CN111368466B - 一种基于频响函数参数修正的机械振动预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于频响函数模型参数修正的机械振动预测方法，属于机械振动领域。该方法通过小波变换理论建立以阻尼系数为变量的阻尼模型，通过仿真分析能够准确的预测系统模型运动过程中的变化规律，并基于频响函数灵敏度理论，根据实际数据和仿真数据的比对迭代，得到更符合实际情况的运动变化规律，解决了常规方法无法准确获取阻尼参数随时间变化的规律，以及获得振动变化规律不准确的情况。该方法有效的解决了机械结构的由于间隙等因素导致的非线性振动无法准确预测的问题，为机械结构的设计提供理论基础。可通过获得的修正参数构建与真实情况更为符合的机械振动模型，更为机构结构的振动预测提供一种准确可靠的预测方法。

Description

一种基于频响函数参数修正的机械振动预测方法

技术领域

本发明涉及一种基于频响函数模型参数修正的机械振动预测方法，属于机械振动领域。

背景技术

在机械工程、航空航天领域中，机械结构系统正面向复杂化以及精密化方向发展。工程结构在运行时，间隙、温度、载荷等因素对工程机械结构会产生不同程度的影响，导致结构的振动特性随着时间和工况等的变化而变化。在运行状态下，准确预测机械系统的振动特性以及响应估计成为目前急需解决的技术难点。通过构建时变系统准确预测系统随时间而变化的动态特性以及动态响应在机械结构的研制开发起着至关重要的作用。

传统的以时不变系统的方法预测时变系统机构的振动特性并不适用。因此众多学者都对时变系统进行了大量的研究和分析，最常见的方法是将机械系统的输入和输出信号独立地分离成一个一个的小段，并假设每一段内系统是不变的，以此转化为传统的时不变系统进行分析，进而来解决时变系统问题，在机械工程和航空航天领域中，目前通过传统的转化的方法解决该问题，由于缺乏实际的物理理论基础和指导，导致无法准确预测机械系统的振动特性。

发明内容

本发明的目的是为了解决机械工程和航空航天领域中，由于间隙等非线性因素导致的振动无法准确预测的问题。提供一种基于频响函数模型参数修正的机械振动预测方法。在航空航天领域中，随着航天器的规模越来越大，结构也越来越复杂，在航天器上分布的部件也是越来越多，如航天器空间机械臂和太阳电池阵(电池展板)。

航天器空间机械臂和太阳电池阵(电池展板)的主要机械部分是一个由关节和链接杆等结构组成，在空间环境下运行的多体系统，而关节是机构的核心部分，要完成传递动力、位置感知、机械连接等任务，在机构动力学特性中发挥着重要的作用，准确全面的了解关节的动力学特性，是正确分析与模拟连接杆空间运动特性的关键，而建立精确的连接杆动力学模型以及预测振动，是航天器空间机械臂和太阳电池阵(电池展板)设计、分析和控制的基础应用。

本发明提供基于频响函数的机械振动模型的修正方法；该方法通过小波变换理论建立以阻尼系数为变量的阻尼模型，通过仿真分析能够准确的预测系统模型运动过程中的变化规律，并基于频响函数灵敏度理论，根据实际数据和仿真数据的比对迭代，得到更符合实际情况的运动变化规律，解决了常规方法无法准确获取阻尼参数随时间变化的规律，以及获得振动变化规律不准确的情况，为动力学运动情况的分析和预测提供一种理论方法。该方法有效的解决了机械结构的由于间隙等因素导致的非线性振动无法准确预测的问题，为机械结构的设计提供理论基础。可通过获得的修正参数构建与真实情况更为符合的机械振动模型，更为机构结构的振动预测提供一种准确可靠的预测方法。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

一种基于频响函数模型参数修正的机械振动预测方法，包括如下步骤：

步骤一、基于小波变换和小波脊获取时变阻尼

根据机械结构的设计参数，确定结构的系统质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]。并选定测量点确定输出响应。对所得的输出信号经过MATLAB软件进行小波变换，根据小波变换求解机械系统输出响应的瞬时幅值A(t)：所述的输出信号包括速度、加速度和位移信号；

建立小波脊和信号频率瞬时幅值之间的关系，当幅值的变化率远小于信号相位的变化率时，信号x_a(t)表达形式写成如下形式：

x_a(t)＝x(t)+jH[x(t)] (1)

