CN105743593B - 一种基于双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于双对数累积量期望的Gamma‑Gamma分布参数估计方法，属于自由空间光通信系统的大气湍流信道参数估计技术领域。该方法针对传统的分数矩参数估计准确性差，甚至会出现错误估计的问题，通过利用Mellin变换极大简化Gamma‑Gamma分布参数估计过程并且建立统一的参数估计方法。然后作进一步改进，提出了双对数累积量期望的概念，从而推导出最终的参数估计表达式。与FMOM比较，既保证了较高的计算效率，而且提高了参数估计精度。

Description

一种基于双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计 方法

技术领域

本发明属于通信技术领域，特别是自由空间光通信系统的大气湍流信道参数估计技术领域，涉及一种基于双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计方法。

背景技术

相对于传统的微波通信方式而言，自由空间光通信具有通信容量大、保密性好、抗电磁干扰能力强、不需要无线电频率使用许可、设备体积小、重量轻和功耗低等优点，因此该技术受到了国际上的广泛重视。空气中充满了气体分子，气溶胶分子，激光在大气传输过程中会受到这些分子，粒子的作用，使一部分光辐射能量被吸收而转化成其他形式的能量，也有一部分的能量因受到散射或者是折射而偏离原来的传播方向，从而导致激光大气传输的光辐射衰减。大气湍流效应包括光束漂移，光束扩展，光束起伏，到达角起伏和相位起伏等，它对大气激光通信产生的影响力为湍流引起光束截面内的功率随机变化和闪烁以及光束相位的随机变化，这将导致系统误码率增大，通信质量下降以及系统性能恶化，湍流的这些效应不是孤立的，而是同时存在的，湍流尺度在一定范围内连续分布，不同尺度的湍流对激光束的影响不同。

大气湍流造成信号出现衰弱，为了分析大气湍流对自由空间光通信系统性能的影响，必须建立光信号随机衰落的数学模型，即光强起伏的概率分布密度函数。为了研究大气湍流对大气激光通信的影响，L.C.Andrew等人对大气湍流信道模型进行了详细研究，先后研究了对数正态分布，K分布，韦伯分布，I-K分布，Gamma-Gamma分布等模型。

在自由空间光通信链路中，由于受到各种恶劣天气的影响，接收到的光信号能量会得到衰减。此外，大气湍流还会引起光信号强度和相位的随机起伏，导致系统误码率性能下降。可见大气湍流是对大气激光通信通信具有很大影响，所以必须找到适当的湍流模型，才能对大气激光通信系统中链路的性能进行分析。目前存在几个湍流模型，针对弱湍流提出了对数正态分布，针对强湍流提出负指数分布，Gamma-Gamma分布模型和实际测试数据比较一致，是应用广泛的一种模型。Gamma-Gamma分布是由两个独立的Gamma分布构成，这两个Gamma分布分别表示小尺度湍流起伏和大尺度湍流起伏的分布形式，所以Gamma-Gamma分布模型适合于激光在整个大气湍流传播时光强起伏的分布。系统设计和性能分析与信道统计特征高度相关，而信道统计特征可以是信道状态估计值或者是信道参数估计值。信道估计主要用于自适应技术，如：序列检测，功率控制和信道编码，这些技术可以减轻大气湍流对系统的影响对信道模型进行的参数估计被要求用来分析系统的特征，例如：容量，误码率，和中断概率。同时信道参数估计也被应用于无线电频率性能分析当中，例如应用在大气激光通信系统性能分析中。所以精确的信道模型参数估计可以补偿大气环境和天气条件对系统性能造成的影响,对系统性能的评估的提高具有重要作用。因此针对Gamma-Gamma分布参数估计成为估计大气湍流分布模型参数的重要课题。因为大气激光通信的媒质是大气随机信道，这就极大地依赖于对大气信道的了解和掌握，这就要求对大气信道进行良好的估计和预测。本研究方向是针对大气湍流信道模型参数进行估计，它是研究大气湍流信道建模的基础，一方面可以深入的研究大气随机信道对激光传输的影响；另一方面可以掌握空间光通信中激光束的传输特性，从而能够为激光通信系统的设计和实现提供数据和参考价值。

