CN109812413B - 一种泵用转子取得最大形状系数计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种泵用转子取得最大形状系数计算方法，泵设有转子，所述转子的型线由节圆之外的峰型线段和之内的谷型线段组成，所述峰型线段、谷型线段均由单一线段或多段构成，彼此相连且连接点位于节圆上的一条峰型线段和一条谷型线段分别定义为峰主型线段和谷主型线段，二者共同构成转子本体的共轭旋转运动，所述形状系数由转子的峰顶半径与节圆半径的比值所标准定义。当峰主型线段处于拐点临界状态或等价的谷主型线段无几何干涉的临界状态时，峰主型线段上拐点处的曲率半径线被曲率半径线与节圆的交点所平分。拐点曲率半径线垂直于拐点曲率中心与转子中心的连线。

Description

一种泵用转子取得最大形状系数计算方法

技术领域

本发明涉及一种泵用转子，特别涉及任意型线罗茨泵转子取得最大形状系数的判据及计算方法。

背景技术：

罗茨泵是一种回转式容积泵，应用广泛，其中具有相同形状参数的主、从转子的型线是决定该泵性能的重要因素之一。依据场合的不同，主、从转子的型线可分别采用圆弧、渐开线等多种线型或彼此间的组合线型。

由转子峰顶半径与节圆半径的比值所定义的转子形状系数直接决定了泵的介质输出量，所以轻量化罗茨泵的设计重点在于追求转子具有最大的形状系数，这样在满足一定介质输出量的前提下，转子的形状系数越大，则罗茨泵的体积就越小。目前，通过主、从转子型线间的共轭关系或计算机模拟等方法，虽然已经分别给出了圆弧、渐开线等典型转子各自的最大形状系数值，例如：2叶圆弧转子的最大形状系数为1.67，3叶的为1.48，4叶的为1.37；2叶渐开线转子的最大形状系数为1.62，3叶的为1.46，4叶的为1.37等；但这些针对具体型线的单一计算方法，由于其中所涉及到的理论、技术比较深奥，妨碍了一般工程技术人员的接受与直接采用；也不利于创新转子的最大形状系数确定与评估。

发明内容

针对背景技术提出的不足，本发明给出一种泵用任何型线转子取得最大形状系数的判据及计算方法，目的在于：不管针对现有型线的还是创新型线的任何转子，通过本发明所得出的判据方法，再结合具体型线定义下的简单计算，均能快速实现其最大形状系数的高效确定与评估，简明扼要的判据方法也极易于一般工程技术人员所接受与采用。

为实现上述目的，本发明技术解决方案如下：

一种泵用转子取得最大形状系数的判据及计算方法，所述泵设有转子，所述转子均为n叶式，n≥2，n为正整数，所述转子的型线由节圆之外的峰型线段和之内的谷型线段组成，所述峰型线段、谷型线段均由单一线段或多段构成，其中，彼此相连且连接点位于节圆上的一条峰型线段和一条谷型线段分别定义为峰主型线段和谷主型线段，二者共同构成转子本体的共轭旋转运动。

其特征在于：S1、峰主型线段上拐点处分析： 当峰主型线段处于拐点临界状态或等价的谷主型线段无几何干涉的临界状态时，峰主型线段上拐点处的曲率半径线被曲率半径线与节圆的交点所平分；

S2、拐点处曲率中心的分析： 拐点曲率半径线垂直于拐点曲率中心与转子中心的连线；

S3、转子取得最大形状系数的计算方法：最大形状系数=峰主型线段处于拐点临界状态下的转子峰顶半径/节圆半径。

步骤一：以主转子的转子中心o ₁为原点，峰轴为y轴，构建xo ₁ y坐标系，取峰主型线段上的任一点m, 设过点m的峰主型线段的法线与节圆交于p点，设e为峰主型线段和谷主型线段相互连接于节圆上的端点，记o ₁ p连线与峰轴的夹角为θ；y=f(x)为峰主型线段的函数表达式，其中，f(x)的具体形式由选定类型（比如圆弧型、渐开线型、抛物线型等）及对应的待定系数所确定。