其中：

x(t)：原信号。

j：复数形式

H[x(t)]：原信号的希尔伯特变换。

为了确定小波系数与瞬时频率、瞬时幅值的关系，对于解析信号采用MATLAB进行小波变换获得小波系数W(a，t)。

由于Morlet小波的形状与动力学系统的振动响应较为接近，进行模态参数辨识时选其作为小波基函数能更好的体现振动信号的特征。

当已知小波的中心频率ω₀，小波变换参数

得到小波参数a满足对应t 时刻的小波参数a(t)：

响应x(t)的连续小波变换幅值主要集中在小波脊上，小波脊上的幅值称为骨架，利用骨架以及小波系数W(a(t)，t)可以获的瞬时幅值A(t)，

响应的瞬时频率ω₀(t)可以由下式获得：

其中：

ω₀---小波的中心频率

a_r(t)---小波脊。

步骤二、根据瞬时幅值和瞬时频率得到瞬时阻尼比ξ(t)。

这里只考虑自由振动的情况，因此假设F(t)为0，系统质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]。阻尼矩阵[C]初始为0，响应x(t)可以表示为，

x(t)＝A(t)cos(φ(t)) (6)

响应的幅值A(t)和相位A(t)有下式得到：

A(t)＝e^ξ(t)ω(t)t， (7)

式中：ξ(t)-瞬时阻尼比

-相位差

由上式可得到：

InA(t)＝-ξ(t)ω(t)t (9)

因此，瞬时阻尼比ξ(t)可以由下式估计：

步骤三：建立时变阻尼模型

机械结构的质量和刚度不随时间变化，由此系统的时变阻尼系数α、β表示为：

α＝2ω(t)ξ(t) (11)

阻尼比ξ(t)是随时间而发生变化，将时变阻尼系数α、β参数函数用瞬时频率ω(t)表示，阻尼函数C(t)表示为：

C(t)＝α[M]+β[K] (13)

带入整理得：

从而得到随时间而变化的阻尼模型。

步骤四：建立时变阻尼模型的频响函数

对于多自由度有阻尼动力学系统而言，可以将系统的动力学系统方程表示如下：

式(16)中，[M]表示系统质量矩阵，[K]表示系统的刚度矩阵，[C]表示系统的阻尼矩阵；x(t)表示系统位移矩阵，F(t)表示系统所受外力矩阵。对系统动力学方程进行傅里叶变换有：

(-ω²[M]+ωj[C]+[K]){X(ω)}＝{F(ω)} (17)

式中X(ω)、F(ω)分别为位移矩阵x(t)和外力矩阵F(t)的傅里叶变换式，ω为频率参数，j为复数参数；

通过试验在p点施加激励，在l测得响应。由此得到激励点p与测点l 的频响函数H_ip(ω)为：

式中：φ_lr、φ_pr分别代表激励点p与测点l的坐标参数变换矩阵。

步骤五：建立频响函数灵敏度以及灵敏度修正方法

据动刚度矩阵Z(ω)和频响函数矩阵H(ω)的互逆性可得：

H(ω)Z(ω)＝I (19)

系统的频响函数是关于某设计参数的函数，则该系统频响函数的灵敏度是频响函数对该设计参数的一阶偏导数；即为

则：

式(20)是频响函数灵敏度的表达式。可知频响的改变量即为动刚度的改变量。对于频率ω_r而言，由式(20)可得：

式中

分别表示j点激励i点响应的试验频响和有限元频响，

分别表示有限元频响的第i行和第j列。

将式(22)、(23)整理，并将其扩展到整个系统得：

ε＝[S]ΔP (24)

式(24)中，ε表示试验测试频响与有限元计算频响的残差；[S]为频响函数灵敏度矩阵，ΔP是设计参数变化量。

扩展对应系统参数α、β可得：

[ε_α]_i＝[S_α][Δα] (25)

[ε_β]_i＝[S_β][Δβ] (26)

式(25)、(26)中对应Δα、Δβ为参数修正模型设计参数变化量。

步骤六：修正参数迭代

根据基于频响函数灵敏度的参数修正方法获得对应阻尼参数α、β的修正量Δα、Δβ，因而，修正后的对应阻尼参数为：

α_i＝a+Δα (27)

β_i＝β+Δβ (28)

根据修正后的参数α_i、β_i带入步骤二中的动力学方程(5)，得到修正后的动力学方程。根据时变阻尼参数修正方法，获得新的时变阻尼模型以及频响函数，并基于频响函数灵敏度方法建立新的迭代收敛方程(22)，根据实际要求设定对应收敛参考值，即试验测试频响与有限元计算频响的残差ε。当满足收敛条件时，得到对应的变化量Δα、Δβ即为所修正的迭代值。如不满足收敛条件则将求解的对应的变化量Δα、Δβ迭代回步骤二，循环以下步骤，直到迭代收敛结束。对应得到的基于频响函数灵敏度构建的时变阻尼参数修正方程为：

