CN111965975B - 一种最小化振动的智能结构动态变形控制方法 - Google Patents

一种最小化振动的智能结构动态变形控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种最小化振动的智能结构动态变形控制方法，具体包括：S1.建立智能结构变形的振动方程；S2.利用步骤S1所述振动方程，导出终端tf时刻结构指定变形的描述方程；S3.导出步骤S1中振动方程的状态空间方程；S4.设计使结构振动过程最小化的二次性能指标；S5.设计使结构振动过程和终端振动最小化的二次性能指标；S6.完成控制器相关矩阵微分方程的求解；S7.构造作动器最优加载形式的控制律；S8.将最优控制律代入智能结构变形的振动方程，得到最优加载形式下的结构动态变形响应和作动器最优加载历程。本申请将动态变形过程的微分方程引入性能指标，给出的智能结构动态变形过程更为光滑，终端时刻残余振动更小。

Description

一种最小化振动的智能结构动态变形控制方法
技术领域
本发明属于结构形状控制、振动控制技术领域，具体说是一种最小化振动的智能结构动态变形主动控制方法。
背景技术
利用压电结构(如PZT、MFC)等作动器驱动智能结构变形可以实现柔性结构的不同工作状态、不同工作任务以及不同功能等。通常上智能结构变形的主动控制一般分为静态变形控制和动态变形控制。静态变形控制主要研究达到结构指定形状所需要的稳态驱动力，对压电驱动结构则对应于求解驱动电压。在变形过程相对缓慢的情况下，可以将变形控制过程看作静态和准静态问题进行分析求解。然而，研究发现对于快速变形需求的问题，不同的加载形式(如阶跃形式、斜坡形式等)对柔性结构的动态性能有很大的影响，不恰当的加载形式将往往会导致柔性结构出现较大的瞬态振动或残余振动，影响结构变形的精度和结构性能。例如，研究发现智能机翼在作动器采用斜坡加载形势下将会产生明显的结构振动和气动力振荡，严重影响其飞行性能。因此智能结构的动态变形控制得到了广泛关注，研究者希望通过优化作动器加载形式来实现柔性结构连续、平滑的动态变形过程，尽量减小结构在变形过程中的振动和达到指定形状后的残余振动。
目前结构动态变形控制主要采用规划和控制两类方法，然而，无论哪种方法，优化目标的设计最终决定了作动器的加载历程，将直接影响结构动态变形控制效果。
发明内容
针对智能结构动态变形过程中不恰当的作动器加载形式引起结构瞬态振动和残余振动的问题，本发明提出了一种新的优化目标设计方法，并基于最优控制理论提出了一种最小化振动的智能结构动态变形控制方法，给出了作动器最优加载形式的控制律。
为实现上述目的，本申请的技术方案为：一种最小化振动的智能结构动态变形控制方法，具体包括如下步骤：
S1.建立智能结构变形的振动方程，如下：
Figure BDA0002585403860000021
y＝Gx\*MERGEFORMAT(2)
其中输入u为作动器的加载历程，输出y为关心的结构位移；x表示结构的物理位移，或表示结构的模态位移；如果x是结构的物理位移，则M、S、K、B1和G则分别是对应的质量阵、阻尼阵、刚度阵、作动力位置矩阵和输出矩阵；如果x是结构的模态位移，则M、S、K、B1和G则分别是对应的模态质量阵、模态阻尼阵、模态刚度阵、模态作动力位置矩阵和模态输出矩阵；
Figure BDA0002585403860000022
为x的一阶导数，
Figure BDA0002585403860000023
为x的二阶导数；
S2.利用步骤S1所述振动方程，将终端tf时刻结构的指定形状yf描述为
yf＝y(tf)＝Gx(tf)\*MERGEFORMAT(3)
S3.导出步骤S1中振动方程的状态空间方程；
S4.设计使结构振动过程最小化的二次性能指标J；
S5.设计使结构振动过程和终端振动最小化的二次性能指标
Figure BDA0002585403860000031
S6.完成控制器相关矩阵微分方程(X、Fm、Gm)的求解；
S7.构造作动器最优加载形式的控制律；
S8.将最优控制律代入智能结构变形的振动方程，得到最优加载形式下的结构动态变形响应和作动器最优加载历程。
进一步的，步骤S3的具体实现方法为，引入状态变量v如下，
Figure BDA0002585403860000032
状态空间方程为，
Figure BDA0002585403860000033
其中，
Figure BDA0002585403860000034
