CN114445459B - 基于变分贝叶斯理论的连续-离散最大相关熵目标跟踪方法 - Google Patents
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Abstract
公开一种基于变分贝叶斯理论的连续‑离散最大相关熵目标跟踪方法，包括：建立连续‑离散跟踪模型；引入平方根跟踪方法；建立SRCD‑VBMCCKF目标跟踪方法的时间更新过程；建立SRCD‑VBMCCKF目标跟踪方法的测量更新过程；建立任意运动时间的SRCD‑VBMCCKF目标跟踪方法。本发明能够对测量中的未知时变噪声和非高斯重尾突变噪声有效抑制，且相比于传统滤波方法，所提方法兼具自适应性和鲁棒性。
Description
技术领域
本发明涉及目标跟踪方法，具体涉及一种基于变分贝叶斯理论的连续-离散最大相关熵目标跟踪方法。
背景技术
纯方位目标跟踪(蔚婧，文珺，李彩彩，等.辅助变量纯方位目标跟踪算法[J].西安电子科技大学学报，2016，43(1)：167-172.)通过获取目标的角度信息，进而完成对目标的状态估计。因其不主动发射信号，纯方位跟踪在导航与制导、尤其是被动目标跟踪领域有着广泛的应用。传统的纯方位目标跟踪方法认为目标的运动模型是离散的，其相应的测量模型也是离散的，这样的系统被称为离散-离散滤波系统。但目标跟踪这一动态系统其运动模型在时间上应是连续的，而测量过程是离散的，由此建立的连续-离散滤波系统(HE R K，CHEN S X，WU H，et al. Adaptive Covariance Feedback Cubature Kalman Filteringfor Continuous-Discrete Bearings-Only Tracking System[J].IEEE ACCESS，2019，7(1)：2686-2694.)的数学解算精度更高，状态空间描述更精确，在纯方位目标跟踪系统中更具优势。
针对连续-离散系统的实际特点，目标的连续运动模型通过随机微分方程(Stochastic Differential Equation，SDE)表示。文献“ARASARATNAM I，HAYKIN S，R.HURDT.Cubature Kalman Filtering for Continuous-Discrete Systems：Theory andSimulation[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2010，58(10)：4977-4993.”由1.5阶方法对连续模型进行求解，同时将容积准则引入连续-离散时间滤波框架，证明了连续- 离散容积卡尔曼滤波(Continuous-Discrete Cubature Kalman Filter，CD-CKF)较容积卡尔曼滤波(Cubature Kalman Filter，CKF)有更高的精度。为进一步提高状态估计的精度，文献“CROUSE D F.Cubature Kalman Filters for Continuous-TimeDynamic Models Part ：A Solution based on moment matching[C]//in RadarConference IEEE.Cincinnati：IEEE，2014： 0194-0199.”用高阶数值近似方法将连续模型离散化，而后对连续模型进行求解，其精度较1.5阶方法更高。同时，Gennady Yu.Kulikov等(KULIKOV G Y，KULIKOVA M V.NIRK-based Accurate Continuous-Discrete ExtendedKalman filters for Estimating Continous-Time Stochastic Target TrackingModels[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2016，316：260-270.)利用隐式的龙格-库塔方法对高阶数值近似方法进行优化，可由自适应步长完成对精度的进一步控制，以上方法皆证明连续-离散系统在提升滤波精度上的可行性。
但以上滤波方法的测量环境都是理想的，并未考虑到测量噪声非合作的问题。而实际的测量噪声并非是已知的高斯噪声，如何有效解决测量中出现的未知时变噪声和非高斯突变噪声，将直接影响最终的滤波性能。针对此类测量不确定问题，有关学者提出多种自适应滤波方法和鲁棒滤波方法。其中，Sage-Husa滤波方法(NARASIMHAPPA M，MAHINDRAKARA D，GUIZILINI V C，et al.MEMS-Based IMU drift minimization：Sage Husa adaptiverobust Kalman filtering[J].IEEE Sensors，2020，20(1)：250-260.)可以递归地估计未知噪声的统计信息，但因存在估计误差累积的问题，限制了其在工程实践中的应用。