CN1109566A - 有可降低局部摩擦热之改进齿廓的齿轮偶件和生产这种齿轮偶件的方法 - Google Patents

Abstract

一种改进的齿轮偶件，其改进在于降低作用在一 对啮合着的齿上的载荷与齿面接触区域的相对滑动 速度之乘积，借以降低摩擦热。齿轮偶件包括皆有由 渐开线形成之齿廓的一第一和一第二齿轮。两齿轮 中至少一个的齿廓用一修正曲线W和所述渐开线 的一种组合进行修正。在由一X轴、一坐标原点和 与X轴相交于该原点的一Y轴构成的平面坐标上，修正曲线W用通过点P₁(X₁，Y₁)和P₂(X₂，Y₂)并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在原点满足条件Y＝0，dy/dx＝0的一组方程式表达。X轴是表示两齿轮之啮合点的移动轨迹的作用线。坐标原点是X轴与两齿轮的啮合节圆的交点。

Description

本发明总地涉及一种齿轮偶件和生产这种齿轮偶件的方法。更具体地说，本发明涉及一种在转动中将动力从一第一齿轮传递到一第二齿轮并有可降低局部摩擦热之改进齿廓的齿轮偶件。本发明也涉及生产这种齿轮偶件的方法。

图19和20示出了通过在一普通齿轮上进行两种类型的齿廓修正所得到的形状。a部分表示为了把一齿轮的齿廓成形为一直线而通过展开一渐开线得到的一个像齿条那样的形状。b部分表示通过在q和h两部分的整个范围内进行齿廓修正所得到的形状。数值q和h在这一技术领域的一般文献中都有叙述（这类文献以标有＊号的部分列举，下文中，＊号意味着相同）。填满黑色的那些部分表示已经被剔掉的部分（下文中，这样的部分意味着相同）。换言之，包括这样一些部分的外廓线表示通过将渐开线展开成一直线而得到的像齿条一样的形状，而不包括这样一些部分的内廓线表示已经修正的齿廓形状。图19中的b部分的内廓线由一条直线表示，而图20中的由一半径为r的圆弧表示。

成形为上述形状的一对齿轮相互啮合在一起时如图21所示。为将扭矩从齿轮1传递到齿轮2，齿的啮合在作用线C（啮合长度）上的P点开始并经过O点和Q点在R点结束。图21给出了齿轮1的节圆d₁、齿轮2的节圆d₂、齿轮1的基圆e₁齿轮2的基圆e₂、齿轮1的齿顶圆f₁、齿轮2的齿顶圆f₂、以及齿面相对滑动速度为零的节点O。

下面参照图22A～22E来说明齿轮1和2从起始点至结束点R的啮合状态。

图22A示出的状态是，齿轮1和2啮合于作用线C上的Q₁₁点并且啮合点Q₁₁像箭头3所示那样向图22A的右侧移动。

图22B示出的状态是，啮合点从Q₁₁点向Q₁₂点移动，同时，靠近进入侧的齿开始在Q₂₂点相互啮合。

图22C示出的状态是，靠近退出侧的啮合点从Q₁₂点向Q₁₃点移动，而靠近进入侧的啮合点从Q₂₂点向Q₂₃点移动，以及齿在同一时刻相互啮合于Q₁₃和Q₂₃两点。

图22D示出的状态是，靠近进入侧的啮合点从Q₂₃点向Q₂₄点移动，同时，靠近退出侧的齿结束在Q₁₄点的啮合。

图22E示出的状态是，靠近进入侧的啮合点从Q₂₄点向Q₂₅点移动，就是说，齿轮仅在Q₂₅点啮合。

图21示出的齿轮1和2的啮合状态是，啮合点Q在作用线C上沿箭头3所示的方向移动，随后，齿轮1和2开始在P点啮合。

在这一状态，齿轮1的啮合于Q点的齿被弯曲并被向与箭头3所示相反的方向偏压向作用线C。同时，齿轮2的齿被弯曲并被向箭头3所示的方向偏压向作用线C。

接着，齿轮1上的P点和Q点之间的距离缩短，而齿轮2上的P点和Q点之距加长，这就使齿轮1和2的齿在P点产生突然碰撞。

为减轻这样碰撞，齿顶部分的形状应修正，如图19和20所示。这种修正应设计为能够避免齿轮啮合初始点P处的突然碰撞，以使载荷变化平稳，以及能够降低传递转角的变化。

图23示出了图21所示之普通齿轮的啮合状态，并表示出了从齿轮啮合起始点P开始经过作用线C上的Q点到结束点R作用在齿上的载荷、啮合接触表面上的相对滑动速度V、以及载荷F和相对滑动速度V之乘积F·V。载荷F和相对滑动速度V可以根据本技术领域的一般文献（标以＊）来计算。

图23中，表示作用在齿上的载荷F（单位为kgf）的曲线4由上升的曲线4a、表示最大载荷的直线4b、以及下降的曲线4c组成。曲线5表示啮合接触表面上的相对滑动速度（单位为m/s）并且是由下降的曲线5a和与之在O点相接的上升的曲线5b组成，曲线6表示载荷F和相对滑动速度V的乘积并且是由第一曲线6a和与之在O点相接的第二曲线6a组成，两段曲线部呈突锥的形状。

如上升的曲线4a所示，作用在齿上的载荷F的急剧增高被图19或20所示的齿廓修正给减轻了。但是，如图23的直线4b所示，当最大载荷施加于齿上时，载荷F和相对滑动速度V的乘积随着相对滑动速度从节点O开始逐渐增大而增大。即使在啮合接近结束时，载荷F的下降的曲线4c已在平滑下降，而乘积F·V却出现了极高的最大值，如第二段曲线6b所示。

像上述那样构造的普通齿轮存在着下列问题。

在一对齿接触的区域，作用在齿上的载荷F和相对滑动速度V的乘积增加至很大，这将导致摩擦热增加，以致有时会造成齿面擦伤。

其次，不经过适当的齿廓修正的齿很可能因齿轮啮合时受力而产生挠偏变形。这将引起从动齿轮的转速的变化，从而导致扭转振动。

＊：（1）ISO/TC60/SC3/WG12  Doc  N6

圆柱、圆锥和准双曲面齿轮的热载荷能力的计算-

第一卷：

齿轮啮合咬伤危险的评估

1993年9月27日发行，PP1-54

（2）机械设计手册巨立出版公司

1955年4月25日发行PP10-1-10-56齿轮

因此，为克服上述缺点，本发明的一个目的是计算一种齿廓，采用这种齿廓可以降低作用在啮合着的齿上的载荷F和相对滑动速度V的乘积F·V，以及可以通过修正每一齿廓来使摩擦热的峰值为最小，其修正方法是根据用一修正曲线得到的修正量对至少一个齿轮的齿廓进行修正并且使第一和第二齿轮的综合修正量等于用该修正曲线得到的那一修正量。

