CN109357822B - 一种基于车桥耦合系统时变动力特征改变的桥梁快速测试与评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于车桥耦合系统时变动力特征改变的桥梁快速测试与评估方法，本发明方法，通过布置在桥梁上的传感器采集结构在移动车辆下的振动响应，利用变分模态分解方法识别车桥耦合系统的时变动力特征参数，然后，将其代入振型缩放系数与车辆参数及时变动力特征之间的映射关系中，便可以计算得到结构的振型缩放系数和位移柔度矩阵深层次参数，从而预测结构在任意静力荷载下的变形和进行基于位移柔度矩阵的结构损伤识别。本发明方法具有从仅有输出的振动响应中识别结构深层次参数进而实现结构性能评估的优点，并且具有所需试验成本低、测试时间短和识别精度高的特点，有广泛应用于国家公路网上众多桥梁安全评估的广阔前景。

Description

一种基于车桥耦合系统时变动力特征改变的桥梁快速测试与 评估方法

技术领域

本发明属于结构健康监测技术领域，尤其涉及一种基于车桥耦合系统时变动力特征改变的桥梁快速测试与评估方法。

背景技术

环境振动测试是结构健康监测的一个主要手段，但是只能得到结构的基本模态参数，不能够有效的支撑结构的安全性能评估。为了克服此问题，国外学者提出了一种基于质量改变的振型缩放系数识别方法，具体思想是采集结构在附加质量前后的振动响应，利用模态参数识别算法识别结构在两种状态下的基本动力参数，通过公式推导挖掘结构振型缩放系数与两种状态下结构基本模态参数的关系，从而从仅有输出的环境振动测试数据中识别得到结构的质量归一化振型。然而，该方法由于以下三方面原因未能广泛应用于工程实际中：(1)在环境振动测试过程中，需要关闭交通，影响交通的正常运行；(2)需要测试结构在有无附加质量情况下的地脉动响应，测试时间长，试验过程麻烦，导致试验成本增加；(3)在此方法中，需要谨慎选择附加质量的大小以及附加质量的位置，对于一般的工程人员来讲，操作复杂，不便于实际应用。

近年来，国内外学者已提出了多种基于车桥耦合振动的桥梁快速测试方法。一种广泛使用的方法便是通过在车辆上安装加速度计并采集车辆在桥面行驶时的加速度数据来识别桥梁频率等基本参数。有学者提出利用两辆相连的车去测量桥梁的固有频率，并指出此方法能够克服路面粗糙度对结构识别结果的影响，增强从车辆振动响应中识别结构振型的鲁棒性，并用数值算例进行了验证。另外，有学者提出利用短时傅里叶变换从移动车辆的振动响应中识别结构的位移振型，并用卡车拖车模型的车桥耦合振动模型进行了验证；也有学者提出利用希尔伯特黄变换从移动车辆的振动加速度中识别结构的位移振型，并与理论值进行了比较。上述方法方便快捷，但它们主要依靠桥梁反应的间接测量，仅能实现桥梁频率和振型等基本模态参数与初步的损伤识别。

发明内容

发明目的：针对以上现有技术存在的问题，本发明提出一种基于车桥耦合系统时变动力特征改变的桥梁快速测试与评估方法，该方法克服了现有环境振动测试方法不能识别得到结构深层次参数的缺点，突破冲击振动现场测试难度高的难题，不仅可以得到结构的静力变形，而且可以得到结构的刚度信息，从而对桥梁结构的安全状态进行更加有效的评估。

技术方案：为实现本发明的目的，本发明所采用的技术方案是：一种基于车桥耦合系统时变动力特征改变的桥梁快速测试与评估方法，该方法包括以下步骤：

(1)通过布置在桥梁上的传感器采集桥梁结构在无车辆行驶下的振动响应，对响应数据进行处理并识别结构的基本模态参数；

(2)采集桥梁结构在有车辆行驶下的振动响应，并采用时频分析方法识别车桥耦合系统的时变模态参数；

(3)结合无车辆行驶时桥梁结构的基本模态参数和有车辆行驶时车桥耦合系统的时变动力特征计算无车辆行驶下桥梁结构的振型缩放系数；

(4)结合无车辆行驶下的结构基本模态参数和步骤(3)中计算的振型缩放系数计算桥梁结构的位移柔度矩阵，进而预测结构在任意静荷载下的变形对结构的性能状况进行评估。

在步骤(1)中，在采集得到桥梁结构在自然环境条件下的振动响应之后，利用模态参数识别算法对振动响应进行处理，便可以得到无车辆行驶下结构的基本模态参数，包括：固有频率、阻尼比和未缩放位移振型。