而基于变分贝叶斯(Variational Bayesian，VB)准则的VB估计方法则有效避免了上述问题，对未知的时变噪声估计效果更好(SARKKA S，NUMMENMAA A.Recursive noise adaptive Kalmanfiltering by variational Bayesian approximations[J].IEEE Transactions onAutomatic Control，2009，54，596- 600；SARKKA S，HARTIKAINEN J.Non-linear noiseadaptive Kalman filtering via variational Bayes[C]//Machine Learning forSignal Processing.Southampton，UK：IEEE，2013：1-6；HUANG Y， ZHANG Y，WU Z，et al.ANovel Adaptive Kalman Filter With Inaccurate Process and Measurement NoiseCovariance Matrices[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2018，63(2)：594-601.)。文献“CHANG G B，LIU M.M-estimator-based robust Kalman filter for systemswith process modeling errors and rank deficient measurement models[J].Nonlinear Dynamics，2015，80，1431-1449.”提出基于Huber的代价函数，对测量中出现的异常测量值进行有效抑制，但其在非高斯环境中的滤波效果较差。近年来，以最大相关熵准则 (Maximum Correntropy Criterion，MCC)为基础的MCC滤波方法(LIU X，QU H，ZHAO J，et al.Maximum correntropy unscented Kalman filter for spacecraft relativestate estimation[J].Sensors，2016，16(9)：1-16；LIU X，CHEN B D，XU B，et al.Maximumcorrentropy unscented filter[J].Intemational Journal ofSystems Science，2017，48(8)：1607-1615；卢航，郝顺义，彭志颖等.基于MCC的鲁棒高阶CKF在组合导航中的应用[J].计算机工程与应用，2020， 56(1)：257-264.)因其对非高斯噪声有良好的抑制作用，被广泛应用于非线性滤波的状态估计过程。与传统的Huber鲁棒方法不同，只要选择合适的核带宽，MCC 滤波对非高斯突变噪声就具有良好的鲁棒性。
考虑到以上研究，虽然VB滤波方法可以对未知时变噪声有效估计，但其抑制非高斯测量突变值的能力并不如MCC滤波；同样的，MCC滤波相比较于VB 滤波方法，不能够很好的对未知时变噪声进行处理。
发明内容
有鉴于此，为提高纯方位目标跟踪的精度，同时增强跟踪算法在复杂测量环境下的适应性，本发明提出一种基于变分贝叶斯理论的连续-离散最大相关熵目标跟踪方法，具体包括下列步骤：
第一步：建立连续-离散跟踪模型；
所述目标跟踪方法建立在连续-离散时间领域，由式(1)对目标的连续运动方式进行描述，式(2)对目标的离散测量方式进行描述；
zk＝h(xk，k)+rk (2)
在上式中，x(t)是n维状态向量，f(·)为状态转移函数，w(t)是n维标准布朗运动；Q为布朗运动的协方差矩阵；k指代离散的时间测量点，xk是k时刻的状态值，zk是k时刻的实际观测值，h(·)为观测函数，rk是k时刻的观测噪声；其中，纯方位观测函数的定义如式(3)所示；
h(xk，k)＝tan-1(y(tk)/x(tk)) (3)
式(3)中，tk是离散时间点k在连续时刻处的取值，x(tk)和y(tk)是目标与观测站在二维笛卡尔坐标系中连续时刻tk处的相对位置；
由上述方法将连续-离散模型建立后，式(1)提供目标运动的状态值，式(2) 提供跟踪目标的测量值；
第二步：引入平方根跟踪方法；
定义目标的第i个状态容积点，如式(4)所示；
其中，i代表容积点的取值，i＝1，2，3，…，2n，ξi是i个容积点组成的容积点集；P(t)是估计状态量x(t)而产生的误差协方差矩阵，S(t)为P(t)的下三角矩阵，二者满足：P(t)＝S(t)ST(t)；是x(t)在t时刻的期望值；
将目标的状态由其状态期望和协方差描述，并引入容积准则，如式(5)和式 (6)所示；
式中，F(X(t))为系统的状态方程，X(t)是由Xi(t)组成的状态容积点向量，ε和W分别为第一和第二权重参数，通过式(7)计算第一和第二权重参数；
其中，I2n表示维数为2n的单位矩阵，1是单位列向量，代表直积，上角标“T”表示矩阵转置；
由式(8)-式(10)引入平方根技术，完成对预测状态容积点的求解；
在计算协方差传播时采用平方根计算方法，并用高阶数值近似方法求解：
其中，Φ(B(t))是S(t)的更新矩阵，判断矩阵B(t)i，j代表Φ(B(t))的第i行、第j列的矩阵元素；B(t)的表达式如下：
B(t)＝S-1(t)[X(t)WFT(X(t))+F(X(t))XT(t)+Q]S-T(t) (10)