本发明的另一目的是提供一种能够降低作用在相互啮合着的齿上的载荷F和相互啮合的齿轮的相对滑动速度V之乘积F·V并能使转速变化为最小的齿轮，以使摩擦热的峰值为最小以及抑制扭转振动。

本发明的再一个目的是提供一种根据齿廓计算生产一种齿轮偶件的方法，用这种齿廓可以降低作用在相互啮合着的齿上的载荷F和相互啮合着的齿轮的相对滑动速度V之乘积F·V，以及可以通过加工每一齿廓使摩擦热的峰值为最小，其加工方法是根据用一修正曲线得到的一修正量对至少一个齿轮的齿廓进行修正并且使第一和第二齿轮的综合修正量等于用该修正曲线得到的那一修正量。

本发明的再一个目的是提供一种用于生产齿轮偶件的方法，用这种方法生产的齿轮能够降低作用在相互啮合着的齿上的载荷F和相互啮合着的齿轮的相对滑动速度V之乘积F·V并能使转速的变化为最小，从而能使摩擦热的峰值为最小以及抑制扭转振动。

本发明的其他目的、优点和新颖特点将在以下的描述中显现出来，并且对于本技术领域的熟练人员，通过考察以下描述或实施本发明，它们将变得更加明显。

为达到上述目的，根据本发明的一个方面，提供一种包括一第一齿轮和一第二齿轮的齿轮偶件，每一齿轮都有由渐开线形成的齿廓，每一齿廓是这样成形的，即，对至少一个齿轮齿廓根据用一修正曲线得到的一修正量进行修正，并且使第一和第二齿轮的综合修正量等于用该修正曲线得到的那一修正量，第一和第二齿轮中的至少一个具有用一修正曲线与渐开线的一种组合修正的齿廓，修正曲线由下列方程式（3）表达，其中的m由下列方程式（1）确定，n由下列方程式（2）确定，这些方程式都在由一座标原点、一X轴和与之相交于座标原点的一Y轴构成的平面座标内，X轴是表示在第一齿轮将一个力传递给第二齿轮的过程中一个相互啮合点的移动轨迹的作用线，座标原点是X轴与第一和第二齿轮的一相互啮合节圆的交点，方程式（1）和（2）通过点P₁（X₁，Y₁）和点P₂（X₂，Y₂）并且当X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在座标原点处满足条件Y＝0，dy/dx＝0。

m= (Y1)/(X1n) = (Y2)/(X2n) (1)

$n=\frac{1\mathrm{oge}\frac{Y_2}{Y_1}}{1o{g}_{e}g\frac{X_2}{X_1}}---\left(2\right)$

Y=mxⁿ(3)。

根据本发明的另一方面，提供一种包括一第一齿轮和一第二齿轮的齿轮偶件，每一齿轮都有一由渐开线形成的齿廓，对至少一个齿轮的齿廓进行修正，以便在一第六修正曲线，该第六修正曲线是用这样一些修正曲线得到的，这些修正曲线包括：根据上述方程式（3）计算的第一和第二齿廓修正曲线，方程式（3）中的m由方程式（1）确定，n由方程式（3）确定，这些方程式都在由一座标原点、一X轴和与之相交于座标原点的一Y轴构成的平面座标内，X轴是表示在第一齿轮将一个力传递给第二齿轮的过程中一相互啮合点之移动轨迹的作用线，座标原点是X轴与第一和第二齿轮的相互啮合的节圆的交点，上述方程式（1）和（2）通过点P₁（X₁，Y₁）和点P₂（X₂，Y₂）并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在座标原点满足条件Y＝0，dy/dx＝0，第一齿廓修正曲线被用以使在一最大载荷开始降低那一点之后由于齿轮啮合产生的一载荷与一相对滑动速度的乘积小于该点处的相对滑动速度与该最大载荷的乘积，第二齿廓修正曲线被用以使由齿轮啮合引起的振动为最小，第一和第二修正曲线都描绘在上述平面座标上;在第一和第二修正曲线之间描绘的表示两者之平均值的一条第三齿廓修正曲线;一这样描绘的第四修正曲线，即，它在第一和第二修正曲线之间的最大间距处从外面接触第一修正曲线，以及一这样描绘的第五修正曲线，即，它从里面接触第二修正曲线，第四和第五修正曲线分别与第三修正曲线始终保持相同的间距;第六修正曲线出现在第四和第五修正曲线之间并且是通过把每一齿轮的各修正量在轴上组合相加得到的。

根据本发明的再一方面，提供一种有本发明之上述每一方面的齿轮偶件，其中作用在两齿轮的啮合着的齿上的载荷的一上升曲线可以以一种像凸台一样的形状向上升，并且其一下降曲线可以以一种像凸台一样的形状向下降。

根据本发明的再一方面，作用在齿轮的啮合着的齿上的载荷的上升和下降曲线中靠近较高齿面接触相对滑动速度的那一曲线可以以一种像凸台一样的形状向下降。

根据本发明的再一方面，在最大载荷开始降低那一点之后由于齿轮啮合产生的载荷与相对滑动速度的乘积可以小于该点处的相对滑动速度与最大载荷的乘积。

根据本发明的再一方面，提供一种用于生产包括一第一齿轮和一第二齿轮的那种形式的齿轮偶件的方法，每一齿轮有一种由渐开线形成的齿廓，每一齿廓是这样成形的，即，至少一种齿廓是根据用一修正曲线得到的一修正量进行修正的，并且使第一和第二齿轮的综合修正量等于用该修正曲线得到的那一修正量，修正曲线由上述方程式（3）表达，方程式（3）中的m和n分别由上述方程式（1）和（2）确定，这三个方程式都在由一X轴、一座标原点和与X轴相交于座标原点的一Y轴构成的平面座标内，X轴是表示在第一齿轮将一个力传递给第二齿轮时一相互啮合点的移动轨迹的作用线，座标原点是X轴与第一和第二齿轮的相互啮合着的节圆的交点，上述方程式（1）和（2）通过点P₁（X₂，Y₁）和点P₂（X₂，Y₂）并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在座标原点满足条件Y＝0，dy/dx＝0。

