CN111178385A - 一种鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法 - Google Patents

一种鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法 Download PDF

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CN111178385A CN201911213788.3A CN201911213788A CN111178385A CN 111178385 A CN111178385 A CN 111178385A CN 201911213788 A CN201911213788 A CN 201911213788A CN 111178385 A CN111178385 A CN 111178385A
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Abstract

本发明公开了一种鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法，包括如下十个步骤：1、建立多传感器系统融合模型，2、初始化目标的状态及分布参数，3、融合多传感器采集的量测数据，4、预测目标的状态分布，5、初始化变分参数及迭代次数，6、计算目标状态xk的变分后验分布，7、计算噪声参数∑k的变分后验分布，8、计算噪声参数rk的变分后验分布，9、判定迭代次数l是否大于最大迭代次数N，10、判定是否存在下一时刻，有益效果：本发明能在噪声为非高斯噪声且噪声协方差未知的复杂情况下，通过有效融合多个传感器的量测，实时准确估计目标状态和噪声分布的未知参数，提高了多传感器融合目标跟踪的精确度，且算法复杂度较小，易于实现。

Description

一种鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法
技术领域
本发明涉及一种目标跟踪方法，特别涉及一种基于拉普拉斯分布和变分贝叶斯的鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法，属于多传感器信息融合技术领域。
背景技术
多传感器融合是传感器网络执行检测和感知的重要组成部分。它将来自多个传感器的信号整合到一起。随着传感器技术的发展，多传感器融合已广泛用于各种应用中，例如机器人导航、遥感、自动驾驶汽车和智能交通系统。
传感器融合可以分为集中融合和分散融合。集中式融合在融合中心执行大多数处理过程，而分散式架构则在本地执行大多数处理，例如在本地传感器执行目标检测和跟踪，然后在融合中心执行决策或特征级融合。通常，集中式融合会更准确，但是通信量和计算量会增加。
目前常见的卡尔曼滤波器是在测量和特征级别融合中广泛使用的目标跟踪算法。对于测量融合，将多个传感器测量结合起来估计系统整体状态。卡尔曼滤波器给出了在噪声先验特性为协方差已知的高斯白噪声情况下的最佳状态估计。但实际上，测量噪声可能不会遵循高斯分布。例如，对雷达目标跟踪，闪烁噪声中观察到了重尾的非高斯分布。在这些情况下直接应用卡尔曼滤波器会导致性能下降。
目前，已经提出了一些算法来解决非高斯量测噪声问题，这类方法一般联合估计目标状态和噪声分布参数。按照实时性，可以分为在线方法和离线方法。离线方法通常融合效果更优，但是计算代价更高，而且更重要的是，无法应用于需要实时处理数据的场景，如目标的实时跟踪。一类典型的方法是基于Student t分布，但这类方法涉及较多参数，不仅算法复杂，而且在实时应用中可能由于有限的量测数据，难以得到准确的参数估计。
发明内容
发明目的：本发明针对现有技术中无法应用于实时数据的处理或者算法复杂等不足，提供了一种基于拉普拉斯分布和变分贝叶斯的鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法。
本发明使用拉普拉斯(Laplace)分布近似数据融合过程中未知的非高斯测量噪声，在概率模型中联合估计目标状态和噪声分布的后验分布；由于联合后验分布不存在解析解，应用近似后验分布逼近真实后验分布，并应用变分贝叶斯框架迭代最小化两者之间的相对熵(KL散度)，实现有效的参数迭代更新。
技术方案：一种鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法，包括如下步骤：
步骤1：建立多传感器系统融合模型，设置目标状态转移矩阵F，过程噪声协方差矩阵Q，传感器s的量测矩阵Hs，其中1≤s≤Ns，Ns为传感器总数，将传感器的量测矩阵组成融合的量测矩阵
Figure BDA0002298922140000021
步骤2：初始化目标的状态及分布参数，在k＝0时刻，初始化目标状态分布为
Figure BDA0002298922140000022
其中
Figure BDA0002298922140000023
表示高斯分布，初始化均值
Figure BDA0002298922140000024
