所示，带离开铸辊并进入热箱，其中它在被送入热轧机架之前形成环。楔形测量位置在环的下游于将带送入热轧机架的台辊上。带离开铸辊时与测量楔形时之间的时间量可能足够长，以使发生多个辊旋转。为了识别用于设计ILC控制器的受控对象模型，将楔形信号偏移约5个辊旋转，以补偿此测量的延迟。

然后可以使用经滤波的且楔形测量信号X_W,f来识别受控对象模型。这是通过假设可以用以下形式的多项式描述受控对象来实现的：

A(x)X_W,f(t)＝B(z)u(t) (1)

其中，t是样本索引，A和B是关于z的多项式，z是t(样本)域中的前移算子。例如，由以下给出的多项式模型：

X_W,f(t)＝0.186z^-671u(t) (2)

能够实现81.65％的标准化均方根误差拟合百分比，如图8所示。

控制设计

前面讨论的测量延迟引入了ωT＝57.3弧度的相位滞后，这使得传统的反馈控制器实际上不可行。上述的所识别的受控对象模型可以用于合成可以克服由延迟引入的相位滞后的迭代学习控制器。标准ILC算法由以下给出：

u(t,k+1)＝u(t,k)+Le(T,k) (3)

其中，u是辊旋转k内样本t处的倾斜控制输入，e是误差，其定义为楔形信号的负值。

根据受控对象模型，可以将误差重写为：

e(t,k)＝-(B(z)/A(z)u(t,k)+D(t)) (4)

其中，D(t)是周期性干扰信号，它不依赖于迭代索引k。这导致由以下给出的控制定律：

u(t,k+1)＝[1-L(B(z)/A(z))]u(t,k)-L(z)D(t) (5)

然后，用于从u(t,k)到u(t,k+1)的压缩映射的收敛条件通过以下给出：

‖1-L(B(z)/A(z))‖_∞＝max_{-π＜ω＜π}|1-L(B(e^jω)/A(e^jω))|＜1 (6)

该映射确保u(t,k)收敛到使跟踪误差最小的值。对于方程式(2)，条件满足，只要：

0≤L≤10.87

如果没有测量延迟，则方程式(3)适用。然而，如前一节所述，存在等于辊旋转的显著测量延迟。为了弥补此，我们将控制器修改为以下形式：

其中，q是k域中的前移算子，

是满足

的最小正整数，其中T_R是一个辊旋转的周期，而ΔT是测量延迟。此修改不会影响增益范围，因为收敛条件变为：

‖1-L(B(z)/A(z))‖_∞＜1 (8)

这导致L的边界相同。

这种类型的控制器也可被视为一种ILC算法，其中迭代周期为每

旋转，而不是基于每旋转。

方程式(7)的控制器的性能在上面确定的受控对象模型上进行了模拟，其中

并且向受控对象输出施加干扰信号，如图5所示。可以通过从未滤波的楔形信号中减去带阻经滤波的楔形信号来构建干扰信号。产生的信号在图9中示出，放大图示出在图10中。该信号示出一定可重复性，但也存在一些非周期性行为。首先，通过构造频率为0.68和1.36Hz的正弦干扰，使用严格的周期性干扰信号来模拟性能，如图11所示。

然后，使用上述控制器，其中L(z)＝5，在如图12所示的25个辊旋转之后，导致楔形信号减小2800倍(在2范数意义上)。ILC控制输入信号迅速收敛到其最佳值，而误差信号收敛到零。

即使没有为非周期性行为明确提供补偿，具有L(z)＝5的控制器仍可以实现误差信号的显著降低，如图13所示。通过将这种控制器与遗忘因子组合，可以实现误差信号的甚至更大减小，如图14所示。在该示例中，方程式(9)修改为：

其中，0.8是应用于前一输入信号的遗忘因子。平均而言，与不包括遗忘因素的前一情况相比，该修改的算法实现更好的性能。总之，即使存在非周期性干扰信号，ILC算法也可以将楔形的2范数减少约2倍。

