CN109726484A - 基于独立连续映射法的多材料连续体结构拓扑优化设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种基于独立连续映射法的多材料连续体结构拓扑优化设计方法，包括以下步骤：(1)确定连续体结构设计参数：包括设计域尺寸、结构边界条件，实际承载工况；(2)建立优化模型：包括优化目标、位移约束条件及收敛准则初始预设条件的确定。(3)建立独立拓扑变量同约束条件和优化目标之间的关系，将优化方程进行标准化处理；(4)对优化方程进行求解，并基于设定的迭代循环体系及收敛条件，对优化列式进行更新；(5)优化结果的输出，获得多材料结构最优拓扑构型、结构重量分数迭代曲线。本发明给出了一种实用的多材料连续体结构设计方法，在满足结构位移约束条件下，以结构重量最轻为目标。在工程实际中有重要意义。
Description
技术领域
本发明属于工程结构设计技术领域，尤其涉及基于独立连续映射法的多材料连续体结构拓扑优化设计方法，为多材料连续体结构的拓扑优化提供了新思路。
背景技术
机械制造业作为我国工业发展的支柱产业，直接关系并体现了国家的生产力水平。拓扑优化(topology optimization)是结构优化的一种。是一种根据给定的负载情况、约束条件和性能指标，在给定的区域内对材料分布进行优化的数学方法。在结构优化问题中，相比于形状优化和尺寸优化，作为概念设计阶段的拓扑优化具有更多的自由度，可以获得更大的设计空间，广泛应用于工业领域，被公认为是结构优化问题中的热点与难点问题。结构拓扑优化技术的广泛应用在确保结构最优力学性能与加工工艺可实现性的基础上，实现了材料使用量最少等设计目标，对于成功平衡结构设计中结构刚度、强度性能与材料经济效率之间的矛盾关系起到了举足轻重的作用。
随着近年来科学技术的不断发展，对于制造业技术水平也提出了更高要求。为了使工程结构能够在满足其力学性能的前提下，实现降低重量、降低成本并且最大限度地开发其设计潜力，结构设计已经从仅使用单一类型材料的传统模式逐步发展到利用拓扑优化方法获得多材料连续体结构最优设计的新阶段。
多材料结构是由多种不同性能和特性的材料所构成的结构，在工程中十分常见，应用广泛。通过拓扑优化的方法，寻求结构在设计区域内满足最佳传力路径或最佳刚度分布所对应的最佳材料分布形式，使结构在满足约束的前提下达到最优目标，是实现多材料结构布局优化的有效的先进设计方法。正是因为由多种不同特性和性能的材料所构成的多材料结构在性能方面一般均优于单材料结构，甚至可以得到原来组分材料所不具备的特性，因而在工程实际设计中，多材料结构在诸多领域均得到了广泛应用并且发挥了其显著优势。
目前，多材料连续体结构拓扑优化研究，多材料结构的布局优化通常采用各相材料重量约束或各相材料体积约束建立优化模型。这种关于结构性能的拓扑优化设计通常以结构的性能指标为优化目标。这样的拓扑优化设计思路，通常与工程结构中的“安全第一”的设计理念不匹配，通常需要多次试算矫正，才能找到满足工程实际的拓扑优化设计方案。而在实际的工程问题中，需要满足结构的轻量化为目标，结构的性能满足一定的约束条件。因此，在结构拓扑优化问题中采用结构性能参数作为约束条件，建立的优化模型更可靠、更符合实际工程应用，计算得到的拓扑构型也可以满足工程实际问题中对承载能力、结构造价和安全等方面的要求。
本发明针对多材料连续体结构拓扑优化问题，提出以结构的重量作为轻量化评价指标，并采用位移约束拓扑优化模型对多材料连续体结构进行轻量化设计。遵循独立连续映射法(Independent Continuous Mapping，ICM)，建立了在满足结构位移约束的条件下，以结构重量最轻为目标的多材料连续体结构拓扑优化模型。并且，当采取结构位移性能参数作为约束条件时，位移只要不超过许用位移即可，使得同一个结构可以满足不同工况下的性能要求。这种多材料连续体结构的拓扑优化设计思路，可以保证结构在满足性能约束的前提下，尽可能的降低结构的重量，为多材料连续体结构的拓扑优化提供了新思路，对于推动航空航天等重要领域的快速发展具有重要意义。