步骤二：在步骤一设定的的xo ₁ y坐标系下，在峰主型线段的几何关系上，存在着

其中，m处的曲率半径为ρ _m ，曲率中心为o _m ，在xo ₁ y坐标系下的横、纵坐标为x _m 、y _m =f(x _m )；mp的连线长度为ρ；y _m '、y _m ''为y _m =f(x _m )的一、二阶导数，节圆半径为R；

步骤三、依据共轭几何关系上的欧拉-萨伐里方程，存在着

其中，峰主型线段上点m所对应谷主型线段上的共轭点c处的曲率半径为ρ _c ，o _m p连线的长度为ω=ρ _m －ρ；o _m o ₁连线的长度为b；β=∠o _m po ₁；

定义变量τ为

则，将式（3）代入式（2）后并结合ω=ρ _m －ρ，整理后得

步骤四、谷主型线段作为共轭光滑的连续线段，则要求式（4）中的ρ _c ≥0；如ρ _c <0，则c点处谷主型线段的曲率半径为负，此时谷主型线段在该点处将产生几何上的不连续折线，从而形成共轭上的几何干涉；当谷主型线段处于无几何干涉的临界状态或峰主型线段处于拐点临界状态时，设峰主型线段上的拐点为m ^* ，m ^* 处对应的o _m 、ρ _m 、ρ、p、ω、b、τ、c、ρ _c 、x _m 、y _m 、θ分别为o _m* 、ρ _m* 、ρ ^* 、p ^* 、ω ^* 、b ^* 、τ ^* 、c ^* 、ρ _c* 、x _m* 、y _m* 、θ ^* ，则，由式（4）中的ρ _c (c=c ^* )=0的

步骤五、由峰主型线段处于拐点m ^* 的临界状态，即式（5）的一阶导数等于0，即

结合式（3）的定义，则

由式（7）说明三角形o ₁ o _m* p ^* 符合直角三角形的勾股定理，得线o ₁ o _m* ⊥线o _m* m ^* ，即S2:拐点曲率半径线垂直于拐点曲率中心与转子中心的连线。

步骤六、将式（7）中的ω ^* =τ ^* 代入式(5)，得

则，由ρ _m* =2τ ^* 和ω ^* =τ ^* ，得ω ^* =0.5ρ _m* ，又由ω ^* =ρ _m* －ρ ^* 的定义，得ρ ^* =ω ^* 。此时，ω ^* =ρ ^* =0.5ρ _m* ，即得出S1：当峰主型线段处于拐点临界状态或等价的谷主型线段无几何干涉的临界状态时，峰主型线段上拐点处的曲率半径线被曲率半径线与节圆的交点所平分。

步骤七、联立峰主型线段处于拐点状态时的S1、S2的

和端点e既在峰主型线段上又在节圆上的

的方程组，确定出选定类型下（比如圆弧型、渐开线型、抛物线型等）的峰主型线段y=f(x)中的待定系数，进而计算出峰主型线段处于拐点临界状态下的转子峰顶半径，最后计算出转子的最大形状系数ε=峰主型线段处于拐点临界状态下的转子峰顶半径/节圆半径。

附图说明

图1为转子峰主型线段和谷主型线段示意图。

图2为转子谷主型线段的几何干涉示意图。

图3为转子取得最大形状系数的判据示意图。

图4为现有圆弧转子最大形状系数的计算示意图。

图5为创新抛物线转子最大形状系数的计算示意图。

具体实施方式

如图1~图5所示：所述泵用转子本体上分为主转子和从转子，主、从转子具有相同的结构与形状，故如无特别说明，所述的“转子”均代表主、从转子；所述的“型线”、“形状系数”、“最大形状系数”均代表主、从转子的型线、形状系数、最大形状系数。

