CN108228994A - 在越野道路随机激励下车辆及工作装置的应力计算方法 - Google Patents

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CN108228994A CN201711452059.4A CN201711452059A CN108228994A CN 108228994 A CN108228994 A CN 108228994A CN 201711452059 A CN201711452059 A CN 201711452059A CN 108228994 A CN108228994 A CN 108228994A
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Abstract

本发明公开了一种在越野道路随机激励下及工作装置的应力计算方法，方法包括：使用GRNN神经网络方法对越野路面的载荷进行反向识别，构建出路面PSD；通过约束车轮与地面接触点处对车辆的模态分析；使用随机动力学分析方法得到模态应力分量的均值与协方差矩阵；最后使用奇异值分解技术与近似逆卡方累积密度函数的方法，快速估算结构VonMises应力。本发明能够对车辆及其工作装置在越野道路的路面功率谱密度的进行快速识别，并能够快速、准确的计算出受动态随机载荷时车辆结构及其工作装置的结构应力。

Description

在越野道路随机激励下车辆及工作装置的应力计算方法
技术领域
本发明属于车辆及其工作装置结构动态设计技术，具体涉及一种在越野道路随机激励下车辆及工作装置的应力计算方法。
背景技术
工程机械、特种作业车辆、消防车等车辆在转场或行进过程中，常需高速行驶在非铺装道路上，非铺装道路的路面随机激励对这类车辆及其工作装置的结构产生复杂的应力，这些应力大小直接影响车辆及其工作装置使用寿命和可靠性，因此对非铺装道路路谱的快速识别计算，并将非铺装道路路谱用于车辆及其工作装置结构应力的快速、准确的计算就显得重要和必要。
越野道路路面功率谱密度的准确获取直接影响车辆及其工作装置应力的分析和评价。常规路面功率谱密度是通过专用路谱采集设备获取，但这些设备仅使用于铺装道路上，对非铺装的越野道路功率谱的准确识别有一定难度；除专用设备外有通过加速度传感器进行载荷识别方式获取路谱的方法，但现有方法仅考虑了悬架动行程对车身加速度的影响并未考虑车轮弹性系统的影响，而轮胎的固有频率在越野道路的路面功率谱的频率范围内，对车辆及其工作装置的结构应力有一定的影响。
车辆及其工作装置通常由车辆底盘系统、驾驶室和工作装置三部分组成，其中车辆底盘系统由轮胎、悬架、车桥和车架等组成，工作装置根据使用情况，可能会有很大变化。以消防车为例说明，消防车工作装置含有水炮、水罐、泡沫罐、后备发动机、水带等特殊工作装置，其中水罐、泡沫罐的罐体结构对外部振动激励就很敏感；同时消防车的驾驶室、动力总成、水罐、泡沫罐等重量通常较大，它们通过车架连接在一起，而车架柔性安装于悬架系统和车轮之上，其整体模态频率一般较小，容易受到悬架和轮胎固有频率的影响；而现有计算车架结构模态时，常在悬架与车架连接点处进行全约束，并没有考虑悬架系统和车轮的柔性特性对车架结构的影响，所计算得到的车架结构的模态频率较实际情况偏大，对车辆及其工作装置整体动态应力计算容易出现偏差。
VonMises应力是用于结构失效评估的重要判据之一；VonMises应力计算准确与否直接影响后续的疲劳预测以及可靠性计算，准确、快速的计算VonMises应力是可靠性计算过程中关键的环节。
通过随机振动响应分析可以直接得到系统的加速度、位移、应力分量的时域响应或者这些分量的功率谱密度函数，这些分量在统计学特性上呈现的是服从高斯分布的特性，然而VonMises应力是各应力分量的二次函数关系，因此其统计特性不再服从高斯分布特性，其应力通常不能通过有限元方法直接计算得到。
