CN115208498A - 一种基于概率统计模型的m分布随机数生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，属于无线光通信技术领域。即将服从M分布的光强随机变量I＝Y·X表达式中的小尺度波动乘积项Y表示为Nakagami分布和复Gauss分布随机数之和的模平方；将大尺度波动乘积项X近似为Gamma分布的随机变量；将符合上述统计分布要求的小尺度波动乘积项Y与大尺度波动乘积项X相乘，即得到满足给定参数要求的M分布随机数。本发明提供的基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，弥补了运用传统逆累积分布函数(ICDF)法生成M分布随机数时运算量大、复杂度高的缺陷，在保证M分布随机数概率密度函数(PDF)精度的同时减少仿真过程中的计算量，为无线光通信系统的性能研究带来方便。

Description

一种基于概率统计模型的M分布随机数生成方法

技术领域

本发明属于无线光通信技术领域，涉及一种大气湍流环境无线光通信(wirelessoptical communication，WOC)系统M分布湍流信道的建模问题。

背景技术

WOC系统中的激光束在大气环境中传输时，会受到大气湍流所导致的信道衰落的严重影响。经与大量实际测量数据作拟合对比，人们对大气湍流衰落因子的概率密度函数(probability density function，PDF)这一影响系统性能的重要统计特性已寻找到比较有效的数学建模方法，即在弱湍流环境中，湍流衰落PDF服从对数正态(Lognormal)分布；而中强湍流环境，则采用Gamma-Gamma(GG)分布来近似；强湍流环境下，接收光强度PDF更接近于K分布。

虽然我们已经获得了上述三种描述不同大气湍流强度衰落特性PDF的数学方法，但其缺点也是非常明显的：三种PDF分布的数学表达差异很大，需要根据湍流强度选择不同的数学模型来模拟对应的光强衰落，以及分析其所对应的WOC系统的性能特性，比如系统平均误码率、中断概率、遍历容量等等，这将导致实际系统分析与设计的复杂性。另一方面，由于大气湍流状况不可避免地会受季节和昼夜温差变化的影响，湍流强度必然也会因此而产生由弱至强或者由强到弱的随机变化，这也为综合分析与设计WOC系统带来了不便和挑战。显然，如果能够寻找到一种统一的、可以综合描述上述三种大气湍流衰落PDF特性的随机模型将是解决这一问题的有效途径。2011年，西班牙Malaga大学的A.J.Navas等人提出的Malaga分布(即M分布)随机分布模型就是这样的一种可以综合上述三种大气衰落的统一数学建模方法。理论分析与数值仿真结果表明，M分布可用于模拟大气环境均匀各向同性湍流中，所有辐照度波动条件下，通过湍流介质传播的无边界光学波前(平面波和球面波)的辐照度波动；具体而言，通过模型参数的不同组合，M分布可以退化为众多具体的湍流统计模型，例如前面提到的Lognormal、GG、以及K分布等经典大气湍流信道模型。因此，M分布模型作为一个通用数学模型，它的出现给WOC系统理论层面的性能研究带来了莫大方便。

不过，Navas等人的原始论文中只给出了具有某两种具体PDF分布的随机变量Y和X的乘积项得到M分布随机数的证明(将这两个随机变量分别命名为大尺度波动和小尺度波动)，并没有给出如何得到这两种具特定PDF分布随机数的具体生成方法，这就为如何具体生成M分布的随机数留下了些许遗憾。

经我们调研，到目前为止，未见任何有关M分布随机数生成方法的报告。虽然根据随机过程与概率论的有关知识，生成具有任意给定PDF分布的随机数可以采用所谓“逆累计分布函数(inverse cumulative distribution function，ICDF)”法，但这一经典方法需要知道所求PDF分布随机数的ICDF函数表达式。不幸的是，生成M分布的两个乘积随机变量之一的Y随机变量的PDF函数非常复杂，根本无法得到其ICDF的显式公式，这就令从数学公式层面直接获得该PDF分布的随机数出现了困难。因此，有必要提出一种M分布随机数仿真方法，在保证随机数PDF精度的同时减少仿真过程中的计算量，从而为无线光通信系统的性能研究提供方便。

发明内容

发明目的：为了克服经典M分布随机数生成方法计算复杂度太高的缺陷，本发明提出了一种基于概率统计模型的M分布湍流衰落信道建模方法，能在保证随机数PDF统计精度的同时减少仿真过程中的计算量，从而可根据WOC系统信道参数的选择，快捷、准确地模拟弱、中、强三种强度的大气湍流衰落信道。