本发明基于频响函数灵敏度构建时变阻尼参数修正模型，根据航空航天中的含间隙机械结构的实际输出响应得到任意时刻的阻尼参数，构建间隙结构的时变阻尼的动力学方程，预测其实际振动情况，提高存在间隙的机械结构的运动精度。解决了常规传统方法无法准确获取阻尼参数随时间变化的规律。为动力学运动情况的分析和预测提供一种理论方法。

本发明基于频响函数灵敏度构建时变阻尼参数修正模型，根据航空航天中的空间机械臂或太阳电池阵(电池展板)的实际输出响应得到任意时刻的阻尼参数，构建空间机械臂或太阳电池阵(电池展板)时变阻尼的动力学方程，预测其实际振动情况，提高存在间隙的机械结构的运动精度。解决了常规传统方法无法准确获取阻尼参数随时间变化的规律。为动力学运动情况的分析和预测提供一种理论方法。

有益效果

本发明中通过频响函数灵敏度理论建立以阻尼系数为变量的时变阻尼参数修正模型，通过仿真分析能够准确得到对应各个时刻的阻尼模型以及动力学参数，并通过修正参数构建的动力学方程预测系统模型运动过程中振动的变化规律，通过得到的变化规律提高机械机构的运动精度，为机械运动情况分析和设计提供理论基础。

附图说明

图1：空间机械臂的振动响应和修正、未修正参数的振动响应对比图。

图2：太阳电池阵(电池展板)试验的振动响应和修正、未修正参数的振动响应对比图。

图3：基于频响函数灵敏度的时变阻尼模型参数修正的迭代流程图

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明：

实施例1

在航空航天领域中，航天器空间机械臂的机械部分包含关节和机械臂杆等结构组件，构成了一个在空间环境下运行的多体系统，而在空间机械臂的核心部件为关节部件，由于其起到传递动力，机构的链接以及位置的感知等任务，在整个空间机械臂的运行中发挥着十分重要的作用。准确的预测链接系统的阻尼模型对机械臂的运动特性描述以及结构的设计具有重要意义。本发明以空间机械臂为例进行了理论验证。通过仿真与试验对比验证本发明的时变阻尼模型的正确性。

基于频响函数灵敏度的时变阻尼参数修正模型建立方法，具体步骤如下：

步骤一：

1.首先在实施例中根据机械的结构建立动力学方程，已知结构的系统质量矩阵[M]，度矩阵[K]。在结构的末端测得输出响应，也可选取其他点。输出信号选定为位移信号，如图1所示。

2.在MATLAB中对输出响应信号进行降噪预处理。

3.对所得的输出响应信号利用MATLAB中小波变换工具箱进行小波变换，根据小波变换求解瞬时幅值

响应的瞬时频率ω(t)可以由下式获得：

式中：

ω₀---小波的中心频率

a_r(t)---小波脊

步骤二：求解瞬时阻尼比

只考虑自由振动的情况，系统的响应x(t)可以表示为：

x(t)＝A(t)cos(Φ(t)) (34)

响应的幅值A(t)和相位中(t)由下式表示，

A(t)＝e^-ξ(t)ω(t)t (35)

幅值A(t)和瞬时频率ω(t)，得到瞬时阻尼比，

步骤三：建立时变阻尼模型

假设质量和刚度不随时间变化且已知，由此系统的时变阻尼系数可以表示为：

C(t)＝α[M]+β[K] (38)

带入整理得：

步骤四：建立时变阻尼模型的频响函数

对于空间机械臂动力学系统而言，可以将系统的动力学系统方程表示如下：

式(11)中，[M]表示空间机械臂质量矩阵，[K]表示空间机械臂的刚度矩阵，[C]表示空间机械臂的阻尼矩阵；x(t)表示空间机械臂位移矩阵，F(t)表示空间机械臂所受外力矩阵。对系统动力学方程进行傅里叶变换有：

(-ω²M+ωjC+K){X(ω)}＝{F(ω)} (42)