现有的VonMises应力方法一般通过估算公式进行估算，或者通过时域方法计算得到，再不就是使用功率谱密度和VonMises应力的均方根的方法进行迭代计算得到。这些方法存在计算不准确或计算过程繁琐的问题。
综上所述，非铺装道路的路面功率谱的准确、快速的获取方法并对受该激励的车辆及其工作装置的动态应力的快速、准确的计算方法进行研究就显得尤为重要。
发明内容
本发明的目的在于提供一种在越野道路随机激励下车辆及工作装置的应力计算方法，能够对车辆及其工作装置在越野道路的路面功率谱密度的进行快速识别，并能够快速、准确的计算出受动态随机载荷时车辆结构及其工作装置的结构应力。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种在越野道路随机激励下车辆结构的应力计算方法，方法步骤如下：
步骤S1：在试验车上设置GPS车速传感器，在试验车的悬架上设置悬架位移行程传感器，在悬架与车身连接处设置车身加速度传感器，在车内设置多通道同步数据采集系统，在平直试验道路上安装脉冲输入凸块，试验车以一定车速通过脉冲输入凸块，采集上述GPS车速传感器、悬架位移行程传感器和车身加速度传感器的测试数据；
步骤S2：对试验车辆使用GRNN和二自由度振动系统动力学模型辨识轮胎参数和悬架参数，从而计算得到轮胎与悬架系统的频率响应函数；
步骤S3：当试验车辆以等间隔的若干组车速匀速地在越野道路上行驶时，采集车速信号和加速度传感器的车身加速度信号；
步骤S4：通过GRNN和轮胎-悬架系统的频率响应函数；得到该试验车辆在当前车速下的越野路面加速度输入PSD；
步骤S5：车辆及其工作装置的有限元模型包括车辆底盘系统模型、工作装置模型和驾驶室模型，其中车辆底盘系统包括轮胎模型、悬架模型、车架模型和车桥模型，工作装置根据实际情况进行建模；
使用有限元软件计算在车轮与路面接触点约束下，考虑轮胎与悬架弹性支撑的车辆及其工作装置的模态，包含模态频率和模态阵型；
步骤S6：使用有限元法的随机动力学方法，以路面加速度输入功率谱密度函数为激励，车辆及其工作装置模态为计算对象，求得车辆及其工作装置的模态应力；因各模态应力服从正态分布，得到应力协方差矩阵Sδ；
步骤S7：使用SVD方法分别得到VonMises应力系数矩阵V的正交矩阵UV、对角矩阵∑V和应力协方差矩阵Sδ的对角阵D；
步骤S8：计算概率为p条件下的卡方概率对角阵Gp；
步骤S9：由应力协方差矩阵Sδ的对角阵D对角元素组成的列矩阵d，及矩阵d的最大元素，使用构造的逆卡方累积分布函数计算得到超过1-p概率下的VonMises应力
步骤S10：将计算得到的VonMises应力映射到对应的单元节点上绘制得到在概率为p条件下的VonMises应力均方根的分布云图。
本发明与现有技术相比，其显著优点在于：
(1)在快速计算越野路面加速度输入PSD时，考虑轮胎与悬架对车身的影响，首先使用GRNN和二自由度振动系统动力学模型辨识轮胎参数和悬架参数，再由车身加速度响应输出反向计算得到路面加速度输入PSD；
(2)在对车辆及其工作装置的应力计算时，考虑悬架系统和车轮的柔性特性对车架结构的影响，并使用SVD方法与逆卡方累积分布函数的方法计算得到VonMises应力均方根，在计算过程中采用矩阵计算和内置函数数据的方法，实现结构应力的快速计算。
附图说明
图1为本发明在越野道路随机激励下车辆及工作装置的应力计算方法的流程图。
图2为本发明识别和验证的消防车的车轮悬架频响特性图。
图3为本发明在车速60km/h时后悬架输出点采集得到加速度时域信号图。
图4为本发明通过GRNN识别构建的车速60km/h时道路的功率谱密度函数图。
图5为本发明通过构建的近似的逆卡方累积分布函数求得在卡方概率99.9％下的车架VonMises应力均方根分布云图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
结合图1，一种在越野道路随机激励下车辆及工作装置的应力计算方法，方法步骤如下：
