CN105676903B - 一种基于非概率可靠性优化的振动最优控制系统设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于非概率可靠性优化的振动最优控制系统设计方法，该方法首先利用变量代换的思想，将结构振动的有限元方程转换为状态空间形式，建立结构振动的状态空间控制方程。然后，提出了结构振动主动控制系统性能非概率可靠性分析理论。基于提出的非概率可靠性分析理论，对由最优控制理论得到的控制器进行可靠性优化，最终得到满足可靠性指标的闭环控制器。本发明是从可靠性的角度处理闭环控制系统的不确定性问题，可以有效地解决最优控制无法满足可靠度要求和鲁棒控制过于保守的问题。

Description

一种基于非概率可靠性优化的振动最优控制系统设计方法

技术领域

本发明涉及结构振动主动控制的技术领域，具体涉及一种基于非概率可靠性优化的最优控制加权函数选择方法。

背景技术

随着我国航空航天技术的发展，对航空航天设备结构性能的要求也越来越高。在结构静强度已经能够满足设计要求的前提下，结构振动的要求也是日趋严格。尤其是在航天领域，柔性结构低刚度、大型化成为一个重要的发展趋势。如空间可展开式天线、航天器柔性机械臂、太阳能帆板以及其支撑结构。这些柔性结构由于在太空中结构阻尼小，一旦受到扰动将产生持续的振动响应，并且需要很长的衰减时间。这些持续的结构振动会带来各种问题，比如运动精度不够、结构疲劳或者共振等问题。由于航空航天设备的高成本性，设计时要求这些结构能够在规定的时间能高精度运行，并且不能受到外界的干扰。因此需要对这些柔性结构的振动进行控制。被动控制需要增加隔振或者耗能装置来增加结构的阻尼，这种方法简单有效、易于实现、经济性好并且不需要额外的能量输入。但是这种被动控制方法对低频振动效果较差，并且由于增加了隔振或者耗能装置，结构的质量不可避免的会增加，这大大影响了航天器的性能。降低航天器结构的质量，增大有效质量是工程师的永恒追求，因此传统的被动控制已经无法满足设计要求，振动主动控制成为了目前研究的热点之一。

振动主动控制是进三十年来快速发展起来的一种振动控制方法，特别是随着智能材料的发展，振动主动控制技术越来越受到人们的关注。20世纪50年代，现代控制理论得到了重大的突破发展和创新，这也为振动主动控制提供了理论基础。振动主动控制是通过人为的引入次级控制力使结构发生次级振动与结构初始振动叠加，最终达到消除结构振动的目的。而这种人为增加的控制力是通过测量结构的振动信号，并将信号输入到控制器中，从而在控制器中输出控制力，因此控制器的设计就显得格外重要。一般地，系统的数学模型与实际系统存在着参数或结构等方面的差异，而设计的控制律大多都是基于系统的数学模型，为了保证实际系统对外界干扰、系统的不确定性等有尽可能小的敏感性，导致了系统鲁棒控制问题的研究。众多的学者在很长的一段时间内都在致力于鲁棒性这一研究，到20世纪80年代初，在很多领域也取得了很大的突破，其中最典型的就是H_∞鲁棒控制方法。但是这种方法对不确定性的估计过于保守，从而增加了系统的能量输出。对于不确定性问题，可靠性设计方法是一种有效的解决手段，可以有效解决鲁棒控制中过于保守的问题。而对于其他方法设计的闭环控制系统，有存在可靠性差的问题。本发明就是从非概率可靠性的角度出发，基于最优控制提出的一种振动主动控制方法。现有专利文献和非专利文献均无相关技术的报道。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现技术的不足，提供一种基于非概率可靠性优化的振动最优控制系统设计方法，从而提高主动控制系统的可靠性。