其中，A和B为状态空间方程的系统矩阵。
进一步的，步骤S4中二次性能指标J为：
Figure BDA0002585403860000035
其中
Figure BDA0002585403860000036
为状态加权矩阵、
Figure BDA0002585403860000037
为状态和输入交叉项的加权矩阵、
Figure BDA0002585403860000038
为输入加权矩阵。在传统最优控制和动态形状控制理论与方法中，性能指标加权矩阵
Figure BDA0002585403860000039
和
Figure BDA00025854038600000310
通常设计为对角阵，体现对各状态和输入的加权，而状态和输入交叉项的加权矩阵
Figure BDA00025854038600000311
通常设计为零；本专利考虑结构变形的动态过程，提出了两种新的指标加权矩阵设计方法。
第一种设计方法考虑动态变形过程中的加速度和速度特性，将指标加权矩阵按下式构造，
Figure BDA0002585403860000041
其中，A和B为状态方程的系统矩阵，Q和R则分别是对应于
Figure BDA0002585403860000042
和u的加权阵，可以设计为相应的对角阵；AT为系统矩阵A的转置，BT系统矩阵B的转置。
第二种设计方法仅考虑动态变形过程中的加速度特性，将指标加权矩阵按下式构造，
Figure BDA0002585403860000043
其中，A2和B2由系统矩阵的分块矩阵构成，如下
A2＝[-M-1K -M-1S],B2＝M-1B1\*MERGEFORMAT(10)
而Q和R则分别是对应于
Figure BDA0002585403860000044
和u的加权阵，可以设计为相应的对角阵；
Figure BDA0002585403860000045
为矩阵A2的转置，
Figure BDA0002585403860000046
为矩阵B2的转置。
进一步的，步骤S5中的二次性能指标
Figure BDA0002585403860000047
为：
Figure BDA0002585403860000048
其中，ef为扩展的终端变形误差，通过对终端时刻结构的指定形状式进行扩展得到，即
Figure BDA0002585403860000051
其中
Figure BDA0002585403860000052
其中，G和yf是对终端时刻结构的指定形状的描述，而
Figure BDA0002585403860000053
是对ef的加权阵，可以取为对角阵。
进一步的，步骤S6中求解方式如下：
Figure BDA0002585403860000054
Figure BDA0002585403860000055
Figure BDA0002585403860000056
其中，X、Fm、Gm分别为式(14)-(16)矩阵微分方程的解，变量
Figure BDA0002585403860000057
由系统矩阵(A、B)和指标加权矩阵
Figure BDA0002585403860000058
构成，如下式，
Figure BDA0002585403860000059
进一步的，步骤S7中构造作动器最优加载形式的控制律，如下，
u(t)＝-Kv(t)v(t)+up(t)\*MERGEFORMAT(18)
其中，Kv(t)为状态反馈增益矩阵，up(t)为前馈输入，如下式，
Figure BDA0002585403860000061
更进一步的，上述方法应用在非线性振动系统中时，其非线性振动的状态空间方程描述为，
Figure BDA0002585403860000062
构造使结构振动过程和终端振动最小化的二次性能指标
Figure BDA0002585403860000063
如下，
Figure BDA0002585403860000064
其中，Q和R则分别是对应于
Figure BDA0002585403860000065
和u的加权阵，ef和
Figure BDA0002585403860000066
为扩展的终端变形误差及其加权。通过非线性规划或控制的方法求解优化问题即得到作动器最优加载历程或控制律。
