CN112511241B - 基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法，分别给出了基于逆变换法的Nakagami‑Lognormal(NLN)复合衰落信道包络仿真建模方法和基于舍弃法的NLN复合衰落信道包络仿真建模方法。对于不同的衰落参数m和阴影标准差σ，这两种方法都能够较好地生成具NLN复合衰落统计特性的随机数变量。本发明用以模拟具复合衰落统计特性的信道变迁，从而衡量系统所设计的各类算法在真实复合衰落下的性能，并与理论分析性能作对比以验证理论设计的可行性与合理性。

Description

基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法

技术领域

本发明涉及一种基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法，属于无线通信系统技术领域。

背景技术

移动无线通信系统的工作性能在很大程度上受制于无线衰落信道，衰落是针对功率的概念，或者说是信号强度。衰落是信号功率减小的问题。衰落按功率下降的快慢可以分为大尺度衰落(large scale fading)和小尺度衰落(small scale fading)。常见的大尺度衰落一般包括路径损耗和对数正态阴影效应，而小尺度衰落则包括诸如Nakagami-m衰落、Rayleigh(瑞利)衰落和Rice(莱斯)衰落等。其中，大尺度衰落的变化周期往往以月和年计，可采用诸如增加信号发射功率、合理设置基站位置与密度等方法加以克服；而小尺度衰落反映的则是接收机在毫秒级极短的时间内、因周边环境散射造成的信号快速衰变的不利影响，故常常成为系统分析与设计时重点关注的对象。

在实际的无线通信环境中，除了接收机周边临近散射体所导致的小尺度衰落以外，移动无线电环境中的接收信号包络还可能受到大尺度衰落中诸如阴影效应的影响，所以对无线衰落信道的完整建模应综合考虑小尺度衰落和大尺度阴影效应的复合衰落的影响。根据实地现场测量的数据进行统计分析后的结果表明，城市环境中无线衰落信道的数学统计特性与Nakagami-Lognormal(NLN)分布非常接近，这也从实测角度佐证了研究复合衰落信道建模的必要性。不过现有文献中关于NLN复合衰落信道建模方面的内容非常少，尤其是通过经典数学变换原理来对复合衰落信道的包络随机变量进行仿真建模的方法基本上可以说是空白。

发明内容

目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法，用以模拟具复合衰落统计特性的信道变迁，从而衡量系统所设计的各类算法在真实复合衰落下的性能，并与理论分析性能作对比以验证理论设计的可行性与合理性。

技术方案：为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：

一种基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法，包括如下步骤：

生成一组在[0,1]区间上均匀分布的独立随机序列U＝{u_i},i＝1…N，其中，N是生成均匀分布随机样本的总数量；

将均匀随机变量u_i代入NLN复合衰落信道的平方包络近似ICDF函数

中，生成NLN复合衰落信道的平方包络随机变量γ_i；

对平方包络随机变量γ_i开根号产生具有NLN复合衰落信道统计特性的包络随机变量

生成NLN复合衰落信道的包络随机序列

作为优选方案，NLN复合衰落信道的平方包络近似ICDF函数

计算公式如下：

式中，u表示NLN复合衰落信道接收信号的平方包络CDF函数值，即F_γ(r)＝u；

和

分别表示对数正态分布近似后的均值和标准差；erfcinv(·)和erfinv(·)则分别表示互补误差函数和误差函数的逆函数。

作为优选方案，

其中，ψ(·)表示双Gamma函数；ζ(·,·)表示赫尔维茨(Hurwitz)zeta函数，

m是Nakagami小尺度衰落参数，标准差σ表示阴影扩展，常参数ξ＝10/ln10。

作为优选方案，NLN复合衰落信道接收信号的平方包络CDF函数F_γ(r)计算公式如下：

其中，erfc(·)是互补误差函数，r表示平方包络γ(t)在某一时刻的采样。

一种基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法，包括如下步骤：

生成一组随机序列W＝{w_i},i＝1…N，N是生成样本的总数量，其中每个随机样本w_i的NLN复合衰落信道的目标PDF函数形式满足帽子函数中的f_w(r)；

生成在区间[0,C·f_w(w_i)]上均匀分布的随机变量y_i,i＝1…N；

若y_i≤f_γ(w_i)，随机样本w_i就会被接收，否则就丢弃；

对接收的随机样本w_i开根号，得到NLN复合衰落信道的包络随机样本

生成满足NLN复合衰落信道统计特征的包络随机序列

式中i＝1…N，N是生成样本的总数；j＝1…J，J是最后满足不等式y_i≤f_γ(w_i)接收的样本总数。

作为优选方案，所述帽子函数包括：均匀分布帽子函数、高斯分布帽子函数。

所述均匀分布帽子函数表示为：

式中，C表示一个常数，ξ＝10/ln10；

和

分别表示对数正态分布近似后的均值和标准差；f_γ(r)是NLN复合衰落信道的目标PDF函数；

所述高斯分布帽子函数原型可表示为：

式中，μ_G表示帽子函数高斯分布的均值，一般选取令目标PDF函数f_γ(r)达到峰值的最大r值点作为均值，本发明选择令公式(3)描述的对数正态分布近似PDF函数达到峰值的最大r值点作为均值，它可表示为：

