CN109309536B - 一种可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法，包括以下步骤：(1)预设定Nakagami‑m信号的衰落参数m和平均功率Ψ；(2)使用遗传算法GA优化2次方数学多项式，生成2次近似表达式的系数a、b、c、d；(3)将所述系数a、b、c、d代入2次近似表达式中，即可获得与步骤(1)的衰落参数m和平均功率Ψ相对应的Nakagami‑m逆CDF近似值。本发明所提的有关Nakagami衰落ICDF的2次多项式近似表达式不仅普遍适用于衰落参数m的各种取值情形，而且具有非常高的近似精确度。此外，本发明所提出的2次多项式近似表达式与上述Beaulieu和Bilim的两种方法相比而言，阶数更低，计算更加简单，能够快速地获得有效近似值。

Description

一种可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法

技术领域

本发明涉及一种可降低Nakagami逆CDF(衰落逆累积分布)函数近似复杂度的方法，属于无线通信系统技术领域。

背景技术

移动无线通信系统的性能主要受制于移动无线衰落信道，这又包含大尺度衰落和小尺度衰落两种类别。常见的大尺度衰落一般包括路径损耗和对数正态阴影效应，而小尺度衰落则包括诸如Nakagami-m衰落、瑞利衰落和莱斯衰落等。其中，大尺度衰落的变化周期往往以月和年计，可采用诸如增加信号发射功率等方法加以克服；而小尺度衰落反映的则是接收机在毫秒级极短的时间内因周边环境散射造成的信号衰变的不利影响，故常常成为系统分析与设计时重点考察的对象。在实际的无线通信环境中，隶属于小尺度衰落的Nakagami-m衰落可通过灵活调整参数因子m的变化而与实测信道达成更好的匹配，从而能够有效地涵盖现有的经典衰落模型，如莱斯衰落(m>1)、瑞利衰落(m＝1)；此外，m<1时的Nakagami分布还可以模拟单边高斯分布等传统瑞利或莱斯模型无法表征的衰落更加严重的信道场景，因此具有很强的灵活性和通用性，故而在物理衰落无线电信道的建模中得到了广泛的关注和应用。

Nakagami-m分布的概率密度函数(PDF)可表示为：

其中，u是服从Nakagami-m分布的信号幅度变量，m是衰落指数，Ψ表示信号的平均功率，Γ(·）为伽马函数。

而Nakagami-m衰落分布的逆累积分布函数(ICDF)在许多涉及Nakagami-m衰落的无线通信系统的设计中都扮演着重要角色，例如以逆变换法生成Nakagami-m衰落随机数，以及基于Nakagami-m衰落的系统中断概率的分析与计算等等。这就要求能够实时计算出Nakagami-m逆累积分布函数的数值。由于任何分布的CDF和PDF函数都是相关的，并且这个相关性由下式定义为：

其中，f_u(μ)是公式(1)中Nakagami-m分布的PDF，μ是积分哑元。因此，Nakagami-m分布的CDF的反函数则可以由公式(2)所表示的Nakagami-m分布的CDF函数隐性给出：

其中，x(η)是一个关于CDF目标值η的函数，η表示[0，1)上的变量。由公式(3)可知，Nakagami-m分布的逆CDF函数可以正式表达为

不过遗憾的是，除m＝1这个特殊取值外，其他m值的Nakagami-m分布逆CDF函数皆不存在闭合表达式，这就导致很难利用公式法对其ICDF直接进行准确的数值计算；现有数学工具软件都是采用比较复杂的数值计算方法(例如寻根算法)以获得该ICDF值，显然这在需要以硬件电路来进行快速、简便运算的场合是不现实的。基于上述原因，一个有效而简便的近似Nakagami-m逆CDF数值的方法是非常有必要的。

Norman C.Beaulieu于2005年在IEEE Transactions on Vehicular Technology上发表的论文“Efficient Nakagami-m fading channel simulation”中提出了一种基于对数及开方运算辅助变量的3次方数学多项式来近似Nakagami-m逆CDF，计算量还是比较复杂；随后，Mehmet Bilim等人于2015年在Wireless Personal Communications上发表了论文“A new Nakagami-m inverse CDF approximation based on the use of geneticalgorithm”则对Beaulieu的方法进行了改进，提出了一个不需要辅助变量的形式较为简单的3次方多项式来获得Nakagami-m逆CDF的近似值，计算量虽然得到简化，不过其多项式的阶数仍然较高，计算复杂度仍有降低的空间。

发明内容

针对现有技术存在的不足，本发明目的是提供一种可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法，能够简单、快速地得到Nakagami-m逆CDF的有效近似值。