本发明技术解决方案：一种基于非概率可靠性优化的最优控制加权函数选择方法，首先利用状态空间模型将结构振动的有限元模型进行转换，基于转换后的状态空间模型，针对系统存在的不确定性，进行非概率分析，得到系统响应的区间范围。建立主动控制系统的可靠性指标计算方法，用非概率区间集合方法定量化模型中的各种不确定性，分析闭环控制系统的可靠性。在可靠性分析的基础之上，建立加权函数的可靠性优化模型，对加权函数进行优化，从而得到满足可靠度约束的并且使得控制力最小的控制器。最后将优化后的控制器施加到系统中，构建振动可靠控制系统。

本发明采用的技术方案为：一种基于非概率可靠性优化的振动最优控制系统设计方法，该方法步骤如下：

第一步：根据结构动力学有限元方程，建立主动控制系统的状态空间方程：

其中M是结构质量矩阵、P是结构阻尼矩阵、K为结构刚度矩阵以及B_c为控制力u的定位矩阵。x分别为结构的加速度向量、速度向量和位移向量。定义状态变量则结构动力学方程(1)可以改写为如下的状态空间形式：

即：

其中：C为提取矩阵，D通常情况为零矩阵。

第二步：利用第一步得到了主动控制系统的状态空间形式以后，下面需要进行主动控制系统的不确定性分析。由于结构参数存在不确定性，因此造成结构控制系统的状态空间模型也是不确定性的，也就是说状态空间方程(3)的参数为不确定参数，即：

这里不考虑提取矩阵C的不确定性。其中A,分别为矩阵A的下界和上界。B,分别为矩阵B的下界和上界。利用区间不确定性分析方法可以得到状态变量X的上下界，即是区间界：

第三步：在第二步中得到了闭环控制系统的状态变量的区间界，就可以利用这些区间界来对振动主动控制系统进行非概率可靠性度量。利用发明的非概率可靠性度量指标计算方法，对闭环主动控制系统进行可靠性分析。临界值为一确定的实数时，可以利用如下的计算公式进行非概率可靠度计算

其中Pos(sys)为系统的非概率可靠度。X_cri为响应的临界值，该值由设计人员和设计给定，可根据实际问题及控制要求确定。

第四步：对最优控制求解过程中的加权函数进行优化。可靠性优化模型如下所示：

其中：Q,R是最优控制中的加权函数，也是优化模型的设计变量。max(u(t))为控制输入力的最大值，用它来表示目标函数是为了在满足可靠度要求的约束下，尽量使得输出控制力最小。Pos(sys)为系统的非概率可靠度可由公式(6)求得。R_cri为设计人员要求的可靠度，为一给定值。为了满足控制输出力最小R_cri一般取为1。传统鲁棒控制这个可靠度值一般是大于1的，这就导致了系统的保守性，是得需要的控制输出力较大。

第五步：利用优化后的加权函数进行最优控制器的求解，设计闭环主动振动控制系统。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明是在非概率框架下进行，通过非概率可靠性优化得到满足可靠度设计要求的加权函数矩阵，利用该加权函数进行最优控制器设计，使得振动主动控制系统在不确定条件下能够满足控制要求。

(2)本发明提出了主动控制系统的非概率可靠性指标计算方法。该方法可以得到任意情况下的主动控制系统可靠性指标，为主动控制系统的可靠性分析提供了基础。也为更进一步的可靠控制器设计奠定了理论基础。

附图说明

图1为悬臂梁闭环控制控制示意图；

图2为未加控制器时自由端的位移变化示意图；

图3为施加控制器时自由端的位移变化示意图；

图4为控制前后系统响应的比较示意图；

图5为传统最优控制效果示意图；

图6为可靠最优控制效果示意图；

图7为传统最优控制和可靠最优控制控制力变化示意图；

图8为可靠度等于0的情况示意图；

图9为干涉情况示意图；

图10为可靠度大于1的情况示意图；

图11为两个区间数的比较示意图；

图12为本发明的实现流程图。

具体实施方式

下面将结合附图对本发明作进一步的详细说明本发明的实施方式。

本发明适用于非概率框架下的结构振动主动控制问题。在结构振动主动控制领域，往往需要面对各种不确定性问题，不确定性往往能够影响主动控制系统的控制效果，更有甚者可能破坏系统的稳定性。为了解决振动主动控制设计过程中面临的不确定性问题，本发明基于非概率可靠性优化方法对最优控制中加权函数进行优化，获得满足设计要求得控制器，最终设计出可靠最优闭环控制系统。该系统在参数存在不确定性的情况下仍然能满足设计要求，并且可以有效地避免鲁棒控制过于保守的问题。