技术方案：一种基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，包括如下步骤：

步骤一、基于服从M分布的光强随机变量I＝Y·X表达式中的小尺度波动乘积项Y和大尺度波动乘积项X，分别构建可描述它们统计特性的简单随机变量；

步骤二、将符合上述要求的代表小尺度波动乘积项Y的随机变量与代表大尺度波动乘积项X的随机变量相乘，即得到满足给定参数要求的M分布随机数。

作为优选方案，所述经历M分布的大气湍流衰落的接收光强I的计算公式如下：

上式中，Y代表小尺度波动，表示一与第一菲涅耳区或横向空间相关半径相比皆要小的湍流单元所产生的光强闪烁；X代表大尺度波动，表示由比第一菲涅耳区更大的湍流单元产生的辐照度波动。小尺度波动Y由三个不同的信号分量构成：U_L表示光波视距传播分量(line of sight，LOS)；

表示由位于传播轴向路径上的涡流所导致的准前向散射光信号，且与LOS分量耦合；

则表示由离轴涡流散射的能量光场，其在统计上与其他两个分量U_L和

无关。大尺度波动X的概率密度函数服从对数正态分布，式中χ表示光场的对数振幅。

作为优选方案，所述小尺度波动随机变量Y表达式中的等效复包络

的计算公式如下：

上式中，G是服从Gamma分布的随机变量，且满足归一化条件E[G]＝1；

表示LOS传播分量的功率；

表示总的散射功率；

分别代表LOS传播分量和耦合到LOS分量上的散射信号的确定性相位；系数0≤ρ≤1表示耦合到LOS分量的散射功率占总散射功率的比值；g为复常数的模值；U′_S为包络服从Rayleigh分布、相位服从[0，2π]区间上均匀分布的复Gauss随机变量；j为虚数单位。

作为优选方案，所述等效复包络R可表示为Nakagami分布随机变量B exp(jφ_B)和复Gauss分布随机变量A exp(jφ_A)之和，其计算公式如下：

R＝B exp(jφ_B)+A exp(jφ_A)

上式中，φ_A是在[0，2π]上均匀分布的随机变量，用来表示散射分量的相位，φ_B是LOS分量的确定相位，不失一般性，可设其值为0；A和B分别为Rayleigh和Nakagami分布的随机变量，分别表示散射分量和LOS分量的振幅，且A与B相互独立。

作为优选方案，所述Rayleigh分布随机变量A的概率密度函数的计算公式如下：

上式中，随机方差项γ＝2b₀(1-ρ)，其中

为总散射分量的平均功率，ρ耦合到LOS分量的散射功率占总散射功率的比值，0≤ρ≤1。

作为优选方案，所述Nakagami分布随机变量

的概率密度函数的计算公式如下：

上式中，Γ(·)代表gamma函数；衰落指数β＝E²[B²]/Var[B²]＝E²[G]/var[G]≥0；

为总的相干光平均功率，Ω＝E[|U_L|²]表示LOS项的平均功率，

分别代表LOS传播分量和耦合到LOS分量上的散射信号的确定性相位。

作为优选方案，所述小尺度波动随机变量Y的计算公式可表示如下：

Y＝|R|²＝|B exp(jφ_B)+A exp(jφ_A)|²

也即小尺度波动Y可通过计算Nakagami随机变量与复高斯随机变量之和的模平方获得。

作为优选方案，所述大尺度波动X＝exp(2χ)可用Gamma分布来近似其原始对数正态分布的统计特性，其PDF表达式为：

上式中，α为形状参数，为一与散射过程中大尺度漩涡有效数量相关的正参数。如此则大尺度波动X可用Gamma分布的随机变量来近似。

有益效果：与现有技术相比，本发明的技术方案具有以下有益的技术效果：

本发明提供的一种基于概率统计模型的M分布大气湍流信道建模方法，从根本上解决了运用传统ICDF法生成M分布随机数时运算量大、复杂度高的缺陷，可以快速、简单、准确地模拟“弱-中-强”三种大气湍流环境下的衰落信道特性。