本发明由于采用以上技术方案，能够取得如下的技术效果：本申请提出了一种使结构变形过程和终端振动最小化的智能结构动态变形主动控制方法，将动态变形过程的微分方程引入性能指标，给出的智能结构动态变形过程更为光滑，终端时刻残余振动更小。所提出的方法适用于线性系统和非线性系统的动态变形控制，也可以扩展应用于诸多领域的具有快速、平滑要求的端到端控制问题或规划问题的求解，具有非常广泛的应用范围和价值。
附图说明
图1为MFC压电作动器驱动的智能悬臂梁结构；
图2为使用第一种指标设计方法的最优电压加载历程图表；
图3为使用第一种指标设计方法的端部挠度动态变形响应图表；
图4为使用第二种指标设计方法的最优电压加载历程图表；
图5为使用第二种指标设计方法的端部挠度动态变形响应图表；
图6为车载相机定位问题示意图；
图7为施加力的加载历程(tf＝2.0)图表；
图8为小车和相机的位移响应(tf＝2.0)图表；
图9为施加力的加载历程(tf＝1.0)图表；
图10为小车和相机的位移响应(tf＝1.0)图表；
图中序号说明：1、作动器，2、基板，3、变形后基板，4、测量点，5、初始形状基板，6、环氧树脂，7、压电纤维，8、指交叉电极，9、极化方向。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步详细的描述：以此为例对本申请做进一步的描述说明。
本发明申请一种最小化振动的智能结构动态变形控制方法适用于一般形式的线性系统式和非线性系统式,所以也可以扩展应用于诸多领域的具有快速、平滑要求的端到端控制问题或规划问题的求解，如机械臂的快速移动、相机的精确定位等。
实施例1
以某智能压电板的动态变形控制为例对上述步骤进行说明；问题描述：一个压电纤维作动器(MFC)驱动的悬臂板结构，包括交替设置的环氧树脂和压电纤维，在所述环氧树脂和压电纤维上下表面连接有对称设置的指交叉电极，其极化方向如图1所示。在作动器驱动下，结构会实现主动的弯曲变形。本实施例的控制目标是让基板结构上的测量点在规定时间内产生预期变形(以5mm为例)，并且需保证变形过程连续、平滑，避免变形过程的瞬态振动和到达终端附近的残余振动。
该智能结构的物理参数为：基板为500*35*1mm的铝制平板结构；压电纤维作动器为Smart Material Corp.生产的M8528-P1型MFC片，其有效驱动面积为一个85*28mm的矩形区域，厚度为0.3mm；整体结构前2阶固有频率分别为3.31Hz、20.72Hz。
具体实现步骤为：
S1.采用有限元建模方法和模态降阶方法，建立上述智能结构的二阶模态振动方程，
Figure BDA0002585403860000081
y＝Gx
其中输入u为MFC压电片的加载电压，输出y为靠近端部关心的结构位移。x表示二阶模态位移，M、S、K、B1和G则分别是对应的模态质量阵、模态阻尼阵、模态刚度阵、模态作动力位置矩阵和模态输出矩阵，如下
Figure BDA0002585403860000082
Figure BDA0002585403860000091
G＝[-8.0 4.7]
S2.利用上述二阶模态振动方程，将终端tf时刻结构的指定形状yf描述为
5×10-3＝Gx(tf)
S3.导出二阶模态振动方程的状态空间方程。引入状态变量v如下，
Figure BDA0002585403860000092
状态空间方程为，
Figure BDA0002585403860000093
其中，
Figure BDA0002585403860000094
Figure BDA0002585403860000095
S4.设计使结构振动过程最小化的二次性能指标J，如下，
Figure BDA0002585403860000101
其中
Figure BDA0002585403860000102
为状态加权矩阵、
Figure BDA0002585403860000103
为状态和输入交叉项的加权矩阵、
Figure BDA0002585403860000104
为输入加权矩阵。本申请考虑结构变形的动态过程，提出了两种新的指标加权矩阵设计方法。第一种设计方法考虑动态变形过程中的加速度和速度特性，将指标加权阵按下式构造，
Figure BDA0002585403860000105
其中，A和B在上面已经给出，Q和R则分别是对应于
Figure BDA0002585403860000106
和u的加权阵，设计为相应的对角阵，如下
Figure BDA0002585403860000107
第二种设计方法仅考虑动态变形过程中的加速度特性，将指标加权阵按下式构造，
