CN106021909B - 一种振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于首次穿越理论的振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法。该方法综合考虑材料的区间不确定性对主动控制系统适定性的影响。基于一阶状态空间方程格式和状态反馈控制原理，推导了主动控制系统的动力响应表达式；基于区间数学思想和时变不确定性传播分析方法，构建了受控结构动力响应的非概率区间过程模型；进而利用首次穿越理论和结构的控制率失效准则，定义了振动主动控制系统非概率动力可靠性指标，并探索了高效稳健的求解方法。本发明在进行可靠度计算时体现了材料分散性对受控结构动力响应的综合影响，可为控制器的精细化设计提供必要且可行的理论参考。

Description

一种振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法

技术领域

本发明涉及振动主动控制系统的安全性评估技术领域，特别涉及考虑材料分散性作用下结构安全态势的合理辨识和有效度量，为进一步规划大型结构可靠控制理念的工程化应用以及面向主动控制系统优化设计方案的制定提供可借鉴的理论依据。

背景技术

在工程结构问题中，振动现象无处不在，振动效应对结构造成的影响是难以避免的。多数情况下，振动效应对结构造成的影响是有害的。如何减小振动效应带来的危害，必须要考虑对振动如何加以控制的问题。结构振动控制技术是振动力学里的一个很重要的方面。现有的振动控制包含以下两方面：主动控制和被动控制。在众多的工程应用中，被动控制具有结构简单，不依赖外界能源而且减震性能良好等优点。但随着科学技术的发展，实际工程结构变得越来越复杂，由此导致振动控制问题也越来越复杂，传统的被动控制在处理复杂的工程问题时凸显出了如控制效果差、控制效率低等问题。面对实际工程领域的广泛需求，振动主动控制技术得以发展，并受到了广泛的关注。

然而，振动主动控制技术在发展过程中暴露了一个明显问题，就是对于结构自身存在的不确定性因素，特别是材料分散性极为敏感。当系统中出现的不确定因素对系统影响较大时，毫无疑问，会降低控制系统的可控性和稳定性。关于振动主动控制系统的可靠性问题也引起了学术界和工程界的高度重视。

当前，国内外学者与工程技术人员对含主动控制结构的不确定性分析方法研究主要集中在两个方面：(1)基于鲁棒控制理论的结构不确定性传播影响预测技术；(2)基于准静态假设的概率可靠度计算方法研究。上述工作一定程度上确保了振动主动控制系统的适定性，但是忽略了鲁棒约束的过冗余性以及时间累积效应下结构失效事件的相关性，大大限制了主动控制理论的工程实用化进程。

由于实际工程中贫信息、少数据的情况无法避免，建立基于非概率集合理论的不确定性分析技术、动力可靠度建模与求解技术对主动控制系统具有显著的现实意义。本发明将重点探究材料分散性作用对受控结构安全性的综合影响，为其控制器的优化设计提供技术保障。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种针对振动主动控制系统的安全性评价方法，充分考虑实际工程问题中普遍存在的材料分散性效应，以提出的非概率动力可靠性度量作为评判受控结构安全与否的量化标准，所得到的校核结果更加符合真实情况，工程适用性更强。

本发明采用的技术方案为：一种振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法，该方法实现步骤如下：

第一步：建立n自由度系统在外部载荷和控制载荷共同作用下的振动微分方程：

其中，M,P,K分别为总体质量矩阵、总体阻尼矩阵和总体刚度矩阵，x(t)分别表示受控结构的加速度、速度和位移向量，x(t₀)和分别表示初始时刻t₀对应的位移和速度向量，x₀和分别是初始位移和初始速度的给定输入条件，f(t)为外部载荷向量，f_a(t)代表控制载荷向量，并可表示为：

f_a(t)＝B_au(t)

其中，B_a为n×r阶权重矩阵，表示驱动器的作用位置，u(t)为r×1阶驱动载荷向量。

第二步：基于经典主动控制理论，建立第一步中振动微分方程的一阶状态空间方程：

y(t)＝Cz(t)