开发了具有5次迭代的估计时间延迟的上述模型。然而，在实际应用中，比如双辊铸造系统，延迟可能会随操作条件而变化，比如铸带的温度(和膨胀)。因此，需要估计的时间延迟。常见的时间延迟估计算法使用两个信号之间的相关性来估计它们之间的延迟。一般概念是，给定两个信号x(t)和y(t)，其中x(t)是y(t)的延迟表示，该算法搜索延迟ΔT，其在应用于x(t)时使x(t+ ΔT)和y(t)之间的相关性最大化。然而，本系统涉及比一个过程迭代的周期更长的时间延迟。这意味着基于相关性的延迟估计方法将必须搜索过程的多个周期，从而导致多个高相关性区域和多个潜在的延迟估计。

然而，当延迟估计中存在误差时，不能确保控制系统的性能。具体地，如果控制输入信号由错误或延迟的误差信号定义，则ILC算法可能会导致不稳定性。更具体地，延迟估计误差将导致控制定律中的相位误差。

可以采用一般的ILC控制定律来说明相位误差可如何导致ILC算法中的稳定性问题：

u(t,k+1)＝u(t,k)+δu(e(t+1,k)) (9)

其中，u是控制输入信号，δu是关于误差信号e的校正因子。索引t和 k分别是样本索引和迭代索引。假定误差信号和控制输入信号的索引未完全对齐。在期望输出为零的情况下，误差信号定义为：

x(t+1)＝Ax(t)+Bu(t)

y(t)＝Cx(t-ΔT)

＝C(zI-A)^-1Bu(t-ΔT)+D(t-ΔT)

＝Gu(t-ΔT)+D(t-ΔT)

e(t)＝0-y(t)

＝-Gu(t-ΔT)-D(t-ΔT) (10)

其中，x是延迟状态测量，ΔT是控制输入信号和测量的输出信号之间的时间延迟，D(t-ΔT)是系统对x的初始条件的延迟自由响应，A、B和C是适当尺寸的状态空间矩阵。为了说明该过程的周期性，可以将ΔT的模型定义为：

ΔT(t)＝n_k(t)T_R+τ(t) (11)

其中，T_R是一次迭代的周期，n_k(t)是在延迟期间发生的迭代次数，而τ(t) 是ΔT(t)-n_k(t)T_R的残差。在此示例中，n_k和T_R的乘积包括迭代时间延迟T_I。此定义允许分别估计n_k和τ。n_k的估计将可能的延迟间隔缩小到[n_kT_R,(n_k+ 1)T_R]，并且τ估计是来自该间隔的值，其使输入信号和输出测量之间的相关性最大化。

使用方程式(10)和(11)，方程式(9)中的控制定律可以重写为：

u(t,k+1)＝u(t,k)+δu(-Gu(t-ΔT,k)-D(t-ΔT,k))

＝u(t,k)+δu(-Gu(t-τ,k-n_k)-D(t-τ,k-n_k)) (12)

然而，方程式(12)右侧的u的混合索引可能会导致问题，因为控制器在不知道u(t,k)实际上如何影响过程的情况下修改u(t,k+1)。为了解决此未对齐，可以修改控制定律，以使定义的控制信号基于先前控制信号及其所产生的误差。在此修改中，控制信号的对齐应在时域内进行维护，以确保迭代之间的连续性，使得方程式(12)的左侧可以修改为

其中

是满足

的最小正整数。然后，使用ΔT的估计来将误差信号与 u(t,k)对齐。这导致由以下给出的控制定律：

其中

和

是ΔT的分量的估计。项δu可被定义为e的线性函数。可以包括遗忘因子Q来修改u(t,k)。这导致：

其中，K是学习增益。通过在t域中引入前移算子z和在k域中引入前移算子q，方程式(13)可以重写为：

如果存在Q＞0和K＞0，则系统是稳定的，从而

建立此是定理2的特例，如Bristow,D.A.,Tharayil,M.和Alleyne,A.G. 在2006年所提供的“A survey of iterative learning control,”IEEE Control Systems,26(3),June,pp.96–114中。通过将q＝exp(iω)和z＝exp(iω)代入方程式(15)，其中，Ω＝ωT_R和ω是频率变量，我们得到：

也就是说，只要存在满足所有

的表达式的Q＞0和K＞0，系统就是稳定的。

对于单输入单输出(SISO)系统，方程式(15)可以表示为如图15所示的频域中的矢量之和。时间延迟估计误差等于幅度为KG的矢量的相位角。可能出现的特殊情况是，其中已知延迟内的迭代次数—换句话说，