和协方差矩阵P0|0；
步骤3：融合多传感器采集的量测数据，在k时刻(k≥1)，将多个传感器的测量
Figure BDA0002298922140000025
Figure BDA0002298922140000026
组成融合测量
Figure BDA0002298922140000027
其中
Figure BDA0002298922140000028
表示传感器s在k时刻采集的目标量测信息，1≤s≤Ns，zk＝Hxk+vk，vk为未知且随时间变化的非高斯分布测量噪声；
步骤4：预测目标的状态分布，融合中心利用卡尔曼滤波器预测目标的状态分布
Figure BDA0002298922140000029
其中
Figure BDA00022989221400000210
和Pk|k-1分别表示由k-1时刻预测的k时刻目标状态及相应的误差协方差矩阵；
步骤5：初始化变分参数及迭代次数，初始化k时刻量测噪声参数∑k的逆威沙特分布的参数
Figure BDA00022989221400000211
量测噪声参数rk的广义逆高斯分布的参数
Figure BDA00022989221400000212
初始化迭代次数l＝1和最大迭代次数N；
步骤6：计算目标状态xk的变分后验分布，根据变分贝叶斯框架，基于k时刻的融合测量zk，计算第l次迭代目标状态xk的变分后验分布
Figure BDA00022989221400000213
步骤7：计算噪声参数∑k的变分后验分布，计算第l次迭代量测噪声参数∑k的变分后验分布
Figure BDA00022989221400000214
其中
Figure BDA00022989221400000215
表示参数为
Figure BDA00022989221400000216
的逆威沙特分布，计算∑k及
Figure BDA00022989221400000217
的数学期望E[∑k](l)和
Figure BDA00022989221400000218
步骤8：计算噪声参数rk的变分后验分布，计算第l次迭代量测噪声参数rk的变分后验分布
Figure BDA00022989221400000219
其中
Figure BDA00022989221400000220
表示参数为
Figure BDA00022989221400000221
的广义逆高斯分布，计算rk及
Figure BDA00022989221400000222
的数学期望E[rk](l)和
Figure BDA00022989221400000223
步骤9：判定迭代次数l是否大于最大迭代次数N，当l＜N时，更新l←l+1，执行步骤6；否则，转到步骤10；
步骤10：判定是否存在下一时刻，更新
Figure BDA00022989221400000224
输出k时刻的目标状态
Figure BDA00022989221400000225
及相应的误差协方差矩阵Pk|k，更新k←k+1，转到步骤3。
所述步骤4融合中心利用卡尔曼滤波器预测k时刻目标的状态分布
Figure BDA00022989221400000226
包括：
Figure BDA0002298922140000031
Pk|k-1＝FPk-1|k-1FT+Q
其中
Figure BDA0002298922140000032
为k-1时刻更新后的目标的状态，
Figure BDA0002298922140000033
为k时刻预测的目标运动状态，Pk-1|k-1为k-1时刻更新后的目标状态误差协方差矩阵，Pk|k-1为k时刻预测的目标状态误差协方差矩阵。
所述步骤6计算第l次迭代目标状态xk的变分后验分布
Figure BDA0002298922140000034
的参数
Figure BDA0002298922140000035
和
Figure BDA0002298922140000036
Sk＝HPk|k-1HT+(E[rk](l-1)E[∑k](l-1))
Kk＝Pk|k-1HT(Sk)-1
Figure BDA0002298922140000037
Figure BDA0002298922140000038
其中E[rk](l-1)，E[∑k](l-1)分别为rk和∑k在第l-1次迭代的数学期望，Kk为卡尔曼增益，
Figure BDA0002298922140000039
和
Figure BDA00022989221400000310
分别为k时刻经过l次迭代后目标的状态和误差协方差矩阵。
所述步骤7包括：
7.1)计算第l次迭代量测噪声参数∑k的变分后验分布
Figure BDA00022989221400000311
的参数：
Figure BDA00022989221400000312
Figure BDA00022989221400000313
7.2)计算∑k和
Figure BDA00022989221400000314
的数学期望E[∑k](l)和
Figure BDA00022989221400000315
Figure BDA00022989221400000316
Figure BDA00022989221400000317