在步骤(2)中，移动车辆和桥梁组成一个耦合系统，采用变分模态分解和希尔伯特变换实现系统时变模态参数的识别，假设采集到的车桥耦合系统在测点p的加速度振动响应为

则各阶本征模态函数分量可以通过求解约束变分模型得到：

其中：{u_r(t)}＝{u₁,...,u_r}代表变分模态分解得到的第r阶本征模态函数分量，r＝1,…,M，M为结构总的模态函数分量数目；{ω_r}＝{ω₁,...,ω_r}表示第r阶本征模态函数分量的频率中心；δ(t)为狄利克雷函数；*表示卷积；j为虚数单位；

为车桥耦合系统在测点p的加速度振动响应时程；式中符号min表示求解此关系式的最小值；

在分解得到各阶本征模态函数分量之后，利用希尔伯特变换，就可以识别得到车桥耦合系统的时变固有圆频率：

其中：θ_r(t)为第r阶本征模态函数分量的瞬时相位，

u_r(t)为由变分模态分解方法得到的第r阶本征模态函数分量，

为第r阶本征模态函数分量的希尔伯特变换。

在步骤(3)中，在得到无车辆行驶时桥梁结构的时不变模态参数和有车辆行驶时车桥耦合系统的时变动力特征之后，结合基于质量弹簧模型的车桥耦合振动方程，可以得到结构基本模态参数满足的关系为：

其中：M_b为无车辆行驶时桥梁结构的质量矩阵；

K_v、M_v分别为车体的弹簧刚度和车体质量；ω_or为无车辆行驶时桥梁结构的第r阶固有圆频率；ω_cr为车桥耦合系统在时刻t的第r阶固有圆频率(rad/s)；

为车桥耦合系统第r阶位移振型；

为附加矩阵ΔK₁＝K_b-vb+K_b-cb中的竖向自由度对应的元素，而K_b-vb＝[N_b]^TK_v[N_b],

[N_b]为与桥梁自由度相等的形函数矩阵，C_v为车辆的阻尼系数，V(t)为车辆的行驶速度；

分别为附加矩阵ΔK₁＝K_b-vb+K_b-cb中的竖向自由度和转动自由度对应的元素；

为附加矩阵ΔK₂＝-K_b-v中的竖向自由度对应的元素，K_b-v＝[N_b]^TK_v；

为附加矩阵ΔK₃＝-K_v-b-K_v-cb中竖向自由度对应的元素，而K_v-b＝K_v[N_b]且

为附加矩阵ΔK₃＝-K_v-b-K_v-cb中转动自由度对应的元素；[T]为竖向位移振型与转动位移振型之间的影响关系；

设无车辆行驶于桥梁结构时的未缩放位移振型{ψ_r}与质量归一化振型

之间的关系为：

并根据振型正交性条件

M_b为无车辆行驶时桥梁结构的质量矩阵，从而可以得到无车辆行驶下桥梁结构的振型缩放系数为：

其中，在步骤(4)中，结合无车辆行驶时桥梁结构的第r阶固有圆频率ω_or和未缩放位移振型{ψ_r}，得到结构的位移柔度矩阵，其表达式为：

其中：σ_r为关于结构固有频率的常数，其值为σ_r＝1/2jω_or，j为虚数单位；λ_0r无车辆行驶下结构的第r阶极点，与结构固有频率和阻尼比的关系为

ξ_0r为无车辆行驶时的阻尼比系数；

为λ_0r的共轭复数；

为未缩放位移振型{ψ_r}的共轭复数；

在得到结构的位移柔度矩阵之后，将其与作用于结构的静荷载向量相乘，便可以得到结构在静荷载下的变形，将其与理论值进行比较，实现对结构的当前安全状态进行评估。

有益效果：与现有技术相比，本发明的技术方案具有以下有益技术效果：

(1)通过现有响应拾取传感器采集结构在车辆行驶下的振动信号，通过理论创新深入挖掘车辆参数与车桥耦合系统时变动力特征之间的映射关系，计算结构的振型缩放系数，进而识别结构的位移柔度矩阵，基于此柔度矩阵可以实现结构在任意静力荷载下的变形预测、损伤识别以及长期性能评估，更加有效的对桥梁结构的性能状态进行评估。