式中X(ω)、F(ω)分别为空间机械臂位移矩阵x(t)和外力矩阵F(t)的傅里叶变换式，ω为频率参数，j为复数参数；

通过在空间机械臂任意p点施加激励，在任意l点(不包括p点)测得响应。由此得到激励点p与测点l的频响函数H_ip(ω)为：

式中：φ_lr、φ_pr分别代表激励点p与测点l的坐标参数变换矩阵。

步骤五：建立频响函数以及灵敏度修正方法

空间机械臂的频响函数是关于某设计参数的函数，则该机械臂频响函数的灵敏度是频响函数对该设计参数的一阶偏导数；即为

则：

对于频率ω_r而言，由上式可得：

式(15)中

分别表示j点激励i点响应的试验频响和有限元频响，

分别表示有限元频响的第i行和第j列。

将式(17)整理，并扩展到整个系统得：

ε＝[S]ΔP (48)

式(18)中，ε表示试验测试频响与有限元计算频响的残差；[S]为频响函数灵敏度矩阵，ΔP是设计参数变化量。

扩展对应系统参数α、β可得：

[ε_α]_i＝[S_α][Δα] (49)

[ε_β]_i＝[S_β][Δβ] (50)

式式(19)、(20)中对应Δα、Δβ为参数修正模型设计参数变换量。

步骤五：时变阻尼模型参数修正的迭代流程

根据基于频响函数灵敏度的参数修正方法获得空间机械手臂的对应阻尼参数α、β的修正量Δα、Δβ，因而，修正后的对应阻尼参数为：

α_i＝a+Δα (51)

β_i＝β+Δβ (52)

根据修正后的参数α_i、β_i带入步骤一中的动力学方程(31)，得到修正后的动力学方程。根据时变阻尼参数修正方法，获得新的时变阻尼模型以及频响函数，并基于频响函数灵敏度方法建立新的迭代收敛方程(46)，根据实际要求设定对应收敛参考值，即试验测试频响与有限元计算频响的残差ε。当满足收敛条件时，得到对应的变化量Δα、Δβ即为所修正的迭代值。如不满足收敛条件则将求解的对应的变化量Δα、Δβ迭代回步骤二，循环以下步骤，直到迭代收敛结束。流程如图3所示。对应得到的基于频响函数灵敏度构建的时变阻尼参数修正方程为：

系统时变阻尼参数修正前后数据比较表

通过对空间机械臂计算试验、有限元频率和迭代次数以及系统误差分析，根据频响函数灵敏度的方法确定修正参数的方法，可以得到系统的各阶迭代频率，同时将真实值、未修正以及修正值对比。图1为基于本发明的理论方法得到的真实值、未修正以及修正值的对比图，通过图中可以看到时变阻尼模型的预测准确度和试验的真实振动位移能够很好的吻合，证明本发明的正确性。有效的解决了机械链接结构的由于间隙等因素导致的非线性振动无法准确预测的问题，为机械链接结构的设计提供理论基础，更为机构结构的振动预测提供一种准确可靠的预测方法。

3.结论

通过对空间机械臂的真实值、未修正以及修正值对比，证明本发明的正确性。通过频响函数灵敏度构建的空间机械臂的时变阻尼参数修正模型，能够准确预测机械臂在运动过程中振动的变化规律，解决了常规方法无法准确获取机械臂阻尼参数随时间变化的规律，为机械运动振动分析和设计提供理论基础，并为机械振动动力学运动情况的分析和预测提供一种理论方法。

实施例2

在航空航天领域中，航天器太阳电池阵作为蓄能装置，为整个航天器提供能量来源。在伸展过程中，电池阵伸展的位置和姿态对整个装置起到关键性作用，对于影响位置和姿态的一个主要因素就是链接件间的间隙问题。准确的预测链接部分的阻尼模型对电池展板运动特性描述以及结构的设计具有重要意义。本发明以太阳电池阵为例进行了理论验证。通过仿真与试验对比验证本发明的时变阻尼模型修正方法的正确性。

同样基于频响函数灵敏度的时变阻尼参数修正模型建立方法，具体步骤如下：

1.根据实施例中的机械结构参数，确定电池阵的系统质量矩阵[M]，刚度矩阵[K]。并在各个展板模型上测得输出响应，位置选择靠近之间远端的边缘位置。

2.在MATLAB中对输出响应信号进行降噪预处理。

3.通过获得输出响应信号，基于小波变换理论对所得到的信号进行小波变换，通过小波工具箱得到输出响应的瞬时幅值A(t)和响应的瞬时频率ω(t)