其中p表示∑k的行数。
所述步骤8包括：
8.1)计算第l次迭代量测噪声参数rk的变分后验分布
Figure BDA00022989221400000318
的参数：
Figure BDA00022989221400000319
Figure BDA0002298922140000041
Figure BDA0002298922140000042
其中Trace(·)表示矩阵求迹运算；
8.2)计算rk和
Figure BDA0002298922140000043
的数学期望E[rk](l)和
Figure BDA0002298922140000044
Figure BDA0002298922140000045
Figure BDA0002298922140000046
其中Kp(·)为第二类修正贝塞尔函数。
有益效果：本发明能在噪声为非高斯噪声且噪声协方差未知的复杂情况下，通过有效融合多个传感器的量测，实现实时准确估计目标状态和噪声分布的未知参数，提高了多传感器融合目标跟踪的精确度，且算法复杂度较小，易于实现。
附图说明
图1为本发明的流程图；
图2为本发明的概率图模型。
具体实施方式
下面将结合附图和具体的实施方式对本发明的技术方案做进一步详细解释，以两个传感器构成的多传感器网络对目标进行实时跟踪为例，但本发明保护范围不限于下述实施例。
如图1和2所示，一种鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法，包括如下步骤：
步骤1：建立多传感器系统融合模型；
考虑二维xy平面上做匀速直线运动的目标，状态转移方程如下：
xk＝Fxk-1+wk (1)
其中
Figure BDA0002298922140000047
为目标状态向量，ηx，k，
Figure BDA0002298922140000048
ηy，k，
Figure BDA0002298922140000049
分别为目标的在x轴上的位置、x方向的速度、y轴上的位置、y方向的速度。
采用周期T＝1s，目标状态转移矩阵F为：
Figure BDA0002298922140000051
过程噪声wk服从均值为0，协方差矩阵为Q＝0.012×GGT的高斯分布，其中
Figure BDA0002298922140000052
传感器s(s＝1，2)对目标的量测方程为：
Figure BDA0002298922140000053
Figure BDA0002298922140000054
zk，x，zk，y分别为目标在x轴和y轴上的观测位置，
Figure BDA0002298922140000055
测量噪声
Figure BDA0002298922140000056
服从未知且随时间变化的非高斯分布。假设每个传感器的测量噪声相互独立。仿真中，通过模拟产生多种不同非高斯分布形式的测量噪声。
步骤2：初始化目标的状态及分布参数；
在k＝0时刻，初始化目标状态分布为
Figure BDA0002298922140000057
其中
Figure BDA0002298922140000058
表示高斯分布，初始化
Figure BDA0002298922140000059
P0|0为对角元素为[10，100，10，100]的对角矩阵；
步骤3：融合多传感器采集的量测数据；
在k时刻(k≥1)，将两个传感器的测量
Figure BDA00022989221400000510
组成融合测量zk，
Figure BDA00022989221400000511
融合的观测方程为：
zk＝Hxk+vk (3)
其中融合后的量测矩阵
Figure BDA00022989221400000512
vk为未知且随时间变化的非高斯分布测量噪声。
步骤4：预测目标的状态分布；
融合中心利用卡尔曼滤波器预测k时刻目标的状态分布
Figure BDA00022989221400000513
Figure BDA00022989221400000514
Pk|k-1＝FPk-1|k-1FT+Qk (5)
其中
Figure BDA0002298922140000061
为k-1时刻更新后的目标状态，
Figure BDA0002298922140000062
为k时刻预测的目标状态，Pk-1|k-1为k-1时刻更新后的目标状态误差协方差矩阵，Pk|k-1为k时刻预测的目标状态误差协方差矩阵。
针对非高斯分布量测噪声，利用利用多维拉普拉斯分布对其建模。此时，需要在线联合估计目标状态和噪声的后验分布。
假设量测zk的概率密度函数为p(zk|Hxk，rk，∑k)＝N(zk|Hxk，rk∑k)，其中rk服从参数为pk，ak，bk的广义逆高斯分布p(rk)～GIG(rk|pk，ak，bk)，∑k服从参数为Wk，nk的逆威沙特分布p(∑k)＝IW(∑k|Wk，nk)。
量测、目标状态和量测噪声分布参数的联合概率密度函数为：
p(zk，xk，rk，∑k)＝p(zk|xk，rk，∑k)p(xk)p(rk)P(∑k) (6)