而τ不确定，例如由于采样率的限制。

对于SISO系统，如果

且所有估计误差均由τ估计引起，则只要存在Q＞0和K＞0，系统就是稳定的，从而对于所有

对于τ已知而n_k未知的SISO系统，可以通过用

替换

来获得与上述等效的不等式。产生的不等式及其对应部分分别描述了τ和n_k的估计误差对控制器的稳定性的影响。

当存在非零延迟估计误差时，可以表明ILC算法仅在Q＜1时才稳定。然而，当Q＜1时，误差信号不能收敛为零。对于稳定的控制器，系统的渐近误差为

注意，渐近误差不取决于n_k估计误差。然而，如下所示，n_k估计误差影响系统的瞬态行为。

对于稳定的SISO系统，其正弦输出干扰的频率为ω，可以将方程式(16) 简化为从‖D(t)‖到‖e(t,∞)‖的以下灵敏度函数：

该表达式在给定Q、K和

值时提供方便的方法来计算系统的渐近误差的范数。注意，只有在以下情况下，干扰对渐近误差的范数的影响才会减弱：

这为在干扰信号的误差被放大之前可以容忍多少延迟估计误差提供了界限。

上述延迟估计算法可以应用于在双辊带铸造过程中减少当带的一侧比另一侧厚时发生的带楔形的问题。在双辊带铸造中，将熔融钢倒在两个铸辊的表面上，在此其凝固成钢带。然而，铸造过程受到各种周期性干扰，其影响带厚度的均匀性。这些干扰由于辊表面如何与熔池相互作用以及铸辊的两侧之间的实际间隙有多大而发生。由于与凝固过程相关的参数不确定性很高，包括钢的等级、辊表面纹理等，对这些干扰对受控对象动态的影响进行建模非常困难。尽管如此，通过由铸辊的旋转运动驱动过程动态，过程中具有自然周期性，从而使其自身适于基于学习的控制器，其对铸辊位置进行调制以消除干扰的影响。然而，由于存在较大的测量延迟而使学习变得复杂。

如图29所示，在已形成带之后，其进入环境控制箱90，称为热箱，在此其继续被动冷却，然后通过热轧机架将其压缩至其最终规格。在热箱内，带移动到将带引导到热轧机架中的一组台辊上。当带沿台辊移动时，获得带厚度测量。测量延迟是指带从铸辊的辊隙处的致动点即点A移动到测量位置即点C所花费的时间量。

在将带放到台辊上之前，带穿过热箱的一部分，在此其形成自由悬挂的环，如图1A和图1B所示，其为点A和B之间的带长度。该环的深度是可变的且取决于许多参数，包括铸辊速度、热轧机架速度和铸钢等级。可以使用传感器来估计相对于铸辊的辊隙的顶点深度y_A-y_V。然后，可以使用该测量值连同铸辊的辊隙(点A)、台辊的开始(点B)和测量位置(点C)之间的已知距离来估计点A和C之间的钢量。根据该估计，我们可以使用铸造速度获得时间延迟。

如下所述，该过程的周期性特性使其非常适合基于学习的控制算法。然而，这种周期性使使用相关性方法在线估计延迟变得复杂。基于我们在方程式(11)中引入的时间延迟的定义，ΔT的估计可以分为两个单独的估计问题：将时间延迟的搜索窗口缩小到一个辊旋转的跨度的n_k估计；以及使用基于相关性的算法来搜索减少的窗口以确定时间延迟估计的τ估计。

n_k估计算法的基本概念是将n_k与铸辊和测量位置之间的带长度相关联。

带的长度可以表示为：

L＝n_kC_CR+δL (18)

其中，C_CR是单个铸辊的周长，而δL是L/C_CR的其余部分。如图1A和图1B所示，带的长度分为两部分：1)铸辊的辊隙(点A)和第一个台辊(点B)之间的悬链曲线，以及2)在点B和点C之间的台辊上的带长度。

