CN110456632B - 一种针对不确定性pid控制系统的时变可靠度评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法。该方法针对含区间不确定变量PID闭环控制系统，结合闭环响应区间，计算时变可靠度并进行可靠性评估。该方法首先通过优化算法确定控制力幅值最小时确定性系统的最佳的PID参数，之后利用子区间方法计算考虑区间不确定性变量的闭环响应区间，最后结合首次穿越理论计算时变可靠度，从而进行可靠性评估。

Description

一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法

技术领域

本发明涉及振动控制及可靠性评估技术领域，具体涉及一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法

背景技术

在结构设计的过程中，尤其是航空航天结构的设计，振动是不可忽略的一个问题。过大的振动会导致一系列问题，严重的振动可以导致结构可靠性下降甚至破坏。单纯依靠传统的被动减振方法，例如增大构件尺寸、采用新型材料等，一方面会增加结构重量，而这在航空航天结构的设计中是不允许的；另一方面，被动控制适用于高频振动的控制，但对于低频振动的控制很难达到预期效果，而低频振动在航空航天结构中普遍存在。所以，结构振动控制这种主动的减振设计备受重视，而且随着计算机技术和测控技术的发展，振动主动控制有了很大的发展。

振动主动控制中，控制方法的选取尤为重要。在现代控制理论领域，已有许多成熟的控制方法。例如极点配置、最优控制、鲁棒控制等。PID控制由于具有原理简单、使用方便、鲁棒性强等优点，而广泛应用于工程中。

在实际工程的控制系统中，由于各种不确定性的存在，得到的控制系统存在误差。基于确定性系统的主动控制在应用到不确定性系统时，有可能会失效。故在实际控制问题中必须考虑不确定性的影响。鲁棒控制思想可以减小系统对外界干扰的敏感性。理论和工程实践都能证明鲁棒控制在设计不确定性系统控制器的有效性。然而鲁棒控制需要选取合适的加权函数以包络不确定性信息，这不仅需要一定经验，而且在一般情况下，为了确保系统能够达到正常的控制效果，鲁棒控制器都会设计的比较保守，这就导致较大控制力或者能量消耗。为了减少这种控制系统的保守性，可以引入可靠性的概念。

可靠性是工程中处理不确定性问题的另一种思路，广泛应用于结构强度问题的分析。近些年，已经有学者将可靠性分析应用于结构主动控制系统。通过利用蒙特卡罗方法，成功解决了一部分的主动控制系统可靠性分析，但是蒙特卡罗方法计算资源巨大，在应用到实际时存在效率问题。利用概率方法、结合首次穿越率理论的主动控制系统的随机可靠性设计方法已被提出。以上可靠性分析均是基于经典概率理论，但是实际情况中，由于受到样本数量和成本等限制，上述分析将不再适用。

为此，非概率可靠性的理论与方法被提出，理论认为若系统允许其中的不确定参数在给定范围内波动，则系统是可靠的。以此为基础，国内学者开展了相关的研究工作，例如将概率可靠性方法同区间算法相结合，提出了非概率可靠性度量指标；通过区间变量描述结构不确定参数，计算了基于区间分析的结构非概率可靠性，以此标度量结构安全程度；基于响应面方法进行了区间和概率混合可靠性分析；通过提出了基于区间模型和凸模型理论的结构非概率可靠度的概念，将结构安全域和基本区间变量域的体积之比作为结构非概率可靠性度量，并应用于实际工程中。

上述分析均是基于时不变模型进行分析，而实际中的响应是时变的，可靠度也会随着时间改变。时变可靠性建立在时不变可靠性的基础之上，结合系统可靠度和首次穿越思想，提出了计算时变可靠度的通用公式；将集合理论中的凸模型方法和经典的首次穿越理论结合，构建了时变结构安全性评估的非概率度量模型，定义安全性指标，并对其精确求解。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：本发明提供了一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法。该方法针对含区间不确定变量PID闭环控制系统，结合闭环响应区间，计算时变可靠度并进行可靠性评估。该方法可以用于存在不确定性参数并且关于不确定参数信息较少的PID闭环系统，并且考虑到可靠度随着时间的改变。