Figure BDA0002585403860000108
其中，A2和B2由A和B矩阵的分块矩阵构成，如下
Figure BDA0002585403860000111
Figure BDA0002585403860000112
而Q和R则分别是对应于
Figure BDA0002585403860000113
和u的加权阵，设计为相应的对角阵，本实施例中取为如下
Figure BDA0002585403860000114
R＝10-10。
S5.设计使结构过程和终端振动最小化的二次性能指标
Figure BDA0002585403860000115
如下，
Figure BDA0002585403860000116
其中，
Figure BDA0002585403860000117
和
Figure BDA0002585403860000118
为上面设计的二次性能指标加权阵，ef为扩展的终端变形误差，通过对终端时刻结构的指定形状的扩展，即
Figure BDA0002585403860000119
其中
Figure BDA00025854038600001110
其中，G和yf是对终端时刻结构的指定形状的描述。而
Figure BDA00025854038600001111
是对ef的加权阵，可以取为对角阵，本实施例中取为
Figure BDA00025854038600001112
S6.完成控制器相关矩阵微分方程(X、Fm、Gm)的求解，如下
Figure BDA0002585403860000121
Figure BDA0002585403860000122
Fm(tf)＝Mf
Figure BDA0002585403860000123
Gm(tf)＝0
其中，
Figure BDA0002585403860000124
S7.构造作动器最优加载形式的控制律，如下，
u(t)＝-Kv(t)v(t)+up(t)
其中，
Figure BDA0002585403860000125
S8.将最优控制律代入二阶模态振动方程，可以得到最优加载形式下的结构动态变形响应和作动器最优加载历程。
图2和图3分别给出了采用第一种指标设计方法得到的MFC作动器电压最优加载历程和智能结构端部点的动态变形响应曲线。可以看出采用本申请方法得到MFC作动器输入电压使智能结构光滑地实现了端部点的指定变形，动态变形过程平滑、没有引起残余振动。图4和图5分别给出了采用第二种指标设计方法得到的MFC作动器电压最优加载历程和智能结构端部点的动态变形响应曲线。可以看出跟第一种种指标设计方法的结果几乎完全一样的，同样成功地实现智能结构动态变形的光滑控制，避免了结构的振动。
实施例2
以某车载相机的快速精确定位为例对上述步骤进行说明；问题描述：设一相机通过柔性杆与小车相连，通过施加在小车上的力完成相机的快速移动和定位，如图6所示。其中小车的质量为m1＝5，相机的质量为m2＝1，柔性杆的横向剪切刚度为k＝25，施加在小车上的力为F。控制要求为：设计力F的加载历程，使相机和小车从初始平衡状态快速移动到指定的位置，即
x1(tf)＝x2(tf)＝xf＝1.0
为了防止抖动对相机拍摄清晰度的影响，应尽量减小移动过程中和到达指定位置相机的振动。
具体实现步骤为：
S1.采用牛顿第二定律，建立该车载相机的二阶动力学方程，
Figure BDA0002585403860000131
y＝Gx
其中输入u为施加在小车上的驱动力F，输出y为终端时刻小车和相机位移。x表示小车和相机的物理位移，即x＝[x1,x2]T，M、S、K、B1和G则分别是对应的质量阵、阻尼阵、刚度阵、作动力位置矩阵和输出矩阵，如下
Figure BDA0002585403860000132
Figure BDA0002585403860000141
S2.利用上述二阶动力学方程，将终端tf时刻车载相机的指定位置yf描述为
Figure BDA0002585403860000142
S3.导出车载相机移动的状态空间方程。引入状态变量v如下，
Figure BDA0002585403860000143
车载相机的状态空间方程为，
Figure BDA0002585403860000144
其中，
Figure BDA0002585403860000145
其中M、S、K和B1上面已经给出。
S4.设计使车载相机振动过程最小化的二次性能指标J，如下，
Figure BDA0002585403860000146