步骤S1：在试验车上安装GPS车速传感器，车速传感器用于记录当前的实时行驶车速；悬架的动行程传感器安装于悬架摆臂之上，用于通过测量角度变化间接测量悬架的动行程；车身加速度传感器安装于悬架输出点的车身之上，测试方向为车辆的垂直方向，当车辆通过不平路面后，经过轮胎和悬架系统输出的车身加速度响应；在车内布置安装多通道同步数据采集系统，保证所采集的各通道数据在时间上是同步的，采集系统中硬件含有抗混滤波等硬件电路，采集的各通道信号通过高速通信接口存储于上位机之中。
在道路上布设脉冲输入凸块，试验车以20km/h车速通过脉冲输入凸块，采集记录车身加速度传感器、动行程传感器的测试数据。
步骤S2：对试验车辆使用广义回归神经网络模型(General Regression NeuralNetwork，GRNN)和二自由度振动系统动力学模型可以辨识轮胎参数和悬架参数，从而计算得到轮胎与悬架系统的频率响应函数。
GRNN是建立在径向基函数和非参数回归基础上的一种神经网络算法，GRNN具有很好的非线性映射性能，建模所需样本比较少学习速度较快，克服了常规RBF算法的一些缺点。
定义轮胎和悬架所构成的是一个线型二自由度的振动系统，其中轮胎参数包括：簧下质量m1、轮胎刚度Kt，悬架参数包括：簧上质量m2、悬架刚度K、悬架阻尼C；由路面位移基础激励q所引起的二自由度动力学方程为：
式中：，为q位移激励，Z1为轮胎位移，Z2为簧上质量位移。
已知q位移激励信号为GB4790-2009中规定的三角形状的单凸块的高度尺寸和车轮与输出信号包括车身加速度信号、悬架行程信号，悬架输出点信号，使用GRNN可辨识出该线性二自由度振动系统方程中轮胎参数与悬架参数，即悬架刚度K，为悬架阻尼C，轮胎刚度Kt识别，簧上质量与簧下质量是已知的。
获得线性二自由度振动系统方程中全部参数后即可得到该系统的频率响应函数H(f)。
由于综合考虑轮胎与悬架两个弹性结构的频率响应特性，避免了现有路面功率谱辨识方法仅考虑悬架动行程这一因素的不足。
步骤S3：当试验车辆以某几组特定车速匀速地在越野道路上行驶，采集实时车速信号和车身加速度信号。
步骤S4：通过车身加速度信号、GRNN和轮胎-悬架系统的频率响应函数可得该试验车辆在当前车速下的越野路面加速度输入功率谱密度。
对车身加速度信号做数字信号处理的方式，而非使用时域信号的处理方式。首先对采集到的所有数据按车速大小进行分析，以10的整数倍对车速进行分类，将同一车速区间范围内的悬架行程信号和车身加速度信号样本截断出来，并按照同一时间轴所对应的信号通道将信号样本合并在一起，即可得到试验过程中低速到高速行驶在越野道路上的不同车速区间的信号样本。
对某一车速区间内车身加速度信号样本对某一车速区间内车身加速度信号样本使用快速傅里叶变换该信号被截断在0.1-80Hz范围内，频率间隔Δf＝0.1Hz，再对信号按升序每个0.1Hz进行排序，再通过功率谱的自相关算法求得车身加速度信号的功率谱密度函数其中f∈[1,80]Hz。
在已知车身加速度信号的功率谱密度函数和系统频率响应函数H(f)，即可求得路面加速度输入下的功率谱函数
由于所获得的加速度信号的功率谱密度函数通过数据采集的方式获得，只是我们测试获得部分有效信号样本，最后使用GRNN神经网络模型，构建出路面加速度输入下的功率谱函数的近似模型
步骤S5：车辆及其工作装置的有限元模型由车辆底盘系统模型、驾驶室模型和工作装置模型三部分组成，其中车辆底盘系统由轮胎模型、悬架模型和车架模型、车桥模型组成，工作装置根据实际情况进行建模，通常这些模型的有效性须经过试验验证。
在有限元软件中，将车轮与路面的接触点处进行全约束，建立具有帘布层内部充气的轮胎有限元模型和具有摆臂的悬架有限元模型，考虑了轮胎和悬架的弹性支撑作用对车辆及其工作装置模态的影响，较现有计算方法，提高模态计算的准确性。此步骤可计算得到车辆及其工作装置的模态，包含模态频率和模态阵型。