量测噪声分布未知且随时间变化情况下的目标跟踪问题，本质上就是求解目标状态和噪声分布参数的联合后验分布p(xk，rk，∑k|zk)，然而p(xk，rk，∑k|zk)涉及多重积分，难以直接计算。因此，采用变分贝叶斯框架，构建变分后验分布q(xk，rk，∑k)逼近真实后验分布p(xk，rk，∑k|zk)，具体变分近似推导过程如下：
变分后验分布q(xk，rk，∑k)与真实后验分布p(xk，rk，∑k|zk)的差异用KL散度来度量，计算公式如下：
Figure BDA0002298922140000063
通过最小化KL散度使变分后验分布逼近真实的后验分布。
已知量测的对数边缘似然函数为：
logp(zk)＝F(q(xk，rk，∑k))+KL(q(xk，rk，∑k)||p(xk，rk，∑k|zk)) (8)
其中F(·)表示自由能，计算公式如下：
Figure BDA0002298922140000064
由于logp(zk)为常数且KL散度非负，因此最小化KL散度等价于最大化自由能F(q(xk，rk，∑k))
利用平均场近似，变分后验分布q(xk，rk，∑k)可被分解为：
q(xk，rk，∑k)＝q(xk)q(rk)q(∑k)
根据坐标上升法最大化自由能F(q(xk，rk，∑k))，则变分后验分布的计算公式为：
Figure BDA0002298922140000065
Figure BDA0002298922140000066
Figure BDA0002298922140000067
其中，Eq(·)[·]为期望算子，指[·]在分布q(·)下的期望值，记Lk＝logp(zk，xk，rk，∑k)。
zk，xk，rk，∑k的对数联合概率密度函数为：
Lk＝logp(zk|xk，rk，∑k)+logp(xk)+logp(rk|pk，ak，bk)+logp(∑k|Wk，nk) (10)
由于上述公式相互耦合，因此各变分分布q(xk)、q(rk)、q(∑k)需要迭代求解，具体求解方式如下。
步骤5：初始化变分参数及迭代次数；
初始化k时刻测噪声参数∑k逆威沙特分布的参数为
Figure BDA0002298922140000071
即4×4的单位矩阵，
Figure BDA0002298922140000072
测噪声参数rk的广义逆高斯分布的参数为
Figure BDA0002298922140000073
初始化迭代次数l＝1，给定最大迭代次数N＝10；
步骤6：计算目标状态xk的变分后验分布；
根据变分贝叶斯框架，基于k时刻的融合测量zk，计算第l次迭代目标状态xk的变分后验分布
Figure BDA0002298922140000074
其中参数
Figure BDA0002298922140000075
由卡尔曼滤波器更新：
Sk＝HPk|k-1HT+(E[rk](l-1)E[∑k](l-1)) (11)
Kk＝Pk|k-1HT(Sk)-1 (12)
Figure BDA0002298922140000076
Figure BDA0002298922140000077
其中E[rk](l-1)，E[∑k](l-1)分别为k时刻第l次迭代更新后rk和∑k的数学期望，Kk为卡尔曼增益，(·)-1表示矩阵求逆，
Figure BDA0002298922140000078
为k时刻第l次迭代更新后的目标状态，
Figure BDA0002298922140000079
为k时刻第l次迭代更新后的目标状态误差协方差矩阵。
步骤7：计算噪声参数∑k的变分后验分布；
计算第l次迭代量测噪声参数∑k的变分后验分布
Figure BDA00022989221400000710
其中
Figure BDA00022989221400000711
表示参数为
Figure BDA00022989221400000712
的逆威沙特分布，计算∑k及
Figure BDA00022989221400000713
的数学期望E[∑k](l)和
Figure BDA00022989221400000714
7.1)计算第l次迭代量测噪声参数∑k的变分后验分布q(∑k)的参数：
Figure BDA00022989221400000715
Figure BDA00022989221400000716
7.2)计算∑k和
Figure BDA0002298922140000081
的数学期望E[∑k](l)和
Figure BDA0002298922140000082
Figure BDA0002298922140000083
Figure BDA0002298922140000084
其中p是∑k的行数。
步骤8：计算噪声参数rk的变分后验分布；
计算第l次迭代量测噪声参数rk的变分后验分布
Figure BDA0002298922140000085
其中
Figure BDA0002298922140000086
表示参数为
Figure BDA0002298922140000087
的广义逆高斯分布，计算rk及
Figure BDA0002298922140000088
的数学期望E[rk](l)和
Figure BDA0002298922140000089
8.1)计算量测噪声参数rk的变分后验分布q(rk)的参数：