发明内容
本发明针对多材料连续体结构拓扑优化设计问题，提供了一种更具通用性的拓扑优化设计方法。通过约束结构的位移约束上限，保证多材料连续体结构满足一定的刚度、强度，满足工程实际中对多材料连续体结构的性能要求。并且，提出结构的经济指标既可以是结构体积、重量，也可以是造价，因此设计人员可以根据需求选择优化目标。本发明中提出的多材料连续体结构拓扑优化设计方法可根据实际情况，快速提炼出相应的多材料连续体结构拓扑优化设计问题，有效提高工作效率，节省设计成本。克服了现有技术不足，例如分析不收敛，运算效率低等技术问题。
为实现上述目的，本发明采用如下的技术方案：
一种基于独立连续映射法的多材料连续体结构拓扑优化设计方法主要包括以下步骤：
第一步，针对多材料连续体结构拓扑优化的具体问题，确定连续体结构设计参数：包括设计域尺寸、结构边界条件，实际承载工况。本发明的结构力学性能分析是基于有限元分析理论，因此，通过设定有限元网格的尺寸，来表征结构的最小设计单元。根据有限单元法中静力学平衡方程，对结构位移进行分析；
第二步，基于独立连续映射法建立优化模型：包括优化目标、位移约束条件及收敛准则初始预设条件的确定。并引入单元性能过滤函数对相应的单元物理属性进行识别；
第三步，基于第二步所建立的多材料连续体结构拓扑优化模型，采用二阶泰勒展式对优化目标进行显式化处理，获得优化目标的标准格式。利用伴随法及泰勒展式对优化问题进行转化：建立独立拓扑变量同约束条件和优化目标之间的关系，将优化方程进行标准化处理；
第四步，考虑到本发明中的拓扑优化设计问题为凸规划问题，采用序列二次规划算法，对优化模型进行求解。如果满足收敛条件，则输出对应的拓扑变量；如果不满足收敛条件，则修改拓扑变量，更新拓扑优化模型，进行下一轮的迭代；
第五步，基于优化模型输出的拓扑变量值，得到多材料连续体结构拓扑优化结果：获得多材料结构最优拓扑构型、结构重量分数迭代曲线。
本发明相比现有技术的优点在于：
(1)针对多材料连续体结构拓扑优化设计问题，提出以结构的重量作为轻量化评价指标，并采用位移约束拓扑优化模型对多材料连续体结构进行轻量化设计。这种多材料连续体结构的拓扑优化设计思路，可以保证结构在满足性能约束的前提下，尽可能的降低结构的重量。
(2)以结构的经济指标作为优化目标，更符合实际工程需求。并且设计人员可以根据需求选择结构的体积、质量或造价作为优化目标，使优化模型具有更强的适应性。
附图说明
图1是多材料连续体结构拓扑优化设计方法流程图。
图2是多材料连续体平面基结构。
图3是位移约束下多材料结构最优拓扑图。
其中(a)单材料Ⅰ (b)单材料Ⅱ (c)多材料
图4是位移约束下多材料结构重量迭代曲线。
具体实施方式
如图1所示，本发明提供一种基于独立连续映射法的多材料连续体结构拓扑优化设计方法，具体解决方案如下：
第一步，确定连续体结构设计参数，包括对设计域内多材料结构的边界条件及加载情况进行设置，赋予各个材料属性，以建立多材料连续体结构的有限元模型，对结构的位移进行分析。此外，本发明基于有限元分析方法对结构进行性能分析，以有限元网格表征结构设计的最小单元，即可根据设计要求，确定网格尺寸。可根据有限单元法中静力学平衡方程，对结构位移进行分析；
第二步，基于独立连续映射法建立优化模型：包括优化目标、位移约束条件及收敛准则初始预设条件的确定。其中，优化模型是满足结构位移约束条件下，以结构重量最轻为目标。在给定的外荷载和边界条件下，寻求结构在设计区域内满足最佳传力路径所对应的最佳材料分布形式，从而使结构在满足约束的前提下，达到最优目标。建立的多材料连续体结构拓扑优化模型为：
式中，t,s代表独立的设计变量，ti,si代表每个单元的具体独立变量值。En为n维欧式空间，W代表结构总重量，wi代表每个单元的具体重量。uj代表关注点的位移约束，代表关注点的位移约束上限，推荐取1.6mm到2.0mm之间的数值。同时，ti ,si 为单元的具体独立变量值下限，为了防止计算过程中单元刚度阵奇异，对于拓扑变量下限引入一个很小的数ti ＝si ＝0.01。i代表各个单元具体编号，N代表设计域单元总个数。
