CN106438358B - 一种自平衡的锥形螺杆转子 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种自平衡的锥形螺杆转子，螺杆转子整体呈锥形，从吸气端(Ⅰ‑Ⅰ)到排气端(Ⅶ‑Ⅶ)，转子齿顶圆弧半径R1逐渐减小，齿根圆弧半径R3逐渐增大；螺杆转子的齿顶厚度δ1和齿根厚度δ2沿轴向保持不变；在任意轴向位置处，截面型线是变化的，但截面型线的组成曲线的类型相同，都包括12条曲线，相邻曲线之间完全光滑连接；所提出的一种自平衡的变螺距锥形螺杆转子能有效增加吸气端工作腔容积，减小排气端工作腔容积，使转子有较大内容积比，并保证了排气端的级间密封性能和转子的强度；在螺杆转子任意轴向位置处，截面型线的形心都在螺杆转子的回转中心线上，螺杆转子的动平衡性能好。

Description

一种自平衡的锥形螺杆转子
技术领域
本发明涉及双螺杆真空泵，特别涉及适用于双螺杆真空泵的一种自平衡的锥形螺杆转子。
背景技术
双螺杆真空泵是一种容积式真空泵，因其抽气腔干式无油、运行平稳可靠的优点，广泛应用于石油化工、食品制药、真空热处理、纳米制造、国防技术领域；双螺杆真空泵通过两个螺杆转子的同步异向双回转运动，完成气体在泵腔内的吸气、运输、压缩和排气过程；螺杆转子及其截面型线的性能，直接影响螺杆真空泵的级间密封性能、力学性能和极限真空度。
专利CN101351646公开的单头锥形螺杆转子，吸气端外径大，排气端外径小，工作时存在内压缩过程；该螺杆转子的齿厚变化规律为：靠近吸气端的齿顶厚度较大，占用了一部分吸气容积，影响抽气量，靠近排气端气体压力较高，但齿顶厚度较小，无法有效阻挡高压气体通过齿顶面的级间泄漏；同时该螺杆转子，其轴向截面的形心不在螺杆转子的回转中心线上，易产生偏心力影响正常啮合。
发明内容
为了解决上述文献中的螺杆转子存在偏心力、截面型线存在尖点、吸气端齿顶厚度较大占用吸气容积、排气端齿顶厚度较小使气体通过齿顶面的级间泄漏较大的问题，为了丰富螺杆转子的种类，本发明提出一种自平衡的锥形螺杆转子；螺杆转子呈锥形，从吸气端(Ⅰ-Ⅰ)到排气端(Ⅶ-Ⅶ)，螺杆转子的截面型线是变化的；螺杆转子的导程P沿轴向保持不变，通过控制螺杆转子齿顶圆弧的圆心角α，使螺杆转子的齿顶厚度δ1和齿根厚度δ2始终不变且相等，由此可有增大螺杆转子在吸气端(Ⅰ-Ⅰ)的吸气容积，效阻挡螺杆转子在排气端(Ⅶ-Ⅶ)处两个相邻工作腔间气体通过齿顶面的级间泄漏，同时增大了螺杆转子在排气端(Ⅶ-Ⅶ)处的强度，减小变形；螺杆转子所采用的截面型线是光滑的且能够实现正确的啮合，消除不光滑连接点的不良影响，改善了螺杆转子的受力状况；所提出的螺杆转子在任意轴向位置处，其截面型线为S形，截面型线的形心都在螺杆转子的回转中心线上，使螺杆转子具有良好的动平衡性能；所提出的螺杆转子，能够增大吸气端工作腔容积，减小排气端的工作腔容积，增大工作过程中的内容积比，提高了双螺杆真空泵的抽速和极限真空度。
为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
本发明提出的一种自平衡的锥形螺杆转子，从吸气端(Ⅰ-Ⅰ)到排气端(Ⅶ-Ⅶ)，螺杆转子呈锥形，且螺杆转子是全光滑的，不存在不光滑处；螺杆转子的导程P沿轴向保持不变；螺杆转子的齿顶厚度δ1和齿根厚度δ2始终不变且相等，即δ1＝δ2；在任意轴向位置处，螺杆转子的截面型线为S形，且截面型线的形心在螺杆转子的回转中心线上。