经以上分析，式(5)完成对状态期望值的更新，S(t)的更新由式(8)完成，基于式(4)求得预测的第i个状态容积点
第三步：建立SRCD-VBMCCKF目标跟踪方法的时间更新过程；
由k-1时刻完成对k时刻状态和协方差的预测，通过式(11)-式(15)完成；
将期望和协方差矩阵初始化：P(tk)＝Pk-1|k-1；
其中，和P(tk)分别指代在连续时刻tk处期望值和误差协方差矩阵P(t)的取值，它们分别与k-1时刻的离散期望值和离散误差协方差矩阵Pk-1|k-1的数值相等；
协方差分解：
P(tk)＝S(tk)ST(tk) (11)
式中，S(tk)为S(t)在连续时刻tk处的取值；
计算状态容积点：
在上式中，Xi(tk)是Xi(t)在连续时刻tk处的取值；
状态容积点传播：
其中，和S′(t)分别是用于更新和S(t)的一阶导数；
计算状态预测值：
其中，是目标在k-1时刻对k时刻的状态预测值，代表预测状态容积点(i＝1，2，3，…，2n)的求和值；
求解预测平方根协方差：
S(tk)＝[S1(tk) S2(tk) … S2n(tk)] (15)
其中，Si(tk)代表S(tk)的第i个列向量，
第四步：建立SRCD-VBMCCKF目标跟踪方法的测量更新过程；
具体包括下列步骤：
步骤(1)：由式(16)-式(19)计算得到测量预测值
计算状态容积点：
Sk|k-1＝S(tk) (16)
其中，Sk|k-1和Xi，k|k-1分别表示在k-1时刻对k时刻的预测平方根协方差矩阵和第i个状态容积点；相应地，式(17b)可估计下一时刻的第i个状态容积点Xi，k|k；
其中，Sk|k和分别是k时刻的平方根协方差矩阵和状态估计值；
容积点的测量传播：
Zi，k|k-1＝h(Xi，k|k-1，k) (18)
其中，Zi，k|k-1表示在k-1时刻对k时刻的第i个状态容积点的测量预测值；
计算测量预测值：
式中，表示在k-1时刻对k时刻的测量预测值；
由式(20)-式(23)计算得到新息协方差矩阵Pzz，k|k-1和交叉协方差矩阵Pxz，k|k-1；
构建测量加权中心矩阵：
其中，Zk|k-1代表由k-1时刻预测得到的k时刻测量加权中心矩阵；
计算新息协方差矩阵：
其中，Pzz，k|k-1是新息协方差矩阵，下角标“zz”指代“新息”，反映的是测量值的误差关系，Rk表示k时刻观测噪声rk的协方差矩阵；
构建状态加权中心矩阵：
式中，Xk|k-1则代表由k-1时刻预测得到的k时刻状态加权中心矩阵；
计算交叉协方差矩阵：
其中，Pxz，k|k-1是交叉协方差矩阵，下角标“xz”指代“交叉”，反映的是状态值与测量值的误差关系；
之后进行循环次数为L的变分贝叶斯迭代循环来提升算法在测量异常环境下的自适应性和鲁棒性；
步骤(2)：在第j次循环中，j＝1，2，…，L，由式(51)计算未知噪声协方差
其中，vk代表自由度参数，Vk代表逆尺度矩阵；
式(51)完成对算法的自适应性的提升，由式(54)、式(55)、式(48)分别计算自适应因子Mk、自适应矩阵Dk和连续-离散增益
式中，Gσ(·)为高斯核函数，σ＞0是高斯核函数的核带宽，|| ||的运算法则是上角标“-1”表示矩阵求逆；
通过式(42)和式(50)分别完成对滤波状态的估计和协方差的更新Pk|k；
其中，Pk|k-1是k-1时刻对k时刻的预测协方差矩阵；
更新参数以进行下一次循环；由式(56)和式(57)计算纠正的测量值由式(17b)更新k时刻的i个状态容积点Xi，k|k，通过式(53)完成对逆尺度矩阵Vk的更新；
式中，上标“-”表示修正，抗差因子完成对算法的鲁棒性的提升。
其中，Vk|k-1是Vk在k-1时刻对k时刻的更新参数，满足：Vk|k-1＝CVk-1CT；C是0＜|C|≤1 的递推矩阵，满足ρ为比例因子，满足0＜ρ≤1；Id是单位矩阵，d是测量的维度；
重复以上步骤直至变分贝叶斯循环结束；
步骤(3)：输出终止循环时刻对应的状态估计值、协方差矩阵和逆尺度矩阵，即：上角标“L”代表循环的终止时刻；通过式(52) 对自由度参数vk完成更新，由式Vk＝Vk|k-1＝CVk-1CT对逆尺度矩阵Vk的下一时刻输入初值完成更新；
vk＝1+vk|k-1 (52) 式中，vk|k-1是vk在k-1时刻对k时刻的更新参数，满足：vk|k-1＝ρ(vk-1-n-1)+n+1；
由第五步进行下一时刻的更新过程，测量更新过程结束；
第五步：建立任意运动时间的SRCD-VBMCCKF目标跟踪方法；
以上四个步骤已经能够完成由k-1时刻到k时刻的目标跟踪问题，但目标的运动不只有一个时刻，因此还需要建立相应的时间循环框架，以此来保证运动的连续性；即：循环第三步-第四步t次，t为目标运动的时间。
本发明具有以下优点：
1)本发明提出的方法以连续-离散模型为基础，较传统目标跟踪方法采用的离散-离散模型解算精度更高，在纯方位跟踪中更具优势。
2)本发明提出的方法在滤波过程中引入平方根技术，数值计算的稳定性更好。
3)本发明提出的方法以变分贝叶斯准则处理测量噪声协方差未知问题，同时引入最大相关熵方法构建抗差因子来增强算法的鲁棒性，较传统目标跟踪方法兼具自适应性和鲁棒性，可有效解决跟踪中出现的测量异常问题。
附图说明
图1示出时变参数αk；
图2示出未知时变噪声下各方法的RMSEpos；
图3示出未知时变噪声下各方法的RMSEvel；