(2)本发明方法充分利用仅有输出的结构振动响应，可以从中得到评估桥梁安全状态的直接参数，突破了仅有输出的参数识别方法只能获取结构简单动力特性参数的瓶颈。

(3)此外，该方法具有操作简单、结果精确以及抗噪音能力强的优点，能够更加有效的对桥梁进行安全评估和维护管理，有广泛应用于国家公路网上众多桥梁安全评估的广阔前景。

附图说明

图1本发明方法的流程示意图；

图2利用变分模态分解得到的结构本征模态函数分量；

图3本发明方法识别的车桥耦合系统前3阶时变固有频率；

图4本发明方法计算的振型缩放系数；

图5本发明方法识别的无车辆行驶下结构的位移柔度矩阵；

图6本发明方法的挠度预测结果示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步的说明。

图1为本发明方法的基本流程。本发明方法的桥梁快速测试和性能评估方法首先通过现场调查和调阅结构图纸以熟悉所测试桥梁，确定加速度传感器布置方案。其次，通过数据采集设备采集结构在有无车辆行驶下的加速度动态响应以及车辆的参数信息，在完成两种状态下的振动测试后，开始振动测试信号的预处理和后处理。

对于无车辆行驶下的结构振动响应，采用常见的频域模态参数识别方法，即使用复模态指示函数(CMIF)，实现桥梁结构的时不变模态参数识别，对于有车辆行驶下的车桥耦合系统，采用变分模态分解和希尔伯特变换实现系统的时变模态参数识别。然后，将识别的车桥耦合系统的时变模态参数和无车辆行驶时的时不变模态参数代入结构振型缩放系数与系统参数之间的映射关系中，便可以得到结构的振型缩放系数。

最后，结合无车辆行驶下桥梁结构的固有频率以及振型缩放系数，进一步识别结构在的位移柔度矩阵。基于此柔度矩阵，可进一步用来预测结构在任何静载下的变形，另外，基于位移柔度矩阵可以更好的实现结构的损伤识别，这是由于相比较于传统的结构固有频率和位移振型，柔度矩阵对结构的损伤更加敏感，从而更加有效的实现结构性能状况评估。

由上述的本发明方法的流程可以看出，本发明方法通过采集结构在有无车辆行驶下的振动测试数据，可以实现从仅有输出的测试数据中获取结构深层次参数的目的，具有方便快捷以及精度高的优点。特别的是，所提出的数据处理方法可以在不中断交通的情况下实现结构的位移柔度识别以及相应的挠度预测，这是本发明的独特之处。

本发明方法的具体步骤如下：

首先，传感器布置及振动相应采集，根据测试结构类型，布置传感器，在传感器安装完成之后，采集结构在有无车辆行驶下的振动响应数据，对于无车辆行驶下的振动响应，要保证采集时间最少为10分钟。然后，对振动测试数据进行分析获取结构的振型缩放系数和位移柔度深层次参数。其具体过程如下所示：

(1)无车辆行驶下的结构参数识别。无车辆行驶下的结构振动响应，为桥梁受到地脉动、风荷载和温度荷载等环境荷载下的响应，在短时间内，桥梁结构的模态参数不会随着时间发生改变，因此，采用经典的模态参数识别算法便可以得到结构的动力参数，常见算法有峰值拾取法、奇异值分解法、PolyMAX法和复模态指示函数法(CMIF)等。在采集得到桥梁结构在自然环境条件下的振动响应之后，自然环境条件下指的是地脉动、地震荷载、风荷载等，利用模态参数识别算法对振动响应进行处理，便可以得到无车辆行驶下结构的基本模态参数，包括：固有频率、阻尼比和未缩放位移振型。

(2)车桥耦合系统时变模态参数识别。移动车辆和桥梁组成一个耦合系统，系统动力特征随车辆移动位置而发生改变，不能用传统的方法识别系统参参数。本发明方法采用变分模态分解和希尔伯特变换实现系统时变模态参数的识别，假设采集到的车桥耦合系统在测点p的加速度振动响应为

则各阶本征模态函数分量可以通过求解约束变分模型得到：

其中：{u_r(t)}＝{u₁,...,u_r}代表变分模态分解得到的第r阶本征模态函数分量，r＝1,…,M，M为结构总的模态函数分量数目；{ω_r}＝{ω₁,...,ω_r}表示第r阶本征模态函数分量的频率中心；δ(t)为狄利克雷函数；*表示卷积；j为虚数单位；