本发明首先根据现代控制理论，推导了结构振动方程的状态空间形式，然后基于提出的主动控制系统非概率可靠性分析方法，结合状态空间方程的不确定性区间传播算法，对不确定性主动控制系统进行不确定性分析和可靠度计算。利用优化算法得到最优的加权函数，最后设计得到可靠最优控制系统，如图12所示，其实现步骤如下：

第一步：根据结构动力学有限元方程，建立主动控制系统的状态空间方程：

其中M是结构质量矩阵、P是结构阻尼矩阵、K为结构刚度矩阵以及B_c为控制力u的定位矩阵。x分别为结构的加速度向量、速度向量和位移向量。定义状态变量则结构动力学方程(1)可以改写为如下的状态空间形式：

即：

其中：C为提取矩阵，D通常情况为零矩阵。

第二步：主动控制系统的不确定性分析。由于结构参数存在不确定性，因此造成结构控制系统的状态空间模型也是不确定性的，也就是说状态空间方程(3)的参数为不确定参数，即：

这里不考虑提取矩阵C的不确定性。其中A,分别为矩阵A的下界和上界。B,分别为矩阵B的下界和上界。利用区间不确定性分析方法可以得到状态变量X的上下界，即

由于结构系统存在不确定参数由有限元分析可知被控结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵是依赖于不确定参数b的，因此状态空间方程(3)可以写为如下的形式：

假定结构的所有状态都是可测的，则可以利用状态反馈控制器对结构的动力学响应进行主动控制，即：

U＝-GX (7)

其中G为所求得控制器。

将方程(7)带入到方程(6)中就可以得到含区间参数的闭环主动控制系统：

在得到闭环控制系统的响应的区间后才能对其可靠性进行度量。为了分析闭环控制系统的可靠性，首先要明确不确定性在闭环控制系统中是如何传播的。当参数b变化时，满足方程(8)的解是有无穷多个的，这些解组成如下的响应集合

一般来说，集合Γ是一个难以得到的、非常复杂的区域，可以转为求解寻找响应集合的边界。

利用泰勒级数展开和区间扩张运算，可以得到方程(10)的近似解

其中：b^c为区间b^I的均值，Δb_j为变量b_j的半径，m为不确定变量的个数。

第三步：振动主动控制系统非概率可靠性度量。经过建立状态空间方程和不确定性分析，已经得到了闭环控制系统响应区间。利用发明的非概率可靠性度量指标计算方法，对闭环主动控制系统进行可靠性分析。临界值为一确定的实数时，可以利用如下的计算公式进行非概率可靠度计算：

其中Pos(sys)为系统的非概率可靠度。X_cri为响应的临界值。

(1)闭环主动控制系统的响应区间包含临界值时：当闭环控制系统响应量小于给定的临界值时，即闭环控制系统是安全的(可靠的)，可以定义闭环控制系统响应量小于给定的临界值的可能性度量称为闭环主动控制系统的非概率可靠度，定义为安全域面积与不确定变量所围面积之比，即，

P_s＝Prob(d＜d^cri)＝S_safe/S_total

相应的闭环主动控制系统失效的可能性度量可以定义为失效域面积与不确定变量所围面积之比，即：

P_s＝Prob(d＜d^cri)＝(S_total-S_failure)/S_total

当然如果极限状态方程含有的区间变量大于两个，则区间变量所围成的区域为长方体或超长方体，此时，非概率可靠度可以定义为安全区域的超体积与总体积的比值。当然，如果极限状态方程具有非线性的形式，这种非概率可靠度的定义方法也是适用的。当临界值为某一确定数时，非概率可靠性模型就退化成数轴上长度之比。