式中：

ω₀---小波的中心频率

a_r(t)---小波脊

步骤二：根据测得的瞬时振幅和瞬时频率求解瞬时阻尼比

4.根据瞬时阻尼比建立时变阻尼模型

假设质量和刚度不随时间变化且已知，由此系统的时变阻尼系数可以表示为：

C(t)＝α[M]+β[K] (58)

带入整理得：

步骤四：建立时变阻尼模型的频响函数

对于太阳电池展板多自由度有阻尼动力学系统而言，可以将系统的动力学系统方程表示如下：

式中，M、K、C、x(t)、F(t)分别代表电池展板质量矩阵、电池展板的刚度矩阵、电池展板的阻尼矩阵电池展板位移矩阵电池展板所受外力矩阵。

对电池展板动力学方程进行傅里叶变换，并通过试验在电池展板任意p点施加激励，在任意l点(不包括p点)测得响应。由此得到激励点p与测点l的频响函数H_ip(ω)为：

式中：φ_lr、φ_pr分别代表激励点p与测点l的坐标参数变换矩阵。

步骤五：建立频响函数灵敏度以及灵敏度修正方法

电池展板的频响函数是关于某设计参数的函数，则该机械臂频响函数的灵敏度是频响函数对该设计参数的一阶偏导数；即为

则：

对于某一特定频率ω_r而言，由上式可得：

式中

分别表示j点激励i点响应的试验频响和有限元频响，

分别表示有限元频响的第i行和第j列。

将上式整理，以ε表示电池展板测试频响与有限元计算频响的残差；[S]为频响函数灵敏度矩阵，ΔP是设计参数变化量并将其扩展到整个系统得：

[ε_α]_i＝[S_α][Δα] (67)

[ε_β]_i＝[S_β][Δβ] (68)

式中对应Δα、Δβ为参数修正模型设计参数变换量。

步骤五：时变阻尼模型参数修正的迭代流程，流程图如3所示。

1.基于动力学方程建立电池展板时变阻尼参数方程，并通过动力学仿真得到对应的电池展板频响函数。

2.基于电池展板测试试验的方法得到对应的频响函数。

3.分别对电池展板的仿真频响函数和试验频响函数求解对应的灵敏度。

4.根据灵敏度方程构建电池展板试验测试频响与有限元计算频响的残差。

5.基于遗传优化算法求解最优解，得到最终的电池展板模型修正参数。

通过对太阳电池展板的计算试验频率和有限元频率以及系统误差，并基于本发明的分析方法获得了图2所示的结论。图中分析得到该方法可以得到时变阻尼参数修正模型的准确度和试验的真实振动值能够较好的吻合，可以有效的解决了太阳电池展板结构的由于间隙等因素导致的非线性振动无法准确预测的问题，同时提供一种准确可靠的预测方法，为后续间隙阻尼模型的研究提供了理论基础。

3.结论

通过图像对比真实值、未修正以及修正值的误差，可以证明本发明的正确性。针对太阳电池展板在伸展过程中由间隙导致的振动无法预测的问题，提出了基于频响函数的时变参数模型修正方法，能够准确预测系统模型运动过程中振动的变化规律，为后续的伸展过程中的姿态变化问题提供理论基础，同时也提供一种振动预测的理论模型。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于频响函数模型参数修正的机械振动预测方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤一、基于小波变换和小波脊获取时变阻尼

根据机械结构的设计参数，确定结构的系统质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]，并选定测量点确定输出响应；对所得的输出信号经过MATLAB软件进行小波变换，根据小波变换求解机械系统输出响应的瞬时幅值A(t)：所述的输出信号包括速度、加速度和位移信号；

建立小波脊和信号频率瞬时幅值之间的关系，当幅值的变化率远小于信号相位的变化率时，信号x_a(t)表达形式写成如下形式：

x_a(t)＝x(t)+jH[x(t)] (1)

其中：

x(t)：原信号；

j：复数形式

H[x(t)]：原信号的希尔伯特变换；

为了确定小波系数与瞬时频率、瞬时幅值的关系，对于解析信号采用MATLAB进行小波变换获得小波系数W(a，t)；

由于Morlet小波的形状与动力学系统的振动响应较为接近，进行模态参数辨识时选其作为小波基函数能更好的体现振动信号的特征；

当已知小波的中心频率ω₀，小波变换参数

得到小波参数a满足对应t时刻的小波参数a(t)：

响应x(t)的连续小波变换幅值主要集中在小波脊上，小波脊上的幅值称为骨架，利用骨架以及小波系数W(a(t)，t)可以获的瞬时幅值A(t)，

响应的瞬时频率ω(t)可以由下式获得：

其中：

ω₀---小波的中心频率

a_r(t)---小波脊；

步骤二、根据瞬时幅值和瞬时频率得到瞬时阻尼比ξ(t)；

这里只考虑自由振动的情况，因此假设F(t)为0，系统质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]；阻尼矩阵[C]初始为0，响应x(t)可以表示为，

x(t)＝A(t)cos(φ(t)) (6)