为车桥耦合系统在测点p的加速度振动响应；式中符号min表示求解此关系式的最小值；

在分解得到各阶本征模态函数分量之后，利用希尔伯特变换，就可以识别得到车桥耦合系统的时变固有圆频率：

其中：θ_r(t)为第r阶本征模态函数分量的瞬时相位，

u_r(t)为由变分模态分解方法得到的第r阶本征模态函数分量，

为第r阶本征模态函数分量的希尔伯特变换。

(3)振型缩放系数计算。在得到无车辆行驶时桥梁结构的时不变模态参数和有车辆行驶时车桥耦合系统的时变动力特征之后，结合基于质量弹簧模型的车桥耦合振动方程，可以得到结构基本模态参数满足的关系为：

其中：M_b为无车辆行驶时桥梁结构的质量矩阵；

K_v、M_v分别为车体的弹簧刚度和车体质量；ω_or为无车辆行驶时桥梁结构的第r阶固有圆频率；ω_cr为车桥耦合系统在时刻t的第r阶固有圆频率(rad/s)；

为车桥耦合系统第r阶位移振型；

为附加矩阵ΔK₁＝K_b-vb+K_b-cb中的竖向自由度对应的元素，而K_b-vb＝[N_b]^TK_v[N_b],

[N_b]为与桥梁自由度相等的形函数矩阵，C_v为车辆的阻尼系数，V(t)为车辆的行驶速度；

分别为附加矩阵ΔK₁＝K_b-vb+K_b-cb中的竖向自由度和转动自由度对应的元素；

为附加矩阵ΔK₂＝-K_b-v中的竖向自由度对应的元素，K_b-v＝[N_b]^TK_v；

为附加矩阵ΔK₃＝-K_v-b-K_v-cb中竖向自由度对应的元素，而K_v-b＝K_v[N_b]且

为附加矩阵ΔK₃＝-K_v-b-K_v-cb中转动自由度对应的元素；[T]为竖向位移振型与转动位移振型之间的影响关系，可以通过泰勒展开式得到。

设无车辆行驶于桥梁结构时的未缩放位移振型{ψ_r}与质量归一化振型

之间的关系为：

并根据振型正交性条件

M_b为无车辆行驶时桥梁结构的质量矩阵，从而可以得到无车辆行驶下桥梁结构的振型缩放系数为：

(4)位移柔度识别，结合无车辆行驶时桥梁结构的第r阶固有圆频率ω_or和未缩放位移振型{ψ_r}，便可以得到结构的位移柔度矩阵，其表达式为：

其中：σ_r为关于结构固有频率的常数，其值为σ_r＝1/2jω_or，j为虚数单位；λ_0r无车辆行驶下结构的第r阶极点，与结构固有频率和阻尼比的关系为

ξ_0r为无车辆行驶时的阻尼比系数；

为λ_0r的共轭复数；

为未缩放位移振型{ψ_r}的共轭复数；

(5)挠度预测与性能评估。在识别出结构柔度矩阵后，可以用来预测结构在任意静力荷载下的变形，特别是，基于位移柔度矩阵可以更好的实现结构的损伤识别和性能评估，位移柔度矩阵被认为是评估结构安全状态的关键参数，在得到结构的位移柔度矩阵之后，将其与作用于结构的静荷载向量相乘，便可以得到结构在静荷载下的变形，将其与理论值进行比较，便可以对结构的当前安全状态进行评估。所以本发明方法通过基于车桥耦合系统时变动力特征的变化实现结构位移柔度识别及挠度预测，克服了传统仅有输出的信号处理方法无法获取结构深层次参数并无法有效进行结构状态评估的难题，从而在实际桥梁的健康诊断和性能评估中有着广泛的应用前景。

实施例1

所发明方法的流程图如附图1所示，下面利用一个典型简支梁桥案例来说明所提议的基于车桥耦合系统时变动力特征改变的桥梁快速测试与评估方法的实施步骤。

(1)无车辆行驶时结构参数识别。在本实施案例中，简支梁桥梁的总长度为30m，在结构上等间距布置19个加速度传感器。采集结构在无车辆行驶下的振动响应，利用时不变模态参数识别算法获取结构的固有频率、阻尼比和未缩放位移振型等基本模态参数，本发明方法文采用效果较好的复模态指示函数(Complex Mode Indicator Function,CMIF)，对于此简支梁桥，识别的前4阶固有频率为3.829,15.315,34.458和61.254Hz。