根据本发明再一方面，提供一种用于生产一种齿轮偶件的方法，其中每一齿廓是这样成形的。即，至少一种齿廓是根据用一修正曲线得到的一修正量进行修正的，并且使第一和第二齿轮的综合修正量等于用该修正曲线得到的那一修正量，一修正曲线是这样计算的，即，使一上升的曲线以一种像凸台一样的形状向上升以及使一下降的曲线以一种像凸台一样的形状向下降，这些曲线都表示作用在齿轮的相互啮合着的齿上的载荷。

根据本发明的再一方面，提供一种用于生产一种齿轮偶件的方法，其中每一齿廓是这样成形的，即，至少一种齿廓是根据用一修正曲线得到的一修正量进行修正的，并且使第一和第二齿轮的综合修正量等于用该修正曲线得到的那一修正量，其特征在于，一条修正曲线是这样计算的，即，使一上升的曲线和一下降的曲线中靠近较高齿面接触相对滑动速度那一条以一种像凸台一样的形状向下降，这些曲线都表示作用在两齿轮的相互啮合着的齿上的载荷。

根据本发明的再一方面，提供一种用于生产一种齿轮偶件的方法，其中每一齿廓是这样成形的，即，至少一种齿廓是根据用一修正曲线得到的一修正量进行修正的，并且使第一和第二齿轮的综合修正量等于用该修正曲线得到的那一修正量，其特征在于，修正曲线是这样计算的，即，使在一最大载荷开始下降那一点之后由于齿轮啮合产生的载荷与相对滑动速度的乘积小于在该点处相对滑动速度与最大载荷的乘积。

根据本发明的再一方面，提供一种用于生产包括一第一齿轮和一第二齿轮的那种形式的齿轮偶件的方法，每一齿轮有一由渐开线形成的齿廓，至少对一种齿廓进行修正，以便有一第六修正曲线，第六修正曲线是用一些修正曲线得到的，这些曲线包括：根据上述式（3）计算的第一和第二齿廓修正曲线;方程式（3）中的m和n分别由上述方程式（1）和（2）确定，这三个方程式都在由一X轴、一座标原点和与X轴相交于座标原点的一Y轴构成的平面座标内，X轴是表示在第一齿轮将一个力传递给第二齿轮时一相互啮合点的移动轨迹的作用线，座标原点是X轴与第一和第二齿轮的相互啮合着的节圆的交点，上述方程式（1）和（2）通过点P₁（X₁，Y₁）和点P₂（X₂，Y₂）并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在座标原点满足条件Y＝0，dy/dx＝0，第一齿廓修正曲线被用以使在一最大载荷开始降低那一点之后由齿轮啮合产生的一载荷与一相对滑动速度的乘积小于该点处的相对滑动速度与该最大载荷的乘积，第二齿廓修正曲线被用以使由于齿轮啮合引起的振动为最小，第一和第二修正曲线都描述在上述平面座标上;在第一和第二修正曲线之间描绘的表示两者之平均值的一条第三齿廓修正曲线;一这样描绘的第四齿廓修正曲线，即，它在第一和第二修正曲线之间的最大间距处从外面接触第一修正曲线;以及一这样描绘的第五齿廓修正曲线，即，它从里面接触第二修正曲线，第四和第五修正曲线分别与第三修正曲线始终保持相同的间距;第六修正曲线出现在第四和第五修正曲线之间并且是通过把每一齿轮的各修正量在X轴上组合相加得到的。

图1示出了本发明之第一实施例的齿轮偶件的啮合状态;

图2示出了第一实施例的齿廓修正;

图3是表示第一实施例的齿载荷分布率的曲线图;

图4是表示第一实施例的作用在齿上的载荷F、相对滑动速度V以及两者之乘积F·V的曲线图，所有这些变量都是相对于作用线（啮合长度）表示的;

图5是表示第一实施例的齿廓修正量和一普通齿廓修正量的曲线图;

图6是表示在两齿轮相互啮合着转动时转动角速度的变动形式的曲线图，并且将第一实施例的齿轮偶件的这一变动形式与一普通齿轮偶件的变动形式作了比较;

图7示出了本发明的第二实施例的齿轮偶件的啮合状态;

图8是表示第二实施例的齿挠偏特性的曲线图;

图9是表示第二实施例的修正量的曲线图，用这一修正量可以使齿面上的生成热的峰值为最小;

图10是表示载荷F、相对滑动速度V以及两者之乘积F·V的曲线图，所有这些变量都是相对于用第二实施例的第一齿廓修正曲线修正的两齿轮的作用线表示的;

图11是表示有用图9所示之第一修正曲线修正之齿廓的齿轮的振动振幅的曲线图;

图12是表示第二实施例的齿廓修正量的曲线图，用这一修正量可以使扭转振动为最小;

图13是表示作用在齿上的载荷F、相对滑动速度V以及两者之乘积F·V的曲线图，所有这些变量都是相对于用第二实施例的第二齿廓修正曲线修正的两齿轮的作用线表示的;

图14是表示有用图12所示之第二实施例的第二修正曲线修正的齿廓的齿轮的振动振幅的曲线图;

图15是表示为使热峰值和扭转振动为最小而用的确定曲廓修正曲线的一种方法的曲线图;

图16示出了本发明的第三实施例的齿轮偶件的啮合状态;

图17示出了本发明的第四实施例的齿轮偶件的啮合状态;

图18示出了本发明的第五实施例的齿轮偶件的啮合状态;

图19示出了通过在一普通齿轮上进行一种类型的齿廓修正得到的齿形;

图20示出了通过在一普通齿轮上进行另一种类型的齿廓修正得到的齿形;

图21示出了一对齿轮的啮合状态;