图4示出非高斯突变噪声下各方法的RMSEpos；
图5示出非高斯突变噪声下各方法的RMSEvel；
图6示出叠加噪声下各方法的RMSEpos；
图7示出叠加噪声下各方法的RMSEvel。
具体实施方式
针对复杂的测量环境，为能够对测量中出现的未知时变噪声和非高斯突变噪声皆进行有效抑制，同时提高滤波的精度，本发明将最大相关熵准则与变分贝叶斯准则相结合，同时引入抗差因子和平方根技术，并将其应用到连续-离散时间系统，提出一种平方根连续-离散变分贝叶斯最大相关熵容积卡尔曼滤波 (Square-Root Continuous-DiscreteVariational Bayesian Maximum Correntropy Cubature Kalman Filter，SRCD-VBMCCKF)目标跟踪方法，具体如下。
1.平方根连续-离散目标跟踪方法
1.1构建连续-离散目标跟踪模型
在连续-离散时间系统中，目标的连续状态模型由随机微分方程表示：
其中，x(t)是n维状态向量，f(·)为状态转移函数，w(t)是n维标准布朗运动。Q 为布朗运动的协方差矩阵。
而离散的纯方位测量模型定义如下：
zk＝h(xk，k)+rk (2)
h(xk，k)＝tan-1(y(tk)/x(tk)) (3)
式中，k指代离散的时间测量点，xk是k时刻的状态值，zk是k时刻的实际观测值，h(·)为观测函数，rk是k时刻的观测噪声；tk是离散时间点k在连续时刻处的取值，x(tk)和y(tk)是目标与观测站在二维笛卡尔坐标系中连续时刻tk处的相对位置。
1.2平方根连续-离散容积卡尔曼滤波方法
为增强滤波稳定性，在CD-CKF方法中引入平方根技术来避免由方法运算带来的数值不稳定问题，目标的第t个状态容积点定义如下：
其中，i代表容积点的取值，i＝1，2，3，...，2n，ξi是i个容积点组成的容积点集；P(t)是估计状态量x(t)而产生的误差协方差矩阵，S(t)为P(t)的下三角矩阵，二者满足：P(t)＝S(t)ST(t)；是x(t)在t时刻的期望值。
进一步将目标的状态由其状态期望和协方差表示，并引入容积准则：
在上式中，F(X(t))为系统的状态方程，X(t)是由Xi(t)组成的状态容积点向量，ε和 W分别为第一和第二权重参数，它们的定义如下：
其中，I2n表示维数为2n的单位矩阵，1是单位列向量，代表直积，上角标“T”表示矩阵转置。
在计算协方差传播时采用平方根计算方法(KULIKOV G Y，KULIKOVA M V. Accuratecubature and extended Kalman filtering methods for estimating continuous-timenonlinear stochastic systems with discrete measurements[J].Applied NumericalMathematics，2017，111： 260-275.)，并用高阶数值近似方法求解：
其中，Φ(B(t))是S(t)的更新矩阵，判断矩阵B(t)i，j代表Φ(B(t))的第t行、第j列的矩阵元素。B(t)的表达式如下：
B(t)＝S-1(t)[X(t)WFT(X(t))+F(X(t))XT(t)+Q]S-T(t) (10)
经以上分析，式(5)可完成对状态期望值的更新，S(t)的更新由式(8)完成，基于式(4)便可求得预测的第i个状态容积点具体的SRCD-CKF方法步骤如下：
1.2.1时间更新
期望和协方差矩阵初始化：
其中，和P(tk)分别指代在连续时刻tk处期望值和误差协方差矩阵P(t)的取值，它们分别与k-1时刻的离散期望值和离散误差协方差矩阵Pk-1|k-1的数值相等。
协方差分解：
P(tk)＝S(tk)ST(tk) (11)
式中，S(tk)为S(t)在连续时刻tk处的取值。
计算状态容积点：
在上式中，Xi(tk)是Xi(t)在连续时刻tk处的取值。
状态容积点传播：
其中，和S′(t)分别是用于更新和S(t)的一阶导数。
计算状态预测值：
其中，是目标在k-1时刻对k时刻的状态预测值，代表预测状态容积点(i＝1，2，3，...，2n)的求和值。
求解预测平方根协方差：
S(tk)＝[S1(tk) S2(tk) … S2n(tk)] (15)
其中，Si(tk)代表S(tk)的第i个列向量，
1.2.2测量更新
计算状态容积点：
Sk|k-1＝S(tk) (16)
其中，Sk|k-1和Xi，k|k-1分别表示在k-1时刻对k时刻的预测平方根协方差矩阵和第i个状态容积点；相应地，式(17b)可估计下一时刻的第i个状态容积点Xi，k|k；
其中，Sk|k和分别是k时刻的平方根协方差矩阵和状态估计值；
容积点的测量传播：
Zi，k|k-1＝h(Xi，k|k-1，k) （18）
其中，Zi，k|k-1表示在k-1时刻对k时刻的第i个状态容积点的测量预测值。
计算测量预测值：
式中，表示在k-1时刻对k时刻的测量预测值。
构建测量加权中心矩阵：
其中，Zk|k-1即代表由k-1时刻预测得到的k时刻测量加权中心矩阵。
计算新息协方差矩阵：
其中，Pzz，k|k-1是新息协方差矩阵，下角标“zz”指代“新息”，反映的是测量值的误差关系，Rk表示k时刻观测噪声rk的协方差矩阵。
构建状态加权中心矩阵：