即

而

则是帽子函数高斯分布的方差，用对数正态分布近似PDF函数的最大值来表示，即

可写成：

上式中，f_γ(μ_G)表示对数正态分布近似PDF函数的最大值；a是一个控制帽子函数C·f_w(r)的曲线形状和尾部衰减的常数。

作为优选方案，NLN复合衰落信道的目标PDF函数f_γ(r)计算公式如下：

式中，r表示平方包络γ(t)在某一时刻的采样；s代表阴影衰落部分；m是Nakagami小尺度衰落参数；μ是与路径损耗成比例的平均功率；标准差σ表示阴影扩展；常参数ξ＝10/ln10；Γ(·)表示Gamma函数运算。

作为优选方案，对数正态分布近似PDF函数计算公式如下：

式中，

和

分别是近似后的标准差和均值，r表示平方包络γ(t)在某一时刻的采样；常参数ξ＝10/ln10。

作为优选方案，

其中，ψ(·)表示双Gamma函数；ζ(·,·)表示赫尔维茨(Hurwitz)zeta函数，

m是Nakagami小尺度衰落参数，标准差σ表示阴影扩展，常参数ξ＝10/ln10。

有益效果：本发明提供的基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法，结合对数正态分布近似和经典数学变换原理，分别给出基于逆变换近似法的NLN复合衰落信道的包络仿真建模方法和基于舍弃法近似的NLN复合衰落信道包络仿真建模方法。

复合衰落信道的数学统计模型已经有了，但现有系统缺少具有复合衰落信道统计特征的随机数生成方法，现有系统作为性能评估时只能是理论上的分析，没有相应的复合衰落信道的仿真数据与之作契合性对比；有了本发明的随机数生成就可以弥补这一不足。

本发明方法可以用计算机软件或者硬件电路实现的方式，实时生成具有NLN统计特性的随机数，用以模拟NLN复合衰落信道，评估无线通信系统所设计的各类算法的在复合衰落信道下的真实检测效能，以及与理论分析的一致性。

本发明提出的两种基于对数正态分布近似的方法能够有效地生成NLN复合衰落信道包络随机数，不仅适用于各种衰落参数m和阴影标准差σ的取值情形，而且与真实NLN衰落信道特性相一致。

附图说明

图1为本发明提出的基于逆变换法的复合衰落信道包络随机数生成方法的算法流程图。

图2为本发明提出的基于舍弃法的复合衰落信道包络随机数生成方法的算法流程图。

图3为不同衰落参数和阴影标准差下基于逆变换法生成的NLN复合衰落包络平方随机序列PDF函数仿真值与理论值比较曲线图。

图4为不同衰落参数和阴影标准差下基于高斯分布帽子函数舍弃法生成的NLN复合衰落平方包络随机序列PDF函数仿真值与理论值比较曲线图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作更进一步的说明。

本发明提出的两种基于对数正态分布近似生成NLN复合衰落随机数的具体步骤：

综合考虑Nakagami小尺度衰落和大尺度阴影效应的NLN复合衰落信道接收端接收到的复合衰落信号平方包络γ的概率密度函数(PDF)有如下表达式：

式中，r表示平方包络γ(t)在某一时刻的采样；s代表阴影衰落部分；m是Nakagami小尺度衰落参数；μ是与路径损耗成比例的平均功率；标准差σ表示阴影扩展，使用时一般将它转换成dB的形式，实测结果表明它的取值范围为1.5dB～12dB之间；常参数ξ＝10/ln10；Γ(·)表示Gamma函数运算。

对应的NLN复合衰落信道中接收信号的平方包络累积分布函数(CDF)表达式为：

式中，Γ(·,·)表示上不完全Gamma函数。

公式(1)和(2)所描述的NLN复合衰落信道接收信号的平方包络γ的PDF函数及其对应的CDF函数表达式中都包含了复杂的无穷积分，非常不利于实际生成满足需求的随机变量，因此本发明基于已有的数学手段对NLN复合衰落信道的平方包络PDF函数及其对应的CDF函数进行适当近似简化。

为了令后续求解复合衰落信道PDF函数的最大值和逆累积分布函数(ICDF)表达式更为简便，本发明选择对数正态分布近似简化方法，此时，公式(1)描述的NLN复合衰落信道接收信号平方包络PDF函数可近似重写为：