(2)闭环主动控制系统的响应区间不包含临界值时：此时又分为两种情况，a)临界值小于闭环主动控制系统响应的下界。此时主动控制系统的可靠度为0。b)临界值大于闭环主动控制系统响应的上界。此时主动控制系统的可靠度大于1，具体值可以利用公式(12)得到。

第四步：对最优控制求解过程中的加权函数进行优化。可靠性优化模型如下所示：

其中：Q,R是最优控制中的加权函数，也是优化模型的设计变量。max(u(t))为控制输入力的最大值，用它来表示目标函数是为了在满足可靠度要求的约束下，尽量使得输出控制力最小。Pos(sys)系统的非概率可靠度可以由公式(6)求得。R_cri为设计人员要求的可靠度，为一给定值，为了满足控制输出力最小R_cri一般取为1。传统鲁棒控制这个可靠度值一般是大于1的，这就导致了系统的保守性，是得需要的控制输出力较大。

(1)首先把加权函数Q,R进行参数化，给定初始的加权函数Q,R。

(2)在给定的加权函数下，利用最优控制理论求出最优控制器。

(3)利用求得的最优控制器设计闭环控制系统。

(4)分析闭环控制系统的可靠度，是否满足设计要求，否则返回(1)。满足则继续。

(5)计算控制器输出的控制力，是否为最优控制力(最小)，否则返回(1)。满足则继续。

(6)得到可靠最优控制器，设计可靠最优闭环控制系统。

第五步：利用优化后的加权函数进行最优控制器的求解，利用MATLAB控制工具箱就可以得到控制器，利用得到的控制器就可以构建闭环控制系统。

具体实施例如下：

考虑如图1所示的悬臂梁结构，悬臂梁在自由受到初始扰动，位移量为5mm，利用发明设计控制器，使得悬臂梁的自由度在0.05s以后最大位移小于1.1mm。驱动器位于悬臂梁的中心处，十个传感器位于悬臂梁的下面，并通过观测器对悬臂梁的所有状态都进行估计，然后传送到控制器，控制器经过运算产地电压信号施加在悬臂梁的上表面中心处。悬臂梁结构的几何尺寸和材料属性如表1所示。

表1悬臂梁结构的几何尺寸与材料属性

第一步：首先利用大型商用有限元分析软件ANSYS对悬臂梁结构进行有限元建模。利用如下的命令导出结构的质量矩阵、刚度矩阵：

/solu进入求解模块

antype,7！substructuring选择求解模块

seopt,matname,3到处结构信息

nsel,all选择所有结点

m,all,all选择所有结点为主单元

solve求解

selist,matname,3列出所有单元与结点信息

定义状态变量则结构动力学方程可以改写为如下的状态空间形式：

即：

Y＝CX+DU

其中：C为提取矩阵，D为零矩阵。

第二步：分析结构在没有施加控制力时的结构动力学响应。利用如下公式或者利用有限元分析软件都可以得到如图2所示的悬臂梁自由端的振动位移曲线。

x(t)为系统状态变量，exp为自然数e。

第三步：悬臂梁主动控制系统的不确定性分析。由于结构参数存在不确定性，因此造成结构控制系统的状态空间模型也是不确定性的，也就是说状态空间方程的参数为不确定参数，即：

本实施例定义ΔA＝A^c×5％，ΔB＝B^c×5％。这里不考虑提取矩阵C的不确定性。其中A,分别为矩阵A的下界和上界。B,分别为矩阵B的下界和上界。利用区间不确定性分析方法可以得到状态变量X的上下界，即：

由于结构系统存在不确定参数由有限元分析可知被控结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵是依赖于不确定参数b的，因此状态空间方程可以写为如下的形式：