B和C之间的带长度由热箱的几何形状固定

然而，由于热箱内的环的膨胀和收缩，n_k的值可能会变化。换句话说，n_k将基于图1A和图1B中点A和B之间的带长度而变化。

A和B之间的距离是固定的：

和

通过假定该环是悬链曲线，该曲线的方程式通过以下给出：

其中，x和y定义成使曲线顶点的x坐标x_V位于x＝0。项a＞0是曲线的参数且与形成曲线的材料有关。曲线的弧长可以表示为：

带的长度则可以重写为：

为了求解方程式(21)，a必须确定。这可以通过求解以下方程组来完成：

y_A-h_Loop＝a cosh(0)＝a, (26)

其中，h_Loop是相对于辊隙的测量的环深度(h_Loop＝y_A-y_V)。a的值则是以下的解：

计算上，计算a和随后的L可能需要比可分配给任务更多的时间。然而，可以通过直接将h_Loop映射到n_k来避免这种情况。给定铸辊的直径为L，则辊的周长以及等效地在一个辊旋转中产生的带长度为L_k＝C_CR＝πD。然后可以从方程式(18)将n_k计算为：

n_k＝floor(L/L_k) (28)

其中，L由方程式(21)定义。在为h_Loop的所有值计算L的值后，h_Loop和n_k之间的关系如图16所示。

然而，方程式(28)中的估计由于L的值基于以下假设而可能易于出错：传感器正在测量环的顶点，带形成悬链曲线以及带离开铸辊后不拉伸。总体而言，在图16中找到的n_k的值可以定义导致τ估计高估ΔT的值的搜索窗口。解决此的一种方法是将n_k低估小量，然后使用τ估计在修改后的窗口中搜索真实延迟。在一示例中，n_k可能被低估了1/4，因为厚度测量的主要动态是在旋转频率和两倍旋转频率处。这意味着在单个辊旋转中，厚度轮廓具有两个峰和两个谷。通过将n_k低估1/4，间隔的信息

将被替换为间隔的信息

其中

是使用方程式(28)产生的n_k估计。最多这将会替代一个峰或一个谷。假定n_kT_R接近ΔT的值，则可以合理地假设原始间隔的最后四分之一中的任何潜在峰都不是真实时间延迟。相反，更接近n_kT_R的间隔[(n_k-1/4)T_R,n_kT_R]中的信息是包含真实延迟时间的更合理候选。然后，通过以下给出修改后的n_k定义：

n_k＝round(4L/L_k-1)/4 (29)

并且其与h_Loop的关系如图17所示。

估计的目的是使用基于相关性的延迟估计算法在窗口[n_kT_R,(n_k+ 1)T_R]上搜索，以找到导致铸辊的驱动侧位置与测量的楔形信号(定义为驱动侧(DS)带厚度测量减去操作侧(OS)厚度测量)之间具有最大相关性的延迟。估计算法类似于图18所描述的过程。可以选择从给定索引处开始的楔形信号的采样间隔，并在[n_kT_R,(n_k+1)T_R]内搜索使起始索引处的铸辊位置信号减去延迟与选定的楔形信号采样间隔之间的皮尔森线性相关系数最大化的延迟值。用于估计τ的样本间隔的长度会影响估计方案的一致性。如果使用的点太少，则延迟估计不正确的可能性会增加。相反，更多的数据点需要更多的存储空间，并且处理时间将更长。已经发现1000个数据点的样本导致一致且准确的估计，同时具有相对较高的计算效率。

可以使用两组实验数据来验证时间延迟估计算法。在第一数据集中，其中一个铸辊的倾斜(铸辊的驱动侧位置减去铸辊的操作侧位置)经历阶跃序列且楔形信号跟踪阶跃变化。如图19所示，在测试期间，归一化的环高度保持接近0.45。这种一致性导致使用图17中的关系得出n_K＝4的恒定n_K估计。这意味着τ搜索窗口为[4T_R,5T_R]。对于此数据集，铸辊的旋转周期为 T_R＝142个样本。

时间延迟估计如图20所示。该估计表明，延迟一直稳定在690个样本长左右，其相当于6.9秒。估计的一致性是合理的，因为环高度相对恒定，并且铸辊和测量位置之间的带总长度没有显著变化。此外，可以通过测量倾斜信号中的阶跃序列与测量的楔形信号中的阶跃序列之间的延迟来手动验证估计。如图21所示，两个信号之间的延迟约为6.9秒，这意味着ΔT的估计精确到至少10个样本内。

