CN115169184A - 采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法 - Google Patents

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CN115169184A CN202210809737.2A CN202210809737A CN115169184A CN 115169184 A CN115169184 A CN 115169184A CN 202210809737 A CN202210809737 A CN 202210809737A CN 115169184 A CN115169184 A CN 115169184A
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谭帅帅
刘纲
陈奇
杜昊天
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Abstract

本发明公开了一种采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法，包括如下步骤：步骤一：构建有限元模型，设定有限元模型的基本参数；步骤二：引入随机比例因子和随机向量；步骤三：利用定向差分方式选取候选样本；步骤四：计算后验样本接收概率，判断样本带宽是否小于设定阈值；若是，执行步骤五；若否，则执行步骤三；步骤五：则利用随机差分方式从候选样本中随机抽取样本；步骤六：计算后验样本接收概率，判断是否满足迭代终止条件；若否，则执行步骤五；若是，则修正有限元模型的特征值。本发明公开了一种采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法能够显著缩短燃烧期内的迭代步数，提高收敛速度。

Description

采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法
技术领域
本发明属于结构健康监测技术领域，具体的为一种采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法。
背景技术
为了适应社会经济的发展需要，近年来我国兴建了众多大中型土木工程结构，此类柔性结构在外界动力荷载作用下会产生较大振动，严重时甚至会导致结构坍塌。由于此类结构多位于人员密集或交通枢纽处，一旦发生事故，将造成难以估量的生命财产损失。为保障结构运营安全，需要对其进行结构健康监测。结构健康监测技术通过对测试信号的分析处理实现对工程结构进行实时预警与安全评估，现已成为土木工程学科中的一个重要研究领域。
建立精准的有限元模型是进行结构健康监测及动力响应预测的基础，由于实际结构的复杂性以及边界条件简化造成的不确定性，有限元模型的计算结果与真实响应往往存在误差，使得计算结果难以提供借鉴。为使有限元模型计算结果尽可能地符合结构真实响应，一个有效的办法是进行有限元模型修正。有限元模型修正主要利用实测结构响应对初始有限元模型进行调整、优化，使得模型计算值与实际结构响应趋同。直接对结构施加荷载并进行测量测较难实现，而基于环境激励的测试方法具有无损伤、不影响结构正常使用等优点，因此被广泛应用于土木结构的实地测量。然而基于环境激励的测试方法易被设备、环境等因素影响，导致测试获得的数据信噪比低，存在较大的不确定性，此时采用确定性方法可能得到错误的修正结果。因此，为获取更为合理的模型修正结果，需要考虑不确定性的影响。
在不确定性修正方法中，基于贝叶斯理论的有限元模型修正是一种先进的修正方法。而在贝叶斯模型修正中，通过贝叶斯理论推导得到的后验概率密度函数存在难以通过直接积分方式求解的问题，目前常采用马尔科夫链蒙特卡洛方法(MCMC)采样求解方法存在燃烧期长、计算效率低等问题，在高维参数修正时其收敛速度较慢甚至无法收敛，然而，在实际工程结构修正中，待修正参数维度往往较高，现有的基于MCMC的贝叶斯有限元模型修正方法修正效果往往打不到实际应用的要求，严重制约贝叶斯模型修正方法的发展应用。
发明内容
有鉴于此，为了解决现有技术能够存在的不足，本发明的目的在于提供一种采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法。
为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：
一种采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法，包括如下步骤：
步骤一：构建有限元模型，设定有限元模型的基本参数；
步骤二：引入随机比例因子和随机向量；