使用有限元法的随机动力学方法，以路面加速度输入功率谱密度函数为激励，车辆及其工作装置模态为计算对象，求得车辆及其工作装置的模态应力；因各模态应力服从正态分布，得到应力协方差矩阵Sδ。
步骤S6：使用有限元法的随机动力学方法，以路面加速度输入功率谱密度函数为激励，车辆及其工作装置模态为计算对象，求得车辆及其工作装置的模态应力；因各模态应力服从正态分布，得到应力协方差矩阵Sδ。
以路面加速度输入功率谱密度函数为激励，车辆及其工作装置模态为计算对象，激励以基础激励的形式加载输入到计算对象中，车轮与路面约束点为基础激励的加载点；使用有限元法的随机动力学方法，商用有限元软件可计算输出每个单元的模态应力均方根值，如rms(σx)，而每个单元的模态分应力服从多元正态分布，σ～N(0,sσ)，即其中Sδ为应力协方差矩阵，由多元正态分布函数可得应力协方差矩阵可表示为：
步骤S7：使用奇异值分解(SVD)方法分别得到VonMises应力系数矩阵V的正交矩阵UV、对角矩阵∑V和应力协方差矩阵Sδ的对角阵D；
因VonMises应力表示为：
可见VonMises应力是关于各分量的二型函数。
该函数可简化为：
其中σ＝[σxσyσzτxyτxzτyz]T
对任意m×n矩阵A都能被奇异值分解，其中U是m×m的正交矩阵，W是n×n的正交矩阵，∑r是由r个沿对角线从小到大排列的奇异值组成的方阵，r就是矩阵A的秩。奇异值分解是正交矩阵分解法的一种。
因此VonMises应力系数矩阵可由正交矩阵UV以及对角矩阵∑V构成的奇异值分解矩阵为：使用奇异值分解(SVD)可解得正交矩阵UV以及对角矩阵∑V。
由于VonMises应力与各分量在三维问题中是唯一固定二次函数关系，因此正交矩阵UV、对角矩阵∑V在计算过程是不变的，这些矩阵作为常数项内置于程序中直接调用不必每次重复计算，可大幅减少矩阵求解次数。
因每个单元的模态分应力服从多元正态分布，σ～N(0,sσ)，且是相互独立，令
由正交矩阵U和对角阵D构成的奇异值分解矩阵为使用奇异值分解技术(SVD)可解得对角阵D，并记对角元素组成的向量记为d,其最大值记为dmax。
步骤S8：计算概率为p条件下的卡方概率对角阵Gp；
由可知VonMises应力是关于应力分量σi的二次型函数，已知分量服从正态分布其二次型函数是服从卡方分布，χ2(y,n)分布的累积分布函数可表示为：χ2(y,n)＝Pr(χ2≤y)，
我们更关心的是在概率p下的应力值，即为χ2(y,n)分布的逆过程，卡方分布的逆累积分布函数可表示为：χ-2(y,n)＝{y:χ2(y,n)＝p}
记为超过1-p概率下的VonMises应力值，
记Gp是一个对角阵，其对角元素可用下式来表示：
便可计算得到概率为p和自由度为j条件下的卡方概率对角阵Gp，对平面对三维结构来说j＝6，在概率为p和自由度为j＝6确定的情况下对角阵Gp唯一的，可将常用概率p下的Gp矩阵计算好，放置于程序计算时可查表调用，减少计算量。
步骤S9：使用逆卡方累积分布函数计算得到VonMises应力；
所构建的近似逆卡方累积分布函数中向量d及向量d最大值dmax在步骤6中已求得，卡方概率对角阵Gp在步骤7中已求得，带入构建的近似逆卡方累积分布函数中即可求得在概率为p下的VonMises应力。
由此可见，在上述计算计算过程中SVD求解以及近似逆卡方累积分布函数的求解均采用的矩阵计算的方法，执行效率高，计算速度快，该计算方法克服了时域算法的效率低效和近似算法的不精确的问题。
步骤S10：将计算得到的VonMises应力均方根映射到对应的单元节点上绘制得到在概率为p条件下的VonMises应力均方根分布云图。
使用有限元分析软件计算所得节点数据采用上述步骤5-6即可求得所有的VonMises应力均方根，将这些节点的VonMises应力均方根映射到单元节点上绘制得到在概率为p条件下的VonMises应力均方根分布云图。
实施例：
结合图1至图5，以消防车为算例，前轴簧上质量3000kg，簧下质量1000kg，前轴簧上质量4800kg，簧下质量1500kg，行驶在某非铺装道路上赶赴火场，其有限元模型已验证过。