型线均可分为节圆之外的峰型线段和之内的谷型线段组成，其中，主转子的峰、谷型线段与从转子的谷、峰型线段分别存在着相应的旋转几何上的共轭关系。故，一旦给出峰、谷型线段中任一的几何描述，即可通过共轭关系求出另一的几何描述，通常采用的方法为由已知的主转子峰型线段通过与从转子谷型线段间的共轭关系，求解出未知的从转子谷型线段，又由于主、从转子具有相同的结构与形状，故从转子上的谷型线段即为主转子上的谷型线段。

无论主转子峰型线段是由单一线段构成还是由多段构成，其中能始终构成共轭旋转运动的线段定义直接决定了转子的形状系数，为便于描述，该线段简称为峰主型线段，共轭对应的为谷主型线段。

当峰主型线段处于光滑且无弯曲方向改变的临界状态时（数学上称为拐点临界状态），此时的转子取得拐点临界状态下的形状系数，如转子取大于该拐点临界状态下的形状系数时，则谷主型线段上会出现不连续的折线，从而破坏峰、谷主型线段间的共轭关系。故，可通过峰主型线段的拐点临界状态或等价的谷主型线段无几何干涉的临界状态，求出转子的最大形状系数。

一种泵用转子取得最大形状系数的判据及计算方法，所述泵设有转子所述转子均为n叶式，n≥2，n为正整数，所述转子的型线的峰部、谷部对称轴线简称为峰、谷轴，所述转子型线分为节圆之外的峰型线段和之内的谷型线段组成，所述峰型线段、谷型线段均由单一线段或多段构成，

所述峰主型线段和谷主型线段彼此相连且连接点位于节圆上，二者共同构成转子本体的共轭旋转运动。

其特征在于：

S1、峰主型线段上拐点处分析： 当峰主型线段处于拐点临界状态或等价的谷主型线段无几何干涉的临界状态时，峰主型线段上拐点处的曲率半径线被曲率半径线与节圆的交点所平分；

S2、拐点处曲率中心的分析： 拐点曲率半径线垂直于拐点曲率中心与转子中心的连线；

S3、转子取得最大形状系数的计算方法：最大形状系数=峰主型线段处于拐点临界状态下的转子峰顶半径/节圆半径。

步骤一：以主转子的转子中心o ₁为原点，峰轴为y轴，构建xo ₁ y坐标系，取峰主型线段上的任一点m, 设过点m的峰主型线段的法线与节圆交于p点，设e为峰主型线段和谷主型线段相互连接于节圆上的端点，记o ₁ p连线与峰轴的夹角为θ；y=f(x)为峰主型线段的函数表达式，其中，f(x)的具体形式由选定类型（比如圆弧型、渐开线型、抛物线型等）及对应的待定系数所确定。

步骤二：在步骤一设定的的xo ₁ y坐标系下，在峰主型线段的几何关系上，存在着

其中，m处的曲率半径为ρ _m ，曲率中心为o _m ，在xo ₁ y坐标系下的横、纵坐标为x _m 、y _m =f(x _m )；mp的连线长度为ρ；y _m '、y _m ''为y _m =f(x _m )的一、二阶导数，节圆半径为R；

步骤三、依据共轭几何关系上的欧拉-萨伐里方程，存在着

其中，峰主型线段上点m所对应谷主型线段上的共轭点c处的曲率半径为ρ _c ，o _m p连线的长度为ω=ρ _m －ρ；o _m o ₁连线的长度为b；β=∠o _m po ₁；