在数据集2中，环高度如图22所示变化。这导致图23中所示的n_K估计，以及随后在图24中所示的延迟估计。在这种情况下，当环高度h_Loop改变且n_K的估计也随之改变时，ΔT显著改变。基于数据集2来独立地验证估计是困难的，因为在楔形和铸辊倾斜信号中没有我们可以用作手动延迟测量的参考的易于可识别的特征，比如阶跃。然而，数据集2中的铸造速度比数据集1中的铸造速度慢约2％。这意味着数据集2中的一个旋转的周期比数据集1中的一个旋转的周期更长。在两个数据集中都有间隔，其中环高度h_Loop大致相同。在该间隔中，数据集2中的ΔT估计比数据集1高约2％，这验证了时间延迟估计对于数据集2是合理的。

前述延迟估计算法可以直接在ILC框架中使用。在这些模拟中，双辊铸造过程的模型可能通过以下提供误差：

e(t,k)＝-0.186u(t-1-τ,k-n_k)+D(t) (30)

其中，τ＝10,n_K＝4和

是与迭代无关的干扰信号，其周期为一次迭代，即T_R＝180个样本。可以使用与方程式(13)相同形式的控制定律，其中：

如果

且

则系统将稳定，只要存在Q＞0和K＞0 满足：

‖Q-0.186K‖＜1

选择Q＝1意味着我们可以选择任何K＜10.75。使用K＝5，误差信号的范数收敛到零，如图25所示。如果

但

则系统将稳定，只要存在Q＞0且K＞0满足对于所有

(Q-0.185Kcos(10ω))²+(0.186Ksin(10ω))²＜1

对于所有

选择Q＝0.7和K＝1的增益集满足该标准。如图 26所示，在这种情况下，误差信号的范数在所有情况下都收敛，但最终值永远不会为零。这是可以预期的，因为Q＜1并且τ的估计中存在误差。此外，如图27所示，当

渐近误差大于初始误差。在这些情况下，延迟估计误差对于ILC算法而言太大以致无法通过开环操作提高系统性能。注意，在

的情况下，图15中的-KG向量的角度为

弧度，这会将-KG箭头放置在正实轴上，指向远离原点。对于延迟估计，这是最坏的可能情况。

n_k估计在渐近误差中不起作用。这在图28中示出，其中对于增益集 Q＝0.7和K＝1，误差信号的范数收敛到相同的稳态值，而与n_k估计无关。然而，系统的瞬态行为发生巨大变化。低估n_k导致更快收敛，但该行为在迭代域中变得摇摆不定。对于给定的应用，这可接受或者不可接受。

在另一示例中，铸带的长度L可用于估计整个时间延迟ΔT，而不仅仅是迭代延迟分量T_I。在该示例中，使用该方法来确定长度L和迭代时间延迟T_I并且方程式(28)用作n_k估计。然而，代替使用基于相关性的延迟估计来找到残余时间延迟τ，而是根据未由迭代时间延迟考虑的残余长度L来估计τ：

其中，C是辊周长。利用这种替代方法，通过辊周长C、旋转周期T_R和至少一个测量的参数铸带长度比如环高度来计算时间延迟。另外，可以组合这些分量的计算，从而可以在一次计算中估计完整延迟，而无需单独计算迭代时间延迟和残余时间延迟。

应当理解，本文描述的利用如所描述或预期的任何迭代学习控制方法以及任何相关算法的任何方法可以使用一个或多个控制器来执行，该迭代学习控制方法和相关算法作为指令存储在任何内存存储设备上。该指令配置为使用一个或多个处理器与双辊铸造机相结合来进行(执行)，以通过双辊铸造控制薄金属带的形成。可以将任何这样的控制器以及任何处理器和内存存储设备布置成如可期望的那样与双辊铸造机的任何部件可操作地通信，包括布置成与任何传感器和致动器可操作地通信。如本文中所使用的传感器可以产生信号，其可被存储在内存存储设备中并且被处理器用来控制如本文所述的双辊铸造机的某些操作。如本文所使用的致动器可以从控制器、处理器或内存存储设备接收信号，以调整或改变如本文所述的双辊铸造机的任何部分。