其中，表示2n×1阶的状态向量，u(t)和y(t)分别对应为驱动载荷向量和输出向量，表示状态向量对时间的导数，命名为状态响应向量，C为输出矩阵，A,B,E为状态空间离散的特征矩阵，具体表示为：

其中，I为n×n阶单位矩阵，0为零矩阵，M^-1表示总体质量矩阵M的逆矩阵。

假定结构状态是可测的，应用状态反馈控制原理，可知：

u(t)＝-Gz(t)

其中，G为控制器。代入到前式可得到状态响应向量的具体表达如下：

第三步：综合考虑存在于第一步和第二步中材料参数的分散性，引入区间向量b＝[b₁,b₂,...,b_m]，得到有限样本条件下振动控制系统中不确定性参数的数学表达：

其中，b^I表示向量b的区间集，b和分别为向量b的下界和上界，b^c和Δb分别为向量b的均值和半径，ξ定义为所有元素包含在[-1,1]内的m阶向量集合。这里，向量b均值和半径的具体表达式为：

和

其中，和Δb_j表示向量b中第j个元素b_j的均值和半径，j为计数指标。

第四步：将第三步中表征的材料分散性参数代入到第二步的一阶状态空间方程和状态响应向量的表达式中，可得：

y(t)＝Cz(b,t)

和

上式中，由于材料分散性所带来的不确定性效应会导致矩阵M,P,K的取值发生变化，状态空间离散的特征矩阵实际上也是区间向量b的函数，故表示为A(b),B(b),E(b)；此外，由于结构响应计算采用迭代方法求解，材料分散性带来的时间累积效应不可忽略，于是z(t)→z(b,t)和综上，从不确定性传播分析的角度出发，受控结构的动力响应可由一个域集Γ给予包络表达，即：

其中，x(b,t)表示考虑材料分散性后主动控制系统的位移向量，Φ[·]反映了位移向量x(b,t)和状态向量z(b,t)之间的映射关系。借助区间传播分析方法，位移向量x(b,t)的变化可表示为以下区间形式：

其中，x^I(b,t)为位移向量x(b,t)的区间集，x(b,t)和分别为x(b,t)的下界和上界。

第五步：根据时变不确定性分析方法，构建出第四步中位移向量x(b,t)中各个元素x_i(b,t),i＝1,2,...,n的非概率区间过程模型，并分别定义该区间过程模型的特征量函数，具体包括：均值过程函数半径过程函数以及任意不同时刻t₁和t₂的相关系数函数其中，均值过程函数和半径过程函数的具体表达式如下：

和

任意不同时刻t₁和t₂的相关系数函数可由下式求解：

其中，表示协方差函数。

第六步：结合控制系统响应的许用值向量X^cr，构建与第五步获得的位移向量x(b,t)区间历程间的应力-强度区间过程干涉模型，并建立时变极限状态函数如下：

基于首次穿越理论，通过时间离散化时段，定义如下穿越事件E_i(k)发生的可能度指标：

Pos{E_i(k)}＝Pos{g_i(b,kΔt)＞0∩g_i(b,(k+1)Δt)＜0}

其中，Pos{·}表示事件发生的可能度，g_i(b,kΔt)＞0表示受控结构在kΔt时刻安全(位移响应小于许用值)，g_i(b,(k+1)Δt)＜0表示受控结构在(k+1)Δt时刻失效(位移响应大于许用值)，符号“∩”表示事件的交运算，k为计数指标，Δt表示时间增量。这里，事件E_i(k)表示为受控结构[kΔt，(k+1)Δt]在时间段内发生了一次穿越，Δt通常为一微小量。