一种自平衡的锥形螺杆转子，在任意轴向位置处，螺杆转子的截面型线都不相同，是变化的，但截面型线上各段组成曲线的类型和数量相同，共12段曲线，包括：第一齿顶圆弧AB、第一齿尖圆弧BC、第一摆线的等距曲线CD、第一齿根圆弧DE、第一连接圆弧的包络线EF、第一连接圆弧FG、第二齿顶圆弧GH、第二齿尖圆弧HI、第二摆线的等距曲线IJ、第二齿根圆弧JK、第二连接圆弧的包络线KL、第二连接圆弧LA；相邻两段曲线之间都是完全光滑连接的，截面型线上不存在不光滑连接点；截面型线上的第一齿顶圆弧AB、第一齿尖圆弧BC、第一摆线的等距曲线CD、第二齿根圆弧JK、第二连接圆弧的包络线KL、第二连接圆弧LA，分别与第二齿顶圆弧GH、第二齿尖圆弧HI、第二摆线的等距曲线IJ、第一齿根圆弧DE、第一连接圆弧的包络线EF、第一连接圆弧FG关于回转中心点O呈中心对称。
一种自平衡的锥形螺杆转子，在工作过程中，左旋螺杆转子(301)和右旋螺杆转子(302)在同步异向双回转运动中，能够实现完全正确的啮合；在任意轴向位置处，左旋螺杆转子(301)的左旋截面型线(201)和右旋螺杆转子(302)的右旋截面型线(202)完全相同，只是相位不同；左旋截面型线(201)中的第一齿顶圆弧AB、第一齿尖圆弧BC、第一摆线的等距曲线CD、第一齿根圆弧DE、第一连接圆弧的包络线EF、第一连接圆弧FG，分别与右旋截面型线(202)中的第二齿根圆弧jk、第二摆线的等距曲线ij、第二齿尖圆弧hi、第二齿顶圆弧gh、第一连接圆弧fg、第一连接圆弧的包络线ef能够实现正确的啮合。
一种自平衡的锥形螺杆转子，左旋螺杆转子(301)由左旋截面型线(201)从吸气端(Ⅰ-Ⅰ)到排气端(Ⅶ-Ⅶ)沿左旋螺旋线展开，右旋螺杆转子(302)由右旋截面型线(202)从吸气端(Ⅰ-Ⅰ)到排气端(Ⅶ-Ⅶ)沿右旋螺旋线展开；以螺杆转子的回转中心线与吸气端所在平面的交点为坐标原点，以回转中心线为z轴，建立三维空间坐标系，螺旋线方程为：
左旋螺旋线：
右旋螺旋线：
式中：τ—螺旋展开角，rad；R—螺旋线基圆半径，mm；n—螺杆导程数；P—螺杆转子的导程；
在螺杆转子的截面型线沿螺旋线展开的同时，在任意轴向位置处，截面型线的齿顶圆弧半径R1、齿根圆弧半径R3、齿顶圆弧的圆心角α也随螺旋展开角τ的变化而变化，其规律为：
齿顶圆弧半径：
齿根圆弧半径：
齿顶圆弧的圆心角：
式中：Rs1、Rd1—分别为在吸气端(Ⅰ-Ⅰ)和排气端(Ⅶ-Ⅶ)处的齿顶圆弧半径；Rs3、Rd3—分别为在吸气端(Ⅰ-Ⅰ)和排气端(Ⅶ-Ⅶ)处的齿根圆弧半径；αs—在吸气端(Ⅰ-Ⅰ)处的齿顶圆弧的圆心角。
5、如权利要求1所述的一种自平衡的锥形螺杆转子，其特征是：左旋螺杆转子(301)的左旋截面型线(201)上的各曲线方程如下：
①第一齿顶圆弧AB的方程为：
②第一齿尖圆弧BC的方程为：
式中：r—齿尖圆弧半径；(xM,yM)—齿尖圆弧的圆心点M的坐标；
确定齿尖圆弧的圆心点M(xM,yM)的坐标，首先联立以下两个方程求出交点：
将上述方程所确定的交点，绕回转中心点O顺时针旋转β角度，可得齿尖圆心点M(xM,yM)；其中
③第一摆线的等距曲线CD的确定方式为：
首先按下述方程确定一段曲线：
将上述方程所确定的曲线，绕回转中心点O顺时针旋转β角度，可得第一摆线的等距曲线CD；
④第二齿根圆弧JK的方程为：
⑤第二连接圆弧的包络线KL的确定方式为：
首先按下述方程确定一段曲线：
将上述方程所确定的初始曲线，绕回转中心点O顺时针旋转α角度，可得第二连接圆弧的包络线KL，α为齿顶圆弧的圆心角；
⑥第二连接圆弧LA的方程为：
式中：Lp—第二连接圆弧LA的圆心点N距离回转中心点O的长度，由以下公式确定：
本发明的有益效果为：
①所提出的一种自平衡的锥形螺杆转子，螺杆转子呈锥形，从螺杆转子的吸气端(Ⅰ-Ⅰ)到排气端(Ⅶ-Ⅶ)，截面型线上齿顶圆弧半径R1逐渐减小，齿根圆弧半径R3逐渐增大，能充分增大吸气端的工作腔容积，减小排气端的工作腔容积，使转子有较大内容积比，提高双螺杆真空泵的抽速；