ICM方法中，独立拓扑变量是表征单元有与无的物理量，代替传统的0或1离散值；取拓扑变量的连续值，表示从有到无的过渡状态。其中，过滤函数不仅可以实现对于拓扑变量的过滤和筛选，完成对拓扑变量由连续模型向离散模型的回归，而且过滤函数在建模中还起到了识别几何或物理量的作用。利用过滤函数对单元刚度和重量进行表示：
式中，ki为单元刚度矩阵；wi为单元重量；上标I、Ⅱ代表两种不同的材料；f(k/w)(si/ti)代表刚度/重量的过滤函数，如下所示：
式中，α为惩罚因子，推荐取α＝3。
由于结构拓扑优化设计具有大量的设计变量，因此，采用建立近似数学模型的方法，通过多循环迭代的方法搜寻优化解，迭代计算的收敛条件为：
式中，W为结构重量，v/v+1代表第v/v+1次迭代，ε为收敛精度，推荐取ε＝0.001。
第三步，基于第二步所建立的多材料连续体结构拓扑优化模型，利用伴随法及泰勒展式对优化问题进行转化：建立独立拓扑变量同约束条件和优化目标之间的关系，将优化方程进行标准化处理；
有限单元法中静力学平衡方程为：
Ku＝F (5)
式中，F为结构所受载荷，u为节点位移矢量，K为结构整体刚度矩阵，定义以下变换：
xi＝1/fk(ti),yi＝1/fk(si) (6)
其微分方程为：
通过伴随法，可得位移约束的一阶泰勒展开式为：
对于结构重量，其二阶泰勒表达式为：
至此，可得考虑位移约束条件的多材料连续体结构轻量化拓扑优化模型的近似显式化方程。
第四步，采用序列二次规划算法对第三步标准化处理的优化方程进行求解，序列二次规划算法是一种成熟的数学计算方法，在Matlab软件相关的程序包中有详细的说明。将上述近似显式化方程带入即可进行迭代求解。并基于设定的迭代循环体系及收敛条件，对优化列式进行更新及最优解的输出；如果满足收敛条件，则输出对应的拓扑变量；如果不满足收敛条件，则修改拓扑变量，更新拓扑优化模型，进行下一轮的迭代；
第五步，基于优化模型输出的拓扑变量值，得到多材料连续体结构拓扑优化结果。采用结构重量分数作为衡量标准：以结构某一种材料在设计域内充满时的结构总重量为W0，用结构重量分数W:W0来表示结构重量变化；得到多材料结构最优拓扑构型、结构重量分数迭代曲线。
实施算例：
下面结合一个考虑位移约束的多材料带孔悬臂梁算例对本发明的具体实施步骤进行详细说明。其中，基结构如图2所示。
第一步，设计域基本尺寸为96mm×48mm×1mm的带孔悬臂梁结构，载荷工况如图2所示，孔的半径为16mm，圆心在1/3L，1/2H处，材料I和材料II均为各向同性材料，杨氏模量为E1＝1.0×105MPa，E2＝2.0×105MPa，密度为ρ1＝1kg/cm3，ρ2＝1.5kg/cm3。泊松比为μ1＝μ2＝0.3。载荷F＝1kN。
第二步，以结构重量最小为目标函数，位移约束值上限取1.83mm。建立的多材料连续体结构拓扑优化模型为：
拓扑变量下限ti ＝si ＝0.01。
利用过滤函数对单元刚度和重量进行表示：
式中，ki为单元刚度矩阵；wi为单元重量；f(k/w)(si/ti)代表对应的过滤函数，如下所示：
式中，α为惩罚因子，取α＝3。
由于结构拓扑优化设计具有大量的设计变量，因此，采用建立近似数学模型的方法，通过多循环迭代的方法搜寻优化解，迭代计算的收敛条件为：
式中，ε为收敛精度。取ε＝0.001。
第三步，基于第二步所建立的多材料连续体结构拓扑优化模型，采用二阶泰勒展式对优化目标进行显式化处理，获得优化目标的标准格式。利用伴随法及泰勒展式对优化问题进行转化：建立独立拓扑变量同约束条件和优化目标之间的关系，将优化方程进行标准化处理；
第四步，考虑到本发明中的拓扑优化设计问题为凸规划问题，采用序列二次规划算法，对优化模型进行求解。如果满足收敛条件，则输出对应的拓扑变量；如果不满足收敛条件，则修改拓扑变量，更新拓扑优化模型，进行下一轮的迭代；