目前，针对Gamma-Gamma分布的参数估计的文献还不是很成熟，Gamma-Gamma分布模型是基于大尺度起伏调制小尺度起伏的思想，确定分布模型需要对其中的两个参数分别进行估计。目前常用的信道模型参数估计方法有：(1)矩估计法，即通过Gamma-Gamma分布随机变量的总体矩与形状参数的关系，并用随机变量观测序列的样本矩代替总体矩，进行反变换求取参数。Wang和Cheng在“Moment-based estimation for the shape parametersof the Gamma-Gamma atmospheric turbulence model”【Optics express,2010,18(12):12824-12831.】文章中提出了一种基于分数矩(FMOM)估计联合凸优化算法的Gamma-Gamma分布参数估计方法。该方法尽管具有较高的计算效率，但是通过此方法在整个大气湍流尺度范围内得到的参数估计值精度较低。(2)最大似然法，即已知观察数据样本满足Gamma-Gamma分布，由于Gamma-Gamma分布具体的参数值未知，参数估计值就是使得观察样本出现的概率最大。Kazeminia M,Mehrjoo M.在“Atwo-dimensional maximumlikelihoodparameter estimation ofГ-Гdistribution for free space opticalchannels with weak turbulence conditions”【International Symposium onTelecommunications.IEEE,2012:489-493】文章中提出了基于二维最大似然法的Gamma-Gamma分布参数估计方法。当观测样本足够大且分布形式已知时，最大似然估计可以获得较好的参数估计精度，然而，Gamma-Gamma分布参数的最大似然估计解析表达式很难获得，参数估计需要用数值方法在两参数的二维平面内搜索得到，计算十分低效。为了提高参数估计性能，Kazeminia M,Mehrjoo M.在“A New Method for Maximum Likelihood ParameterEstimation of Gamma-Gamma Distribution”【Lightwave Technology Journal of,2013,31(9):1347-1353】文章中用期望最大迭代算法实现参数最大似然估计，虽然其运算量较二维平面搜索有所减小，但迭代运算需要很大的数据才能保证估计精度，额外的计算开销仍比较高。因此寻找一种计算复杂度低且估计精度高的信道参数估计算法成为了近年来人们研究自由空间光通信系统中大气湍流信道特性的热点问题之一。

发明内容

本发明所要解决的问题是：对于Gamma-Gamma信道模型，采用的基于矩估计的参数估计方法主要是：形状参数的估计准确性差，甚至会出现错误估计，这个缺点造成基于矩估计的Gamma-Gamma分布对大气湍流区域的拟合精度较差，随着大气湍流域不均匀度的增加，估计精度也会越来越低。针对以上不足，本发明的目的在于提供一种计算效率高，参数估计精度高的Gamma-Gamma分布参数估计方法。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种基于双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计方法，包括以下步骤：

步骤一：进行Gamma-Gamma湍流信道模型建模；

步骤二：将Mellin变换应用到Gamma-Gamma湍流分布模型中，并推导出其第二类型统计量；

步骤三：在步骤二的基础上作进一步的改进，基于对数样本数据提高参数估计准确性。

进一步，在步骤一中，光波强度起伏可以由小尺度湍流起伏对大尺度湍流起伏的调制所决定，即把归一化接收到的光波强度用一个乘积来表征：I＝xy，其中x、y分别表示大、小尺度湍流起伏造成的光强度起伏；

为了得到符合该理论的光波强度起伏概率密度函数模型，假设大尺度湍流引起的光强波动和小尺度湍流引起的光强波动都服从Gamma分布，即以及为了得到光强I的概率密度函数，首先确定x，则y＝I/x，得到条件概率密度分布函数为然后根据全概率公式可以得到光强分布的无条件模型为其中参数α、β分别表示大尺度闪烁系数和小尺度闪烁系数，即Gamma-Gamma分布形状参数，K_ρ(ν)表示修正的第二类贝塞尔函数。

