CN115712977A - 一种基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，构建目标和约束的Kriging代理模型，获取目标和约束的预测均值及预测方差；根据可行性概率策略或最大约束期望改进准则实现样本填充；循环迭代更新样本库，直至达到最大迭代次数；在高效填充的样本空间上构建目标的基于因子效应原则的多项式响应面模型，在最小目标值参数组合的基础上用Kriging代理优化方法实现6

稳健优化；对稳健参数组合用蒙特卡洛模拟结合约束Kriging模型得到目标稳健最优解及其参数组合。本发明能有效解决多项式响应面模型对样本依赖大的问题，提升模型的精度，避免在最小目标值的基础上将Kriging模型用于6

稳健优化导致失败的缺陷，实现稳健优化设计。

Description

一种基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计 方法

技术领域

本发明涉及计算机仿真及工程优化计算，具体涉及一种基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法。

背景技术

实际工程问题中存在诸多影响产品质量的误差因素，往往花费大量费用都很难消除这些误差因素。究其原因，产品设计参数的统计分散性使得产品性能稳健性降低。同时，设计参数的不确定性因素往往导致可行的设计不可靠甚至失效。因此，如何尽量降低设计参数不确定因素对产品性能的作用，使产品的性能波动敏感性较小，同时满足质量约束要求的可靠性概率，降低产品成本，已成为质量设计领域重要的研究方向。图1可知，相比确定性优化设计，稳健优化设计的目标是寻找设计空间中的“平坦”区域；图2可知，稳健优化解远离约束边界，能够有效地提升系统可靠度。然而，实际应用中设计参数与系统响应的关系难以对其函数关系进行显式表达，大多属于黑箱模型，主要通过物理试验或者计算机仿真建模来进行研究，但无论是试验或仿真都十分费时且成本高昂。

随着统计建模技术及计算机试验分析方法的快速发展，采用代理模型取代耗时的高精度仿真和实物试验逐渐成为质量设计的常规做法。实际应用中，常用的代理模型有多项式响应面、Kriging代理模型、径向基函数及支持向量回归等.其中，多项式响应面模型能够构建出设计参数和系统响应间的近似数学关系，具有较强的可解释性，但模型的构建对样本点的依赖性较大，导致其精度受限。

长期以来，通过少量的试验或者模拟来建立代理模型进行不确定性分析或者稳健设计的方法有效提升了设计效率，但通过这种方法构建的代理模型对初始样本的选取依赖性较大，精度提升也较为困难并且优化效率较慢，成本较高。因此，如何有效提升代理模型的精度，并且有效提升稳健优化效率是关键。一种能够有效提升模型精度，加快收敛速度，实现齿轮减速器稳健优化设计方法亟待开发。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，以解决齿轮减速器在确定性优化中系统可靠性不高，模型精度较低，收敛速度慢的问题。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，包括如下步骤：

步骤1，对齿轮减速器的小齿轮模数、齿宽、齿数采用最大最小拉丁超立方抽样方法进行初始试验设计，获得初始化参数样本；

步骤2，根据齿轮减速器问题信息，以齿轮减速器的总体积为优化目标，以齿轮重合度ε、齿面接触疲劳强度σ_H、齿根弯曲疲劳强度σ_F为约束，构建齿轮减速器优化模型，进行仿真计算，得到齿轮减速器总体积的目标响应值和齿轮重合度、齿面接触疲劳强度、齿根弯曲疲劳强度的约束响应值，并将初始化参数样本和所得目标及约束的响应值保存，建立初始样本库；

步骤3，分别构建目标和约束条件的Kriging代理模型，获取目标响应和约束的预测均值及预测方差；

步骤4，判断样本库中样本是否存在可行解，若无可行解，则根据约束的预测均值及预测方差构建可行性概率策略实现样本填充，否则根据目标响应和约束的预测均值及预测方差构建最大化约束期望改进准则获取新试验样本，并利用计算机软件实现仿真计算，将新试验样本数据及其对应的仿真输出目标值及响应值置于样本库中；

步骤5，循环迭代步骤3-4更新样本库，直至达到最大迭代次数，据此得到最小体积目标值、对应的参数组合和高效填充的样本空间；

步骤6，在步骤5获取的高效填充的样本空间上构建目标的基于因子效应原则的多项式响应面模型，在最小目标值的参数组合的基础上结合Kriging代理优化方法实现6σ稳健优化，得到目标稳健解及对应的稳健参数组合；

步骤7，对获取的稳健参数组合用蒙特卡洛模拟结合约束的Kriging代理模型进一步寻优，得到目标稳健最优解及对应参数组合。

进一步的，步骤2，以齿轮减速器的总体积优化目标，以小齿轮模数、齿数和齿宽为设计变量，以齿轮重合度ε、齿面接触疲劳强度σ_H、齿根弯曲疲劳强度σ_F为约束，构建齿轮减速器优化模型，进行仿真计算，得到齿轮减速器总体积的目标响应值和齿轮重合度ε、齿面接触疲劳强度σ_H，齿根弯曲疲劳强度σ_F的约束响应值，并将初始化参数样本和所得目标及约束的响应值保存，建立初始样本库，其中齿轮减速器优化模型表示为：

min y(x)

s.t.g_i(x)≤0,i＝1,2,…,r

x∈D

其中，y(x)表示齿轮减速器总体积；g_i(x)表示第i个约束条件；r代表约束条件的总个数；D＝[x_LSL,x_USL]为小齿轮模数、齿宽、齿数的设计空间，x_LSL,x_USL分别表示小齿轮模数、齿宽、齿数的下限值和上限值；