图22A～22E示出了齿轮的相互啮合的移动情况;以及

图23是表示作用在齿上的载荷F、相对滑动速度V以及两者之乘积F·V的曲线图，所有这些变量都是相对于一普通齿轮偶件的作用线表示的。

第一实施例

下面参照有关附图来描述本发明的第一实施例。图1示出了本发明的一齿轮偶件的啮合状态。第一齿轮7有一种用一修正曲线（下面将详细描述）和一渐开线的一种组合得到的齿廓。如图1中涂以黑色的部分所示，第一齿轮7的齿顶和齿根部分都用由下述方程式（3）表示的修正曲线进行了修正。就是说，包括涂黑部分的外廓线表示由渐开线形成的标准齿廓，而不包括涂黑部分的内廓线表示按照修正曲线剔削后的齿廓。有由渐开线形成的齿廓的第二齿轮8构造成与第一齿轮7相互啮合。

图2示出了齿廓的修正。C是表示齿轮7和8之间相互啮合的轨迹的作用线（啮合长度）。X轴放在作用线C上。O是啮合节点并且是由X轴和与之以直角相交的Y轴构成的座标的原点。P表示齿轮开始相互啮合的起始点，R表示齿轮相互结束啮合的终止点。X轴上的数值X表示从原点O算起的啮合长度，也表示数值X投影在渐开线上的位置。Y轴上的数值Y表示齿廓的修正量并且是指在位置X处垂直于渐开线的方向上的修正量。

W是通过P₁₁（X₁₁，Y₁₁）、P₁₂（X₁₂，Y₁₂）、P₂₁（X₂₁，Y₂₁）、P₂₂（X₂₂，Y₂₂）和原点即节点O的修正曲线，这条修正曲线是按照方程式（1）、（2）和（3）计算的，用以确定齿轮7的齿廓。例如，P₁₂（X₁₂，Y₁₂）意味着在修正位置X₁₂处（在图2中作投影时其就是齿顶处渐开线上的位置）在垂直于渐开线的方向上的齿廓的修正量Y₁₂。d表示啮合节线，a表示按照渐开线得到的齿廓（图2中包括涂黑部分的外廓线），b₁和b₂表示按照修正曲线W的齿廓修正量。

本发明中，每一齿廓是这样成形的，即对至少一个齿轮的齿廓根据用修正曲线得到的修正量进行修正并且使第一和第二齿轮的综修正量等于用该修正曲线得到的那一修正量。下面将参照方程式（1）、（2）和（3）对修正曲线作详细说明。平面座标由一X轴、X轴与齿轮的啮合节圆相交产生的座标原点，以及在该原点处垂直相交于X轴的一Y轴构成，X轴表示作用线，即在有按渐开线得到的齿廓的第一齿轮把动力传给第二齿轮过程中两者的啮合点的移动轨迹。在上述平面内，当X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时，修正曲线通过P₁（X₁，Y₁）和P₂（X₂，Y₂）并且是由方程式（3）表达，其中的m和n分别由方程式（1）和（2）确定，方程式（1）和（2）在原点满足条件Y＝0和dy/dx＝0。方程式（1）、（2）和（3）表示如下：

m= (Y₁)/(X₁ ⁿ) = (Y₂)/(X₂ ⁿ) (1)

$n=\frac{1\mathrm{oge}\frac{Y_2}{Y_1}}{1o{g}_{e}g\frac{X_2}{X_1}}---\left(2\right)$

Y=mxⁿ(3)。

现在来更详细地说明以上各方程式。点P₂（X₂，Y₂）假定为图2中的点P₁₂（X₁₂，Y₁₂）。相应地，X₂是有用一渐开线得到的齿廓的齿轮齿顶处的位置，Y₂确定为X₂处的修正量。Y₂这一已用常规方法确定的修正量可以通过举例来说明其应用。这一数值在本技术领域的一般文献（标有＊者）中都有举例说明。点P₁（X₁，Y₁）假定为图2中的点P₁₁（X₁₁，Y₁₁）。在图2中，乃是固定点的X₁定位于原点O和终止点R之间的中点。通常，这样一个固定点可以定位在原点O和X₂之间的任一位置。但是，为了更明了这一固定点的变动的表述，假定它至原点O的距离为原点O和X₂之间的距离的四分之三。另一方面，Y₁表示从作用线（X轴）上的X₁至将X₁投影到有用一渐开线得到的齿廓的齿轮上得到的那一点的修正量。Y₁是作为一个变量来替换。

在X₂、Y₂和X₁这样确定了之后，将Y₁的数值假定为约为Y₂的一半。这样，就可从上述方程式（2）确定n，再把确定的n代入（1）式就可确定m。于是可以确定（3）式的修正曲线Y＝mxⁿ。将一修正值与齿廓的渐开线相组合，就可以设计和形成合成齿廓。就是说，将修正曲线和渐开线之间的不相符的量从至少一个齿轮上垂直于齿面地剔除，以此来形成齿廓。在这一情况中，齿廓是通过剔削第一齿轮的齿面成形的，没有剔削第二齿轮。

尽管上述已将Y₁仅假定为一个数值，但可类似地将Y₁假定为在接近上面所得到的Y₂之约一半的中央处的不只一个数值。相应地，可以确定由（3）式Y＝mxⁿ表达的几条修正曲线，可以用各不同修正曲线与渐开线的组合来设计不同形状的齿廓。

根据方程式（1）～（3）这样确定的第一齿廓都可以应用于至少一个齿轮的原始齿廓。根据这样得到的具有不同齿廓的齿轮偶件，可以计算齿轮7和8各自的载荷分布率（载荷F）。一对齿轮应选择成其载荷分布率包括上升的曲线9a（10a）和下降的曲线9c（10c），构成图3所示的像凸台一样的形状，这一点下面还将描述。

参阅图3，曲线9示出了齿轮7和8的相互啮合的齿的靠近退出侧（图22的啮合点Q₁₁～Q₁₄）的载荷分布率。曲线9开始时沿着上升的曲线9a上升，然后变成沿着表示最大载荷分布率的直线9b的定值，最后沿下降的曲线9c下降。曲线10示出了齿轮7和8的相互啮合的齿的靠近进入侧（图22中的啮合点Q₂₂～Q₂₅）的载荷分布率。曲线10开始时从曲线9的最大载荷区的结束点沿上升的曲线10a上升，然后从曲线9的载荷分布率为零的点开始变成沿着表示最大载荷分布率的直线10b的定值，最后沿着下降的曲线10c下降。曲线10也被成形为一凸台的形状。