(2)车桥耦合系统时变模态参数识别。对于有车辆经过时的车桥耦合系统是一个时变系统，其模态参数随车辆位置的改变而改变，需要利用时变模态参数识别算法进行处理。首先，利用变分模态分解方法将车致振动响应分解为多个IMF分量的形式，对于该简支梁桥，分解的前三阶IMF分量如附图2左边所示，附图2右边为每个IMF分量对应的傅里叶幅值谱，从中可以看出，变分模态分解方法可以很好的将车致振动响应分离开。在得到前几阶IMF分量之后，利用希尔伯特黄对每个IMF分量进行分析，得到每阶响应的解析信号，对解析信号的瞬时幅值解析一阶差分便可以得到结构的时变固有频率。对于此简支梁桥，前三阶时变固有频率如附图3所示，从图中可以看出，移动车俩在模态振型的最大值时对车桥耦合系统固有频率影响最大，而在模态节点的时候，固有频率变化最小，并且识别值和理论值吻合一致，验证了基于变分模态分解方法识别时变模态参数的正确性。

(3)振型缩放系数计算。在得到桥梁时不变模态参数和车桥耦合系统的时变模态参数之后，结合移动车辆的行驶速度、质量大小以及轮胎刚度，就可以计算得到结构的振型缩放系数。由于移动车辆的位置随时间变化，因此，在车辆移动的每个位置就可以计算一个振型缩放系数，对于此简支梁桥，前3阶振型缩放系数如附图4所示。从附图4右边可以看出，利用发明方法计算的振型缩放系数与理论值结果一致，验证了利用车桥耦合系统时变频率识别结构振型缩放系数的正确性，可以进一步用来计算结构的频响函数和位移柔度矩阵。

(4)位移柔度识别。在得到结构的振型缩放系数之后，结合桥梁结构的基本模态参数，可以进一步识别结构的位移柔度矩阵。对于此简支梁桥结构，识别的位移柔度矩阵如附图5所示。

(5)挠度预测与性能评估。基于识别的位移柔度矩阵，将其与作用于结构的静荷载向量相乘，便可以得到结构在任意静荷载下的变形。为了验证预测变形的正确性，对此结构进行了两种荷载工况下的静力分析，工况一：在所有布置传感器的位置施加100N的静力荷载；工况二：在传感器1-5施加1000N的静力荷载。利用提出方法识别柔度预测变形与理论值的比较如附图6所示，从中可以看出，两种方法得到的变形曲线吻合一致，验证了识别位移柔度和预测变形的正确性。

所发明方法与传统方法有明显的不同：(1)利用变分模态分解方法实现车桥耦合系统时变模态参数的识别，具有更好的鲁棒性；(2)传统的基于质量改变的方法需要将质量附加在结构的特定位置不动，采集附加质量前后结构的振动响应，而发明方法是采集结构在车桥耦合振动下的响应，直接利用移动车辆导致的时变动力特征实现结构振型缩放系数的识别；(3)传统方法只是简单的环境振动测试，测试结构为时不变系统，识别方法简单，而本发明方法采用的车桥耦合振动模型是一个时变系统，分析方法发生了本质改变。本发明方法克服了传统仅有输出的信号处理方法所得参数简单不能有效支持结构性能评估的缺点，具有测试方便，试验成本低，精度高和测试所需时间少的特点，有广泛应用于国家公路网上众多桥梁安全评估的广阔前景。

Claims (3)

1.一种基于车桥耦合系统时变动力特征改变的桥梁快速测试与评估方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

(1)通过布置在桥梁上的传感器采集桥梁结构在无车辆行驶下的振动响应，对响应数据进行处理并识别结构的基本模态参数，即结构的时不变模态参数；

(2)采集桥梁结构在有车辆行驶下的振动响应，并采用时频分析方法识别车桥耦合系统的时变动力特征；

(3)结合无车辆行驶时桥梁结构的时不变模态参数和有车辆行驶时车桥耦合系统的时变动力特征计算无车辆行驶下桥梁结构的振型缩放系数；具体为：

在得到无车辆行驶时桥梁结构的时不变模态参数和有车辆行驶时车桥耦合系统的时变动力特征之后，结合基于质量弹簧模型的车桥耦合振动方程，得到结构的时不变模态参数满足的关系为：