式中，

和

分别是近似后的标准差和均值(二者皆以dB为单位)，借助公式(1)中已定义的σ和μ，它们可分别表示为：

上式中，ψ(·)表示双Gamma函数亦即digamma函数；ζ(·,·)表示赫尔维茨(Hurwitz)zeta函数，具体而言则有

再根据累积分布函数的定义可得公式(3)对应的CDF函数表示为：

式中，erfc(·)是互补误差函数。

如图1所示，方案一：基于逆变换法的复合衰落信道包络随机数生成方法

逆变换法的原理是得到某一目标分布的“逆累积分布(ICDF)”函数，以此为基础将均匀分布随机数作为自变量代入该逆累积分布函数就可以得到满足目标分布特征的随机数。由公式(2)描述的NLN复合衰落接收信号的平方包络CDF函数是一个包含复杂无穷积分的表达式，很难获得它对应的ICDF闭合表达。因此，需要使用必要的近似简化来实现基于逆变换法的NLN复合衰落信道的随机数生成。根据逆函数的定义，公式(6)描述的采用对数正态分布近似的NLN复合衰落信号的平方包络CDF函数的逆函数即ICDF函数可表示为：

式中，u表示NLN复合衰落信道接收信号的平方包络CDF函数值，即F_γ(r)＝u；

和

分别表示对数正态分布近似后的均值和标准差，由公式(4)和(5)求得；erfcinv(·)和erfinv(·)则分别表示互补误差函数和误差函数的逆函数，它们的函数值可以通过科学计算软件Matlab中的内置函数来获取。

现在已知NLN复合衰落信道接收信号的平方包络γ的ICDF函数的数学近似表达式(7)，则生成NLN复合衰落信道包络随机序列的具体步骤可概括如下：

(1)根据公式(4)和(5)分别预设好f_γ(r)对数正态分布近似后得到的均值

和标准差

(2)生成一组在[0,1]区间上均匀分布的独立随机序列U＝{u_i},i＝1…N(其中，N是生成均匀分布随机样本的总数量)；

(3)将上述均匀随机变量u_i代入公式(7)描述的NLN复合衰落信道的平方包络近似ICDF函数

中即可生成NLN复合衰落信道的平方包络随机变量γ_i；

(4)对上述平方包络随机变量γ_i开根号产生具有NLN复合衰落信道统计特性的包络随机变量

通过上述步骤即可生成NLN复合衰落信道的包络随机序列

如图2所示，方案二：基于舍弃法的复合衰落信道包络随机数生成方法

舍弃法的基本原理是通过选取合适的帽子函数及其参数，在此基础上对已产生的相应分布的简单随机变量以一定的概率进行舍弃和接受，从而获得服从目标概率密度函数的随机变量。如前所述，公式(1)所描述的NLN复合衰落信道接收信号平方包络的原始PDF函数是一个包含复杂无穷积分的表达式，不利于直接用来进行基于舍弃法的随机数生成，因此需要使用公式(3)描述的对数正态分布近似PDF函数来加以简化，以降低实现的复杂度。

1、均匀分布帽子函数

均匀分布帽子函数通常是选取目标PDF函数的最大值表达式作为帽子函数表达式。对公式(3)的自变量r进行求导并令其等于零可以得到该函数的极大值点，进而得到该对数正态分布近似PDF函数的最大值表达式，如此则NLN复合衰落信道下、基于舍弃法模型的均匀帽子函数可以表示为：

式中，C表示一个常数，一般将它的倒数值作为舍弃效率δ；ξ＝10/ln10；

和

由公式(4)和(5)求得；f_γ(r)是公式(1)描述的NLN复合衰落信道的目标PDF函数。虽然均匀分布帽子函数能够满足舍弃法模型的需求，但其自身的舍弃效率较低，实际仿真过程中会产生许多无用的随机样本，降低仿真速度。所以均匀分布帽子即便能够满足建模的需求，但它并不是一个最佳的帽子函数选择。f_w(r)表示与r无关的常数，即

2、高斯分布帽子函数

NLN复合衰落信道下舍弃法随机数生成器的高斯分布帽子函数原型可表示为：

式中，μ_G表示帽子函数高斯分布的均值，一般选取令目标PDF函数f_γ(r)达到峰值的最大r值点作为均值，从而使帽子函数C·f_w(r)和目标概率密度函数f_γ(r)在同一处达到峰值。本发明选择令公式(3)描述的对数正态分布近似PDF函数达到峰值的最大r值点作为均值，它可表示为：