第七步：遍历所有时间段内的可能度指标Pos{E_i(k)}，建立主动控制系统非概率动力可靠度指标：

其中，R_s(T)为动力可靠度，T为完整响应历程，Pos(0)表示受控结构初始失效的可能度，求解上式即可实现主动控制系统动力安全态势的有效评估。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提供了考虑材料分散性效应下振动主动控制系统安全性评价的新思路，弥补和完善了传统基于鲁棒控制理论和静态概率可靠性理论方法的局限性。所构建的非概率动力可靠性度量模型，一方面弥补了鲁棒控制所带来的设计冗余度，另一方面较静态可靠性方法，基于首次穿越理论的动力可靠度计算方法，更加合理地计及了动力响应的时间相关性，确保控制器全时间域内的有效性，为控制器精细化设计理论的完善作出了积极贡献。

附图说明

图1是本发明针对振动主动控制系统的非概率动力可靠性评估流程图；

图2是本发明基于状态反馈原理的状态空间离散策略示意图；

图3是本发明定义的位移响应x_i(b,t₁)和x_i(b,t₂)的几何可行域示意图；

图4是本发明定义的位移响应x_i(b,t₁)和x_i(b,t₂)的相关性示意图；

图5是本发明提出的微小时间段内穿越失效可能度计算方法示意图；

图6是本发明实施例中含主动控制十杆桁架结构的模型示意图；

图7是本发明实施例中含主动控制十杆桁架结构的位移响应历程示意图；

图8是本发明实施例中含主动控制十杆桁架结构的可靠度计算结果示意图，其中，图8(a)为受控结构节点1处水平方向的动力可靠度计算结果，图8(b)为受控结构节点1处竖直方向的动力可靠度计算结果。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种基于首次穿越理论的振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法，包括以下步骤：

(1)建立n自由度系统在外部载荷和控制载荷共同作用下的振动微分方程：

其中，M,P,K分别为总体质量矩阵、总体阻尼矩阵和总体刚度矩阵，x(t)分别表示受控结构的加速度、速度和位移向量，x(t₀)和分别表示初始时刻t₀对应的位移和速度向量，x₀和分别是初始位移和初始速度的给定输入条件，f(t)为外部载荷向量，f_a(t)代表控制载荷向量，并可表示为：

f_a(t)＝B_au(t)

其中，B_a为n×r阶权重矩阵，表示驱动器的作用位置，u(t)为r×1阶驱动载荷向量。

(2)基于经典主动控制理论，建立第一步中振动微分方程的一阶状态空间方程：

y(t)＝Cz(t)

其中，表示2n×1阶的状态向量，u(t)和y(t)分别对应为驱动载荷向量和输出向量，表示状态向量对时间的导数，命名为状态响应向量，C为输出矩阵，A,B,E为状态空间离散的特征矩阵，具体表示为：

其中，I为n×n阶单位矩阵，0为零矩阵，M^-1表示总体质量矩阵M的逆矩阵。

假定结构状态是可测的，应用状态反馈控制原理，可知：

u(t)＝-Gz(t)

其中，G为控制器。代入到前式可得到状态响应向量的具体表达如下：

于是，上述基于状态反馈的振动主动控制系统状态空间离散策略如图2所示。

(3)综合考虑存在于第一步和第二步中材料参数的分散性，引入区间向量b＝[b₁,b₂,...,b_m]，得到有限样本条件下振动控制系统中不确定性参数的数学表达：

其中，b^I表示向量b的区间集，b和分别为向量b的下界和上界，b^c和Δb分别为向量b的均值和半径，ξ定义为所有元素包含在[-1,1]内的m阶向量集合。这里，向量b均值和半径的具体表达式为：

和

其中，和Δb_j表示向量b中第j个元素b_j的均值和半径，j为计数指标。进而，区间向量b满足如下关系式：

b＝b^c+δ,|δ|≤Δb

其中，向量δ在几何上被界定于Δb所定义的超长方体域内。

(4)将第三步中表征的材料分散性参数代入到第二步的一阶状态空间方程和状态响应向量的表达式中，可得：

y(t)＝Cz(b,t)