Y(b)＝CX(b)+DU

假定结构的所有状态都是可测的，则可以利用状态反馈控制器对结构的动力学响应进行主动控制，即：

U＝-GX

其中G为所求得控制器。得到含区间参数的闭环主动控制系统：

Y(b)＝CX(b)+DU

在得到闭环控制系统的响应的区间后才能对其可靠性进行度量。为了分析闭环控制系统的可靠性，首先要明确不确定性在闭环控制系统中是如何传播的。当参数b变化时，满足方程的解是有无穷多个的，这些解组成如下的响应集合：

一般来说，集合Γ是一个难以得到的、非常复杂的区域，可以转为求解寻找响应集合的边界。

利用泰勒级数展开和区间扩张运算，可以得到方程的近似解：

其中：b^c为区间b^I的均值，Δb_j为变量b_j的半径，m为不确定变量的个数。本实施例我们首先定义Q＝0.01I_120×120,R＝1×10⁵I_1×1,其中I_120×120为120×120的单位矩阵，I_1×1为1。得到闭环控制系统。然后与本发明得到的闭环控制系统进行对比。图5给出了传统闭环控制时的响应上下界。

第四步：振动主动控制系统非概率可靠性度量。经过建模和不确定性分析，已经得到了闭环控制系统响应区间。利用发明的非概率可靠性度量指标方法，对闭环主动控制系统进行可靠性分析。临界值为一确定的实数时，可以利用如下的计算公式进行非概率可靠度计算：

其中Pos(sys)为系统的非概率可靠度。X_cri为响应的临界值。

(1)闭环主动控制系统的响应区间包含临界值时：当闭环控制系统响应量小于给定的临界值时，即闭环控制系统是安全的(可靠的)，可以定义闭环控制系统响应量小于给定的临界值的可能性度量称为闭环主动控制系统的非概率可靠度，定义为安全域面积与不确定变量所围面积之比如图9或者图11所示，即，

P_s＝Poss(d＜d^cri)＝S_safe/S_total

其中P_s为非概率可靠度，S_safe为安全域的面积，S_total不确定变量围成的总面积。d为系统的实际响应，d^cri为系统响应失效的临界值。

相应的闭环主动控制系统失效的可能性度量可以定义为失效域面积与不确定变量所围面积之比，即：

P_s＝Prob(d＜d^cri)＝(S_total-S_failure)/S_total

当然如果极限状态方程含有的区间变量大于两个，则区间变量所围成的区域为长方体或超长方体，此时，非概率可靠度可以定义为安全区域的超体积与总体积的比值。当然，如果极限状态方程具有非线性的形式，这种非概率可靠度的定义方法也是适用的。当临界值为某一确定数时，非概率可靠性模型就退化成数轴上长度之比如图9所示。

(2)闭环主动控制系统的响应区间不包含临界值时：此时又分为两种情况，a)临界值小于闭环主动控制系统响应的下界。此时主动控制系统的可靠度为0，如图8所示。b)临界值大于闭环主动控制系统响应的上界。此时主动控制系统的可靠度大于1，具体值可以利用公式得到如图10所示，其中，d假定为系统的响应输出，d^c为系统的名义值，d^cri代表设计的临界值。d和分别假定为响应的下界和上界，d ^cri和分别为临界值的下界和上界。

表2本发明与传统方法的比较

第五步：对最优控制求解过程中的加权函数进行优化如图12所示。可靠性优化模型如下所示：

findQ,R

min max(u(t))

s.t.Pos(sys)≥R_cri

其中：Q,R是最优控制中的加权函数，也是优化模型的设计变量。max(u(t))为控制输入力的最大值，用它来表示目标函数是为了在满足可靠度要求的约束下，尽量使得输出控制力最小。Pos(sys)系统的非概率可靠度可以由公式(6)求得。R_cri为设计人员要求的可靠度，为了满足控制输出力最小一般取R_cri为1。传统鲁棒控制这个可靠度值一般是大于1的，这就导致了系统的保守性，是得需要的控制输出力较大。