定义变量τ为

则，将式（3）代入式（2）后并结合ω=ρ _m －ρ，整理后得

步骤四、谷主型线段作为共轭光滑的连续线段，则要求式（4）中的ρ _c ≥0；如ρ _c <0，则c点处谷主型线段的曲率半径为负，此时谷主型线段在该点处将产生几何上的不连续折线，从而形成共轭上的几何干涉；当谷主型线段处于无几何干涉的临界状态或峰主型线段处于拐点临界状态时，设峰主型线段上的拐点为m ^* ，m ^* 处对应的o _m 、ρ _m 、ρ、p、ω、b、τ、c、ρ _c 、x _m 、y _m 、θ分别为o _m* 、ρ _m* 、ρ ^* 、p ^* 、ω ^* 、b ^* 、τ ^* 、c ^* 、ρ _c* 、x _m* 、y _m* 、θ ^* ，则，由式（4）中的ρ _c (c=c ^* )=0的

步骤五、由峰主型线段处于拐点m ^* 的临界状态，即式（5）的一阶导数等于0，即

结合式（3）的定义，则

由式（7）说明三角形o ₁ o _m* p ^* 符合直角三角形的勾股定理，得线o ₁ o _m* ⊥线o _m* m ^* ，即S2:拐点曲率半径线垂直于拐点曲率中心与转子中心的连线。

步骤六、将式（7）中的ω ^* =τ ^* 代入式(5)，得

则，由ρ _m* =2τ ^* 和ω ^* =τ ^* ，得ω ^* =0.5ρ _m* ，又由ω ^* =ρ _m* －ρ ^* 的定义，得ρ ^* =ω ^* 。此时，ω ^* =ρ ^* =0.5ρ _m* ，即得出S1：当峰主型线段处于拐点临界状态或等价的谷主型线段无几何干涉的临界状态时，峰主型线段上拐点处的曲率半径线被曲率半径线与节圆的交点所平分。

步骤七、联立峰主型线段处于拐点状态时的S1、S2的

和端点e既在峰主型线段上又在节圆上的

的方程组，确定出选定类型下（比如圆弧型、渐开线型、抛物线型等）的峰主型线段y=f(x)中的待定系数，进而计算出峰主型线段处于拐点临界状态下的转子峰顶半径，最后计算出转子的最大形状系数ε=峰主型线段处于拐点临界状态下的转子峰顶半径/节圆半径。

实施例1 现有圆弧转子的最大形状系数计算

以具有最大形状系数的圆弧转子的半叶型线为例，如图4所示。该圆弧转子的峰、谷主型线段为单一圆弧、单一圆弧共轭段。则，峰主型线段的单一圆弧方程为

由式（8），得

由峰主型线段的端点e位于节圆上的几何关系，即在三角形o ₁ o _m* e中，存在

联立式(11)~(13)，得

则，圆弧转子的最大形状系数为

与现有繁琐计算的结果完全一致，且概念清晰，计算简单。

实施例2 创新抛物线转子的最大形状系数计算

以具有最大形状系数的抛物线转子的半叶型线为例，如图5所示。该转子的峰主型线段为单一的抛物线段。设该峰主型线段的抛物线方程为

其中，ε、k为定义峰主型线段（单一抛物线段）的未知系数。且ε也为创新抛物线转子的最大形状系数。

由峰主型线段的终点e既在抛物段上又在节圆上，得

其次，结合抛物线段的定义式（16)和S1、S2，整理得

Claims (5)

1.一种泵用转子取得最大形状系数计算方法，所述泵设有转子，所述转子均为n叶式，n≥2，n为正整数，所述转子的型线由节圆之外的峰型线段和之内的谷型线段组成，所述峰型线段、谷型线段均由单一线段或多段构成，其中，彼此相连且连接点位于节圆上的一条峰型线段和一条谷型线段分别定义为峰主型线段和谷主型线段，二者共同构成转子本体的共轭旋转运动，所述形状系数由转子的峰顶半径与节圆半径的比值所标准定义，

其特征包括以下步骤：

S1、峰主型线段上拐点处分析： 当峰主型线段处于拐点临界状态或等价的谷主型线段无几何干涉的临界状态时，峰主型线段上拐点处的曲率半径线被曲率半径线与节圆的交点所平分；