就所使用的程度而言，如本文的权利要求书和/或说明书中所使用的术语“包括”、“包含”和“具有”或其任何变型应被认为表示开放的组，其可以包括其他未指定的元素。术语“一”、“一个”和单数形式的词应理解为包括相同词的复数形式，以使这些词表示提供某项或多项内容。术语“至少一个”和“一个或多个”可互换使用。术语“单个”应用于表示某种目的仅是一种。类似地，当需要特定数量的事物时，将使用其他特定的整数值，比如“2”。术语“优选地”、“优选的”、“优选”、“可选地”、“可以”以及类似术语用于指示所参考的项目、条件或步骤是实施例的可选的(即不是必需的)特征。除非另有说明，否则描述为“在a和b之间”的范围包括“a”和“b”的值。

虽然这里已经参考其特定实施例描述了各种改进，但应当理解，这种描述仅是为了说明，而不应解释为限制任何要求保护的发明的范围。因此，任何要求保护的发明的范围和内容仅由所附权利要求的术语来限定，以本申请的形式或在起诉期间进行修改或在任何后续申请中继续采用。此外，应理解，除非另有说明，否则本文讨论的任何特定实施例的特征可以与本文另外讨论或考虑的任何一个或多个实施例的一个或多个特征组合。

Claims (23)

1.一种双辊铸造系统，包括：

一对反向旋转铸辊，其在铸辊之间具有辊隙并且能够从辊隙向下输送铸带，该辊隙是可调节的，每个辊具有周长C和旋转周期T_R；

铸辊控制器，其配置为响应于控制信号来调节铸辊之间的辊隙；

铸带传感器，其能够测量铸带的至少一个参数，其中在辊隙和铸带传感器之间存在长度为L的铸带，长度L大于周长C；以及

ILC控制器，其耦合到铸带传感器以从铸带传感器接收带测量信号并且耦合到铸辊控制器以向铸辊控制器提供控制信号，该ILC控制器包括迭代学习控制算法，以基于带测量信号和表示从铸带离开辊隙到被铸带传感器测量所经过的时间的时间延迟估计ΔT生成控制信号，其中，所述时间延迟估计ΔT还包括：

迭代延迟T_I，其包括滚动转数n_k和旋转周期T_R的乘积；和

残余延迟τ，其使得在迭代延迟和迭代延迟加一次迭代的窗口内提供给控制器的控制信号与从传感器接收的测量信号之间的相关性最大化。

2.根据权利要求1所述的系统，其中，滚动转数n_k与周长C的乘积提供了迭代长度L_I，其中迭代长度L_I小于长度L，并且长度L与迭代长度L_I之差小于周长C。

3.根据权利要求1所述的系统，其中，所述滚动转数n_k至少为2。

4.根据权利要求1所述的系统，其中，所述铸带传感器包括厚度计，其在整个铸带宽度上的间隔中测量铸带的厚度。

5.根据权利要求1所述的系统，其中，所述铸辊控制器还包括动态可调节楔形控制器，并且响应于来自ILC控制器的控制信号，由楔形控制器调节辊隙。

6.根据权利要求1所述的系统，其中，所述铸辊包括用于调节辊隙的膨胀环，并且所述铸辊控制器响应于来自ILC控制器的控制信号来控制膨胀环。

7.根据权利要求1所述的系统，其中，所述ILC控制器配置为计算残余延迟τ。

8.根据权利要求1所述的系统，其中，所述ILC控制器配置为计算迭代延迟T_I和残余延迟τ。

9.根据权利要求1所述的系统，其中，所述铸带传感器对于至少一个周期性干扰对铸带进行测量，并且所述迭代学习算法适于降低至少一个周期性干扰的严重性。

10.一种在双辊铸造系统中减少铸带金属产品中的周期性干扰的方法，该系统具有一对反向旋转铸辊，其在铸辊之间的辊隙处产生铸带，该辊隙可由铸辊控制器调节，每个辊具有周长C和旋转周期T_R；该方法包括：