齿轮7和8的载荷分布率就是这样确定的。然后，对分配给每一齿轮的载荷F与啮合接触表面的相对滑动速度V的乘积F·V进行计算。相对于比如齿轮7的啮合点的位移的乘积F·V如图4中的F·V曲线11所示。F·V曲线11包括从齿轮7和齿轮8开始啮合的起始点P开始到啮合节点O的第一曲线11a和从啮合节点O开始到齿轮7和齿轮8结束啮合的终止点R的第二曲线11b。曲线11表明，在齿轮7的最大载荷开始下降那一点之后载荷F和相对滑动速度V之乘积F·V变成小于上述那点处的相对滑动速度V和最大载荷之乘积。这是由于曲线9（10）的沿着曲线9a（10a）上升和沿着曲线9b（10b）下降的构形，曲线9a（10a）和9b（10b）都被构形为凸台的形状。

为了降低乘积F·V的峰值，从图4可以看出，应该使靠近较高的齿面接触相对滑动速度V的载荷F以一种像凸台一样的曲线向下降低。在图4中，以节点O为界，靠近R点的相对滑动速度V高于靠近P点的这一速度，因此，靠近R点的曲线9C以一种像凸台的形状向下降低。这与普通齿轮所表现出的乘积F·V不同，普通齿轮中它是以凸台形状向上上升表现为一线性曲线，如图23所示。

能满足乘积F·V的峰值为最小这一条件的修正曲线W需要用计算机来计算，以便能确定齿廓，供以降低齿面上生成的局部摩擦热的量。

对按常规的修正齿廓的方法得到的齿轮和按本发明的方法得到的齿轮的乘积F·V的最大值进行了比较。例如，在将两个齿轮的最大载荷设定为相等时，按常规修正方法的齿轮的乘积F·V是大约18，000kgf·m/sec，而按照本发明的修正方法的齿轮的F·V约为12，500kgf·m/sec，仅相当于按常规方法的数值的约70%。

图5示出了按本发明的齿廓修正量和按常规方法的齿廓修正量的比较。图5给出了从两齿轮开始相互啮合的接触起始点P开始经过啮合节点O到开始脱离接触的啮合终止点R的相对于作用线的修正量。常规齿廓的修正量以D₁和D₂表示，而本发明的修正量以E₁和E₂表示。

现在来看从动齿轮的角速度变化的一个例子，假定齿轮7是主动齿轮，齿轮8是从动齿轮。图6示出了当主动齿轮7以稳速转动时从动齿轮8的角速度的变化。换句话说，图6表示出了由于转动滞后产生的时间变化曲线。水平轴表示从接触起始点P开始到接触终止点R的作用线（啮合长度）的比值，而垂直轴表示传动转角（弧度）的变化量。T是指普通的齿轮偶件，而S是指本发明的齿轮偶件。

图6清楚地表明，本发明的齿轮偶件可以进行比普通齿轮偶件平稳的转动力传递。

第二实施例

两齿轮在图22B中所示的Q₂₂点开始相互啮合并在图22D中所示的Q₁₄点结束啮合。在这一情况中，一种不适当的齿廓修正造成了当两齿轮开始相互啮合时发生于齿面的突然碰撞，这将因此而产生大量的摩擦热和振动。

所以，为了避免齿轮初始啮合状态的碰撞，应该对齿廓进行这样的修正，即，使传递载荷是逐渐地增大，直至仅一对齿如图22E之Q₂₅所示那样相互啮合，发生于齿轮的振动就可降低。

图7示出了按照第二实施例的齿轮的啮合状态。图8示出了图7所示之齿的挠偏特性。更具体地说，图8表示出了在齿廓是第一实施例中的方程式（1）、（2）和（3）修正时齿的挠偏特性，因此，相互啮合的齿的载荷和挠偏量都是逐渐地而不是突然地增加的。

在图7和8中，第一齿轮18是用由下述第六齿廓修正曲线和渐开线的一种组合得到的齿廓成形影响。第一齿轮18构造成与第二齿轮8相互啮合。第一齿轮18的齿顶和齿根部分都修正了，如涂黑的部分所示。

特性线19表示第一齿轮18的齿的挠偏，并且表明挠偏量由于齿从齿根部分开始啮合而缓慢增加，同时挠偏量由于齿的啮合在齿顶部分结束而降低。特性线20表示第二齿轮8的齿的挠偏，并且表明挠偏置由于齿是从齿顶部分开始啮合而急剧增大以及由于齿在齿根部分结束啮合而缓慢降低。特性线21是用第一齿轮18的挠偏量和第二齿轮8的挠偏量的组合得出的。标号22表示一条理想的由I₁、I₂和I₃构成的齿廓修正曲线，并且以其对齿轮8和18中的至少一个进行修正，使第二齿轮8由于齿轮8和18的挠偏产生的转动滞后可以得到补偿，从而使第二齿轮8的转动接近等速。

图9示出了按照第二实施例用方程式（1）、（2）和（3）得到的一修正曲线，用以使由于齿面滑动产生的摩擦热的峰值可为最小。参阅图9，标号23表示用于降低在一对齿之间的接触区域作用在啮合的齿上的载荷F和相对滑动速度V之乘积F·V的峰值的第一齿廓修正曲线。第一修正曲线23由对应于进入侧的曲线23a和对应于退出侧的曲线23b构成。在图7所示的例子中，进入侧靠近齿轮18的齿根部分，而退出侧靠近齿轮18的齿顶部分。

图10示出了相对于齿轮的作用线（啮合长度）的作用在齿上的载荷F、相对滑动速度V和两者的乘积F·V。参阅图10，齿轮18的齿的F·V曲线24是由开始于与齿轮8的齿的啮合起始点P结束于节点O的第一曲线24a和开始于节点O结束于齿轮8的啮合终止点R的第二曲线24b构成的。第一齿廓修正曲线构造成这样的，即，要使在最大载荷开始下降那一点之后载荷F和相对滑动速度V之乘积F·V小于上述点处的相对滑动速度和最大载荷的乘积。

图11示出了表示由用图9所示之第一齿廓修正曲线23修正的齿廓成形的齿轮的振动振幅曲线。图11表明，靠近进入侧的齿轮振幅比靠近退出侧的齿轮振幅大得多。

其次，根据方程式（1）～（3）的计算设计的每一对齿轮的振幅曲线都描绘如图11所示。在这些振幅曲线中，应借助计算机选择出一条表现出扭转振动为最小的振幅曲线。

图12示出了第二实施例的根据方程式（1）、（2）和（3）的齿廓修正量，旨在用以可使扭转振动为最小。图12中，齿廓修正曲线26由对应于靠近进行侧的作用线的曲线26a和对应于靠近退出侧的作用线的曲线26b构成。