本发明采用的技术方案为：一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法，该方法主要包括如下步骤：

第一步：根据实际工程系统建立对应的状态空间表达式或者传递函数。对于PID参数的整定，以确定性系统闭环响应的位移许用值作为约束，以控制力幅值J＝F_max-F_min最小作为优化指标，得到确定性系统的最佳PID增益K_C＝[K_P K_I K_D]。

find K_P,K_I,K_D

min J＝F_max-F_min

s.t.max(|y_max|,|y_min|)＜y^cr

0≤K_P≤K_Pmax

0≤K_I≤K_Imax

0≤K_D≤K_Dmax

其中F_max和F_min分别为考虑正负情况下控制力的最大值和最小值，y^cr为闭环响应的位移许用值y^cr，y_max和y_min分别为实际闭环响应的位移最大值和最小值；K_P、K_I、K_D分别比例增益、积分增益和微分增益，K_Pmax、K_Imax、K_Dmax分别为预先设定的对应比例增益、积分增益和微分增益增益范围的最大值。

第二步：

设含PID闭环控制的增广状态空间方程为：

其中：

其中t为时间，u(t)为施加的控制力，f(t)为扰动外载荷，z(t)为状态向量，

为状态向量对时间的导数，y(t)为输出向量。A为状态传递矩阵，B和E分别为控制力和扰动外载荷的输入矩阵，C为输出矩阵。K_C＝[K_P K_I K_D]为PID增益矩阵，其中K_P、K_I、K_D分别为比例增益、积分增益和微分增益。

设状态空间存在l个不确定参数b＝[b₁ b₂…b_l]，用区间数学可以描述为：

其中b_j为不确定区间变量，b_j 和

分别为不确定变量b_j的下界和上界。

即：

其中

和Δb_j分别为不确定参数

的中心值和区间半径。

利用子区间方法，将不确定参数

的区间

平均分成s个子区间，

和Δb_j分别为不确定参数

的中心值和区间半径；故对每个不确定参数

随机选取一个对应的子区间，一共可以选出子区间组合的数量为s^l。

对于第i个子区间组合(i＝1,2…s^l)，利用一阶泰勒展开可以求得响应下界

和响应上界

为：

其中z_i(b)和C_i(b)分别表示第i个子区间组合下的状态向量和输出矩阵。通过上述公式，在求得不确定参数取中心值的响应之后，可以以此求得响应上下界。

对每个不确定参数分别选取第k₁,k₂...k_l个子区间，可以得到该组区间参数组合下对应的响应，综合考虑所有子区间组合求得的响应，可以求得：

第三步：结合首次穿越理论(假设失效的原因是其时程响应在一个微小时间段内超过许用值，也称发生了“穿越”)，计算时变可靠度并进行可靠性评估。其中，时变可靠度R_s(T)按如下的方式建立：设含区间不确定变量的闭环系统在第i个相邻时刻t₁和t₂的响应区间为

和

闭环响应的位移许用值为

其中

和

分别为对应于增广状态向量中z(t₁,K_C,b)和

的许用值。

结构振动控制系统的失效可定义为其控后响应的幅值大于许用值，据此可定义闭环系统在t₁～t₂时间段内的极限状态函数，即：

其中g(t,b)≥0则闭环控制系统可靠，否则系统失效。于是，就可以定义[0,T]时间段内的非概率时变可靠度为：

其中Pos{}表示事件的可能性，R_s(T)即系统失效的可能性。

将在进行时间离散后的相邻时刻内响应区间进行标准化，结合首次穿越理论，穿越率可以表示为：

穿越概率Pos{g(kΔt,b)＞0∩g((k+1)Δt,b)}可以表示为图3所示的干涉阴影面积与总面积的比值，由此进行时变可靠度R_s(T)的计算。

其中Pos(0)为初始时刻的失效概率，N为离散的时间段总数。

其中，所述的第一步中首先根据实际工程情况，创建开环系统的状态空间表达式或者传递函数。

其中，所述的第二步中根据实际情况以及不确定变量的区间半径大小，兼顾精度和计算效率，选取合适的子区间数量，结合一阶泰勒展开进行响应区间的精确求解。

其中，所述的第三步中使用第二步中计算得到的响应区间，并结合首次穿越理论进行时变可靠度的计算。

本发明的原理在于：一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法。该方法针对含区间不确定变量PID闭环控制系统，结合闭环响应区间，计算时变可靠度并进行可靠性评估。该方法首先通过优化算法确定控制力幅值最小时确定性系统的最佳的PID参数，之后利用子区间方法计算考虑区间不确定性变量的闭环响应区间，最后结合首次穿越理论计算时变可靠度，从而进行可靠性评估。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明对系统的不确定参数概率分布信息要求低，只需知道不确定参数的区间范围，因而对样本信息的依赖性较小；