Figure BDA00022989221400000810
Figure BDA00022989221400000811
Figure BDA00022989221400000812
其中Trace(·)表示矩阵求迹运算。
8.2)计算rk和
Figure BDA00022989221400000813
的数学期望E[rk](l)和
Figure BDA00022989221400000814
Figure BDA00022989221400000815
Figure BDA00022989221400000816
其中Kp(·)为第二类修正贝塞尔函数。
步骤9：判定迭代次数l是否大于最大迭代次数N；
当l＜N时，更新l←l+1，执行步骤6；否则，转到步骤10；
步骤10：判定是否存在下一时刻；
更新
Figure BDA00022989221400000817
输出k时刻的目标状态
Figure BDA00022989221400000818
及相应的误差协方差矩阵Pk|k，更新k←k+1，转到步骤3。
依据上述步骤，我们在不同分布和不同协方差的量测噪声情况下进行了计算机模拟实验。具体地，量测噪声由两个分布共同产生，其中一个分布固定为标准正态分布，以模拟正常量测噪声。另一个分布依次取为协方差更大的高斯分布、均匀分布和拉普拉斯分布，以模拟异常噪声情况。为通过联合估计目标状态和噪声分布参数评估不同算法的有效性。对比标准卡尔曼滤波器(KF)、变分自适应卡尔曼滤波器(VB-AKF)和本技术方案的算法。所有算法均用Python语言实现。
模拟实验结果如附表1，2，3所示，
表1：混合两个高斯分布下三种滤波算法的均方根误差
Figure BDA0002298922140000091
表2：混合高斯分布和均匀分布下三种滤波算法的均方根误差
Figure BDA0002298922140000092
表3：混合高斯分布和拉普拉斯分布下三种滤波算法的均方根误差
Figure BDA0002298922140000093
可以看出，本技术方案的目标跟踪误差在所有情况下都小于其它对比方法。与现有技术方案相比，本技术方案能在噪声为非高斯分布且噪声协方差未知的复杂情况下，实现多传感器量测值的有效融合，不仅能实时估计噪声的分布参数，而且可以降低多传感器融合目标跟踪的误差。因此，本技术方案对于非高斯噪声下融合多传感器以实时估计目标运动状态的理论和实际工程应用具有重要意义。
以上所述的具体实施例，对本发明的背景、技术方案和有益效果进行了进一步的详细说明。本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的一个具体实施例而已，并不用于完全限定本发明的保护范围。注意，对本领域的技术人员而言，凡在本发明的精神和原则之内所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：建立多传感器系统融合模型，设置目标状态转移矩阵F，过程噪声协方差矩阵Q，传感器s的量测矩阵Hs，其中1≤s≤Ns，Ns为传感器总数，将传感器的量测矩阵组成融合的量测矩阵
Figure FDA00022989221300000125
步骤2：初始化目标的状态及分布参数，在k＝0时刻，初始化目标状态分布为
Figure FDA0002298922130000011
其中
Figure FDA0002298922130000012
表示高斯分布，初始化均值
Figure FDA0002298922130000013
和协方差矩阵P0|0；
步骤3：融合多传感器采集的量测数据，在k时刻(k≥1)，将多个传感器的测量
Figure FDA0002298922130000014
Figure FDA0002298922130000015
组成融合测量zk，
Figure FDA0002298922130000016
其中
Figure FDA0002298922130000017
表示传感器s在k时刻采集的目标量测信息，1≤s≤Ns，zk＝Hxk+Pk，Pk为未知且随时间变化的非高斯分布测量噪声；
步骤4：预测目标的状态分布，融合中心利用卡尔曼滤波器预测目标的状态分布
Figure FDA0002298922130000018
其中
Figure FDA0002298922130000019
和Pk|k-1分别表示由k-1时刻预测的k时刻目标状态及相应的误差协方差矩阵；
步骤5：初始化变分参数及迭代次数，初始化k时刻量测噪声参数∑k的逆威沙特分布的参数
Figure FDA00022989221300000110
量测噪声参数rk的广义逆高斯分布的参数
Figure FDA00022989221300000111
初始化迭代次数l＝1和最大迭代次数N；
步骤6：计算目标状态xk的变分后验分布，根据变分贝叶斯框架，基于k时刻的融合测量zk，计算第l次迭代目标状态xk的变分后验分布
Figure FDA00022989221300000112
步骤7：计算噪声参数∑k的变分后验分布，计算第l次迭代量测噪声参数∑k的变分后验分布
Figure FDA00022989221300000113