和

上式中，由于材料分散性所带来的不确定性效应会导致矩阵M,P,K的取值发生变化，状态空间离散的特征矩阵实际上也是区间向量b的函数，故表示为A(b),B(b),E(b)；此外，由于结构响应计算采用迭代方法求解，材料分散性带来的时间累积效应不可忽略，于是z(t)→z(b,t)和综上，从不确定性传播分析的角度出发，受控结构的动力响应可由一个域集Γ给予包络表达，即：

其中，x(b,t)表示考虑材料分散性后主动控制系统的位移向量，Φ[·]反映了位移向量x(b,t)和状态向量z(b,t)之间的映射关系。借助区间传播分析方法，位移向量x(b,t)的变化可表示为以下区间形式：

其中，x^I(b,t)为位移向量x(b,t)的区间集，x(b,t)和分别为x(b,t)的下界和上界。基于一阶泰勒级数展开法，受控结构不确定动力响应的上下界可以显式求解。当然，首先应计算特征矩阵A(b)和B(b)、状态向量z(b,t)的近似表达，即：

和

其中，分别表示特征矩阵A(b)和B(b)及状态向量z(b,t)在均值b^c处相对于变量b_j偏导数。将上面表达式代入到状态响应向量的公式中，可得：

将上式中的对应项分解并忽略高阶小项，于是有：

和

借助于精确时间积分方法，上式可被快速求解。结合自然区间扩张原理，可知：

z^I(b,t)＝z(b^c,t)+Δz^I(t)

其中，因此，位移向量x(b,t)的下界和上界可以最终表示为：

(5)根据时变不确定性分析方法，构建出第四步中位移向量x(b,t)中各个元素x_i(b,t),i＝1,2,...,n的非概率区间过程模型，并分别定义该区间过程模型的特征量函数，具体包括：均值过程函数半径过程函数以及任意不同时刻t₁和t₂的相关系数函数其中，均值过程函数和半径过程函数的具体表达式如下：

和

任意不同时刻t₁和t₂的相关系数函数可由下式求解：

其中，表示协方差函数。为了计算出的表达式，我们需要借助正则化手段，于是有：

和

其中，ξ₁和ξ₂分别为标准区间变量。这样，一个ξ坐标系下的标准方形域可以获得以等效量化位移响应x_i(b,t₁)和x_i(b,t₂)的可行范围(如图3所示)。显然，受到相关性条件的约束，存在多个不同形状的偏转矩形域包络于标准方形域内，并与相关性指标一一对应(如图4所示)。因此，可定义为：

其中，d表示如图4所示矩形域边长的一半。受到随机过程理论的启发，可进一步计算：

于是，任意不同时刻t₁和t₂的相关系数函数最终表示为：

这里，是一个无量纲量，其大小代表了x_i(b,t₁)和x_i(b,t₂)的线性相关度。

综上，本发明实现了对受控结构不确定性位移响应的定量表征，为后续非概率动力可靠性建模及求解提供了必要的理论依据。

(6)结合控制系统响应的许用值向量X^cr，构建与第五步获得的位移向量x(b,t)区间历程间的应力-强度区间过程干涉模型，并建立时变极限状态函数如下：

基于首次穿越理论，通过时间离散化时段，定义如下穿越事件E_i(k)发生的可能度指标：

Pos{E_i(k)}＝Pos{g_i(b,kΔt)＞0∩g_i(b,(k+1)Δt)＜0}

其中，Pos{·}表示事件发生的可能度，g_i(b,kΔt)＞0表示受控结构在kΔt时刻安全(位移响应小于许用值)，g_i(b,(k+1)Δt)＜0表示受控结构在(k+1)Δt时刻失效(位移响应大于许用值)，符号“∩”表示事件的交运算，k为计数指标，Δt表示时间增量。这里，事件E_i(k)表示为受控结构[kΔt，(k+1)Δt]在时间段内发生了一次穿越，Δt通常为一微小量。这里，引入面积比思想(如图5所示)，Pos{E_i(k)}可定义为穿越几何条件与极限状态可行域的干涉面积与过程中总可行域(偏转矩形)面积之比，即：