为了实现上述目的，本发明是通过如下的技术方案来实现：

本发明的一种可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法，包括以下步骤：

(1)预设定Nakagami-m信号的衰落参数m和平均功率Ψ；

(2)使用遗传算法GA优化2次近似表达式：

生成2次近似表达式的系数a、b、c、d；

(3)将所述系数a、b、c、d代入2次近似表达式中，即可获得与步骤(1)的衰落参数m和平均功率Ψ相对应的Nakagami-m逆CDF近似值。

步骤(2)，所述遗传算法GA具体的方法如下：

(2-1)设定初始总人口数、交叉率和突变率；

(2-2)评估2次近似表达式：将所述遗传算法GA每一次迭代生成的四个系数a、b、c、d代入表达式中生成对应于不同u取值的Nakagami-m逆CDF近似值，然后计算出Nakagami-m逆CDF真实值与近似值之间的均方根误差即RMSE，通过RMSE值的大小来评估提出的2次近似表达式性能达到最佳；

(2-3)判断优化准则RMSE是否达到最小，如果满足，则获得所述2次近似表达式的系数a、b、c、d；如果不满足，则按照遗传算法中的规则从上一代总人口中选择出优良的个体遗传到下一代总人口中；将总人口内的各个个体随机搭配成对，对每一个个体以设定交叉概率交换它们之间的数据，从而使得新个体组合了父辈个体的特性；在总人口中随机选择一个个体，对于选中的个体以设定突变概率随机改变串结构数据中某个串的值，并转向步骤(2-1)。

步骤(2-3)中，所述优化准则RMSE的方法为：

判断每一次迭代产生的系数a、b、c、d是否使所述2次近似表达式的值与Nakagami-m逆CDF真实值之间的RMSE达到最小。

利用相对误差ξ_RE来评估提出的近似表达式近似Nakagami-m逆CDF的有效性，它定义为：

其中，

为近似值，

为Nakagami-m逆CDF的精确值。

上述初始总人口数设为200。

上述交叉率设为0.85。

上述突变率设为0.01。

本发明所提的有关Nakagami衰落ICDF的2次多项式近似表达式不仅普遍适用于衰落参数m的各种取值情形，而且具有非常高的近似精确度。此外，本发明所提出的2次多项式近似表达式与上述Beaulieu和Bilim的两种方法相比而言，阶数更低，计算更加简单，能够快速地获得有效近似值，特别适合于以诸如DSP(数字信号处理器)、FPGA(现场可编程逻辑阵列)等硬件实现无线通信系统设计的场合，进而大大地提高了效率，具有很强的实用性。

附图说明

图1为本发明提出的低复杂度2次多项式近似Nakagami-m逆CDF的实现流程图；

图2为Ψ＝1时，m＝0.9，m＝2.5和m＝6的Nakagami-m逆CDF精确值和近似值的比较曲线图；

图3为Ψ＝1时，m＝2.5和m＝6的Nakagami-m逆CDF近似算法的相对误差性能曲线；

图4为m＝0.65，2.0，10.0时生成的Nakagami-m序列的CCDF精确值和仿真值之间的比较曲线。

具体实施方式

为使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体实施方式，进一步阐述本发明。

下面结合仿真结果对本发明作进一步的详细说明，并验证所提出的Nakagami-m分布ICDF近似表达式的准确性。

图1展示了本发明提出的低复杂度2次多项式近似Nakagami-m逆CDF的实现流程图。首先需要确定Nakagami-m信号的衰落参数m和平均功率Ψ，然后使用GA算法优化本发明提出的2次近似表达式，算法的每一次迭代都会生成近似表达式的系数a、b、c、d。其中，GA算法的参数设置如下：初始总人口数设为200，交叉率设为0.85，突变率设为0.01；而优化评判标准是看每一次迭代产生的系数a、b、c、d是否使本发明提出的近似表达式的值与Nakagami-m逆CDF真实值之间的RMSE达到最小。最后，将满足优化评判标准的系数a、b、c、d代入2次近似表达式中即可获得与一开始选定的衰落参数m和平均功率Ψ相对应的Nakagami-m逆CDF近似值。

本发明的所有仿真结果中，为方便起见，令衰落信号的平均功率Ψ＝1(这并不会影响多项式系数的确定)，而衰落参数m的取值则尽可能地选取不同。根据m的不同取值，所提出的2次多项式Nakagami-m逆CDF的近似表达式的系数显示在表1(表1为不同衰落系数m和Ψ＝1时所提近似多项式的最终GA算法优化所得系数)中。