图13示出了在齿轮的齿廓按照图12所示的第二齿廓修正曲线26修正时得到的乘积F·V。图13中，齿轮18的齿的F·V曲线27由从与齿轮8的啮合起始点P到节点O的第一曲线27a和从节点O到啮合终止点R的第二曲线27b构成。曲线90表示啮合着的齿的靠近退出侧（由图22的点Q₁₁-Q₁₄表示）的载荷分布率。曲线90开始时沿上升的曲线90a上升，然后变成沿着表示最大载荷分布率的直线90b的定值，最后沿下降的曲线90C下降。这样，曲线90就被成形为凸台形。

图14示出了表示齿轮的振动的振幅曲线28，该齿轮是通过按照图12中所示的第二齿廓修正曲线26修正齿廓而得到的。从图14可以看出，齿轮的靠近进入侧和靠近退出侧的振幅都被降低了。将图10中的曲线9C和图13中的曲线90C加以比较，可以理解到，是曲线9C的过分急剧以一种像台凸一样的形状的下降引起了振动的增大。

图15示出一种用于确定可用以降低摩擦热峰值和扭转振动的齿廓修正曲线的方法。

参阅图15，如图9所示，第一齿廓修正曲线23表示用之可使由齿面滑动产生的摩擦热峰值为最小的齿廓修正量。

而且，如图12所示，第二齿廓修正曲线26表示用之可使由齿轮啮合产生的扭转振动为最小的齿廓修正量。

第一和第二齿廓修正曲线23和26描绘在同一平面座标上。

第三齿廓修正曲线29表示第一修正曲线23和第二修正曲线26的平均值。第四齿廓修正曲线30是这样描绘的，即，它在第一和第二修正曲线23和26之间的最大间距处亦即点23a和点26a之间的间距处从外面接触于第一修正曲线23的23a点，并且第四修正曲线30平行于第三修正曲线29，也就是，第四修正曲线30和第三修正曲线29的间距始终是相同的。第五齿廓修正曲线31是这样描绘的，即，它在点26a处从里面接触第二修正曲线26，并且第五修正曲线31平行于第三修正曲线29，即，第五修正曲线31和第三修正曲线29的间距始终是相同的。

至少对一个齿轮的齿廓进行修正，以便有一条通过在已得到的第四和第五修正曲线30和31之间在X轴上将每一齿轮的各修正量组合相加而得到的第六齿廓修正曲线（未示），用以使摩擦热峰值为最小和降低扭转振动。

为抑制摩擦热峰值，第六修正曲线应近似于第一修正曲线23。相反，为抑制扭转振动，第六修正曲线应近似于第二修正曲线26。

应注意到，第一和第二修正曲线23和26都略微偏离图8中所示的理想修正曲线22。这是由于为便于进行计算机辅助最佳设计而应用了上述近似表达式（3）。但是，这种偏离仅为几个μm，甚至更小，不存在任何实质性的影响。

第三实施例

图16示出了按照用方程式（3）得到的修正曲线仅对齿轮12和13的齿顶部分进行的齿廓修正，齿顶部分修正到邻近齿轮12和13的节圆d₁和d₂。在这一情况中，也可以得到类似于第一和第二实施例中得到的优点。更特别的是，在这一实施例中，图7所示的第一齿轮7的齿根部分的修正量被分配给图16所示的第二齿轮13的齿顶部分，同时，齿轮7的齿顶部分的修正量被分配给第一齿轮12的齿顶部分。仅对第一齿轮进行的修正量这样被分给了第一和第二齿轮。两种情况都可以得到类似的优点。

第四实施例

图17示出了按照用方程式（3）得到的修正曲线仅对齿轮14和15的齿根部分进行的齿廓修正，齿根部分修正到邻近齿轮14和15的节圆d₁和d₂。也可以得到类似于上述各实施例中得到的优点。

第五实施例

图18示出了这样进行的齿轮修正，即，对齿轮16和17的齿顶和齿根部分进行的各修正量之和（即，两齿轮的综合修正量）可以用由方程式（3）得到的修正量来表示，齿顶和齿根部分都修正到邻近齿轮16和17的节圆d₁和d₂。也可以得到类似于上述各实施例中得到的优点。

Claims (19)

1、一种包括一第一齿轮和一第二齿轮的齿轮偶件，每一齿轮有一由渐开线形成的齿廓，每一齿廓是这样形成的，即，对至少所述齿廓之一根据用一修正曲线得到的修正量进行修正，并且使所述第一和第二齿轮的综合修正量等于用所述修正线得到的所述修正量，所述修正曲线由下述方程式(3)表达，方程式(3)中的m和n分别由下列方程式(1)和(2)确定，所述三个方程式都在由一X轴、一座标原点和与所述X轴相交于所述座标原点的一Y轴构成的平面座标内，所述X轴是表示当所述第一齿轮将一个力传递给所述第二齿轮时一相互啮合点的移动轨迹的作用线，所述座标原点是所述X轴与所述第一和第二齿轮的啮合节圆的交点，所述方程式(1)和(2)通过点P₁(X₁，Y₁)和点P₂(X₂，Y₂)并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在所述原点满足条件Y=0，dy/dx=0。

m= (Y1)/(X12) = (Y2)/(X2n) (1)

$n=\frac{1\mathrm{oge}\frac{Y_2}{Y_1}}{1o{g}_{e}g\frac{X_2}{X_1}}---\left(2\right)$

Y=mxⁿ(3)。

2、如权利要求1所述的齿轮偶件，其特征在于，作用在所述两齿轮的啮合着的齿上的载荷的一上升曲线是以一种像凸台一样的形状向上升以及一下降的曲线是以一种像凸台一样的形状向下降。

3、如权利要求1所述的齿轮偶件，其特征在于，作用在所述两齿轮的啮合着的齿上的载荷的上升的曲线和下降的曲线中的靠近所述齿的接触表面上较高相对滑动速度的那一曲线以一种像凸台一样的形状向下降低。