其中：M_b为无车辆行驶时桥梁结构的质量矩阵；

K_v、M_v分别为车体的弹簧刚度和车体质量；ω_or为无车辆行驶时桥梁结构的第r阶固有圆频率；ω_cr为车桥耦合系统在时刻t的第r阶固有圆频率，单位rad/s；

为车桥耦合系统第r阶位移振型；

为附加矩阵△K₁＝K_b-vb+K_b-cb中的竖向自由度对应的元素，而K_b-vb＝[N_b]^TK_v[N_b],

[N_b]为与桥梁自由度相等的形函数矩阵，C_v为车辆的阻尼系数，V(t)为车辆的行驶速度；

分别为附加矩阵△K₁＝K_b-vb+K_b-cb中的竖向自由度和转动自由度对应的元素；

为附加矩阵△K₂＝-K_b-v中的竖向自由度对应的元素，K_b-v＝[N_b]^TK_v；

为附加矩阵△K₃＝-K_v-b-K_v-cb中竖向自由度对应的元素，而K_v-b＝K_v[N_b]且

为附加矩阵△K₃＝-K_v-b-K_v-cb中转动自由度对应的元素；[T]为竖向位移振型与转动位移振型之间的影响关系；

设无车辆行驶于桥梁结构时的未缩放位移振型{ψ_r}与车桥耦合系统第r阶位移振型

之间的关系为：

并根据振型正交性条件

M_b为无车辆行驶时桥梁结构的质量矩阵，从而可以得到无车辆行驶下桥梁结构的振型缩放系数为：

(4)结合无车辆行驶下的结构时不变模态参数和步骤(3)中计算的振型缩放系数计算桥梁结构的位移柔度矩阵，进而预测结构在任意静荷载下的变形，对结构的性能状况进行评估；具体的：

结合无车辆行驶时桥梁结构的第r阶固有圆频率ω_or和未缩放位移振型{ψ_r}，得到结构的位移柔度矩阵，其表达式为：

其中：M为结构总的模态函数分量数目，σ_r为关于结构固有频率的常数，其值为σ_r＝1/2jω_or，j为虚数单位；λ_0r无车辆行驶下结构的第r阶极点，与结构固有频率和阻尼比的关系为

ξ_0r为无车辆行驶时的阻尼比系数；

为λ_0r的共轭复数；

为未缩放位移振型{ψ_r}的共轭复数；

在得到结构的位移柔度矩阵之后，将其与作用于结构的静荷载向量相乘，得到结构在静荷载下的变形，将其与理论值进行比较，实现对结构的当前性能状况进行评估。

2.根据权利要求1所述的一种基于车桥耦合系统时变动力特征改变的桥梁快速测试与评估方法，其特征在于，在步骤(1)中，在采集得到桥梁结构在无车辆行驶下的振动响应之后，利用模态参数识别算法对振动响应进行处理，便可以得到无车辆行驶下结构的时不变模态参数，包括：固有频率、阻尼比和未缩放位移振型。

3.根据权利要求1所述的一种基于车桥耦合系统时变动力特征改变的桥梁快速测试与评估方法，其特征在于，步骤(2)中，移动车辆和桥梁组成一个耦合系统，采用变分模态分解和希尔伯特变换实现系统时变动力特征的识别，假设采集到的车桥耦合系统在测点p的加速度振动响应为

则各阶本征模态函数分量可以通过求解约束变分模型得到：

其中：{u_r(t)}＝{u₁,...,u_r}代表变分模态分解得到的第r阶本征模态函数分量，r＝1,…,M，M为结构总的模态函数分量数目；{ω_r}＝{ω₁,...,ω_r}表示第r阶本征模态函数分量的频率中心；δ(t)为狄利克雷函数；*表示卷积；j为虚数单位；

为车桥耦合系统在测点p的加速度振动响应；式中符号min表示求解此关系式的最小值；

在分解得到各阶本征模态函数分量之后，利用希尔伯特变换，就可以识别得到车桥耦合系统的时变固有圆频率：

其中：θ_r(t)为第r阶本征模态函数分量的瞬时相位，

u_r(t)为由变分模态分解方法得到的第r阶本征模态函数分量，

为第r阶本征模态函数分量的希尔伯特变换。

Images