②螺杆转子的齿顶厚度δ1和齿根厚度δ2沿轴向保持不变且相等，即δ1＝δ2，可以进一步增大吸气端工作腔容积，有效阻挡靠近排气端处气体通过齿顶面的级间泄漏，并保证螺杆转子高压侧的强度，减小工作时的变形；
③螺杆转子的截面型线，采用一段齿尖圆弧连接摆线的等距曲线和齿顶圆弧，螺杆转子是全光滑的且能实现正确的啮合，同时消除不光滑连接点的应力集中区域，改善螺杆转子的受力状况，并防止尖点磨损造成的泄漏加剧；
④在任意轴向位置处，螺杆转子的截面型线为S形，截面型线的形心在螺杆转子的回转中心线上，即螺杆转子具有良好的动平衡性能。
附图说明
图1为自平衡的锥形螺杆转子的截面型线图。
图2为两个螺杆转子的截面型线的啮合图。
图3为自平衡的锥形螺杆转子图。
图4为工作时两个自平衡的锥形螺杆转子的啮合图。
图5为在任意轴向位置处两个螺杆转子的截面型线啮合图。
图中：R1、R2、R3—分别为截面型线上的齿顶圆弧半径、节圆半径、齿根圆弧半径，三者的长度关系为：2R2＝R1+R3；α—齿顶圆弧的圆心角；β—齿尖圆弧的圆心点M相对于x轴的相位角；δ1—螺杆转子的齿顶厚度；δ2—螺杆转子的齿根厚度；P—螺杆转子的导程；301—左旋螺杆转子；302—右旋螺杆转子；201—左旋螺杆转子的左旋截面型线；202—右旋螺杆转子的右旋截面型线；点O、o—分别为两个螺杆转子截面型线的回转中心点，所在的轴线分别为两个螺杆转子的回转中心线。
具体实施方式
下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。
如图1所示，为自平衡的锥形螺杆转子的截面型线图；螺杆转子的截面型线是指：用一个垂直于螺杆转子回转中心线的平面，从任意轴向位置处截断螺杆转子，断面处得到的轮廓曲线；螺杆转子的截面型线由12段曲线围成，顺时针依次为：第一齿顶圆弧AB、第一齿尖圆弧BC、第一摆线的等距曲线CD、第一齿根圆弧DE、第一连接圆弧的包络线EF、第一连接圆弧FG、第二齿顶圆弧GH、第二齿尖圆弧HI、第二摆线的等距曲线IJ、第二齿根圆弧JK、第二连接圆弧的包络线KL、第二连接圆弧LA；相邻曲线之间光滑连接，整个螺杆转子的截面型线上不存在不光滑连接点；整个截面型线为S形且中心对称，截面型线上的第一齿顶圆弧AB、第一齿尖圆弧BC、第一摆线的等距曲线CD、第二齿根圆弧JK、第二连接圆弧的包络线KL、第二连接圆弧LA，分别与第二齿顶圆弧GH、第二齿尖圆弧HI、第二摆线的等距曲线IJ、第一齿根圆弧DE、第一连接圆弧的包络线EF、第一连接圆弧FG关于回转中心点O呈中心对称。
如图2所示，为两个螺杆转子的截面型线的啮合图；在同一轴向位置处，两个螺杆转子的截面型线完全相同，只是相位不同；左旋截面型线(201)中的第一齿顶圆弧AB、第一齿尖圆弧BC、第一摆线的等距曲线CD、第一齿根圆弧DE、第一连接圆弧的包络线EF、第一连接圆弧FG，分别与右旋截面型线(202)中的第二齿根圆弧jk、第二摆线的等距曲线ij、第二齿尖圆弧hi、第二齿顶圆弧gh、第一连接圆弧fg、第一连接圆弧的包络线ef能够实现正确的啮合。
如图3所示，为自平衡的锥形螺杆转子图；图中Ⅰ-Ⅰ和Ⅶ-Ⅶ分别表示螺杆转子吸气端和排气端对应的轴向位置；左旋螺杆转子(301)由左旋截面型线(201)从吸气端(Ⅰ-Ⅰ)向排气端(Ⅶ-Ⅶ)沿左旋螺旋线展开，右旋螺杆转子(302)由右旋截面型线(202)从吸气端(Ⅰ-Ⅰ)向排气端(Ⅶ-Ⅶ)沿右旋螺旋线展开；在螺旋展开的同时，截面型线上的齿顶圆弧半径R1逐渐减小，齿根圆弧半径R3逐渐增大，使螺杆转子的整体形状呈锥形；螺旋线左旋和右旋的规定为：用左手拇指由吸气端指向排气端方向，螺旋线上动点沿其余四指的指向上升即为左旋；用右手拇指由吸气端指向排气端方向，螺旋线上动点沿其余四指的指向上升即为右旋。