(2)本发明在求解响应区间时运用子区间方法，可以在不确定参数半径较大时，仍较为准确地求解闭环响应区间，避免单纯利用泰勒展开所造成的区间扩张；

(3)在计算可靠度时考虑时间效应，得到的可靠度随着时间变化。

附图说明

图1是本发明一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法的流程示意图；

图2是本发明在相邻时刻t₁和t₂的响应区间变量示意图。图2(a)为相邻时刻t₁和t₂的位移响应区间X(t₁,K_C,b)和X(t₂,K_C,b)变量示意图，图2(b)为相邻时刻t₁和t₂的归一化标准区间变量ξ₁和ξ₂示意图；

图3是表征相邻时刻t₁和t₂内发生首次穿越概率的标准区间可行域的示意图；

图4是实施例一中的5自由度质量弹簧系统示意图；

图5是实施例一中的响应区间、时变可靠度曲线。其中图5(a)为系统开环响应；图5(b)为当质量矩阵和刚度矩阵不确定度为5％时的闭环响应区间；图5(c)和5(d)为当质量矩阵和刚度矩阵不确定度为8％时的闭环响应区间和时变可靠度；图5(e)和5(f)为当质量矩阵和刚度矩阵不确定度为10％时的闭环响应区间和时变可靠度。

图6是实施例二中的弹性板示意图；

图7是实施例二中的响应区间、时变可靠度曲线。其中图7(a)为扰动载荷示意图；图7(b)为系统开环响应；图7(c)为施加单组PID时的响应区间；图7(d)和7(e)为施加双组PID时的闭环响应区间和时变可靠度。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，本发明为一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法，包括以下步骤：

第一步：根据实际工程系统建立对应的状态空间表达式或者传递函数，以状态空间表达式形式为例，设得到的状态空间为：

y(t)＝Cz(t)

其中t为时间，u(t)为施加的控制力，f(t)为扰动外载荷，z(t)为状态向量，

为状态向量对时间的导数，y(t)为输出向量。A为状态传递矩阵，B和E分别为控制力和扰动外载荷的输入矩阵，C为输出矩阵。

设输出反馈的PID增益为K_C＝[K_P K_I K_D]。其中K_P、K_I、K_D分别为比例增益、积分增益和微分增益。则控制力u(t)可以表示为：

状态空间可以写为：

令

则引入PID反馈之后的增广状态空间表达式为：

其中：

对于PID增益的整定，以确定性系统闭环响应的位移许用值作为约束，以控制力幅值J＝F_max-F_min最小作为优化指标，得到确定性系统的最佳PID增益K_C＝[K_P K_I K_D]。

find K_P,K_I,K_D

min J＝F_max-F_min

s.t.max(|y_max|,|y_min|)＜y^cr

0≤K_P≤K_Pmax

0≤K_I≤K_Imax

0≤K_D≤K_Dmax

其中F_max和F_min分别为考虑正负情况下控制力的最大值和最小值，y^cr为闭环响应的位移许用值。K_P、K_I、K_D分别比例增益、积分增益和微分增益，K_Pmax、K_Imax、K_Dmax分别为预先设定的对应增益范围的最大值，为避免闭环响应激剧发散从而减小优化计算量，可以通过手动调节等方法设置大致的K_Pmax、K_Imax、K_Dmax。

