CN108445758B - 一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的h∞控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制方法，属于网络化系统控制领域。首先建立具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制模型，再构造恰当的Lyapunov函数，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式分析方法，得到闭环控制稳定和H_∞控制器存在的充分条件；最后，利用Matlab LMI工具箱进行求解，给出具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制器增益矩阵

本发明考虑了随机时变时延和扰动情况，更具有实际意义，降低了H_∞控制器设计的保守性。

Description

一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H∞控制 方法

技术领域

本发明属于网络化系统控制领域，涉及一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制方法。

背景技术

近年来，增益调度控制尤其是基于线性参数变化(Linear Parameter-Varying，LPV)系统的增益调度控制得到了越来越多的研究。线性参数变化系统是一类参数在不断变化的系统，此类系统的状态矩阵的元素是具有时变参数的确定函数，而与函数相关的时变参数的范围是能够测量的。许多实际的系统都能用上述的模型来描述，如飞行器系统、风能转换系统等，并且有关此类系统的研究也有了许多的成果和研究报道。由于能够描述一类实际动态系统本身存在的非线性和时变特性，线性参数变化系统成为近年来倍受控制理论界关注的一个热点，其理论已经成功地应用在航空、航天、机器人和工业过程控制等领域。

现代网络控制系统的迅速发展有其巨大的优点，比如成本低，安装维护简单，具有较高的可靠性和灵活性以及较强的容错与故障诊断能力，便于远程操作与控制。然而，将LPV系统引入到网络中时，就会出现新的问题，比如数据量化、网络延时和数据丢包等问题，降低了整个系统的性能，甚至引起整个系统的不稳定，在实际的反馈控制系统中，网络时延处处存在，特别是一类可变的时延，因此需要对网络通道中产生的时延进行处理。在工程实际中，对网络诱导时延处理是极其重要的，通信系统、传送系统、化工过程系统、冶金过程系统、环境系统、电力系统等都有可能应用到。时延的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时时延的存在也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源之一。因此，对具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制研究具有重要的理论意义和广泛的应用前景。

发明内容

针对上述现有技术中存在的问题，本发明提供了一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制方法。该方法考虑线性参数变化控制系统存在时变时延、控制器增益变化的情况，设计了具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制器，使得具有网络随机时变时延的线性参数变化控制系统在一定范围内仍能保持系统稳定，并且满足H_∞性能指标。

本发明的技术方案：

一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制方法，包括以下步骤：

1)建立线性参数变化系统的数学模型

x(k)＝Φ(k),k∈[-d,0]

其中，

为系统的状态向量；

为系统的输出向量；

为系统的控制输入向量；为系统的扰动输入向量；α_i为多胞体的坐标，并且，α_i≥0，

r为多胞体顶点个数的上限；

和

是线性参数变化系统的系统矩阵；

和

分别为线性参数变化系统的系统矩阵A(ρ(k))、B₁(ρ(k))、 B₂(ρ(k))、C(ρ(k))和D(ρ(k))在多胞体各顶点处的值；{Φ(k),k＝-d,-d+1,…,0}，是一个已知初始条件序列，d为系统的状态变量在零时刻之前的时间下限；参数向量ρ(k)＝[ρ₁(k) ρ₂(k) … ρ_s(k)]^T满足ρ_i(k)范围可测，且

ρ_i 是ρ_i(k)的下限，

是ρ_i(k)的上限；

2)设计状态反馈控制器，控制器的输出为控制输入向量u(k)，即：

u(k)＝(1-δ_k)K(ρ(k))x(k)+δ_kK(ρ(k))x(k-d(k)) (2)

其中，1≤d_m≤d(k)≤d_M，

为待求的依赖于参数的状态反馈增益矩阵，d(k)表示网络随机时变时延，d_m为时延下界，d_M为时延上界；δ_k表示信号在传感器到控制器的网络传输信道上是否有时延发生；当δ_k＝0时，表示不存在随机时延；当δ_k＝1时，表示存在随机时延；

随机时变时延发生概率为：

其中，0≤α≤1是已知常数，E{·}表示数学期望，prob{·}表示事件发生概率；

线性参数变化系统(1)和状态反馈控制器(2)构成一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统；

3)构造Lyapunov函数

V(k,ρ(k))＝V₁+V₂+V₃+V₄ (4)

其中，V₁＝x^T(k)P(ρ(k))x(k)，

τ(k)＝x(k+1)-x(k)；和

为已知的正定对称矩阵，j为时延的下界和上界之间的离散值；

4)计算状态反馈增益矩阵K(ρ(k))

具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统稳定和H_∞控制存在的充分条件为：给定通信时延发生概率0≤α≤1，一个γ＞0的指标，当存在对称正定矩阵