响应的幅值A(t)和相位φ(t)有下式得到：

A(t)＝e^ξ(t)ω(t)t， (7)

式中：ξ(t)-瞬时阻尼比

-相位差

由上式可得到：

InA(t)＝-ξ(t)ω(t)t (9)

因此，瞬时阻尼比ξ(t)可以由下式估计：

步骤三：建立时变阻尼模型

机械结构的质量和刚度不随时间变化，由此系统的时变阻尼系数α、β表示为：

α＝2ω(t)ξ(t) (11)

阻尼比ξ(t)是随时间而发生变化，将时变阻尼系数α、β参数函数用瞬时频率ω(t)表示，阻尼函数C(t)表示为：

C(t)＝α[M]+β[K] (13)

带入整理得：

从而得到随时间而变化的阻尼模型；

步骤四：建立时变阻尼模型的频响函数

对于多自由度有阻尼动力学系统而言，可以将系统的动力学系统方程表示如下：

式(16)中，[M]表示系统质量矩阵，[K]表示系统的刚度矩阵，[C]表示系统的阻尼矩阵；x(t)表示系统位移矩阵，F(t)表示系统所受外力矩阵；对系统动力学方程进行傅里叶变换有：

(-ω²[M]+ωj[C]+[K]){X(ω)}＝{F(ω)} (17)

式中X(ω)、F(ω)分别为位移矩阵x(t)和外力矩阵F(t)的傅里叶变换式，ω为频率参数，j为复数参数；

通过试验在p点施加激励，在l测得响应；由此得到激励点p与测点l的频响函数H_ip(ω)为：

式中：φ_lr、φ_pr分别代表激励点p与测点l的坐标参数变换矩阵；

步骤五：建立频响函数灵敏度以及灵敏度修正方法

据动刚度矩阵Z(ω)和频响函数矩阵H(ω)的互逆性可得：

H(ω)Z(ω)＝I (19)

系统的频响函数是关于某设计参数的函数，则该系统频响函数的灵敏度是频响函数对该设计参数的一阶偏导数；即为

则：

式(20)是频响函数灵敏度的表达式；可知频响的改变量即为动刚度的改变量；对于频率ω_r而言，由式(20)可得：

式中

分别表示j点激励i点响应的试验频响和有限元频响，

分别表示有限元频响的第i行和第j列；

将式(22)、(23)整理，并将其扩展到整个系统得：

ε＝[S]ΔP (24)

式(24)中，ε表示试验测试频响与有限元计算频响的残差；[S]为频响函数灵敏度矩阵，ΔP是设计参数变化量；

扩展对应系统参数α、β可得：

[ε_α]＝[S_α][Δα] (25)

[ε_β]＝[S_β][Δβ] (26)

式(25)、(26)中对应Δα、Δβ为参数修正模型设计参数变化量；

步骤六：修正参数迭代

根据基于频响函数灵敏度的参数修正方法获得对应阻尼参数α、β的修正量Δα、Δβ，因而，修正后的对应阻尼参数为：

α_i＝a+Δα (27)

β_i＝β+Δβ (28)

根据修正后的参数α_i、β_i带入步骤二中的动力学方程(5)，得到修正后的动力学方程；根据时变阻尼参数修正方法，获得新的时变阻尼模型以及频响函数，并基于频响函数灵敏度方法建立新的迭代收敛方程(22)，根据实际要求设定对应收敛参考值，即试验测试频响与有限元计算频响的残差ε，当满足收敛条件时，得到对应的变化量Δα、Δβ即为所修正的迭代值；如不满足收敛条件则将求解的对应的变化量Δα、Δβ迭代回步骤二，循环以下步骤，直到迭代收敛结束；对应得到的基于频响函数灵敏度构建的时变阻尼参数修正方程为：

基于频响函数灵敏度构建时变阻尼参数修正模型，根据航空航天中的含间隙机械结构的实际输出响应得到任意时刻的阻尼参数，构建间隙结构的时变阻尼的动力学方程，预测其实际振动情况，提高存在间隙的机械结构的运动精度；解决了常规传统方法无法准确获取阻尼参数随时间变化的规律。

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