即在满足位移响应的绝对值小于许用值、PID增益在给定增益范围内的前提下，使得闭环控制系统的控制力幅值最小。

第二步：设状态空间存在l个不确定参数b＝[b₁ b₂…b_l]，用区间数学可以描述为：

其中b_j为不确定区间变量，b_j 和

分别为不确定变量b_j的下界和上界。

即：

其中

和Δb_j分别为不确定参数

的中心值和区间半径。

利用子区间方法，将不确定参数

的区间

平均分成s个子区间，则

的每个子区间可以表示为：

设含区间不确定变量b的PID控制增广状态空间的闭环系统响应为：

利用一阶泰勒展开可以求得的响应上下界为：

其中z_i(b)和C_i(b)分别表示第i个子区间组合下的状态向量和输出矩阵。通过上述公式，在求得不确定参数取中心值的响应之后，可以以此求得响应上下界。

一共存在l个不确定参数[b₁ b₂…b_l]，而每个不确定参数分成s个子区间，故对每个不确定参数

随机选取一个对应的子区间，一共可以选出子区间组合的数量为s^l。

对于第i个子区间组合(i＝1,2…s^l)，对每个不确定参数分别选取第k₁,k₂...k_l个子区间，可以得到该组区间参数组合下对应的响应

综合考虑所有子区间组合求得的响应，在t时刻有：

即：

第三步：结合首次穿越理论，，由此计算时变可靠度。其中，时变可靠度R_s(T)按如下的方式建立：设含区间不确定变量的闭环系统在第i个相邻时刻t₁和t₂的响应区间为

和

闭环响应的位移许用值为

其中

和

分别为对应于增广状态向量中z(t₁,K_C,b)和

的许用值。

结构振动控制系统的失效可定义为其控后响应的幅值大于许用值，据此可定义闭环系统在时间段t₁～t₂时间段内的极限状态函数，即：

其中g(t,b)≥0则闭环控制系统可靠，否则系统失效。于是，就可以定义[0,T]时间段内的非概率时变可靠度为：

其中Pos{}表示事件的可能性，R_s(T)即系统失效的可能性。

即：

将在相邻时刻t₁和t₂的不确定响应区间

和

进行标准化，如图2所示。结合首次穿越理论，失效概率可以表示为其时程响应在一个微小时间段内超过许用值，通过将时间离散为N等分，在kΔt时刻到(k+1)Δt时刻的穿越率v(t)可表示为：

令：

则相邻时间段kΔt和(k+1)Δt内的失效概率Pos{g(kΔt,b)＞0∩g((k+1)Δt,b)}可以用干涉阴影面积

与总面积

的比值表示，标准区间可行域的示意图如图3所示。

由此，时变可靠度R_s(T)可以表示为：

其中Pos(0)为初始时刻的失效概率，N为离散的时间段总数。

实施例一：

如图4所示，5自由度质量弹簧阻尼系统，仅在水平运动方向存在自由度，每个质量块质量m＝1kg，弹簧刚度k＝1000N/m，阻尼c＝1N/ms^-1。在质量块5上施加幅值为10000N的水平脉冲载荷f(t)。质量m和刚度k均有不确定性。设质量块5的水平位移响应为Y(m)。

系统开环响应如图5(a)所示。对于闭环响应的要求为：在t₀＝1s之后，质量块5的位移幅值不超过y^cr＝0.02m。优化得到J_min＝6.9773，此时K_P＝0,K_I＝0,K_D＝5.22。考虑质量矩阵和刚度矩阵存在不确定度，将不确定变量区间分为5个子区间进行计算。当质量矩阵和刚度矩阵的不确定度为5％时，闭环响应区间如图5(b)所示；当质量矩阵和刚度矩阵的不确定度为8％时，闭环响应区间和时变可靠度如图5(c)和5(d)所示；当质量矩阵和刚度矩阵的不确定度为10％时，闭环响应区间和时变可靠度如图5(e)和5(f)所示。

表1为质量矩阵和刚度矩阵的不确定度，从5％到10％，每隔1％进行一次分析，响应边界最值及时变可靠度终值R_s(T)汇总。

表1

其中y _min表示响应下界的最小值，

表示响应上界的最大值。R_s(T)为时变可靠度的终值。标注下划线的数据表示该数据超过允许值。

从以上算例结果可以看出，本发明能够在不确定参数半径较大时仍较为准确地求解出响应区间，同时计算出时变可靠度。

实施例二：

如图6所示为一10m×4m的薄板，密度为ρ＝7850kg/m³，弹性模量E＝210GPa，泊松比μ＝0.3，板厚d＝0.1m。阻尼采用瑞利阻尼C＝αM+βK，取瑞利阻尼系数α＝0.5，β＝0.0002。质量m和刚度k均有5％不确定性。现将板模型的左端两角点约束三个方向的平动自由度，右端两角点处垂直板向面内的方向施加不同的载荷作为初始扰动，扰动载荷如图7(a)所示，黑色圆形点作为观测位置。

系统开环响应如图7(b)所示。对于闭环响应的要求为：观测点的位移幅值不超过y^cr＝0.3m。分别考虑施加单组PID控制和施加双组PID控制。单组PID控制时在圆形点处施加控制力，双组PID控制时同时在圆形点和矩形点处施加控制力。

当施加单组PID控制时，K_P＝103436，K_I＝7218，K_D＝18457，响应区间如图7(c)所示。当施加双组PID控制时，K_P1＝8591，K_P2＝667，K_I1＝14098，K_I2＝158371，K_D1＝43689，K_D2＝11，闭环响应区间和时变可靠度如图7(d)和7(e)所示。