4、如权利要求1所述的齿轮偶件，其特征在于，在最大载荷开始降低那一点之后，由于齿轮啮合产生的载荷与相对滑动速度的乘积小于在所述点的相对滑动速度和最大载荷的乘积。

5、如权利要求1所述的齿轮偶件，其特征在于，用所述渐开线和所述修正曲线的一种组合得到的所述修正齿廓仅成形于邻近所述齿轮之节圆的齿顶部分。

6、如权利要求1所述的齿轮偶件，其特征在于，用所述渐开线和所述修正曲线的一种组合得到的所述修正齿廓仅成形于所述齿轮的邻近于所述齿轮之节圆的齿根部分。

7、如权利要求1所述的齿轮偶件，其特征在于，所述齿轮的所述齿廓是这样修正成形的，即，所述第一和第二齿轮的综合修正量成为等于用所述修正曲线得到的修正量。

8、一种包括一第一齿轮和一第二齿轮的齿轮偶件，每一齿轮有一由一渐开线形成的齿廓，对所述齿廓中的至少一个齿廓进行修正，以便有一第六修正曲线，所述第六修正曲线是用一些修正曲线得到的，这些修正曲线包括：

根据下述方程式（3）计算的第一和第二齿廓修正曲线，方程式（3）中的m和n分别用下列方程式（1）和（2）确定，所述三个方程式都在由一X轴、一座标原点和与所述X轴相交于所述座标原点的一Y轴构成的平面座标内，所述X轴是表示当所述第一齿轮将一个力传递给所述第二齿轮时一相互啮合点的移动轨迹的作用线，所述座标原点是所述X轴与所述第一和第二齿轮的啮合节圆的交点，所述方程式（1）和（2）通过点P₁（X₁，Y₁）和点P₂（X₁，Y₂）并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在所述座标原点满足条件Y＝0，dy/dx＝0，所述第一齿廓修正曲线被用以使在最大载荷开始降低那一点之后由齿轮啮合产生的载荷与相对滑动速度的乘积小于在所述点的相对滑动速度与最大载荷的乘积，所述第二齿廓修正曲线被用以使由齿轮啮合引起的振动为最小，所述第一和第二修正曲线都描绘在所述平面座标上;

描绘在所述第一和第二修正曲线之间的表示两者之平均值的一第三齿廓修正曲线;以及

这样描绘的一第四齿廓修正曲线，即，它在所述第一和第二修正曲线之间的最大间距处从外面接触所述第一修正曲线，以及一这样描绘的第五齿廓修正曲线，即，它从里面接触所述第二修正曲线，所述第四和第五修正曲线分别与所述第三修正曲线始终保持相同的间距，所述第六修正曲线是在所述第四和第五修正曲线之间，并且是通过把所述每一齿轮的修正量组合相加在所述X轴上得到的。

m= (Y₁)/(X₁ ⁿ) = (Y₂)/(X₂ ⁿ) (1)

$n=\frac{1\mathrm{oge}\frac{Y_2}{Y_1}}{1o{g}_{e}g\frac{X_2}{X_1}}---\left(2\right)$

Y＝mxⁿ（3）

9、如权利要求8所述的齿轮偶件，其特征在于，作用在所述两齿轮的啮合着的齿上的载荷的一上升的曲线是以一种像凸台一样的形状向上升以及其一下降的曲线是以一种像凸台一样的形状向下降。

10、如权利要求8所述的齿轮偶件，其特征在于，作用在所述两齿轮的啮合着的齿上的载荷的上升的曲线和下降的曲线中的靠近所述齿轮的接触表面上较高相对滑动速度的那一曲线以一种像凸台一样的形状向下降。

11、如权利要求8所述的齿轮偶件，其特征在于，在最大载荷开始降低那一点之后，由齿轮啮合产生的载荷与相对滑动速度的乘积小于在所述点的相对滑动速度与最大载荷的乘积。

12、如权利要求8所述的齿轮偶件，其特征在于，用所述渐开线和所述第六修正曲线的一种组合得到的所述修正齿廓仅成形于邻近所述两齿轮之节圆的齿顶部分。

13、如权利要求8所述的齿轮偶件，其特征在于，用所述渐开线和所述第六修正曲线的一种组合得到的所述修正齿廓仅成形于邻近所述两齿轮之节圆的齿根部分。

14、如权利要求8所述的齿轮偶件，其特征在于，所述两齿轮的所述齿廓是被修正的。

15、一种用于生产包括一第一齿轮和一第二齿轮的那种型式的齿轮偶件的方法，每一齿轮都有一种由渐开线形成的齿廓，每一齿廓都是这样成形的，即，至少所述齿廓之一是根据用一修正曲线得到的一修正量进行修正的，并且所述第一齿轮和第二齿轮的综合修正量成为等于由所述修正曲线得到的所述修正量，所述修正曲线由下述方程式（3）表达，方程式（3）中的m和n分别由下列方程式（1）和（2）确定，所述三个方程式都在由一X轴、一座标原点和与所述X轴相交于所述座标原点的一Y轴构成的平面座标内，所述X轴是表示当所述第一齿轮将一个力传递给所述第二齿轮时一相互啮合点的移动轨迹的作用线，所述座标原点是所述X轴与所述第一和第二齿轮的啮合节圆的交点，所述方程式（1）和（2）通过点P₁（X₁，Y₁）和点P₂（X₂，Y₂）并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在所述座标原点满足条件Y＝0，dy/dx＝0。

m= (Y₁)/(X₁ ⁿ) = (Y₂)/(X₂ ⁿ) (1)

$n=\frac{1\mathrm{oge}\frac{Y_2}{Y_1}}{1o{g}_{e}g\frac{X_2}{X_1}}---\left(2\right)$