步骤三：利用定向差分方式选取候选样本；
步骤四：计算后验样本接收概率，判断样本带宽是否小于设定阈值；若是，执行步骤五；若否，则执行步骤三；
步骤五：则利用随机差分方式从候选样本中随机抽取样本；
步骤六：计算后验样本接收概率，判断是否满足迭代终止条件；若否，则执行步骤五；若是，则修正有限元模型的特征值。
进一步，随机比例因子为：
Figure BDA0003740217290000021
其中，γd*表示比例因子，t表示迭代步长，d*表示参数维度。
进一步，随机向量为：
Figure BDA0003740217290000023
其中，c*表示正态分布的方差，t表示当前迭代步数，T表示预设的最大迭代步数。
进一步，定向差分方式表示为：
Figure BDA0003740217290000024
其中，
Figure BDA0003740217290000025
表示第t迭代步新生成的候选样本；A表示子空间序号索引向量；
Figure BDA0003740217290000026
表示第t-1迭代步最优子空间样本值；
Figure BDA0003740217290000027
表示第t-1迭代步的候选样本；
Figure BDA0003740217290000028
表示第t-1迭代步子空间的候选样本；d*表示参数维数，γd*表示随机比例因子，ed*表示从正态分布N(0,c*)中随机抽取的d*维向量；c*表示随机向量。
进一步，随机差分方式表示为：
Figure BDA00037402172900000211
其中，
Figure BDA00037402172900000212
表示第t-1迭代步的候选样本；
Figure BDA00037402172900000213
表示从第t-1迭代步随机抽取的两个样本，其中j,k∈{1,2,…,N}且j≠k，N表示初始马尔科夫链的条数；
Figure BDA00037402172900000214
表示随机比例因子；d*表示参数维数；ed*表示从正态分布N(0,c*)中随机抽取的d*维向量，c*表示随机向量。
本发明的有益效果在于：
马尔科夫链的收敛过程实质上是参数样本不断优化向后验分布迭代的过程，其中候选样本的产生方式影响着链的收敛速度。多链MCMC方法样本虽然比单链算法拥有更好的实际表现，但在高维复杂参数情况下却也存在着收敛速度缓慢甚至难以收敛的情况。如《AMarkov Chain Monte Carlo version of the genetic algorithm DifferentialEvolution:easy Bayesian computing for real parameter spaces》(Stat Comput(2006)，Cajo J.F.Ter Braak，P239-249)所述，在传统的多链MCMC方法中，差分项xR1与xR2通过随机选取得到，此时候选样本可能会向远离后验分布的方向进行迭代，导致拒绝率高，往往经过大量迭代才可保证链收敛到平稳后验分布，进而导致计算效率低下。此外，比例因子γ的大小决定了算法在搜索方向(xR1-xR2)的步进长度，e的大小决定了随机搜寻范围，在传统多链MCMC算法中，γ以及e均为固定值，不会随着迭代过程而发生改变。
在实际情况中，迭代初期的参数初始值往往与后验分布空间距离较远，此时，算法应保持较大的范围搜索能力，以确保快速收敛；而随着迭代计算不断进行，种群中各链将逐渐聚集，此时，应缩小搜寻范围以防止算法在小范围内产生震荡来确保计算精度，而固定的γ、e无法满足所述要求，影响计算效果。
本发明采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法中，在传统多链MCMC算法中引入随机比例因子替代原有通过参数维度计算所得到的比例因子，在算法迭代初期，采用较大的随机向量以保证获得更加广阔的探索空间，随着迭代步数增长，缩小随机向量以确保算法的遍历性；在燃烧期计算过程中，利用定向差分方式，首先依据目标函数选取当前最优链，参数更新时采用待更新链与最优链差分原则进行参数更新来替代原有的随机差分；当各链迭代后的样本值足够接近时，采用随时差分方式重新建立细致平衡条件，从候选样本中选择样本进行判别，能够显著缩短燃烧期内的迭代步数，提高收敛速度。
附图说明
为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：
图1为本发明采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法实施例的流程图；
图2为10跨等截面混凝土简支梁模型简图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好的理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。