在铸带从其开始离开辊隙的时间延迟T_D处测量铸带的至少一个参数，其中时间延迟T_D超过旋转周期T_R；

计算时间延迟估计ΔT以补偿时间延迟T_D，其中时间延迟估计ΔT还包括迭代延迟T_I，其包括旋转周期T_R的倍数，以及残余延迟τ，其使得在迭代延迟和迭代延迟加一次迭代的窗口内提供给铸辊控制器的控制信号与测量的至少一个参数之间的相关性最大化；

将时间延迟估计ΔT和测量的至少一个参数提供给迭代学习控制器；

由迭代学习控制器基于时间延迟估计ΔT和测量的至少一个参数为铸辊控制器生成控制信号；

其中，所述铸辊控制器响应于来自迭代学习控制器的控制信号来调节辊隙，以减少周期性干扰。

11.根据权利要求10所述的方法，其中，所述旋转周期T_R的倍数选择成使得残余延迟τ小于旋转周期T_R。

12.根据权利要求10所述的方法，其中，所述参数包括在整个铸带宽度上的间隔中的铸带的厚度的测量。

13.根据权利要求10所述的方法，其中，所述铸辊控制器还包括动态可调节楔形控制器，并且响应于来自迭代学习控制器的控制信号，由楔形控制器调节辊隙。

14.根据权利要求10所述的方法，其中，所述铸辊包括用于调节辊隙的膨胀环，并且所述铸辊控制器响应于来自迭代学习控制器的控制信号来控制膨胀环。

15.根据权利要求10所述的方法，其中，所述迭代学习控制器配置为计算残余延迟τ。

16.根据权利要求10所述的方法，其中，所述迭代学习控制器配置为计算迭代延迟T_I和残余延迟τ。

17.一种在双辊铸造系统中减少铸带金属产品中的周期性干扰的方法，该系统具有一对反向旋转铸辊，其在铸辊之间的辊隙处产生铸带，该辊隙可由铸辊控制器调节，每个辊具有周长C和旋转周期T_R，迭代学习控制器和铸带传感器；该方法包括：

在铸带从之开始离开辊隙的时间延迟T_D处利用铸带传感器测量铸带的至少一个参数，其中时间延迟T_D超过旋转周期T_R；

计算时间延迟估计ΔT以补偿时间延迟T_D，其中，根据辊周长C和旋转周期T_R以及在铸带离开辊隙时与随后在时间延迟T_D测量铸带时之间的至少一个测量的铸带长度参数来计算时间延迟估计ΔT；

将时间延迟估计ΔT和测量的至少一个参数提供给迭代学习控制器；

由迭代学习控制器基于时间延迟估计ΔT和测量的至少一个参数为铸辊控制器生成控制信号；

其中，所述铸辊控制器响应于来自迭代学习控制器的控制信号来调节辊隙，以减少周期性干扰。

18.根据权利要求17所述的方法，其中，所述参数包括在整个铸带宽度上的间隔中的铸带的厚度的测量。

19.根据权利要求17所述的方法，其中，所述铸辊控制器还包括动态可调节楔形控制器，并且响应于来自迭代学习控制器的控制信号，由楔形控制器调节辊隙。

20.根据权利要求17所述的方法，其中，所述铸辊包括用于调节辊隙的膨胀环，并且所述铸辊控制器响应于来自迭代学习控制器的控制信号来控制膨胀环。

21.根据权利要求17所述的方法，其中，所述长度参数包括铸带环高度。

22.根据权利要求21所述的方法，其中，所述长度参数包括铸带环高度，并且其中，计算时间延迟估计ΔT的步骤还包括计算在辊隙与铸带的一部分之间的铸带长度L，其中所述至少一个参数是基于环高度测量的。

23.根据权利要求21所述的方法，其中，所述长度参数包括铸带环高度，其中，计算时间延迟估计ΔT的步骤还包括计算在辊隙与铸带的一部分之间的铸带长度L，其中所述至少一个参数是基于环高度测量的，并且其中，时间延迟估计ΔT还包括：迭代延迟T_I，其包括旋转周期T_R的倍数n，其中倍数n是最大自然数，使得n和C的乘积小于L；以及残余延迟τ，其中τ是基于从L减去n和C的乘积之差乘以旋转周期T_R除以L而被估计的。

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