表2为单组PID控制与双组PID控制时的PID增益，以及优化约束和位移值。

表2矩形载荷下单组PID控制与双组PID控制的对比

从以上算例结果可以看出，本发明能够适应单组PID控制以及多组PID控制的情形，求解出响应区间，同时计算出时变可靠度。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于PID闭环系统基于子区间方法的闭环响应区间求解和时变可靠度计算的领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (4)

1.一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法，其特征在于：

针对含区间不确定变量PID闭环控制系统，利用子区间方法计算闭环响应区间，结合首次穿越理论计算时变可靠度，从而进行可靠性评估；该方法实现步骤如下：

第一步：根据实际工程系统建立对应的状态空间表达式或者传递函数；对于PID参数的整定，以确定性系统闭环响应的位移许用值作为约束，以控制力幅值J＝F_max-F_min最小作为优化指标，得到确定性系统的最佳PID增益K_C＝[K_P K_I K_D]；

find K_P,K_I,K_D

min J＝F_max-F_min

s.t.max(|y_max|,|y_min|)＜y^cr

0≤K_P≤K_Pmax

0≤K_I≤K_Imax

0≤K_D≤K_Dmax

其中F_max和F_min分别为考虑正负情况下控制力的最大值和最小值，y^cr为闭环响应的位移许用值；y_max和y_min分别为实际闭环响应的位移最大值和最小值；K_P、K_I、K_D分别比例增益、积分增益和微分增益，K_Pmax、K_Imax、K_Dmax分别为预先设定的对应比例增益、积分增益和微分增益增益范围的最大值；

即在满足位移响应的绝对值小于许用值、PID增益在给定增益范围内的前提下，使得闭环控制系统的控制力幅值最小；

第二步：设状态空间存在l个不确定参数[b₁ b₂ … b_l]；利用子区间方法，将不确定参数

的区间

平均分成s个子区间，其中

和Δb_j分别为不确定参数

的中心值和区间半径，故对每个不确定参数

随机选取一个对应的子区间，一共选出子区间组合的数量为s^l；

对于第i个子区间组合，其中i＝1,2…s^l，利用一阶泰勒展开求得设含区间不确定变量b的PID控制增广状态空间的闭环系统响应下界

和响应上界

其中z_i(b)和C_i(b)分别表示含区间不确定变量b的第i个子区间组合下的状态向量和输出矩阵；对每个不确定参数分别选取第k₁,k₂...k_l个子区间，得到该组区间参数组合下对应的响应，综合考虑所有子区间组合求得的响应，求得：

第三步：结合首次穿越理论，计算时变可靠度并进行可靠性评估；其中，时变可靠度R_s(T)按如下的方式建立：设含区间不确定变量的闭环系统在相邻时刻t₁和t₂的响应区间为

和

闭环响应在t_i时刻的位移许用值为

其中

和

分别为对应于增广状态向量中z(t₁,K_C,b)和

的许用值；z(τ,K_C,b)和C(τ,K_C,b)分别表示含区间不确定变量b、且考虑时间τ和PID增益K_C影响下的第i个子区间组合下的状态向量和输出矩阵；

结构振动控制系统的失效定义为其控后响应的幅值大于许用值，据此定义闭环系统在t₁～t₂时间段内的极限状态函数，即：

其中g(t,b)≥0则闭环控制系统可靠，否则系统失效；于是，定义[0,T]时间段内的非概率时变可靠度为：

其中Pos{}表示事件的可能性。

2.根据权利要求1所述的一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法，其特征在于：所述的第一步中根据实际工程情况、创建开环系统的状态空间表达式或者传递函数之后，通过优化得到确定性系统的最佳PID增益。

3.根据权利要求1所述的一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法，其特征在于：所述的第二步中根据实际情况以及不确定变量的区间半径大小，兼顾精度和计算效率，选取合适的子区间数量，结合一阶泰勒展开进行响应区间的求解。

4.根据权利要求1所述的一种针对不确定性PID控制系统的时变可靠度评估方法，其特征在于：所述的第三步中使用第二步中计算得到的响应区间，将在进行时间离散后的相邻时刻内响应区间进行标准化，并结合首次穿越理论，将在kΔt时刻到(k+1)Δt时刻的穿越概率Pos{g(kΔt,b)＞0∩g((k+1)Δt,b)}表示为干涉阴影面积

与总面积

的比值，由此进行时变可靠度的计算；

由此，时变可靠度表示为：

其中Pos(0)为初始时刻的失效概率，N为离散的时间段总数。

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