进一步，步骤二具体包括以下步骤：

1)对于定义域为R⁺的Gamma-Gamma分布模型p(I)，它的Mellin变换表示为F(s)，其积分形式为其中s表示Mellin变换变量；

2)通过公式变化以及变量代换：φ_I(s)和μ_k{I}分别表示为概率密度函数p(I)的Mellin类累积函数以及对数矩统计量；

3)定义Mellin类累积生成函数为得出概率密度函数p(I)的对数累积量c_k{I}与的关系为：

4)根据对数累积量与对数矩统计量的关系：便可以推导出基于对数累积量的Gamma-Gamma分布的参数估计表达式：

进一步，步骤三具体包括：

1)通过变量代换，即将对数累积量变为：当k≥2时，则有[X^k]＝ψ(k-1,α)+ψ(k-1,β)；

2)对上一步获得的式子进行对数变换并且对等式两边k求偏导，得出其中

3)通过设置不同的两个k值，推导出基于双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计器。

本发明的有益效果在于：本方法既保证了较高的计算效率，而且又能得到较好的参数估计精度。本方法利用Mellin变换极大简化Gamma-Gamma分布参数估计过程并且建立统一的参数估计方法。然后作进一步改进，提出了双对数累积量期望的概念，从而推导出最终的参数估计表达式。与FMOM比较，具有相似的计算效率，而且提高了参数估计精度。与最大似然算法相比，其参数估计精度接近，但是大大降低了计算复杂度。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为本发明中大气湍流信道模型图；

图2本发明中Gamma-Gamma分布参数估计流程图；

图3为本发明中Gamma-Gamma分布参数估计性能仿真图。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

图1为大气湍流信道模型图。大气湍流信道模型随着大气湍流尺度系数的变换而变化。Gamma-Gamma分布含有两个大小尺度闪烁系数，因此其能够很好地拟合大气湍流实际情况。参照图2所示，给出了基于双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计器的推导流程图。包括以下步骤：首先分析Gamma-Gamma分布建模原理，生成Gamma-Gamma信道模型，然后分析Mellin变换原理，并将Mellin变换应用到Gamma-Gamma分布当中，推导出对数累积量与形状参数的关系式，最后通过等式变换，即得到双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计器。

具体包括以下步骤：

1、根据扩展的Rytov理论，归一化光强I＝xy可看作是大尺度光强起伏调制小尺度光强起伏的结果。为了提供一个概率密度函数模型使其参数直接与大气湍流条件相关并且与扩展的Rytov理论保持一致，Andrews假定大尺度和小尺度光强起伏可用Gamma分布来描述，即以及为了得到光强I的概率密度函数，首先确定x，则y＝I/x，可以得到条件概率密度分布函数为然后根据全概率公式可以得到光强分布的无条件模型为

其中参数α、β分别表示大尺度闪烁系数和小尺度闪烁系数，其定义为

式中，L为传输距离，为折射率结构常数。

2、处理Gamma-Gamma分布式数据的一种可行的方法是在对数域中进行统计分析。这种方法可以获得关于大尺度和小尺度湍流因子简单的表达式。因此考虑利用Mellin变换对混合分布进行统计分析并且将它应用到参数估计中。接下来利用Mellin变换的概念定义相关特征函数和累积特征函数。

Gamma-Gamma概率密度函数p(I)的Mellin类统计量为：

p(I)的Mellin类特征函数包含它的对数矩μ_k{I}＝E{(lnI)^k}。将Mellin特征函数相对于s进行偏导：同样的，Mellin类累积特征函数被定义为所以它可以被看成是对s偏导得到对数累积量：

其中对数矩和对数累积量具有特殊的代数关系，即：

因此可以通过计算样本的对数矩求样本的对数累积量。结合上式，推导出基于对数累积量的Gamma-Gamma分布参数估计器(MOLC):

其中ψ(k,·)表示Polygamma函数，I＝{I₁,I₂,…,I_N}表示独立同分布光强观测样本。

3、通过变量代换，即将对数累积量变为：当k≥2时

[X^k]＝ψ(k-1,α)+ψ(k-1,β) (6)