其中
Figure FDA00022989221300000114
表示参数为
Figure FDA00022989221300000115
的逆威沙特分布，计算∑k及
Figure FDA00022989221300000116
的数学期望E[∑k](l)和
Figure FDA00022989221300000117
步骤8：计算噪声参数rk的变分后验分布，计算第l次迭代量测噪声参数rk的变分后验分布
Figure FDA00022989221300000118
其中
Figure FDA00022989221300000119
表示参数为
Figure FDA00022989221300000120
的广义逆高斯分布，计算rk及
Figure FDA00022989221300000121
的数学期望E[rk](l)和
Figure FDA00022989221300000122
步骤9：判定迭代次数l是否大于最大迭代次数N，当l＜N时，更新l←l+1，执行步骤6；否则，转到步骤10；
步骤10：判定是否存在下一时刻，更新
Figure FDA00022989221300000123
输出k时刻的目标状态
Figure FDA00022989221300000124
及相应的误差协方差矩阵Pk|k，更新k←k+1，转到步骤3。
2.根据权利要求1所述的鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法，其特征在于，所述步骤4融合中心利用卡尔曼滤波器预测k时刻目标的状态分布
Figure FDA0002298922130000021
包括：
Figure FDA0002298922130000022
Pk|k-1＝FPk-1|k-1FT+Q
其中
Figure FDA0002298922130000023
为k-1时刻更新后的目标的状态，
Figure FDA0002298922130000024
为k时刻预测的目标运动状态，Pk-1|k-1为k-1时刻更新后的目标状态误差协方差矩阵，Pk|k-1为k时刻预测的目标状态误差协方差矩阵。
3.根据权利要求2所述的鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法，其特征在于，所述步骤6计算第l次迭代目标状态xk的变分后验分布
Figure FDA0002298922130000025
的参数
Figure FDA0002298922130000026
和
Figure FDA0002298922130000027
Sk＝HPk|k-1HT+(E[rk](l-1)E[∑k](l-1))
Kk＝Pk|k-1HT(Sk)-1
Figure FDA0002298922130000028
Figure FDA0002298922130000029
其中E[rk](l-1)，E[∑k](l-1)分别为rk和∑k在第l-1次迭代的数学期望，Kk为卡尔曼增益，
Figure FDA00022989221300000210
和
Figure FDA00022989221300000211
分别为k时刻经过l次迭代后目标的状态和误差协方差矩阵。
4.根据权利要求2所述的鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法，其特征在于，所述步骤7包括：
7.1)计算第l次迭代量测噪声参数∑k的变分后验分布
Figure FDA00022989221300000212
的参数：
Figure FDA00022989221300000213
Figure FDA00022989221300000214
7.2)计算∑k和
Figure FDA00022989221300000215
的数学期望E[∑k](l)和
Figure FDA00022989221300000216
Figure FDA00022989221300000217
Figure FDA00022989221300000218
其中p表示∑k的行数。
5.根据权利要求1所述的鲁棒在线多传感器融合的目标跟踪方法，其特征在于，所述步骤8包括：
8.1)计算第l次迭代量测噪声参数rk的变分后验分布
Figure FDA00022989221300000219
的参数：
Figure FDA0002298922130000031
Figure FDA0002298922130000032
Figure FDA0002298922130000033
其中Trace(·)表示矩阵求迹运算；
8.2)计算rk和
Figure FDA0002298922130000034
的数学期望E[rk](l)和
Figure FDA0002298922130000035
Figure FDA0002298922130000036
Figure FDA0002298922130000037
其中Kp(·)为第二类修正贝塞尔函数。
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