第五步，基于优化模型输出的拓扑变量值，以材料Ⅱ在设计域内充满时的结构总重量为W0，用结构重量分数W:W0来表示结构重量变化；得到多材料连续体结构拓扑优化结果：获得多材料结构最优拓扑构型、结构重量分数迭代曲线。
位移约束下多材料结构的最优拓扑图如图3(a)、3(b)、3(c)所示，结构重量分数迭代曲线如图4所式。从图3可以看到，经过迭代求解，本专利所提方法可以获得具有清晰传力路径的最优拓扑图。强材料Ⅱ布置在结构的主要传力路径上。在载荷加载位置附近，结构的拓扑形式和单种材料布置有所不同。因此，本设计提出的拓扑优化设计方法可以实现多材料连续体结构拓扑优化设计。并且，在满足结构位移约束条件下，以结构重量最轻为目标。在工程实际中有重要意义。
Claims (4)
1.基于独立连续映射法的多材料连续体结构拓扑优化设计方法，在整个设计流程中，包含以下步骤：
第一步，针对多材料连续体结构拓扑优化的具体问题，确定连续体结构设计参数：包括设计域尺寸、结构边界条件，实际承载工况；
第二步，基于独立连续映射法建立优化模型：包括优化目标、位移约束条件及收敛准则等初始预设条件的确定；并引入单元性能过滤函数对相应的单元物理属性进行识别；
第三步，基于第二步所建立的多材料连续体结构拓扑优化模型，利用伴随法及泰勒展式对优化问题进行转化：建立独立拓扑变量同约束条件和优化目标之间的关系，将优化方程进行标准化处理；
第四步，采用序列二次规划算法对第三步标准化处理的优化方程进行求解，并基于设定的迭代循环体系及收敛条件，对优化列式进行更新及最优解的输出；
第五步，得到多材料连续体结构拓扑优化结果：获得多材料结构最优拓扑构型、结构重量分数迭代曲线。
2.根据权利要求1所述的基于独立连续映射法的多材料连续体结构拓扑优化设计方法，其特征在于：
步骤1中所述的确定连续体结构设计参数，包括对设计域内多材料结构的边界条件及加载情况进行设置，赋予各个材料属性，以建立多材料连续体结构的有限元模型，对结构的位移进行分析。
3.根据权利要求1所述的基于独立连续映射法的多材料连续体结构拓扑优化设计方法，其特征在于：
步骤2中所述的优化模型在满足结构位移约束条件下，以结构重量最轻为目标；在给定的外荷载和边界条件下，寻求结构在设计区域内满足最佳传力路径所对应的最佳材料分布形式，从而使结构在满足约束的前提下，达到最优目标；建立的多材料连续体结构拓扑优化模型为：
式中，t,s代表独立的设计变量，ti,si代表每个单元的具体独立变量值；En为n维欧式空间，W代表结构总重量，wi代表每个单元的具体重量；uj代表关注点的位移约束，代表关注点的位移约束上限，取1.6mm到2.0mm之间的数值；同时，ti ,si 为单元的具体独立变量值下限，为了防止计算过程中单元刚度阵奇异，对于拓扑变量下限引入一个很小的数ti ＝si ＝0.01；i代表各个单元具体编号，N代表设计域单元总个数；
利用过滤函数对单元刚度和重量进行表示：
式中，ki为单元刚度矩阵；wi为单元重量；上标I、Ⅱ代表两种不同的材料；f(k/w)(si/ti)代表刚度/重量的过滤函数，如下所示：
式中，α为惩罚因子，取α＝3；
由于结构拓扑优化设计具有大量的设计变量，因此，采用建立近似数学模型的方法，通过多循环迭代的方法搜寻优化解，迭代计算的收敛条件为：
式中，W为结构重量，v/v+1代表第v/v+1次迭代，ε为收敛精度，取ε＝0.001。
4.根据权利要求3所述的基于独立连续映射法的多材料连续体结构拓扑优化设计方法，其特征在于：
步骤3利用伴随法及泰勒展式对优化问题进行转化，将优化方程进行了显式化和标准化处理；有限单元法中静力学平衡方程为：
Ku＝F (5)
式中，F为结构所受载荷，u为节点位移矢量，K为结构整体刚度矩阵，定义以下变换：
xi＝1/fk(ti),yi＝1/fk(si) (6)
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