Y=mxⁿ(3)。

16、一种用于生产包括一第一齿轮和一第二齿轮的那种型式的齿轮偶件的方法，每一齿轮有一种由渐开线形成的齿廓，每一齿廓是这样成形的，即，至少所述齿廓之一是根据用一修正曲线得到的一修正量进行修正的，并且所述第一齿轮和第二齿轮的综合修理量等于由所述修正曲线得到的所述修正量，所述修正曲线是这样根据下述方程式（3）计算的，即，使一上升的曲线以一种像凸台一样的形状上升以及使一下降的曲线以一种像凸台一样的形状下降，所述上升和下降曲线表示作用在啮合着的齿上的载荷，所述方程式（3）中的m和n分别由下列方程式（1）和（2）来确定，所述三个方程式都在由一X轴、一座标原点和与所述X轴相交于所述座标原点的一Y轴构成的平面座标内，所述X轴是表示当所述第一齿轮将一个力传递给所述第二齿轮时一相互啮合点的移动轨迹的作用线，所述座标原点是所述X轴与所述第一和第二齿轮的啮合节圆的交点，所述方程式（1）和（2）通过点P₁（X₁，Y₁）和点P₂（X₂，Y₂）并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在所述座标原点满足条件Y＝0，dy/dx＝0。

m= (Y₁)/(X₁ ⁿ) = (Y₂)/(X₂ ⁿ) (1)

$n=\frac{1\mathrm{oge}\frac{Y_2}{Y_1}}{1o{g}_{e}g\frac{X_2}{X_1}}---\left(2\right)$

Y=mxⁿ(3)。

17、一种用于生产包括一第一齿轮和一第二齿轮的那种型式的齿轮偶件的方法，每一齿轮有一种由渐开线形成的齿廓，每一齿廓是这样成形的，即，至少所述齿廓之一是根据用一修正曲线得到的一修正量进行修正的，并且所述第一齿轮和第二齿轮的综合修正量等于由所述修正曲线得到的所述修正量，所述修正曲线是这样地根据下述方程式（3）计算的，即，一上升的曲线和一下降的曲线中靠近较高齿面接触相对滑动速度的那一曲线是以一种像凸台一样的形状向下降，所述上升的和下降的曲线表示作用在所述齿轮的啮合着的齿上的载荷，所述方程式（3）中的m和n分别由下列方程式（1）和（2）来确定，所述三个方程式都在由一X轴、一座标原点和与所述X轴相交于所述座标原点的一Y轴构成的平面座标内，所述X轴是表示当所述第一齿轮将一个力传递给所述第二齿轮时一相互啮合点的移动轨迹的作用线，所述座标原点是所述X轴与所述第一和第二齿轮的啮合节圆的交点，所述方程式（1）和（2）通过点P₁（X₁，Y₁）和点P₂（X₂，Y₂）并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在所述座标原点满足条件Y＝0，dy/dx＝0。

m= (Y₁)/(X₁ ⁿ) = (Y₂)/(X₂ ⁿ) (1)

$n=\frac{1\mathrm{oge}\frac{Y_2}{Y_1}}{1o{g}_{e}g\frac{X_2}{X_1}}---\left(2\right)$

Y=mxⁿ(3)。

18、一种用于生产包括一第一齿轮和一第二齿轮的那种型式的齿轮偶件的方法，每一齿轮有一种渐开线齿廓，每一齿廓是这样成形的，即，至少所述齿廓之一是根据用一修正曲线得到的一修正量进行修正的，并且所述第一齿轮和第二齿轮的综合修正量等于由所述曲线得到的所述修正量，所述修正曲线是根据下述方程式（3）计算的，即，使在最大载荷开始下降那一点作用在齿轮啮合处的载荷与相对滑动速度的乘积小于所述点处相对滑动速度与最大载荷的乘积，所述方程式（3）中的m和n分别由下列方程式（1）和（2）来确定，所述三个方程式都在由一X轴、一座标原点和原所述X轴相交于所述座标原点的一Y轴构成的平面座标内，所述X轴是表示当所述第一齿轮将一个力传递给所述第二齿轮时一相互啮合点的移动轨迹的作用线，所述座标原点是所述X轴与所述第一和第二齿轮的啮合节圆的交点，所述方程式（1）和（2）通过点P₁（X₁，Y₁）和点P₂（X₂，Y₂）并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在所述座标原点满足条件Y＝0，dy/dx＝0。

m= (Y₁)/(X₁ ⁿ) = (Y₂)/(X₂ ⁿ) (1)

$n=\frac{1\mathrm{oge}\frac{Y_2}{Y_1}}{1o{g}_{e}g\frac{X_2}{X_1}}---\left(2\right)$

Y=mxⁿ(3)。

19、一种用于生产包括一第一齿轮和一第二齿轮的那种型式的齿轮偶件的方法，每一齿轮有一种由渐开线形成的齿廓，至少所述齿廓之一被修正，以便有一第六修正曲线，所述第六修正曲线是用下列修正曲线得到的，这些修正曲线包括：

根据下述方程式（3）计算的第一和第二齿廓修正曲线，方程式（3）中的m和n分别由下列方程式（1）和（2）来确定，所述三个方程式都在由一X轴、一座标原点和与所述X轴相交于所述座标原点的一Y轴构成的平面座标内，所述X轴是表示当所述第一齿轮将一个力传递给所述第二齿轮时一相互啮合点的移动轨迹的作用线，所述座标原点是所述X轴与所述第一和第二齿轮的啮合节圆的交点，所述方程式（1）和（2）通过点P₁（X₁，Y₁）和P₂（X₁，Y₂）并且在X₁＜X₂和Y₁＜Y₂时在所述座标原点满足条件Y＝0，dy/dx＝0，所述第一齿廓修正曲线被用以使在最大载荷开始下降那一点之后由于齿轮啮合产生的载荷与相对滑动速度的乘积小于在所述点相对滑动速度与最大载荷的乘积，所述第二齿廓修正曲线被用以使由齿轮啮合引起的振动为最小，所述第一和第二修正曲线都描绘在所述平面座标上;

描绘在所述第一和第二修正曲线之间的表示两者之平均值的一第三齿廓修正曲线;以及

这样描绘的一第四齿廓修正曲线，即，它在所述第一和第二修正曲线之间的最大间距处从外面接触所述第一修正曲线，以及这样描绘的一第五齿廓修正曲线，即，它从里面接触所述第二修正曲线，所述第四和第五修正曲线分别与所述第三修正曲线始终保持相同的间距，所述第六修正曲线是在所述第四和第五修正曲线之间，并且是通过把所述第一齿轮的修正量组合相加在所述X轴上得到的。

m= (Y₁)/(X₁ ⁿ) = (Y₂)/(X₂ ⁿ) (1)

$n=\frac{1\mathrm{oge}\frac{Y_2}{Y_1}}{1o{g}_{e}g\frac{X_2}{X_1}}---\left(2\right)$

Y=mxⁿ(3)。

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