如图4所示，为工作时两个自平衡的锥形螺杆转子的啮合图；螺杆转子的导程P沿轴向保持不变，齿顶厚度δ1和齿根厚度δ2沿轴向保持不变且相等，即δ1＝δ2；在截面型线沿螺旋线展开生成转子的过程中，螺旋展开角τ的值取0，π，2π，3π，4π时，对应的轴向位置分别用Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ、Ⅳ-Ⅳ、Ⅴ-Ⅴ、Ⅵ-Ⅵ、Ⅶ-Ⅶ表示。
如图5所示，为在任意轴向位置处两个螺杆转子的截面型线啮合图；图5(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)分别对应在轴向位置Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ、Ⅳ-Ⅳ、Ⅴ-Ⅴ、Ⅵ-Ⅵ、Ⅶ-Ⅶ处，两个螺杆转子截面型线的瞬时啮合图；可见在任意轴向位置处两个螺杆的截面型线是完全啮合的，因此可以说明两个螺杆转子在整体上是相互啮合的；不同轴向位置处，截面型线的主要变化规律为：从吸气端(Ⅰ-Ⅰ)到排气端(Ⅶ-Ⅶ)，转子轴向截面型线的齿顶圆弧半径R1逐渐减小，齿根圆弧半径R3逐渐增大；由此生成的两个相互完全啮合的螺杆转子，由吸气端(Ⅰ-Ⅰ)到排气端(Ⅶ-Ⅶ)，工作腔容积逐渐减小，使螺杆转子存在内压缩过程。
上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (8)

1.一种自平衡的锥形螺杆转子，其特征是：螺杆转子呈锥形，从吸气端(Ⅰ-Ⅰ)到排气端(Ⅶ-Ⅶ)，螺杆转子的齿顶圆弧半径R1逐渐减小，齿根圆弧半径R3逐渐增大，且螺杆转子是全光滑的，不存在不光滑处；螺杆转子的导程P沿轴向保持不变；齿顶厚度δ1和齿根厚度δ2沿轴向保持不变且相等，即δ1＝δ2；在任意轴向位置处，螺杆转子的截面型线为S形，且截面型线的形心都在螺杆转子的回转中心线上。
2.如权利要求1所述的一种自平衡的锥形螺杆转子，其特征是：在任意轴向位置处，螺杆转子的截面型线都不相同，是变化的，但截面型线上各段组成曲线的类型和数量相同，共12段曲线，包括：第一齿顶圆弧AB、第一齿尖圆弧BC、第一摆线的等距曲线CD、第一齿根圆弧DE、第一连接圆弧的包络线EF、第一连接圆弧FG、第二齿顶圆弧GH、第二齿尖圆弧HI、第二摆线的等距曲线IJ、第二齿根圆弧JK、第二连接圆弧的包络线KL、第二连接圆弧LA；相邻两段曲线之间都是完全光滑连接的，截面型线上不存在不光滑连接点；截面型线上的第一齿顶圆弧AB、第一齿尖圆弧BC、第一摆线的等距曲线CD、第二齿根圆弧JK、第二连接圆弧的包络线KL、第二连接圆弧LA，分别与第二齿顶圆弧GH、第二齿尖圆弧HI、第二摆线的等距曲线IJ、第一齿根圆弧DE、第一连接圆弧的包络线EF、第一连接圆弧FG关于回转中心点O呈中心对称。
3.如权利要求1所述的一种自平衡的锥形螺杆转子，其特征是：在工作过程中，左旋螺杆转子(301)和右旋螺杆转子(302)在同步异向双回转运动中，能够实现完全正确的啮合；在任意轴向位置处，左旋螺杆转子(301)的左旋截面型线(201)和右旋螺杆转子(302)的右旋截面型线(202)完全相同；左旋截面型线(201)中的第一齿顶圆弧AB、第一齿尖圆弧BC、第一摆线的等距曲线CD、第一齿根圆弧DE、第一连接圆弧的包络线EF、第一连接圆弧FG，分别与右旋截面型线(202)中的第二齿根圆弧jk、第二摆线的等距曲线ij、第二齿尖圆弧hi、第二齿顶圆弧gh、第一连接圆弧fg、第一连接圆弧的包络线ef能够实现正确的啮合。