如图1所示，本实施例采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法，包括如下步骤。
步骤一：构建有限元模型，设定有限元模型的基本参数。
步骤二：引入随机比例因子和随机向量。
具体的，随机比例因子为：
Figure BDA0003740217290000041
其中，γd*表示比例因子，t表示迭代步长，d*表示参数维度。
随机向量为：
Figure BDA0003740217290000043
其中，c*表示正态分布的方差，t表示当前迭代步数，T表示预设的最大迭代步数。
步骤三：利用定向差分方式选取候选样本。
具体的，定向差分方式表示为：
Figure BDA0003740217290000044
其中，
Figure BDA0003740217290000045
表示第t迭代步新生成的候选样本；A表示子空间序号索引向量；
Figure BDA0003740217290000046
表示第t-1迭代步最优子空间样本值；
Figure BDA0003740217290000047
表示第t-1迭代步的候选样本；
Figure BDA0003740217290000048
表示第t-1迭代步子空间的候选样本；d*表示参数维数，γd*表示随机比例因子，ed*表示从正态分布N(0,c*)中随机抽取的d*维向量；c*表示随机向量。
步骤四：计算后验样本接收概率，判断样本带宽是否小于设定阈值；若是，执行步骤五；若否，则执行步骤三。本实施例的样本贷款指当前候选样本的样本极差。
步骤五：则利用随机差分方式从候选样本中随机抽取样本。
进一步，随机差分方式表示为：
Figure BDA00037402172900000411
其中，
Figure BDA00037402172900000412
表示第t-1迭代步的候选样本；
Figure BDA00037402172900000413
表示从第t-1迭代步随机抽取的两个样本，其中j,k∈{1,2,…,N}且j≠k，N表示初始马尔科夫链的条数；
Figure BDA00037402172900000414
表示随机比例因子；d*表示参数维数；ed*表示从正态分布N(0,c*)中随机抽取的d*维向量，c*表示随机向量。
步骤六：计算后验样本接收概率，判断是否满足迭代终止条件；若否，则执行步骤五；若是，则修正有限元模型的特征值。具体的，迭代终止条件可以为达到设定的最大迭代次数，也可以为达到收敛条件。
实验验证
以10跨等截面混凝土简支梁模型为例，对本发明采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法的技术效果进行验证。10跨等截面混凝土简支梁模型如图2所示。
(1)选取十个单元的弹性模量作为待修正参数。假设各单元的弹性模量真实均值Ei相互独立且服从正态分布Ni(Ei,0.12)，预设真实均值如表1所示。
表1弹性模量预设真实均值
Figure BDA0003740217290000051
(2)通过预设真值分布进行100次随机抽样。将获取的100组数据分别带入简支梁模型，计算获得前6阶频率及前3阶振型作为“实测值”，频率计算结果平均值如表2所示。
表2频率计算结果平均值
Figure BDA0003740217290000052
(3)计算迭代步设为3000，算法平行链均设为8，分别采用3种不同算法对模型进行十次修正，记录每次达到收敛的迭代时间，并取20次计算平均耗时作为最终计算结果，对比如表3所示：
表3不同算法模型的收敛时间
Figure BDA0003740217290000053
由表3可知，十维参数情况下，DEMC算法在整个采样过程中均存在较为明显的“停滞现象”，且最终未能达到收敛；DREAM算法虽最终达到收敛，但其收敛速度相对较慢，平均“燃烧期”长度为1509，计算效率较低；与DREAM算法相比，本实施例所提改进MCMC算法平均燃烧期长度为384，约为DREAM算法的1/4，拥有更高的计算效率。
为进一步分析本实施例改进算法与传统MCMC算法的修正精度差异，对参数修正结果进行分析：对某次计算结果燃烧前600个样本及前1700个样本后，得到三种方法计算所得后验样本均值如表4所示：
表4三种方法计算所得后验样本均值
Figure BDA0003740217290000061
由表4可知，DEMC算法最大误差达到2.94％，且大部分参数的误差均位于1％以上，DREAM算法的参数最大误差为1.05％，本实施例所提改进MCMC算法的最大误差1.07％，与DEMC算法相比，两种算法均能将均值误差控制在较小值；本实施例所提改进快速MCMC算法均能准确到收敛至目标分布附近。