式中，Xk|k-1则代表由k-1时刻预测得到的k时刻状态加权中心矩阵。
计算交叉协方差矩阵：
其中，Pzz，k|k-1是交叉协方差矩阵，下角标“xz”指代“交叉”，反映的是状态值与测量值的误差关系。
连续-离散系统在k时刻的容积增益Kk为：
式中，是Pzz，k|k-1的逆矩阵，上角标“-1”表示矩阵求逆。
计算k时刻的状态估计值
更新k时刻的协方差矩阵Pk|k：
其中，Pk|k-1是k-1时刻对k时刻的预测协方差矩阵。
至此，本发明所提出的SRCD-VBMCCKF目标跟踪方法的基本滤波框架完成，建立了连续-离散模型和平方根技术，较原始目标跟踪方法精度更高、计算更稳定。为更好的解决测量异常问题，提升本发明方法的环境适应性，下面引入自适应鲁棒技术。
2.基于变分贝叶斯理论的连续-离散最大相关熵目标跟踪方法
2.1变分贝叶斯准则
变分贝叶斯方法是用来近似求解参数后验概率分布的迭代优化方法。以其为基础的VB滤波方法通过变分贝叶斯准则可对状态和协方差的联合后验分布近似估计。
p(xk，Rk|z1：k)≈Qx(xk)QR(Rk) (27)
其中，xk和Rk的定义不变，分别代表k时刻的状态值和观测噪声rk的协方差矩阵，z1：k表示k时刻之前所得到的观测值。p(xk，Rk|z1：k)代表状态值的后验分布，Qx(xk)和 QR(Rk)是未知的近似概率密度。
而Kullback-Leibler(KL)散度可以用来比较两个概率分布的接近程度。因此，通过最小化可分离近似值与真实后验值之间的KL散度就可以得到VB近似：
其中，KL[·]代表求散度运算。以上式为基础，依次最小化与概率密度Qx(xk)和 QR(Rk)相关的KL散度，求解Qx(xk)时固定QR(Rk)，然后固定Qx(xk)来求解QR(Rk)，得到以下等式：
Qx(xk)∝exp(∫log p(zk，xk，Rk|z1：k)QR(Rk)dRk) (29)
QR(Rk)∝exp(∫log p(zk，xk，Rk|z1：k)Qx(xk)dxk) (30)
式中，exp代表指数运算，p(zk，xk，Rk|z1：k)表示状态和协方差的联合后验分布。
计算上面的方程，可以得到以下的密度分布：
QR(Rk)＝IW(Rk|vk，Vk) (32)
其中，N(·)是高斯分布，和Pk分别是最终k时刻目标状态和协方差矩阵的输出值；IW(·)代表inverse Wishart(IW)分布，vk和Vk分别是k时刻的自由度参数和逆尺度矩阵，上述参数都可以由卡尔曼类型的滤波完成计算。
2.2最大相关熵准则
相关熵可以用来衡量两个变量之间的相似度。对于给定的随机变量X和Y，它们的相关熵V(X，Y)定义如下(IZANLOO R，FAKOORIAN S A，YAZDI H S，et al. Kalmanfiltering based on the maximum correntropy criterion in the presence of non-Gaussian noise[C]//Information Science and Systems.Princeton，USA：IEEE，2016：500-505.)：
V(X，Y)＝E[κ(X，Y)]＝∫∫κ(x，y)aFX，Y(x，y) (33)
其中，E[·]为数学期望，κ(·)为相关熵的核函数，FX，Y(x，y)是变量X和Y的联合概率密度函(x和y可指代随机变量)。在本发明中，选取高斯核作为核函数，它的表达式如下：
式中，σ＞0是高斯核函数的核带宽。
而对于一定数量的有限数据集，相关熵可以通过有限个样本数据采样点的方法进行估计：
其中，即代表由有限采样点得到的估计相关熵，T是采样点的个数，表示联合概率密度函数FX，Y(x，y)的相关采样点序列，x(i)和y(i)表示随机变量的两个任意采样点，Gσ(·)即为高斯核函数。结合以上公式，便可以得到相关熵滤波的代价函数。
2.3平方根连续-离散变分贝叶斯最大相关熵容积卡尔曼滤波方法
在本发明中，因为系统噪声服从高斯分布，相关熵的代价函数可以这样定义：
其中，γ和β分别为第一和第二权重因子，伪观测矩阵和估计噪声的协方差矩阵的计算方式如下：
由以上代价函数，可获得xk的最优估计为：
其中，arg min(·)表示相关熵代价函数JMCC取得最小值时对应的xk值。
上式可由极值法获取最优值：
其中，自适应因子Mk的表达式如下：
注意到由式(41)得到的自适应因子Mk是一个标量，它便于分离和计算。同时由式(34)可知，高斯核带宽的取值对滤波的鲁棒性影响很大，合适的σ值就可以表现出良好的滤波性能。这里为了保证当σ无穷大时，所提方法可以收敛于 CD-CKF方法，令γ＝1，β＝-2σ2。同时结合式(40)、式(41)，并通过固定点迭代的方法进行求解，可得到如下结果：
在上式中，是更新后的连续-离散容积增益。
注意到在固定点迭代中，可用来替代，因此Mk可重写为：
因为Mk是可分离的，将式(43)等效变形如下：
结合式(37)以及式(38)，不难发现Mk完成了对观测噪声的协方差矩阵的修正，即：即代表修正的观测噪声协方差矩阵。则修正后的新息协方差矩阵可表示为：
将式(47)代入到式(24)中，即可得到此相关熵滤波在连续-离散系统中的等效增益公式：
其中，自适应矩阵Dk的表达式如下：
同样地，将式(47)、式(48)代入式(26)，得到连续-离散系统协方差更新的等效公式：