附图说明

图1是本发明所提的基于概率统计模型的M分布随机数生成法原理实现框图；

图2是Lognormal分布PDF理论曲线、所提基于概率统计模型法生成的体现弱湍流特性的M分布随机数PDF估计曲线、以及相应的M分布随机数PDF理论曲线之间的对比图(仿真参数统一设置为：ρ＝0，Ω＝1，b₀＝0.01，α＝11，β＝10)；

图3是GG分布PDF理论曲线、所提基于概率统计模型法生成的体现中-强湍流特性的M分布随机数PDF估计曲线、以及相应的M分布PDF理论曲线三者之间的对比图(仿真参数统一设置为：ρ＝0.99，Ω＝0.5，b₀＝0.25，α＝17，β＝16)；

图4是K分布PDF理论曲线、所提基于概率统计模型法生成的体现强湍流特性的M分布随机数PDF估计曲线、以及相应的M分布PDF理论曲线对比图(仿真参数统一设置为：ρ＝0，Ω＝0.01，b₀＝0.5，α＝2，β＝1)。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作更进一步的说明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

本发明是一种利用已知的常见随机变量，即Nakagami、复Gauss、以及Gamma分布的随机变量来生成所求M分布随机数的方法。利用本方法可以快速、简单、准确地模拟“弱-中-强”三种不同大气湍流环境下的信道衰落特性。其具体实现方法及应用举例描述如下：

步骤一：将服从M分布的光强随机变量I＝Y·X表达式中的小尺度波动乘积项Y表示为Nakagami分布和复Gauss分布随机数之和的模平方。

步骤二：将光强随机变量I＝Y·X表达式中的大尺度波动乘积项X近似为Gamma分布的随机变量；

步骤三：将符合上述要求的小尺度波动乘积项Y与大尺度波动乘积项X相乘，即得到满足给定参数要求的M分布随机数。

步骤四：根据上述提出的M分布随机数的生成方法，以不同湍流强度下M分布PDF理论曲线、所提基于概率统计模型法生成的M分布随机数PDF估计曲线、以及与之对应的经典湍流信道模型PDF理论曲线对比为例，说明所提基于概率统计模型的M分布随机数生成方法的准确性和可行性。

首先，根据Navas的研究结论，经历服从M分布的大气湍流衰落的接收光强可以表示为：

上式中，Y代表小尺度波动，表示一与第一菲涅耳区或横向空间相关半径相比皆要小的湍流单元所产生的光强闪烁；X代表大尺度波动，表示由比第一菲涅耳区更大的湍流单元产生的辐照度波动。具体而言，小尺度波动Y由三个不同的信号分量构成：U_L表示光波视距传播分量(LOS)；

表示由位于传播轴向路径上的涡流所导致的准前向散射光信号，且与LOS分量耦合；

则表示由离轴涡流散射的能量光场，其在统计上与其他两个分量U_L和

无关。大尺度波动X的PDF服从对数正态分布，式中χ表示光场的对数振幅。

研究表明：小尺度波动随机变量Y表达式中的等效复包络

可以表示为：

式中，G是服从Gamma分布的随机变量，且满足归一化条件E[G]＝1；

表示LOS传播分量的功率；

表示总的散射功率；

分别代表LOS传播分量和耦合到LOS分量上的散射信号的确定性相位；系数0≤ρ≤1表示耦合到LOS分量的散射功率占总散射功率的比值；g为复常数的模值；U′_S为包络服从Rayleigh分布、相位服从[0，2π]区间上均匀分布的复Gauss随机变量；j为虚数单位。

事实上，上述复包络信号R是由Nakagami随机变量

和复Gauss随机变量U′_S的各自加权项之和构成的一个新随机变量，它服从阴影莱斯(shadowed Rice)分布。由此，Y＝|R|²的PDF表达式经推导后可以写成：

式中β＝E²[G]/var[G]是式(2)中服从Nakagami分布的新合成随机变量项

的衰落指数，其中E(·)和var(·)表示对随机变量进行求数学期望和方差操作；γ＝2b₀(1-ρ)代表离轴涡流产生的散射功率；

为总的相干光平均功率；₁F₁(·)为第一类Kummer合流超几何函数。

由上述有关如何获取小尺度随机变量Y的PDF的原理性描述可知，如果基于(3)式的PDF函数表达，走传统的先求取Y随机变量的累积分布函数(cumulative distributionfunction，CDF)，再生成相应的ICDF进而获取符合f_Y(y)统计特性随机数的路子无疑会非常得麻烦；相反，基于(2)式等效复包络R的构造特性，再经由Y＝|R|²的数学关系，则很容易生成符合概率统计特性f_Y(y)乃至M分布的随机变量。