接下来需要确定X^k logX的均值，对上式左右两边取对数，则有

log[X^k]＝log(ψ(k-1,α)+ψ(k-1,β)) (7)

然后等式(6)相对于k偏导：

最后代入对数累积量，便可以获得基于双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计器(MoDLCE)：

其中g(k,α)表示Ploygamma函数相对于k的偏导函数，即

为了仿真的目的，利用I＝GammaαGamma_β/αβ生成本文需要的Gamma-Gamma分布样本数据,其中Gamma_α和Gamma_β分别表示带有形状参数α和β的Gamma分布随机变量。Gamma分布随机变量Gamma_p利用gamrnd(p,1,M,N)函数在MATLAB中得到。分别设置两个不同的k值为：k＝2，k＝3。为了分析样本数目对参数估计值的影响，分别选取两个不同的样本数目N＝10000，N＝25000进行仿真验证，进行1000次独立重复试验。

图3画出了FMOM，MoLC和MoDLCE估计的参数值的曲线。本图共有2个子图，(a)子图画出了参数α最小均方差相对于σ_R的曲线。(b)子图画出了参数β最小均方差相对于σ_R的曲线。从图中可以看出本发明的Gamma-Gamma参数估计器的参数估计精度最好。3种估计器估计值均随着样本数目的增大，其估计精度相应得到提高。

以上对本发明所陈述的基于双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计法进行了详细的介绍和说明。上述具体实施说明可用于帮助理解本发明的核心思想。本发明基于对数样本数据可以提高分布模型参数估计的思想，在提出基于对数累积量的Gamma-Gamma分布参数估计方法后进一步将其扩展到双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计方法。与分数矩法相比，本方法能够有效地提高参数估计精度，克服分数矩法估计不稳定的缺陷。与最大似然法相比，具有较高的计算效率，又能得到近似的参数估计精度。

最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。

Claims (1)

1.一种基于双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一：进行Gamma-Gamma湍流信道模型建模；

步骤二：将Mellin变换应用到Gamma-Gamma湍流信道模型中，并推导出其第二类型统计量；

步骤三：在步骤二的基础上作进一步的改进，基于对数样本数据提高参数估计准确性；

在步骤一中，光波强度起伏可以由小尺度湍流起伏对大尺度湍流起伏的调制所决定，即把归一化接收到的光波强度用一个乘积来表征：I＝xy，其中x、y分别表示大、小尺度湍流起伏造成的光波强度起伏；

为了得到符合理论的光波强度起伏概率密度函数模型，假设大尺度湍流引起的光强波动和小尺度湍流引起的光强波动都服从Gamma分布，即以及为了得到光强I的概率密度函数，首先确定x，则y＝I/x，得到条件概率密度分布函数为然后根据全概率公式可以得到光强分布的无条件模型为其中参数α、β分别表示大尺度闪烁系数和小尺度闪烁系数，即Gamma-Gamma分布形状参数，K_ρ(ν)表示修正的第二类贝塞尔函数；

步骤二具体包括以下步骤：

1)对于定义域为R⁺的Gamma-Gamma分布模型p(I)，它的Mellin变换表示为F(s)，其积分形式为其中s表示Mellin变换变量；

2)通过公式变化以及变量代换：φ_I(s)和μk{I}分别表示为概率密度函数p(I)的Mellin类累积函数以及对数矩统计量；

3)定义Mellin类累积生成函数为得出概率密度函数p(I)的对数累积量c_k{I}与的关系为：

4)根据对数累积量与对数矩统计量的关系：便可以推导出基于对数累积量的Gamma-Gamma分布的参数估计表达式：

步骤三具体包括：

1)通过变量代换，即将对数累积量变为：当k≥2时，则有[X^k]＝ψ(k-1,α)+ψ(k-1,β)；

2)对上一步获得的式子进行对数变换并且对等式两边k求偏导，得出其中

3)通过设置不同的两个k值，推导出基于双对数累积量期望的Gamma-Gamma分布参数估计式。