即

而

则是帽子函数高斯分布的方差，它可以用公式(3)描述的对数正态分布近似PDF函数的最大值来表示，即

可写成：

上式中，f_γ(μ_G)表示公式(3)描述的对数正态分布近似PDF函数的最大值；a是一个控制帽子函数C·f_w(r)的曲线形状和尾部衰减的常数。通过仿真试验发现：当a＝1.81、C＝1.41时，对于衰落参数m＞1、阴影标准差σ＜11(实测结果表明阴影标准差的取值范围为1.5dB～12dB之间)上的任意取值组合，都存在C·f_w(r)≥f_γ(r)，此时的舍弃效率δ为70.92％。

基于帽子函数法生成NLN复合衰落信道包络随机序列的具体步骤总结如下：

(1)生成一组随机序列W＝{w_i},i＝1…N(N是生成样本的总数量)，其中每个随机样本w_i的PDF函数形式满足公式(8)或公式(9)中的f_w(r)；

(2)生成在区间[0,C·f_w(w_i)]上均匀分布的随机变量y_i,i＝1…N；

(3)若y_i≤f_γ(w_i)，随机样本w_i就会被接收，否则就丢弃；

(4)对最后接收的随机样本w_i(亦即信号的包络平方)开根号即可得到NLN复合衰落信道的包络随机样本

通过上述步骤即可生成满足NLN复合衰落信道统计特征的包络随机序列

式中i＝1…N，N是生成样本的总数；j＝1…J，J是最后满足不等式y_i≤f_γ(w_i)接收的样本总数。

下面结合数值仿真结果对本发明作进一步的详细说明，并验证所生成的NLN复合衰落随机数特性是否与真实的NLN复合衰落信道特性相一致。

为体现效果，本发明的所有仿真结果中，衰落参数m和阴影标准差σ的取值尽可能选取不同。图3显示了当μ＝20dB时，在不同衰落参数m和阴影标准差σ的取值组合下，逆变换近似模型生成具有NLN复合衰落信道统计特性的随机序列PDF函数仿真值与理论值比较曲线图(虚线表示仿真值，实线表示理论值)。从这四幅不同的数值仿真结果图中可以清晰地观察到：对于衰落参数m和阴影标准差σ的任意不同取值组合，仿真值曲线和理论值曲线之间的整体差异较小，符合实际NLN复合衰落信道特性。

由于均匀分布帽子函数的舍弃面积要远大于高斯分布帽子函数的舍弃面积，这将导致均匀分布帽子函数的舍弃效率要低于高斯分布帽子函数，因此，接下来的数值仿真则使用高斯分布帽子函数为例进行分析。图4给出了当μ＝20dB时，在不同衰落参数m和阴影标准差σ的取值组合下，利用上述高斯分布帽子函数的舍弃法近似模型生成具有NLN复合衰落信道统计特性的随机序列PDF函数仿真值与理论值比较曲线图(虚线表示仿真值，实线表示理论值)。从图中可以清晰地观察到：对于衰落参数m和阴影标准差σ的任意不同取值组合，当m取值比较小时，随着阴影标准差σ逐渐增大，仿真值曲线和理论值曲线之间的偏差变得越来越小；当m和σ取值都比较大时，仿真值和理论值这两条曲线基本重合。

综合上述数值仿真结果可以看出，本发明所提的两种基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法不仅适用于衰落参数m(m＞1)和阴影标准差σ的不同取值组合，而且具有非常高的精确性。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法，其特征在于：包括如下步骤：

生成一组在[0,1]区间上均匀分布的独立随机序列U＝{u_i},i＝1…N，其中，N是生成均匀分布随机样本的总数量；

将均匀随机变量u_i代入NLN复合衰落信道的平方包络近似ICDF函数

中，生成NLN复合衰落信道的平方包络随机变量γ_i；

对平方包络随机变量γ_i开根号产生具有NLN复合衰落信道统计特性的包络随机变量

生成NLN复合衰落信道的包络随机序列

NLN复合衰落信道的平方包络近似ICDF函数

计算公式如下：

式中，u表示NLN复合衰落信道接收信号的平方包络CDF函数值，即F_γ(r)＝u；

和

分别表示对数正态分布近似后的均值和标准差；erfcinv(·)和erfinv(·)则分别表示互补误差函数和误差函数的逆函数。

2.根据权利要求1所述的基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法，其特征在于：

其中，ψ(·)表示双Gamma函数；ζ(·,·)表示赫尔维茨zeta函数，

m是Nakagami小尺度衰落参数，标准差σ表示阴影扩展，常参数ξ。

3.根据权利要求1所述的基于对数正态分布近似的复合衰落信道随机数生成方法，其特征在于：NLN复合衰落信道接收信号的平方包络CDF函数F_γ(r)计算公式如下：

其中，erfc(·)是互补误差函数，r表示平方包络γ(t)在某一时刻的采样，

和

分别表示对数正态分布近似后的均值和标准差。

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