至此，由上述滤波框架形成的跟踪方法具备了良好的鲁棒性。但由式(45) 可知，Mk精确计算的前提是观测噪声已知，但实际测量环境中的观测噪声并不是已知的，这将在一定程度上限制滤波的性能。为解决上述问题，这里引入VB 方法对观测噪声进行自适应估计，观测噪声的自适应协方差矩阵
其中，自由度参数vk和逆尺度矩阵Vk的更新方式如下：
vk＝1+vk|k-1 (52)
式中，vk|k-1是vk在k-1时刻对k时刻的更新参数，Vk|k-1是Vk在k-1时刻对k时刻的更新参数，二者分别满足：vk|k-1＝ρ(vk-1-n-1)+n+1，Vk|k-1＝CVk-1CT。ρ为比例因子，满足0＜ρ≤1；C是0＜|C|≤1的递推矩阵，满足Id是单位矩阵，d是测量的维度。
以式(51)估计得到的对自适应因子Mk和自适应矩阵Dk进行修正，完成对算法的自适应性的提升，式(45)和式(49)可重新定义为：
由式(53)可以看到，Vk的更新过程又需要k时刻的精确测量值。而当测量中出现非高斯突变噪声时，VB方法的估计精度必然会受到影响。因此，这里将 VB方法与所提MCC方法结合，构建抗差因子对测量值进行修正：
式中，上标“-”表示修正，同时注意到对测量值zk的修正就是对测量噪声rk的修正：
其中，μk即为抗差因子，上式满足
由先前的推导可知，结合式(57)，可得到如下的结果：
综上可知，抗差因子μk的一个合理取值为当测量中出现突变值时，抗差因子将起到良好的纠偏作用。基于以上分析过程，本发明方法在原有滤波框架的基础上可具备较好的自适应性和鲁棒性，它通过循环次数为L的变分贝叶斯迭代循环来获取目标的最终状态值。
在第j(j＝1∶L)次循环中，首先，由式(51)计算未知噪声协方差而后由式(54)、式(55)、式(48)分别计算自适应因子Mk、自适应矩阵Dk和连续-离散增益其次，通过式(42)和式(50)分别完成对滤波状态的估计和协方差的更新Pk|k，同时由式(56)计算纠正的测量值最后，由式(17b)更新状态容积点Xi，k|k，通过式(53)完成对逆尺度矩阵Vk的更新，重复以上步骤直至循环结束。而后输出终止循环时刻对应的状态估计值、协方差矩阵和逆尺度矩阵，即： 以上思想便增强了本发明所提方法的环境适应性。
同时，针对连续运动的目标，可通过式(52)对自由度参数vk完成更新，逆尺度矩阵Vk的下一时刻输入初值由此式Vk＝Vk|k-1＝CVk-1CT完成更新，基于此便可进行由k时刻到k+1时刻的更新过程。结合以上分析步骤，引入运动时间，本发明所提方法就可以完成对一定运动时间的目标跟踪，且跟踪过程具有良好的抗异常特性。
以上便是本发明提出的SRCD-VBMCCKF目标跟踪方法的基本步骤。
3.仿真与分析
为验证所提方法的有效性，分别在测量噪声为未知时变噪声、测量噪声为非高斯重尾突变噪声、测量噪声为未知时变和非高斯重尾的叠加噪声三种场景下对目标进行跟踪，观察它们的滤波性能。
目标以恒定的转弯率ω＝0.01rad/s做协调转弯运动，其连续时间运动模型可以由随机微分方程进行表示。目标在t时刻的状态向量 x(t)和y(t)，和分别是目标在二维坐标系下的位置量和速度量。单观测站做匀加速直线运动，初始位置位于原点。转弯运动在连续-离散系统的状态方程随机噪声项w(t)＝[w1(t)，w2(t)，w3(t)，w4(t)，w5(t)]T是n维标准布朗运动。协方差矩阵Q＝diag[0 η1 0 η1 η2]，其中η1＝0.2，η2＝7×10-6。目标的初始状态量x(t0)＝[35km，0km/s，35km，0.2km/s，ω]T，初始的协方差矩阵为 P(t0)＝diag[0.01 0.01 0.01 0.01 0.001]。仿真总时长为350s。蒙特卡洛仿真次数为200 次。
其中，CKF方法(ARASARATNAM I，HAYKIN S.Cubature Kalman filters[J].IEEETransactions on Automatic Control，2009，54(6)：1254-1269.)、SRCD-CKF方法、MCCKF方法(张敬艳，修建娟，董凯.噪声非高斯条件下基于最大相关熵准则的容积滤波算法[J].兵器装备工程学报，2021，42(08)：245-250.)(相关熵方法使用本发明提出的方法)、VBCKF方法(SARKKA S，HARTIKAINEN J.Non-linear noise adaptive Kalman filtering viavariational Bayes[C]//Machine Learning for Signal Processing.Southampton，UK：IEEE，2013：1-6.)和所提SRCD-VBMCCKF方法来比较分析。为保证公平性，文中采用VB近似的方法中自由度参数vk的初始值皆为600，逆尺度矩阵Vk的初始值皆为0.01，比例因子ρ＝1-exp(-4)，所有的迭代循环次数L皆为5，同时以MCC方法为基础的滤波方法中高斯核带宽σ的取值皆为5。
为更直观的比较各方法的优劣，定义位置量和速度量的均方根误差(Root MeanSquare Error，RMSE)如下：
其中，N是蒙特卡罗仿真的次数，为第i次蒙特卡罗仿真的估计结果，x(tk)、分别是目标的真实位置状态和速度状态。
3.1测量噪声为未知的时变噪声