上式中，几何边界条件为：和 的计算通常是一个分段函数，需要结合几何边界与可行域的相交条件分类讨论。

(7)遍历所有时间段内的可能度指标Pos{E_i(k)}，建立主动控制系统非概率动力可靠度指标：

其中，R_s(T)为动力可靠度，T为完整响应历程，Pos(0)表示受控结构初始失效的可能度，求解上式即可实现主动控制系统动力安全态势的有效评估。结合上一步的计算结果，最终R_s(T)可表示为：

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图6所示的十杆桁架结构进行主动控制后非概率动力可靠性分析。水平杆和竖直杆的长度为500mm，杆的横截面积为400mm²，结构的整体阻尼矩阵为P＝αM+βK，其中，α＝1.8559，β＝6.2516×10^-6。本例中，存在两组外部载荷f₁(t)和f₂(t)，并且有：

f₁(t)＝1000e^(-3t)sin(100πt)kN和f₂(t)＝800e^(-2t)cos(75πt)kN，t∈[0,2]年

此外，两组驱动器定位于节点2和4处，并分别施加主动控制f_a1(t)和f_a2(t)。于是，定义节点1在水平和竖直方向的位移被控制在许用值X^cr＝7.5mm内。考虑材料的分散性效应，假定弹性模量E和密度ρ分别为区间变量，具体参数信息见表1，其中，变化系数κ反映了不同的区间跨度。

表1

结合本发明提出的受控结构响应计算方法和区间过程模型，得到节点1的位移响应历程(如图7所示)。基于首次穿越理论，该主动控制系统的非概率动力可靠性分析结果如图8和表2所示。从结果中可以看出，相较于传统的准静态(时不变)处理方法，本发明提出的非概率动力可靠性分析方法，由于计及了时间相关性效应，结果上更为保守且贴合真实情况；此外，随着变化系数κ的增大，主动控制系统的可靠度降低明显，所带来的安全性隐患加剧。

综上所述，本发明提出了一种基于首次穿越理论的振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法。该方法通过区间变量表征材料的分散性，进而讨论区间不确定性对振动主动控制系统安全性的综合影响。首先，基于状态反馈控制原理和区间过程理论，推导了主动控制系统动力响应的时变不确定性模型；进而利用首次穿越理论，定义了振动主动控制系统非概率动力可靠性指标；基于时间离散策略和面积比思想，通过遍历所有时间段内的穿越可能度，叠加运算后最终给出了本发明所提出的非概率动力可靠度显式求解策略。

表2

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于振动主动控制系统的可靠设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (7)

1.一种振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法，其特征在于实现步骤如下：

第一步：建立n自由度系统在外部载荷和控制载荷共同作用下的振动微分方程：

其中，M,P,K分别为总体质量矩阵、总体阻尼矩阵和总体刚度矩阵，x(t)分别表示受控结构的加速度、速度和位移向量，x(t₀)和分别表示初始时刻t₀对应的位移和速度向量，x₀和分别是初始位移和初始速度的给定输入条件，f(t)为外部载荷向量，f_a(t)代表控制载荷向量；

第二步：基于经典主动控制理论，建立第一步中振动微分方程的一阶状态空间方程：

y(t)＝Cz(t)

其中，表示2n×1阶的状态向量，u(t)和y(t)分别对应为驱动载荷向量和输出向量，表示状态向量对时间的导数，命名为状态响应向量，A,B,E为状态空间离散的特征矩阵，C为输出矩阵，假定结构状态是可测的，应用状态反馈控制原理，可知：

u(t)＝-Gz(t)

其中，G为控制器，代入到前式可得到状态响应向量的具体表达如下：

第三步：综合考虑存在于第一步和第二步中材料参数的分散性，引入区间向量b＝[b₁,b₂,...,b_m]，得到有限样本条件下振动控制系统中不确定性参数的数学表达：

其中，b^I表示向量b的区间集，b和分别为向量b的下界和上界，b^c和Δb分别为向量b的均值和半径，ξ定义为所有元素包含在[-1,1]内的m阶向量集合；

第四步：将第三步中表征的材料分散性参数代入到第二步的一阶状态空间方程和状态响应向量的表达式中，可得：

y(t)＝Cz(b,t)