步骤S1：在试验车上安装GPS车速传感器，悬架位移行程传感器，悬架与车身连接处安装加速度传感器，在车内布置安装多通道同步数据采集系统，在道路上布设脉冲输入凸块，凸块高度150mm,试验车以20km/h车速通过凸块，采集记录车身加速度传感器、悬架位移行程传感器的测试数据。
步骤S2：通过GRNN对线性二自由度振动系统动力学模型的车轮参数与悬架参数进行参数识别，并得到的振动系统的传递特性如附图2所示，
步骤S3：在前轮悬架输出点的加速度时域信号附图3所示，
步骤S4：使用GRNN求得到的路面加速度功率谱密度函数附图4所示。
步骤S5：以某消防车有限元模型为算例，将车轮与地面接触部分单元进行全约束，计算得到消防车的模态振型和频率如下：
阶数 频率(Hz) 振型 阶数 频率(Hz) 振型
1 1.3 整车后移振型 7 5.3 整车左右弯曲
2 1.5 整车侧倾振型 8 6.0 整车左右弯曲
3 2.4 整车左右弯曲 9 7.2 整车左右弯曲
4 2.7 整车回转 10 7.3 整车扭转
5 2.8 整车左右弯曲 11 8.2 整车扭转
6 3.6 整车扭转 12 9.3 整车扭转
步骤S6：将步骤3所得路面加速度功率谱密度函数作为消防车模态文件的激励，进行随机动力学响应分析，计算得到各节点的模态应力文件。
下面是一个大规模矩阵循环计算的过程，步骤S6-S8以其中的一个节点信息作为算例来验算。
如下为某节点的得到应力协方差矩阵Sδ，由于该模型为三维结构，因此Sδ为6×6矩阵。
步骤S7：已知VonMises应力是关于各分量的二型函数为：其中σ＝[σxσyσzτxyτxzτyz]T
由于矩阵V具有对角特性可使用奇异值分解(SVD)方法进行分解为可解得正交矩阵UV以及对角矩阵∑V如下：
由再使用奇异值分解(SVD)可解得对角矩阵D及其对角阵元素组成的向量d＝[1532 560.6 232.8 178.6 14.7 0]T,dmax＝1532。
步骤S8：对于三维结构，在发生概率为99.9％条件下的卡方概率对角阵Gp
步骤S9：近似的逆卡方累积分布函数预测该节点的在发生概率为99.9％条件下VonMises应力均方根值。
(σVM)0.999＝131.5MPa
步骤S10：使用python语言对ABAQUS计算得到的节点进行迭代计算，并调用ABAQUS后处理程序，将这些节点的VonMises应力均方根映射到单元节点上，绘制得到在概率为99.9％条件下的VonMises应力均方根分布云图，如附图5所示。

Claims (7)

1.一种在越野道路随机激励下车辆结构的应力计算方法，其特征在于，方法步骤如下：
步骤S1：在试验车上设置GPS车速传感器，在试验车的悬架上设置悬架位移行程传感器，在悬架与车身连接处设置车身加速度传感器，在车内设置多通道同步数据采集系统，在平直试验道路上安装脉冲输入凸块，试验车以一定车速通过脉冲输入凸块，采集上述GPS车速传感器、悬架位移行程传感器和车身加速度传感器的测试数据；
步骤S2：对试验车辆使用GRNN和二自由度振动系统动力学模型辨识轮胎参数和悬架参数，从而计算得到轮胎与悬架系统的频率响应函数；
步骤S3：当试验车辆以等间隔的若干组车速匀速地在越野道路上行驶时，采集车速信号和加速度传感器的车身加速度信号；
步骤S4：通过GRNN和轮胎-悬架系统的频率响应函数；得到该试验车辆在当前车速下的越野路面加速度输入PSD；
步骤S5：车辆及其工作装置的有限元模型包括车辆底盘系统模型、工作装置模型和驾驶室模型，其中车辆底盘系统包括轮胎模型、悬架模型、车架模型和车桥模型，工作装置根据实际情况进行建模；
使用有限元软件计算在车轮与路面接触点约束下，考虑轮胎与悬架弹性支撑的车辆及其工作装置的模态，包含模态频率和模态阵型；
步骤S6：使用有限元法的随机动力学方法，以路面加速度输入功率谱密度函数为激励，车辆及其工作装置模态为计算对象，求得车辆及其工作装置的模态应力；因各模态应力服从正态分布，得到应力协方差矩阵Sδ；