(1)首先把加权函数Q,R进行参数化，给定初始的加权函数Q,R。

(2)在给定的加权函数下，利用最优控制理论求出最优控制器。

(3)利用求得的最优控制器设计闭环控制系统。

(4)分析闭环控制系统的可靠度，是否满足设计要求，否则返回(1)。满足则继续。

(5)计算控制器输出的控制力，是否为最优控制力(最小)，否则返回(1)。满足则继续。

(6)得到可靠最优控制器，设计可靠最优闭环控制系统。

最后经过优化得到的加权函数为Q＝0.01I_120×120,R＝1×10⁵I_1×1，利用这组加权函数设计最优控制器，是满足可靠性要求的。

第六步：设计闭环主动振动控制系统。图3给出了控制之后的悬臂梁自由度的位移曲线，图4给出了控制前后的对比，可以看出增加控制器达到了控制结构振动的效果。图6给出了可靠最优控制器是100％可靠的，不会发生失效。传统控制器虽然均值是满足设计要求的，但是当不确定性存在时，系统的响应有1-87.12％的可能性失效。同时，图7也给出了传统控制和本发明所需要的控制力的曲线。

Claims (4)

1.一种基于非概率可靠性优化的振动最优控制系统设计方法，其特征在于步骤如下：

第一步：根据结构动力学有限元方程，建立主动控制系统的状态空间方程；

第二步：在第一步的基础上进行主动控制系统的不确定性分析，利用区间不确定性分析方法得到状态变量X的上下界，即

第三步：振动主动控制系统非概率可靠性度量，经过第一步的主动控制系统的状态空间方程和第二步的不确定性分析，得到了闭环控制系统响应区间，利用非概率可靠性度量指标的计算方法，对闭环主动控制系统进行可靠性分析，计算得到闭环主动控制系统非概率可靠度Pos(sys)；

第四步：对最优控制求解过程中的加权函数进行优化，计算得到的非概率可靠度Pos(sys)的基础上，对最优控制求解过程中的加权函数进行优化，得到优化后的加权函数Q,R；优化目标为控制输入力的最大值max(u(t))，用最大值来表示目标函数是为了在满足可靠度要求的约束下，尽量使得输出控制力最小；

第五步：利用优化后的加权函数进行最优控制器的求解，设计得到闭环主动振动控制系统；

对第四步进行控制输入力的最大值进行限定，使得控制系统的控制力最小，且闭环控制系统的可靠度最大；

所述第三步中，非概率可靠性度量指标的计算方法：

临界值为一确定的实数时，利用如下的计算公式进行非概率可靠度计算：

其中Pos(sys)为非概率可靠度，X_cri为响应的临界值；

所述第四步中对最优控制求解过程中的加权函数进行优化时，可靠性优化模型如下：

find Q,R

min max(u(t))

s.t.Pos(sys)≥R_cri

其中：Q,R是最优控制中的加权函数，也是优化模型的设计变量；max(u(t))为控制输入力的最大值，Pos(sys)为非概率可靠度；R_cri为设计人员要求的可靠度，为给定值。

2.根据权利要求1所述的基于非概率可靠性优化的振动最优控制系统设计方法，其特征在于：所述第一步主动控制系统的状态空间方程：

其中M是结构质量矩阵、P是结构阻尼矩阵、K为结构刚度矩阵以及B_c为控制力u的定位矩阵，x分别为结构的加速度向量、速度向量和位移向量，定义状态变量则状态空间方程改写为如下的状态空间形式：

即：

Y＝CX+DU

其中：C为提取矩阵，D为零矩阵。

3.根据权利要求1所述的基于非概率可靠性优化的振动最优控制系统设计方法，其特征在于：为了满足控制输出力最小，R_cri取为1。

4.根据权利要求1所述的基于非概率可靠性优化的振动最优控制系统设计方法，其特征在于：利用优化后的加权函数进行最优控制器的求解，设计得到闭环主动振动控制系统过程如下：

(1)利用第一步得到的状态空间方程，在Matlab/Simulink中建立响应的状态空间模型；

(2)根据得到加权函数利用Matlab中的最优控制箱设计得到最优控制器；

(3)在Matlab/Simulink中利用(2)中得到的最优控制器组件反馈控制系统。