和

上式中，由于材料分散性所带来的不确定性效应会导致矩阵M,P,K的取值发生变化，状态空间离散的特征矩阵实际上也是区间向量b的函数，故表示为A(b),B(b),E(b)；此外，由于结构响应计算采用迭代方法求解，材料分散性带来的时间累积效应不可忽略，于是z(t)→z(b,t)和综上，从不确定性传播分析的角度出发，受控结构的动力响应可由一个域集Γ给予包络表达，即：

其中，x(b,t)表示考虑材料分散性后主动控制系统的位移向量，Φ[·]反映了位移向量x(b,t)和状态向量z(b,t)之间的映射关系；

第五步：根据时变不确定性分析方法，构建出第四步中位移向量x(b,t)中各个元素x_i(b,t),i＝1,2,...,n的非概率区间过程模型，并分别定义该区间过程模型的特征量函数，具体包括：均值过程函数半径过程函数以及任意不同时刻t₁和t₂的相关系数函数

第六步：结合控制系统响应的许用值向量X^cr，构建与第五步获得的位移向量x(b,t)区间历程间的应力-强度区间过程干涉模型，并建立时变极限状态函数如下：

基于首次穿越理论，通过时间离散化时段，定义如下穿越事件E_i(k)发生的可能度指标：

Pos{E_i(k)}＝Pos{g_i(b,kΔt)＞0∩g_i(b,(k+1)Δt)＜0}

其中，Pos{·}表示事件发生的可能度，g_i(b,kΔt)＞0表示受控结构在kΔt时刻安全，此时位移响应小于许用值，g_i(b,(k+1)Δt)＜0表示受控结构在(k+1)Δt时刻失效，此时位移响应大于许用值，符号“∩”表示事件的交运算，k为计数指标，Δt表示时间增量；

第七步：遍历所有时间段内的可能度指标Pos{E_i(k)}，建立主动控制系统非概率动力可靠度指标：

其中，R_s(T)为动力可靠度，T为完整响应历程，Pos(0)表示受控结构初始失效的可能度，求解上式即可实现主动控制系统动力安全态势的有效评估。

2.根据权利要求1所述的振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法，其特征在于：所述第一步中控制载荷向量f_a(t)可表示为：

f_a(t)＝B_au(t)

其中，B_a为n×r阶权重矩阵，表示驱动器的作用位置，u(t)为r×1阶驱动载荷向量。

3.根据权利要求2所述的振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法，其特征在于：所述第二步中状态空间离散的特征矩阵分别表示为：

其中，I为n×n阶单位矩阵，0为零矩阵，M^-1表示总体质量矩阵M的逆矩阵。

4.根据权利要求1所述的振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法，其特征在于：所述第三步中向量b均值和半径的具体表达式为：

和

其中，和Δb_j表示向量b中第j个元素b_j的均值和半径，j为计数指标。

5.根据权利要求1所述的振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法，其特征在于：所述第四步中域集Γ通常无法显式获得，但借助区间传播分析方法，位移向量x(b,t)的变化可表示为以下区间形式：

其中，x^I(b,t)为位移向量x(b,t)的区间集，x(b,t)和分别为x(b,t)的下界和上界。

6.根据权利要求1所述的振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法，其特征在于：所述第五步中均值过程函数和半径过程函数的具体表达式如下：

和

任意不同时刻t₁和t₂的相关系数函数可由下式求解：

其中，表示协方差函数。

7.根据权利要求1所述的振动主动控制系统非概率动力可靠性分析方法，其特征在于：所述第六步中事件E_i(k)表示为受控结构[kΔt，(k+1)Δt]在时间段内发生了一次穿越，Δt通常为一微小量。