其中
Figure BDA0002585403860000147
为状态加权矩阵、
Figure BDA0002585403860000148
为状态和输入交叉项的加权矩阵、
Figure BDA0002585403860000149
为输入加权矩阵。本实施例采用第一种指标加权矩阵设计方法，其考虑移动程中的加速度和速度特性，将指标加权阵按下式构造，
Figure BDA0002585403860000151
其中，A和B在上面已经给出，本实施例中Q和R则分别是对应于
Figure BDA0002585403860000152
和u的加权阵，设计为相应的对角阵，如下
Figure BDA0002585403860000153
R＝10-10。
S5.设计使移动过程和终端振动最小化的二次性能指标
Figure BDA0002585403860000154
如下，
Figure BDA0002585403860000155
其中，
Figure BDA0002585403860000156
和
Figure BDA0002585403860000157
为上面设计的二次性能指标加权阵，ef为扩展的终端位置误差，通过对终端时刻车载相机的指定位置的扩展，即
Figure BDA0002585403860000158
其中
Figure BDA0002585403860000159
其中，G和yf是对终端时刻车载相机的指定位置的描述，前面已经给出。而
Figure BDA00025854038600001510
是对ef的加权阵，可以取为对角阵，本实施例中取为
Figure BDA00025854038600001511
S6.完成控制器相关矩阵微分方程(X、Fm、Gm)的求解，如下
Figure BDA0002585403860000161
Figure BDA0002585403860000162
Fm(tf)＝Mf
Figure BDA0002585403860000163
Gm(tf)＝0
其中，
Figure BDA0002585403860000164
S7.构造施加力最优加载形式的控制律，如下，
u(t)＝-Kv(t)v(t)+up(t)
其中，
Figure BDA0002585403860000165
S8.将最优控制律代入车载相机的二阶动力学方程可以得到最优加载形式下的车载相机位移响应和施加力最优加载历程。
图7和图8给出了当tf＝2.0时，采用本申请提出的方法得到施加在小车上的力的最优加载历程、以及小车和相机的位移变化曲线。可以看出在所设计的施加力作用下，小车和相机都光滑地移动到指定位置，移动过程和终端时刻最大程度地避免了柔性杆引起的振动问题。
图9和图10给出了当tf＝1.0时，采用本申请提出的方法得到施加在小车上的力的最优加载历程、以及小车和相机的位移变化曲线。可以看出在所设计的施加力作用下，小车和相机同样都光滑地移动到指定位置。与tf＝2.0的结果相比，时间节省了一半，更快速的实现了车载相机的移动和精确定位。
以上所述，仅为本发明创造较佳的具体实施方式，但本发明创造的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明创造披露的技术范围内，根据本发明创造的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明创造的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种最小化振动的智能结构动态变形控制方法，其特征在于，具体包括如下步骤：
S1.建立智能结构变形的振动方程，如下：
Figure FDA0003606350240000011
y＝Gx (2)
其中输入u为作动器的加载历程，输出y为关心的结构位移；x表示结构的物理位移，或表示结构的模态位移；如果x是结构的物理位移，则M、S、K、B1和G则分别是对应的质量阵、阻尼阵、刚度阵、作动力位置矩阵和输出矩阵；如果x是结构的模态位移，则M、S、K、B1和G则分别是对应的模态质量阵、模态阻尼阵、模态刚度阵、模态作动力位置矩阵和模态输出矩阵；
Figure FDA0003606350240000012
为x的一阶导数，
Figure FDA0003606350240000013
为x的二阶导数；
S2.利用步骤S1所述振动方程，将终端tf时刻结构的指定形状yf描述为