步骤S7：使用SVD方法分别得到VonMises应力系数矩阵V的正交矩阵UV、对角矩阵∑V和应力协方差矩阵Sδ的对角阵D；
步骤S8：计算概率为p条件下的卡方概率对角阵Gp；
步骤S9：由应力协方差矩阵Sδ的对角阵D对角元素组成的列矩阵d，及矩阵d的最大元素，使用构造的逆卡方累积分布函数计算得到超过1-p概率下的VonMises应力
步骤S10：将计算得到的VonMises应力映射到对应的单元节点上绘制得到在概率为p条件下的VonMises应力均方根的分布云图。
2.根据权利要求1所述的越野道路激励下车辆及其工作装置的应力计算方法，其特征在于：上述步骤S2中，脉冲输入凸块使用GB4790-2009中规定的三角形状的单凸块的尺寸定义，所识别的是一个线性二自由度振动系统，该系统中轮胎参数包括簧下质量m1和轮胎刚度Kt，悬架参数包括簧上质量m2、悬架刚度K、悬架阻尼C；通过脉冲输入试验测得三角形脉冲位移激励信号，系统输出信号包括车身加速度信号和悬架行程信号，使用GRNN辨识出该线性二自由度振动系统中轮胎参数与悬架参数，并可得到二自由度振动系统的频率响应函数。
3.根据权利要求1所述的越野道路激励下车辆及其工作装置的应力计算方法，其特征在于：上述步骤S4中，以10的整数倍对车速进行分类，将同一车速区间范围内的悬架行程信号和车身加速度信号样本截断出来，并按照同一时间轴所对应的信号通道将信号样本合并在一起，即得到试验过程中低速到高速行驶在越野道路上的不同车速区间的信号样本；对某一车速区间内加速度信号样本使用快速傅里叶变换和功率谱的自相关分析，得到车身加速度信号的功率谱密度信号，该信号被截断在0.1-80Hz范围内，频率间隔Δf＝0.1Hz，最后由GRNN辨识出该测试车辆受到的路面加速度输入功率谱密度的近似模型
4.根据权利要求1所述的越野道路激励下的车辆及其工作装置的应力计算方法，其特征在于：上述步骤S5中，在有限元软件中，将车轮与路面的接触点处进行全约束，建立具有帘布层内部充气的轮胎有限元模型和具有摆臂的悬架有限元模型，考虑了轮胎和悬架的弹性支撑作用对车辆及其工作装置模态的影响。
5.根据权利要求1所述的越野道路激励下的车辆及其工作装置的应力计算方法，其特征在于：在上述步骤S6中，以路面加速度输入功率谱密度函数为激励，车辆及其工作装置为计算对象，激励以基础激励的形式加载输入到计算对象中，车轮与路面约束点为基础激励的加载点；使用有限元法的随机动力学方法，该商用有限元软件计算输出每个单元的模态应力均方根值，如rms(σx)和而每个单元的模态分应力服从多元正态分布，σ～N(0,sσ)，即其中Sδ为应力协方差矩阵，由多元正态分布函数可得应力协方差矩阵表示为：
6.根据权利要求1所述的越野道路激励下车辆及其工作装置的应力计算方法，其特征在于：在上述步骤S7中，使用SVD计算VonMises应力系数矩阵V的正交矩阵UV以及对角矩阵∑V，此处结构的VonMises应力与各分量的二次型函数是唯一的，SVD计算得到正交矩阵UV和对角矩阵∑V也是唯一，在步骤S9的迭代计算过程中，将矩阵UV和∑V作为常数项内置于程序中直接调用。
7.根据权利要求1所述的越野道路激励下车辆及其工作装置的应力计算方法，其特征在于：在上述步骤S8中，已知分量服从正态分布其二次型函数是服从卡方分布，结构问题更关心的是在概率p下的应力值，即为χ2(y,n)分布的逆过程，卡方分布的逆累积分布函数可表示为：χ-2(y,n)＝{y:χ2(y,n)＝p}；
记为超过1-p概率下的VonMises应力值，记Gp是一个对角阵，其对角元素可用下式来表示：
计算得到概率为p和自由度为j条件下的卡方概率对角阵Gp，对平面对三维结构来说j＝6，在概率为p和自由度为j＝6确定的情况下对角阵Gp唯一的，可将常用概率p下的Gp矩阵计算好，放置于程序计算时可查表调用，减少计算量。
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