S2、拐点处曲率中心的分析： 拐点曲率半径线垂直于拐点曲率中心与转子中心的连线；

S3、转子取得最大形状系数的计算方法：最大形状系数=峰主型线段处于拐点临界状态下的转子峰顶半径/节圆半径。

2.根据权利要求1所述的一种泵用转子取得最大形状系数计算方法，其特征在于：

步骤一：以主转子的转子中心o₁为原点，峰轴为y轴，构建xo₁y坐标系，取峰主型线段上的任一点m, 设过点m的峰主型线段的法线与节圆交于p点，设e为峰主型线段和谷主型线段相互连接于节圆上的端点，记o₁p连线与峰轴的夹角为θ；y=f(x)为峰主型线段的函数表达式，其中，f(x)的具体形式由选定类型及对应的待定系数所确定；

步骤二：在步骤一设定的的xo₁y坐标系下，在峰主型线段的几何关系上，存在着

其中，m处的曲率半径为ρ_m，曲率中心为o_m，在xo₁y坐标系下的横、纵坐标为x_m、y_m=f(x_m)；mp的连线长度为ρ；y_m'、y_m''为y_m=f(x_m)的一、二阶导数，节圆半径为R；

步骤三、依据共轭几何关系上的欧拉-萨伐里方程，存在着

其中，峰主型线段上点m所对应谷主型线段上的共轭点c处的曲率半径为ρ_c，o_mp连线的长度为ω=ρ_m－ρ；o_mo₁连线的长度为b；β=∠o_mpo₁；

定义变量τ为

则，将式（3）代入式（2）后并结合ω=ρ_m－ρ，整理后得

步骤四、谷主型线段作为共轭光滑的连续线段，则要求式（4）中的ρ_c≥0；如ρ_c<0，则c点处谷主型线段的曲率半径为负，此时谷主型线段在c点处将产生几何上的不连续折线，从而形成共轭上的几何干涉；当谷主型线段处于无几何干涉的临界状态或峰主型线段处于拐点临界状态时，设峰主型线段上的拐点为m^*，m^*处对应的o_m、ρ_m、ρ、p、ω、b、τ、c、ρ_c、x_m、y_m、θ分别为o_m*、ρ_m*、ρ^*、p^*、ω^*、b^*、τ^*、c^*、ρ_c*、x_m*、y_m*、θ^*，则，由式（4）中的ρ_c(c=c^*)=0的

步骤五、由峰主型线段处于拐点m^*的临界状态，即式（5）的一阶导数等于0，即

结合式（3）的定义，则

由式（7）说明三角形o₁o_m*p^*符合直角三角形的勾股定理，得线o₁o_m*⊥线o_m*m^*，即S2:拐点曲率半径线垂直于拐点曲率中心与转子中心的连线。

3.根据权利要求2所述的一种泵用转子取得最大形状系数计算方法，其特征在于：

将式（7）中的ω^*=τ^*代入式(5)，得

则，由ρ_m*=2τ^*和ω^*=τ^*，得ω^*=0.5ρ_m*，又由ω^*=ρ_m*－ρ^*的定义，得ρ^*=ω^*；此时，ω^*=ρ^*=0.5ρ_m*，即得出S1：当峰主型线段处于拐点临界状态或等价的谷主型线段无几何干涉的临界状态时，峰主型线段上拐点处的曲率半径线被曲率半径线与节圆的交点所平分。

4.根据权利要求3所述的一种泵用转子取得最大形状系数计算方法，其特征在于：联立峰主型线段处于拐点状态时的S1、S2的

和端点e既在峰主型线段上又在节圆上的

的方程组，确定出选定类型下的峰主型线段y=f(x)中的待定系数，进而计算出峰主型线段处于拐点临界状态下的转子峰顶半径，最后计算出转子的最大形状系数ε=峰主型线段处于拐点临界状态下的转子峰顶半径/节圆半径。

5.根据权利要求2或4所述的一种泵用转子取得最大形状系数计算方法，其特征在于：所述f(x)的选定类型为：圆弧型或渐开线型或抛物线型。