表1

这些系数都是使用遗传(GA)算法进行优化获得的，以便达到最小化近似值和准确值之间差异的目的。

图2则显示了在Ψ＝1的情况下，m＝0.9，m＝2.5和m＝6时Nakagami-m逆CDF精确值和近似值的比较曲线图，从图中可以很明显地看出，近似表达式得到的结果与作为示例的三个不同m值的精确结果非常吻合，它们之间的差异非常小；显然精确值和近似值的比较可以帮助验证所提出的ICDF近似表达式的准确性。

在图3中还给出了m＝2.5和m＝6时由公式(5)定义的相对近似误差ξ_RE的性能。值得注意的是，当u≠1时，随着u的增加，ξ_RE的性能呈缓慢变化的趋势。

从图2和图3中结果可以看出，通过近似表达式获得的近似值与不同m取值时的精确值有着很好的一致性。此外，本发明所提出的近似表达式的ξ_RE性能也令人满意。

当然，这些数值仿真结果还不足以验证本发明提出的近似表达式的准确性。本发明还将该方法用于Nakagami-m衰落信道的仿真中，通过研究由其生成的Nakagami-m序列的统计特性来验证其性能。

图4给出了m＝0.65，2.0，10.0时该近似多项式法生成Nakagami-m序列的互补CDF(CCDF)精确值和仿真值之间的比较曲线。从仿真结果又一次看出，精确值与仿真值之间的一致性非常好。

本发明以非常简单、快速的方式获得Nakagami-m衰落逆累积分布函数(CDF)的有效近似值方法。Nakagami-m衰落分布的逆累积分布函数(ICDF)在许多涉及Nakagami-m衰落的无线通信系统的设计中都扮演着重要角色，例如基于Nakagami-m衰落的系统中断概率的分析与计算等。然而，Nakagami-m逆CDF的数值计算十分困难，这是由于Nakagami-m逆CDF没有闭合的表达式(除m＝1时)。

综合上述各种仿真结果可以看出，本发明所提的有关Nakagami衰落ICDF的2次多项式近似表达式不仅普遍适用于衰落参数m的各种取值情形，而且具有非常高的近似精确度。此外，本发明所提出的2次多项式近似表达式与上述Beaulieu和Bilim的两种方法相比而言，阶数更低，计算更加简单，能够快速地获得有效近似值，特别适合于以诸如DSP(数字信号处理器)、FPGA(现场可编程逻辑阵列)等硬件实现无线通信系统设计的场合，进而大大地提高了效率，具有很强的实用性。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (6)

1.一种可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法，应用于无线通信系统设计中基于Nakagami-m衰落的系统中断概率的分析与计算，其特征在于，包括以下步骤：

(1)预设定Nakagami-m信号的衰落参数m和平均功率Ψ；

(2)使用遗传算法GA优化2次近似表达式：

生成2次近似表达式的系数a、b、c、d；

(3)将所述系数a、b、c、d代入2次近似表达式中，即可获得与步骤(1)的衰落参数m和平均功率Ψ相对应的Nakagami-m逆CDF近似值；

步骤(2)，所述遗传算法GA具体的方法如下：

(2-1)设定初始总人口数、交叉率和突变率；

(2-2)评估2次近似表达式：将所述遗传算法GA每一次迭代生成的四个系数a、b、c、d代入表达式中生成对应于不同u取值的Nakagami-m逆CDF近似值，然后计算出Nakagami-m逆CDF真实值与近似值之间的均方根误差即RMSE，通过RMSE值的大小来评估提出的2次近似表达式性能达到最佳；

(2-3)判断优化准则RMSE是否达到最小，如果满足，则获得所述2次近似表达式的系数a、b、c、d；如果不满足，则按照遗传算法中的规则从上一代总人口中选择出优良的个体遗传到下一代总人口中；将总人口内的各个个体随机搭配成对，对每一个个体以设定交叉概率交换它们之间的数据，从而使得新个体组合了父辈个体的特性；在总人口中随机选择一个个体，对于选中的个体以设定突变概率随机改变串结构数据中某个串的值，并转向步骤(2-1)。

2.根据权利要求1所述的可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法，其特征在于，

步骤(2-3)中，所述优化准则RMSE的方法为：

判断每一次迭代产生的系数a、b、c、d是否使所述2次近似表达式的值与Nakagami-m逆CDF真实值之间的RMSE达到最小。

3.根据权利要求1所述的可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法，其特征在于，

利用相对误差ξ_RE来评估提出的近似表达式近似Nakagami-m逆CDF的有效性，它定义为：

其中，

为近似值，

为Nakagami-m逆CDF的精确值。

4.根据权利要求1所述的可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法，其特征在于，

所述初始总人口数设为200。

5.根据权利要求1所述的可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法，其特征在于，

所述交叉率设为0.85。

6.根据权利要求1所述的可降低Nakagami逆CDF函数近似复杂度的方法，其特征在于，

所述突变率设为0.01。

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