基于(2)式稍作变形处理后的小尺度波动随机变量Y的数学表达式为：

Y＝|A exp(jφ_A)+B exp(jφ_B)|² (6)

式中，φ_A是在[0，2π]上均匀分布的随机变量，用来表示散射分量的相位，φ_B是LOS分量的确定相位，不失一般性可设为0；A和B分别为Rayleigh和Nakagami分布的随机变量，分别表示散射分量和LOS分量的振幅，且A与B相互独立。Rayleigh分布随机变量A的PDF表达式为：

式中，方差项γ＝2b₀(1-ρ)，其中

为总散射分量的平均功率，ρ为耦合到LOS分量的散射功率占总散射功率的比值，0≤ρ≤1。

Nakagami分布随机变量

的PDF表达式为：

上式中，Γ(·)代表gamma函数；衰落指数β＝E²[B²]/Var[B²]＝E²[G]/var[G]≥0；

为总的相干光平均功率，Ω＝E[|U_L|²]表示LOS项的平均功率，

分别代表LOS传播分量和耦合到LOS分量上的散射信号的确定性相位。

显然，小尺度波动Y的PDF完全由参数γ、β和Ω′唯一决定。

对于大尺度波动随机变量X＝exp(2χ)，则可用Gamma分布来近似其原始对数正态分布的统计特性，即可表达为：

式中，α为形状参数，为一与散射过程中大尺度漩涡有效数量相关的正参数。

结合公式(1)以及(6)～(9)，可以利用已知常用的统计分布随机变量，也即Nakagami、复高斯(其模值为Rayleigh分布，相位为均匀分布)、以及Gamma分布来快速、准确地生成所需M分布的随机数，其具体生成步骤及流程见图1所示。

基于概率统计模型的M分布随机数生成方法在WOC系统湍流衰落仿真方面应用举例：

下面，我们以不同大气湍流强度下M分布PDF理论曲线，所提基于概率统计模型法生成的M分布随机数PDF估计曲线，以及与之对应的经典湍流信道模型PDF理论曲线进行对比为例，说明上述提出并推导获得的基于概率统计模型的M分布随机数生成方法在综合模拟不同强度大气湍流衰落随机数方面的准确性和可行性。

表1 M分布湍流衰落信道模型参数设置

通过前文的介绍可知：通过模型参数的不同组合(具体设置见表1所示)，M分布可以退化为众多具体的湍流统计模型，例如Lognormal、GG、以及K分布等经典大气湍流信道模型。为了进一步论证本发明提出的基于概率统计模型法的M分布随机数仿真方法的合理性，有必要研究不同参数选取下、M分布退化为不同强度湍流统计模型时，本发明所提M分布生成算法的准确性。

图2至图4分别给出了M分布因参数选择而分别退化为Lognormal、GG、K分布时的理论PDF曲线，所对应的标准Lognormal、GG、K分布理论PDF曲线，以及由本发明所提M分布随机数生成算法所生成的M分布退化Lognormal、GG、K分布随机数PDF估计曲线之间的对比图。各图中，蓝色实线代表的是基于所提基于概率统计模型法生成的M分布各退化分布随机数生成的PDF估计曲线，绿色虚线代表的是M分布各退化分布PDF理论曲线，红色实线则代表对应参数的标准Lognormal、GG、K分布的理论PDF曲线。观察各图中的仿真结果可以发现：当选取适当的参数以令M分布代表Lognormal、GG、K等具体统计分布时，本发明提出的仿真方法所得的M分布随机数获得的PDF估计曲线都能非常准确地拟合相应的M分布PDF理论曲线，且不论两组曲线的变化趋势还是数值大小都几乎是一致的。此外，不同参数所得的M分布退化统计的PDF曲线与诸如Lognormal、GG、K标准分布PDF曲线之间的差异也非常小。这些都说明，本发明所提出的基于概率统计模型法的M分布随机数生成方法具有较好的准确性和通用性。