测量噪声满足仿真中Rk的初始值为一维常值0.001rad。αk为时变参数，其变化规律如图1所示。
接下来，画出各方法的RMSEpos和RMSEvel分别如图2和图3所示。
如图2和图3所示，当噪声未发生变化时，各方法性能相近，传统的CKF 方法和SRCD-CKF方法使用精确的噪声值，相比于使用估计值的其他方法性能略好，且基于连续-离散系统的SRCD-CKF方法精度更高。但当测量噪声随时间变化后，未能自适应估计的方法性能退化严重。MCCKF方法虽具有一定程度的抵制效果，但滤波精度仍然较差，而通过VB方法自适应估计未知时变噪声的 VBCKF方法和SRCD-VBMCCKF方法则表现出了较高的精度。同时，以连续- 离散方法跟踪目标实际运动的SRCD-VBMCCKF方法较传统的VBCKF方法性能更优越。
3.2测量噪声为非高斯的重尾突变噪声
测量噪声满足rk～0.9N(0，Rk)+0.1N(0，100*Rk)，Rk的初始值仍为一维常值0.001rad。同时，仿真中加入的异常突变点如下表所示：
表1 常突变值设置点
在此条件下，画出各方法的RMSEpos和RMSEvel分别如图4和图5所示。
结合图4与图5可以看到，在重尾突变噪声的前提下，各跟踪方法的性能都有所下降。其中，不具备鲁棒机制的CKF方法和SRCD-CKF方法不能对以上测量噪声有效抑制，方法已经失效。而VBCKF方法虽然可以对噪声协方差自适应估计，但其鲁棒性较MCCKF方法和SRCD-VBMCCKF方法还有差距，对非高斯异常测量值的抑制效果并不好。最后，所提SRCD-VBMCCKF方法兼具精度和鲁棒性，再一次证明了连续-离散滤波方法的精确性和相关熵方法的鲁棒性。 3.3测量噪声为未知时变噪声和非高斯重尾噪声的叠加噪声
测量噪声满足其中，Rk的初始值不变，时变参数αk仍满足图1所示规律，画出该条件下各方法的RMSEpos和RMSEvel分别如图6 和图7所示。
由以上的误差曲线图可知，当测量噪声为叠加的复合噪声时，方法所表现的性能不同于单一的测量噪声。在该仿真背景下，原始的CKF方法以及 SRCD-CKF方法误差较大，所具有的实践意义较小。而MCCKF方法和VBCKF 方法精度相近，虽然VBCKF方法对未知时变噪声的估计更有优势，但MCCKF 方法对非高斯噪声的鲁棒性更强，因此二者在滤波效果上相差不大。而 SRCD-VBMCCKF方法对复杂测量环境更具适应性，其精度和鲁棒性皆优于以上方法，进一步说明了本发明所提方法的有效性。
该方法以连续模型描述目标的实际运动，由MCC方法和VB方法处理复杂的测量噪声，抗差因子可对测量异常值进行有效抑制，同时平方根技术可更好的保证滤波的稳定性。最后，对所提目标跟踪方法的有效性进行了仿真验证。仿真结果表明，SRCD-VBMCCKF方法可有效抑制测量中的未知时变噪声和非高斯重尾突变噪声，能够实现滤波精度和鲁棒性的统一。
本发明的方法以连续-离散时间系统描述目标运动模型，以变分贝叶斯准则处理测量噪声协方差未知问题，同时引入最大相关熵方法构建抗差因子来增强方法的鲁棒性。仿真结果表明，所提方法较传统滤波算法精度更高，鲁棒性更强，对解决复杂测量环境下的目标跟踪问题具有实践意义。
Claims (1)
1.一种基于变分贝叶斯理论的连续-离散最大相关熵目标跟踪方法，其特征在于，具体包括下列步骤：
第一步：建立连续-离散跟踪模型；
所述目标跟踪方法建立在连续-离散时间领域，由式(1)对目标的连续运动方式进行描述，式(2)对目标的离散测量方式进行描述；
zk＝h(xk，k)+rk (2)
在上式中，x(t)是n维状态向量，f(·)为状态转移函数，w(t)是n维标准布朗运动；Q为布朗运动的协方差矩阵；k指代离散的时间测量点，xk是k时刻的状态值，zk是k时刻的实际观测值，h(·)为观测函数，rk是k时刻的观测噪声；其中，纯方位观测函数的定义如式(3)所示；
h(xk，k)＝tan-1(y(tk)/x(tk)) (3)
式(3)中，tk是离散时间点k在连续时刻处的取值，x(tk)和y(tk)是目标与观测站在二维笛卡尔坐标系中连续时刻tk处的相对位置；
由上述方法将连续-离散模型建立后，式(1)提供目标运动的状态值，式(2)提供跟踪目标的测量值；
第二步：引入平方根跟踪方法；
定义目标的第i个状态容积点，如式(4)所示；
其中，i代表容积点的取值，i＝1，2，3，…，2n，ξi是i个容积点组成的容积点集；P(t)是估计状态量x(t)而产生的误差协方差矩阵，S(t)为P(t)的下三角矩阵，二者满足：P(t)＝S(t)ST(t)；是x(t)在t时刻的期望值；
将目标的状态由其状态期望和协方差描述，并引入容积准则，如式(5)和式(6)所示；
式中，F(X(t))为系统的状态方程，X(t)是由Xi(t)组成的状态容积点向量，ε和W分别为第一和第二权重参数，通过式(7)计算第一和第二权重参数；
其中，I2n表示维数为2n的单位矩阵，1是单位列向量，代表直积，上角标“T”表示矩阵转置；
由式(8)-式(10)引入平方根技术，完成对预测状态容积点的求解；
在计算协方差传播时采用平方根计算方法，并用高阶数值近似方法求解：
其中，Φ(B(t))是S(t)的更新矩阵，判断矩阵B(t)i，j代表Φ(B(t))的第i行、第j列的矩阵元素；B(t)的表达式如下：