yf＝y(tf)＝Gx(tf) (3)
S3.导出步骤S1中振动方程的状态空间方程；具体实现方法为：引入状态变量v如下，
Figure FDA0003606350240000014
状态空间方程为，
Figure FDA0003606350240000015
其中，
Figure FDA0003606350240000021
其中，A和B为状态空间方程的系统矩阵；
S4.设计使结构振动过程最小化的二次性能指标J；所述二次性能指标J为：
Figure FDA0003606350240000022
其中
Figure FDA0003606350240000023
为状态加权矩阵、
Figure FDA0003606350240000024
为状态和输入交叉项的加权矩阵、
Figure FDA0003606350240000025
为输入加权矩阵；
指标加权矩阵的构造分为以下两种情况：
1) 、考虑动态变形过程中的加速度和速度特性时，将指标加权矩阵按下式构造，
Figure FDA0003606350240000026
其中，A和B为状态方程的系统矩阵，Q和R则分别是对应于
Figure FDA0003606350240000027
和u的加权阵；AT为系统矩阵A的转置，BT系统矩阵B的转置；
2) 、仅考虑动态变形过程中的加速度特性时，将指标加权矩阵按下式构造，
Figure FDA0003606350240000031
其中，A2和B2由系统矩阵的分块矩阵构成，如下
A2＝[-M-1K -M-1S],B2＝M-1B1 (10)
而Q和R则分别是对应于
Figure FDA0003606350240000032
和u的加权阵；
Figure FDA0003606350240000033
为矩阵A2的转置，
Figure FDA0003606350240000034
为矩阵B2的转置；
S5.设计使结构振动过程和终端振动最小化的二次性能指标
Figure FDA0003606350240000035
二次性能指标
Figure FDA0003606350240000036
为：
Figure FDA0003606350240000037
其中，ef为扩展的终端变形误差，通过对终端时刻结构的指定形状式进行扩展得到，即
Figure FDA0003606350240000038
其中
Figure FDA0003606350240000039
其中，G和yf是对终端时刻结构的指定形状的描述，而
Figure FDA00036063502400000310
是对ef的加权阵；
S6.完成控制器相关矩阵微分方程(X、Fm、Gm)的求解；求解方式如下：
Figure FDA00036063502400000311
Figure FDA0003606350240000041
Figure FDA0003606350240000042
其中，X、Fm、Gm分别为式(14)-(16)矩阵微分方程的解，变量
Figure FDA0003606350240000043
由系统矩阵A、B和指标加权矩阵
Figure FDA0003606350240000044
构成，如下式，
Figure FDA0003606350240000045
S7.构造作动器最优加载形式的控制律，如下，
u(t)＝-Kv(t)v(t)+up(t) (18)
其中，Kv(t)为状态反馈增益矩阵，up(t)为前馈输入，如下式，
Figure FDA0003606350240000046
S8.将最优控制律代入智能结构变形的振动方程，得到最优加载形式下的结构动态变形响应和作动器最优加载历程。
2.根据权利要求1所述一种最小化振动的智能结构动态变形控制方法，其特征在于，应用在非线性振动系统中时，其非线性振动的状态空间方程描述为，
Figure FDA0003606350240000047
构造使结构振动过程和终端振动最小化的二次性能指标
Figure FDA0003606350240000048
如下，
Figure FDA0003606350240000051
其中，Q和R则分别是对应于
Figure FDA0003606350240000052
和u的加权阵，ef和
Figure FDA0003606350240000053
为扩展的终端变形误差及其加权。
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