4.如权利要求1所述的一种自平衡的锥形螺杆转子，其特征是：左旋螺杆转子(301)由左旋截面型线(201)从吸气端(Ⅰ-Ⅰ)到排气端(Ⅶ-Ⅶ)沿左旋螺旋线展开，右旋螺杆转子(302)由右旋截面型线(202)从吸气端(Ⅰ-Ⅰ)到排气端(Ⅶ-Ⅶ)沿右旋螺旋线展开；以螺杆转子的回转中心线与吸气端所在平面的交点为坐标原点，以回转中心线为z轴，建立三维空间坐标系，螺旋线方程为：
左旋螺旋线：
右旋螺旋线：
式中：τ—螺旋展开角，rad；R—螺旋线基圆半径，mm；n—螺杆导程数；P—螺杆转子的导程；
在螺杆转子的截面型线沿螺旋线展开的同时，在任意轴向位置处，螺杆转子的截面型线的齿顶圆弧半径R1、齿根圆弧半径R3、齿顶圆弧的圆心角α也随螺旋展开角τ的变化而变化，其规律为：
齿顶圆弧半径：
齿根圆弧半径：
齿顶圆弧的圆心角：
式中：Rs1、Rd1—分别为在吸气端(Ⅰ-Ⅰ)和排气端(Ⅶ-Ⅶ)处的齿顶圆弧半径；Rs3、Rd3—分别为在吸气端(Ⅰ-Ⅰ)和排气端(Ⅶ-Ⅶ)处的齿根圆弧半径；αs—在吸气端(Ⅰ-Ⅰ)处的齿顶圆弧的圆心角。
5.如权利要求1所述的一种自平衡的锥形螺杆转子，其特征是：左旋螺杆转子(301)的左旋截面型线(201)上的各曲线方程如下：
①第一齿顶圆弧AB的方程为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
②第一齿尖圆弧BC的方程为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
式中：r—齿尖圆弧半径；(xM,yM)—齿尖圆弧的圆心点M的坐标；
确定齿尖圆弧的圆心点M(xM,yM)的坐标，首先联立以下两个方程求出交点：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
将上述方程所确定的交点，绕回转中心点O顺时针旋转β角度，可得齿尖圆心点M(xM,yM)；其中
③第一摆线的等距曲线CD的确定方式为：
首先按下述方程确定一段曲线：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
将上述方程所确定的曲线，绕回转中心点O顺时针旋转β角度，可得第一摆线的等距曲线CD；
④第二齿根圆弧JK的方程为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>J</mi> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>J</mi> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
⑤第二连接圆弧的包络线KL的确定方式为：
首先按下述方程确定一段曲线：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
将上述方程所确定的初始曲线，绕回转中心点O顺时针旋转α角度，可得第二连接圆弧的包络线KL，α为齿顶圆弧的圆心角；
⑥第二连接圆弧LA的方程为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
式中：Lp—第二连接圆弧LA的圆心点N距离回转中心点O的长度，由以下公式确定：
<mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> </mrow>
6.一种双螺杆真空泵，其特征是：使用如权利要求1所述的自平衡的锥形螺杆转子。
7.一种双螺杆压缩机，其特征是：使用如权利要求1所述的自平衡的锥形螺杆转子。
8.一种双螺杆膨胀机，其特征是：使用如权利要求1所述的自平衡的锥形螺杆转子。
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