计算复杂度方面，本发明提出的基于概率统计模型的M分布随机数计算机生成方法，直接利用已知的常见随机变量，即Nakagami、复Gauss(由幅度服从Rayleigh分布和相位服从均匀分布组合构成)、以及Gamma分布的随机变量来对M分布大气湍流信道进行建模，且这些随机数生成方法在常用的商业软件，比如MATLAB中可以采取调用现成内置函数的方式方便、快速地生成，从根本上解决了运用传统ICDF法生成M分布随机数时运算量大、复杂度高的缺陷。因此，本发明提出的M分布随机数仿真方法在保证随机数PDF精度的同时减少了仿真过程中的计算量，为WOC系统的计算机性能仿真研究带来极大方便。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤一：基于服从M分布的光强随机变量I＝Y·X表达式中的小尺度波动乘积项Y和大尺度波动乘积项X，分别构建可描述它们统计特性的简单随机变量；

步骤二：将符合上述要求的代表小尺度波动乘积项Y的随机变量与代表大尺度波动乘积项X的随机变量相乘，即得到满足给定参数要求的M分布随机数。

2.根据权利要求1所述的基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，其特征在于：所述经历M分布的大气湍流衰落的接收光强I的计算公式如下：

上式中，Y代表小尺度波动，表示与第一菲涅耳区或横向空间相关半径相比皆要小的湍流单元所产生的光强闪烁；X代表大尺度波动，表示由比第一菲涅耳区更大的湍流单元产生的辐照度波动。具体而言，小尺度波动Y由三个不同的信号分量构成：U_L表示光波视距传播分量(line of sight，LOS)；

表示由位于传播轴向路径上的涡流所导致的准前向散射光信号，且与LOS分量耦合；

则表示由离轴涡流散射的能量光场，其在统计上与其他两个分量U_L和

无关；大尺度波动X的概率密度函数服从对数正态分布，式中χ表示光场的对数振幅。

3.根据权利要求2所述的基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，其特征在于：所述小尺度波动随机变量Y表达式中的等效复包络

的计算公式如下：

上式中，G是服从Gamma分布的随机变量，且满足归一化条件E[G]＝1；

表示LOS传播分量的功率；

表示总的散射功率；

分别代表LOS传播分量和耦合到LOS分量上的散射信号的确定性相位；系数0≤ρ≤1表示耦合到LOS分量的散射功率占总散射功率的比值；g为复常数的模值；U′_S为包络服从Rayleigh分布、相位服从[0，2π]区间上均匀分布的复Gauss随机变量；j为虚数单位。

4.根据权利要求3所述的基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，其特征在于：

所述等效复包络R可表示为Nakagami分布随机变量Bexp(jφ_B)和复Gauss分布随机变量Aexp(jφ_A)之和，其计算公式如下：

R＝Bexp(jφ_B)+Aexp(jφ_A)

上式中，φ_A是在[0，2π]上均匀分布的随机变量，用来表示散射分量的相位，φ_B是LOS分量的确定相位，不失一般性，可设其值为0；A和B分别为Rayleigh和Nakagami分布的随机变量，分别表示散射分量和LOS分量的振幅，且A与B相互独立。

5.根据权利要求4所述的基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，其特征在于：所述Rayleigh分布随机变量A的概率密度函数的计算公式如下：

上式中，随机方差项γ＝2b₀(1-ρ)，其中

为总散射分量的平均功率，ρ为耦合到LOS分量的散射功率占总散射功率的比值，0≤ρ≤1。

6.根据权利要求4所述的基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，其特征在于：所述Nakagami分布随机变量B的概率密度函数的计算公式如下：

上式中，Γ(·)代表gamma函数；衰落指数β＝E²[B²]/Var[B²]＝E²[G]/var[G]≥0；

为总的相干光平均功率，Ω＝E[|U_L|²]表示LOS项的平均功率，

分别代表LOS传播分量和耦合到LOS分量上的散射信号的确定性相位。

7.根据权利要求2所述的基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，其特征在于：所述小尺度波动随机变量Y的计算公式可进一步表示为：

Y＝|R|²＝|B exp(jφ_B)+A exp(jφ_A)|²

也即小尺度波动Y可通过计算Nakagami随机变量与复高斯随机变量之和的模平方获得。

8.根据权利要求2所述的基于概率统计模型的M分布随机数生成方法，其特征在于：所述大尺度波动随机变量X＝exp(2χ)可用Gamma分布来近似其原始对数正态分布的统计特性，其PDF表达式为：

上式中，α为形状参数，为一与散射过程中大尺度漩涡有效数量相关的正参数，如此则大尺度波动X可用Gamma分布的随机变量来近似。

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