B(t)＝S-1(t)[X(t)WFT(X(t))+F(X(t))XT(t)+Q]S-T(t) (10)
经以上分析，式(5)完成对状态期望值的更新，S(t)的更新由式(8)完成，基于式(4)求得预测的第i个状态容积点
第三步：建立SRCD-VBMCCKF目标跟踪方法的时间更新过程；
由k-1时刻完成对k时刻状态和协方差的预测，通过式(11)-式(15)完成；
将期望和协方差矩阵初始化：P(tk)＝Pk-1|k-1；
其中，和P(tk)分别指代在连续时刻tk处期望值和误差协方差矩阵P(t)的取值，它们分别与k-1时刻的离散期望值和离散误差协方差矩阵Pk-1|k-1的数值相等；
协方差分解：
P(tk)＝S(tk)ST(tk) (11)
式中，S(tk)为S(t)在连续时刻tk处的取值；
计算状态容积点：
在上式中，Xi(tk)是Xi(t)在连续时刻tk处的取值；
状态容积点传播：
其中，和S′(t)分别是用于更新和S(t)的一阶导数；
计算状态预测值：
其中，是目标在k-1时刻对k时刻的状态预测值，代表预测状态容积点的求和值；
求解预测平方根协方差：
S(tk)＝[S1(tk) S2(tk) … S2n(tk)] (15)
其中，Si(tk)代表S(tk)的第i个列向量，
第四步：建立SRCD-VBMCCKF目标跟踪方法的测量更新过程；
具体包括下列步骤：
步骤(1)：由式(16)-式(19)计算得到测量预测值
计算状态容积点：
Sk|k-1＝S(tk) (16)
其中，Sk|k-1和Xi，k|k-1分别表示在k-1时刻对k时刻的预测平方根协方差矩阵和第i个状态容积点；相应地，式(17b)能够估计下一时刻的第i个状态容积点Xi，k|k；
其中，Sk|k和分别是k时刻的平方根协方差矩阵和状态估计值；
容积点的测量传播：
Zi，k|k-1＝h(Xi，k|k-1，k) (18)
其中，Zi，k|k-1表示在k-1时刻对k时刻的第i个状态容积点的测量预测值；
计算测量预测值：
式中，表示在k-1时刻对k时刻的测量预测值；
由式(20)-式(23)计算得到新息协方差矩阵Pzz，k|k-1和交叉协方差矩阵Pxz，k|k-1；
构建测量加权中心矩阵：
其中，Zk|k-1代表由k-1时刻预测得到的k时刻测量加权中心矩阵；
计算新息协方差矩阵：
其中，Pzz，k|k-1是新息协方差矩阵，下角标“zz”指代“新息”，反映的是测量值的误差关系，Rk表示k时刻观测噪声rk的协方差矩阵；
构建状态加权中心矩阵：
式中，Xk|k-1则代表由k-1时刻预测得到的k时刻状态加权中心矩阵；
计算交叉协方差矩阵：
其中，Pxz，k|k-1是交叉协方差矩阵，下角标“xz”指代“交叉”，反映的是状态值与测量值的误差关系；
之后进行循环次数为L的变分贝叶斯迭代循环来提升算法在测量异常环境下的自适应性和鲁棒性；
步骤(2)：在第j次循环中，j＝1，2，…，L，由式(51)计算未知噪声协方差
其中，vk代表自由度参数，Vk代表逆尺度矩阵；
式(51)完成对算法的自适应性的提升，由式(54)、式(55)、式(48)分别计算自适应因子Mk、自适应矩阵Dk和连续-离散增益
式中，Gσ(·)为高斯核函数，σ＞0是高斯核函数的核带宽，|| ||的运算法则是上角标“-1”表示矩阵求逆；
通过式(42)和式(50)分别完成对滤波状态的估计和协方差的更新Pk|k；
其中，Pk|k-1是k-1时刻对k时刻的预测协方差矩阵；
更新参数以进行下一次循环；由式(56)和式(57)计算纠正的测量值由式(17b)更新k时刻的i个状态容积点Xi，k|k，通过式(53)完成对逆尺度矩阵Vk的更新；
式中，上标“-”表示修正，抗差因子完成对算法的鲁棒性的提升；
其中，Sk|k是k时刻的预测平方根协方差矩阵；
其中，Vk|k-1是Vk在k-1时刻对k时刻的更新参数，满足：Vk|k-1＝CVk-1CT；C是0＜|C|≤1的递推矩阵，满足ρ为比例因子，满足0＜ρ≤1；Id是单位矩阵，d是测量的维度；
重复以上步骤直至变分贝叶斯循环结束；
步骤(3)：输出终止循环时刻对应的状态估计值、协方差矩阵和逆尺度矩阵，即：上角标“L”代表循环的终止时刻；通过式(52)对自由度参数vk完成更新，由式Vk＝Vk|k-1＝CVk-1CT对逆尺度矩阵Vk的下一时刻输入初值完成更新；
vk＝1+vk|k-1 (52)
式中，vk|k-1是vk在k-1时刻对k时刻的更新参数，满足：vk|k-1＝ρ(vk-1-n-1)+n+1；
由第五步进行下一时刻的更新过程，测量更新过程结束；
第五步：建立任意运动时间的SRCD-VBMCCKF目标跟踪方法；
以上四个步骤已经能够完成由k-1时刻到k时刻的目标跟踪问题，但目标的运动不只有一个时刻，因此还需要建立相应的时间循环框架，以此来保证运动的连续性；即：循环第三步-第四步t次，t为目标运动的时间。
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Legal Events
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| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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