和矩阵

和

使得线性矩阵不等式 (5)成立时，则该具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统是指数均方稳定的，且满足H_∞性能指标，H_∞控制的状态反馈增益矩阵为

其中，*代表对称位置矩阵的转置，

I为单位阵；

5)H_∞控制最优化

计算H_∞控制的状态反馈增益矩阵后，根据

求出具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统性能指标γ，H_∞控制下最优扰动抑制比γ_opt优化的条件为：

当式(6)有解时，则得到具有随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统在符合 H_∞控制条件下，系统的最优扰动抑制比为γ_opt，同时状态反馈增益矩阵K(ρ(k))被优化为

6)实现H_∞控制

由线性参数变化系统(1)和状态反馈控制器(2)构成一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统：

其中，

利用Matlab LMI工具箱求解式(6)，将参数代入式(7)，得到所设计的状态反馈控制器在一定的范围内能够保证具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统是指数均方稳定的，且满足给定的H_∞性能指标。

本发明的有益效果：

1)本发明针对线性参数变化控制系统，同时考虑了系统中的不完整测量因素和不确定因素，包括系统中存在的随机时变时延、外界扰动，通过一系列的推导、转化建立了具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制模型，给出了状态反馈控制器的设计方法；

2)本发明考虑了信号传输的过程中时延的随机性和时变性，更具有实际意义；

3)本发明适用于一般的H_∞控制，降低了该状态反馈控制器设计方法的保守性；

4)本发明采用的网络随机时变时延随机序列满足Bernoulli分布，比较符合网络诱导时延的特性。

附图说明

图1是一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制方法的流程图。

图2是具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制结构图。图中x(k)∈Rⁿ为系统的状态向量，

为系统的输出向量，

为系统的控制输入向量，

为系统的扰动输入向量。

图3是具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的开环状态响应图。

图4是α＝0.2，d(k)＝1时的具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞闭环控制状态响应图。

图5是α＝0.5，d(k)＝1时的具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞闭环控制状态响应图。

图6是α＝0.6，d(k)＝1时的具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞闭环控制状态响应图。

图7是α＝0.5，d(k)＝2时的具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞闭环控制状态响应图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

实施例1

如附图1所示的具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立线性参数变化系统的数学模型为式(1)。

步骤2：设计状态反馈控制器为式(2)，时延的随机发生概率满足式(3)。由线性参数变化系统式(1)和状态反馈控制器式(2)构成一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制为式(7)。

步骤3：构造Lyapunov函数为式(4)。

由于，E{V(k+1,ρ(k+1))}-V(k,ρ(k))＝E{ΔV₁}+E{ΔV₂}+E{ΔV₃}+E{ΔV₄}

有E{ΔV(k,ρ(k))}+E{||z(k)||²}-γ²||w(k)||²＜0，再利用Schur补引理可得式(8)，

其中，*代表对称位置矩阵的转置，

步骤4：计算随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制的状态反馈增益矩阵K(ρ(k))。

根据Lyapunov稳定性理论，利用

对式(8)进行全等变换，可以得到矩阵不等式(5)。

利用Matlab LMI工具箱求解矩阵不等式(5)，如矩阵不等式(5)有解，则得到具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制是指数均方稳定的，且满足H_∞性能指标，H_∞控制的状态反馈增益矩阵为

步骤5：H_∞控制最优化。

利用Matlab LMI工具箱求解最优化问题式(6)，如式(6)有解，则得到具有随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制在符合H_∞控制条件下，系统的最优扰动抑制比为γ_opt，同时状态反馈增益矩阵K(ρ(k))被优化为

步骤6：实现H_∞控制。

将利用Matlab LMI工具箱求解得到的参数代入式(7)，可得所设计的状态反馈控制器在一定的范围内能够保证具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制是指数均方稳定的，且满足给定的H_∞性能指标。

实施例2：

采用本发明提出的一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制方法，具体实现方法如下：

某不间断电源网络为线性参数变化系统，其数学模型为式(1)，给定其系统参数为：

其中，ρ₁(k)和ρ₂(k)为可测量的时变参数，其取值范围分别为ρ₁(k)∈[-1,1]和ρ₂(k)∈[1,2]， 1≤d(k)≤3，则参数多面体Θ的顶点为：{θ₁,θ₂,θ₃,θ₄}＝{[-1,1],[-1,2],[1,1],[1,2]}。

取

α₁＝α₂＝α₃＝α₄＝1/4。

扰动为:

给定初始状态为x(0)＝[1 -0.5]^T，利用Matlab LMI工具箱求出状态反馈增益矩阵，用 Matlab仿真出不同概率的随机时延情况下,具有网络随机时变时延的线性参数变化系统在 H_∞控制下的状态响应，如附图3-附图7所示，附图3表明该具有网络随机时变时延的线性参数变化系统在开环状态下是发散的，不稳定的系统。由附图4-附图7的闭环控制状态响应曲线图可以观察出，当时延固定为d(k)＝1时，随着时延概率的增大，闭环控制的H_∞性能指标变大，说明其抗干扰性变差，闭环控制的状态响应曲线的稳定性变差，甚至是不稳定。在时延概率α≤0.5时，闭环控制是稳定的；当时延概率α＞0.6时，闭环控制逐渐变为发散的。附图5与附图7对比可以观察出，当时延概率固定为α＝0.5时，随着时延d(k)的增大，闭环控制的状态响应曲线的稳定性变差。当d(k)＞2时，闭环控制逐渐变为不稳定了。

综合以上可以得出，时延概率或者时延大小的值会影响闭环控制的稳定性和性能指标，随着网络时延概率α的增大或者时延d(k)的增大，闭环控制的稳定性和性能指标都会下降。本发明所设计的控制器在一定的范围内可以保证闭环控制稳定且满足给定的性能指标。

Claims (1)

1.一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的H_∞控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立线性参数变化系统的数学模型

x(k)＝Φ(k),k∈[-d,0]

其中，

为系统的状态向量；

为系统的输出向量；

为系统的控制输入向量；

为系统的扰动输入向量；α_i为多胞体的坐标，并且，α_i≥0，

r为多胞体顶点个数的上限；

和

是线性参数变化系统的系统矩阵；

和

i＝1,2,…r分别为线性参数变化系统的系统矩阵A(ρ(k))、B₁(ρ(k))、B₂(ρ(k))、C(ρ(k))和D(ρ(k))在多胞体各顶点处的值；{Φ(k),k＝-d,-d+1,…,0}，是一个已知初始条件序列，d为系统的状态变量在零时刻之前的时间下限；参数向量ρ(k)＝[ρ₁(k) ρ₂(k) … ρ_s(k)]^T满足ρ_i(k)范围可测，且

ρ_i 是ρ_i(k)的下限，

是ρ_i(k)的上限；

2)设计状态反馈控制器，控制器的输出为控制输入向量u(k)，即：

u(k)＝(1-δ_k)K(ρ(k))x(k)+δ_kK(ρ(k))x(k-d(k)) (2)

其中，1≤d_m≤d(k)≤d_M，

为待求的依赖于参数的状态反馈增益矩阵，d(k)表示网络随机时变时延，d_m为时延下界，d_M为时延上界；δ_k表示信号在传感器到控制器的网络传输信道上是否有时延发生；当δ_k＝0时，表示不存在随机时延；当δ_k＝1时，表示存在随机时延；

随机时变时延发生概率为：

其中，0≤α≤1是已知常数，E{·}表示数学期望，prob{·}表示事件发生概率；

线性参数变化系统(1)和状态反馈控制器(2)构成一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统；

3)构造Lyapunov函数

V(k,ρ(k))＝V₁+V₂+V₃+V₄ (4)

其中，V₁＝x^T(k)P(ρ(k))x(k)，

τ(k)＝x(k+1)-x(k)；

和

为已知的正定对称矩阵，j为时延的下界和上界之间的离散值；

4)计算状态反馈增益矩阵K(ρ(k))

具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统稳定和H_∞控制存在的充分条件为：给定通信时延发生概率0≤α≤1，一个γ＞0的指标，当存在对称正定矩阵

和

矩阵

和使得线性矩阵不等式(5)成立时，则该具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统是指数均方稳定的，且满足H_∞性能指标，H_∞控制的状态反馈增益矩阵为

其中，*代表对称位置矩阵的转置，

A_d(ρ)＝αB₁(ρ(k))K(ρ(k))，

I为单位阵；

5)H_∞控制最优化

计算H_∞控制的状态反馈增益矩阵后，根据

求出具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统性能指标γ，H_∞控制下最优扰动抑制比γ_opt优化的条件为：

当式(6)有解时，则得到具有随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统在符合H_∞控制条件下，系统的最优扰动抑制比为γ_opt，同时状态反馈增益矩阵K(ρ(k))被优化为

6)实现H_∞控制

由线性参数变化系统(1)和状态反馈控制器(2)构成一类具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统：

其中，

利用Matlab LMI工具箱求解式(6)，将参数代入式(7)，得到所设计的状态反馈控制器能够保证具有网络随机时变时延的线性参数变化系统的闭环控制系统是指数均方稳定的，且满足给定的H_∞性能指标。

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