(4)通过在实测频率和振型数据中添加白噪声来模拟实际测量中的噪声影响。假定频率和振型的噪声在不同模态阶数和测试点处相互独立，分别添加数值为5％、10％、20％的白噪声。本实施例采用改进MCMC算法分别对三种工况进行有限元模型修正，参数修正均值结果如表5所示：
Figure BDA0003740217290000062
由表5可知，5％噪声情况下，参数均值最大误差为1.9％；在10％噪声情况下，参数均值最大误差为3.16％；在20％噪声情况下，参数均值最大误差达到5.92％；但在所有噪声情况下，计算所得参数均值误差均未超过6％，表明本实施例所提算法在噪声情况下仍能保持较高的计算精度。
注：本申请未详细展开的部分内容，可参考《基于多链差分进化的贝叶斯有限元模型修正方法》(工程力学，2019年6月第36卷第6期；蒋伟，刘纲；P101-108)中所记载的内容，不再累述。
以上实验数据仅是本发明的实施例，本发明不限于此实施案例涉及的领域，方案中公知的具体结构及特性等常识在此未做过多描述，所属领域普通技术人员知晓申请日或者优先权日之前发明所属技术领域所有的普通技术知识，能够获知该领域中所有的现有技术，并且具有应用该日期之前常规实验手段的能力，所属领域普通技术人员可以在本申请给出的启示下，结合自身能力完善并实施本方案，一些典型的公知结构或者公知方法不应当成为所属领域普通技术人员实施本申请的障碍。应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些也应该视为本发明的保护范围，这些都不会影响本发明实施的效果和专利的实用性。本申请要求的保护范围应当以其权利要求的内容为准，说明书中的具体实施方式等记载可以用于解释权利要求的内容。

Claims (5)

1.一种采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤一：构建有限元模型，设定有限元模型的基本参数；
步骤二：引入随机比例因子和随机向量；
步骤三：利用定向差分方式选取候选样本；
步骤四：计算后验样本接收概率，判断样本带宽是否小于设定阈值；若是，执行步骤五；若否，则执行步骤三；
步骤五：则利用随机差分方式从候选样本中随机抽取样本；
步骤六：计算后验样本接收概率，判断是否满足迭代终止条件；若否，则执行步骤五；若是，则修正有限元模型的特征值。
2.根据权利要求1所述采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法，其特征在于：随机比例因子为：
Figure FDA0003740217280000011
其中，γd*表示比例因子，t表示迭代步长，d*表示参数维度。
3.根据权利要求1所述采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法，其特征在于：随机向量为：
Figure FDA0003740217280000012
其中，c*表示正态分布的方差，t表示当前迭代步数，T表示预设的最大迭代步数。
4.根据权利要求1所述采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法，其特征在于：定向差分方式表示为：
Figure FDA0003740217280000013
其中，
Figure FDA0003740217280000014
表示第t迭代步新生成的候选样本；A表示子空间序号索引向量；
Figure FDA0003740217280000015
表示第t-1迭代步最优子空间样本值；
Figure FDA0003740217280000016
表示第t-1迭代步的候选样本；
Figure FDA0003740217280000017
表示第t-1迭代步子空间的候选样本；d*表示参数维数，γd*表示随机比例因子，ed*表示从正态分布N(0,c*)中随机抽取的d*维向量；c*表示随机向量。
5.根据权利要求1所述采用改进差分进化马尔科夫链的有限元模型修正方法，其特征在于：随机差分方式表示为：
Figure FDA0003740217280000018
其中，
Figure FDA0003740217280000021
表示第t-1迭代步的候选样本；
Figure FDA0003740217280000022
表示从第t-1迭代步随机抽取的两个样本，其中j,k∈{1,2,…,N}且j≠k，N表示初始马尔科夫链的条数；
Figure FDA0003740217280000023
表示随机比例因子；d*表示参数维数；ed*表示从正态分布N(0,c*)中随机抽取的d*维向量，c*表示随机向量。
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