选择Catia软件对齿轮减速器进行三维建模,并利用HyperMesh前处理软件进行网格划分,在Abaqus中建立仿真模型，仿真得到目标响应值集合y及约束响应值集合g_i，建立初始样本库。

进一步的，步骤3，分别构建目标和约束的Kriging代理模型，获取目标响应和约束的预测均值及预测方差，具体方法为：

目标的Kriging代理模型：

其中，

和

分别表示目标响应的预测均值及预测方差，f(x)＝[f₁(x),f₂(x),…,f_k(x)]^T为基函数向量，f_i(x)是Kriging代理模型的基函数，

是β的广义最小二乘估计，β＝[β₁,β₂,…,β_k]^T是未知的回归系数向量，y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T为目标响应向量；为表示方便，记h＝(f(x)-F^TR^-1r(x))，r(x)＝[R(x,x₁),…,R(x,x_n)]^T表示由回归基函数确定的设计向量，R(x,x_n)＝R(x,x_n|θ)为建模选取的相关函数；{x₁,x₂,…,x_n}为初始设计试验样本，R表示由回归基函数确定的设计矩阵，R和F表示如下：

约束条件的Kriging代理模型：

其中，

和

分别表示第i个约束的预测均值及预测方差，

为约束的回归系数，由广义最小二乘估计获得，

为高斯过程分布的估计方差。

进一步的，步骤4，判断样本库中样本是否存在可行解，若无可行解，则根据约束的预测均值及预测方差构建可行性概率策略实现样本填充，否则根据目标响应和约束的预测均值及预测方差构建最大化期望约束控制策略实现样本填充，将填充样本数据及其对应的仿真输出目标值及响应值置于样本库中，具体方法为：

步骤41：根据目标响应向量y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T，计算当前最优目标值y_min＝min{y₁,y₂,…,y_n}；

步骤42：根据约束的预测均值及预测方差构建可行性概率策略，根据目标响应和约束的预测均值及预测方差构建最大化约束期望控制策略，用于实现后续样本填充；

可行性概率函数，表示为：

其中，Φ(·)为累积概率密度函数；r为约束条件个数；

分别表示第i个约束的响应均值及标准差；

最大化约束期望改进准则，表示为：

CEI(x)＝EI(x)·PoF(x)

其中，

y_min为当前试验点上目标函数的最小值；φ(·)是标准正态分布的概率密度函数

步骤43：判断样本库中样本是否存在可行解，若无可行解，则根据可行性概率策略实现样本填充，否则根据最大化约束期望控制策略实现样本填充.

进一步的，步骤6，在步骤5获取的高效填充的样本空间上构建目标的基于因子效应原则的多项式响应面模型，在最小目标值的参数组合的基础上结合Kriging代理优化方法实现6σ稳健优化，得到目标稳健解及对应的稳健参数组合，具体方法为：

步骤6.1：在步骤5获取的高效填充的样本空间上构建目标多项式响应面模型；

其中，x_i是齿轮减速器设计变量x的第i个分量，X是因子效应矩阵，具体表示为

β₀，β_i，β_ij分别为常数项，一阶项以及二阶，三阶项的回归系数；β是回归系数矩阵，具体表示为

ξ是误差项；

步骤6.2：依据因子效应原则中的效应稀疏原则、效应排序原则、效应遗传原则构建因子变量筛选器进行因子筛选构建基于因子效应原则的多项式响应面模型；

齿轮减速器的变量筛选器可以表示为：

其中，γ₁,γ₂,γ₃分别表示因子x₁,x₂,x₃的变量筛选器，γ₁₂γ₁γ₂,…,γ₂₃γ₂γ₃分别表示因子x₁x₂,…,x₂x₃的变量筛选器，

分别表示

的变量筛选器，

分别表示

的变量筛选器；若依据因子效应原则，该因子被认定为非显著因子，则其对应的变量筛选器值为0；反之，则为1；

因此，体积的基于因子效应原则的多项式响应面模型可表示为：

y(x)＝XU_γβ+ξ

即

其中，U_γ为变量筛选器构成的矩阵，具体表示为

步骤6.3：假设设计变量x₁,x₂,x₃的均值为μ₁,μ₂,μ₃，将目标的基于因子效应原则的多项式响应面模型在x＝[μ₁,μ₂μ₃]^T处进行二阶泰勒展开并取数学期望，得到体积均值μ_f和方差

的近似表达如下：

其中，σ为x的标准差，取σ＝0.01μ；

步骤6.4：依据最小目标值对应的参数组合及其标准差重构参数区间[x_LSL+6σ,x_USL-6σ]；构建齿轮减速器的6σ稳健优化模型；

min F＝μ_f(x)+6σ_f(x))

其中，

和

是第i个约束条件G_i的均值和标准差；X_LSL和X_USL分别为设计变量的下限值和上限值，σ_x为设计变量的标准差；B_L,B_R为约束条件的上、下界；

步骤6.5：结合Kriging代理优化方法对齿轮减速器的6σ稳健优化模型进行迭代寻优，得到目标稳健解及稳健参数组合。

步骤7：步骤7，对获取的稳健参数组合用蒙特卡洛模拟结合约束的Kriging代理模型进一步寻优，得到目标稳健最优解及对应参数组合，具体方法为：

步骤7.1：采用蒙特卡洛模拟结合约束Kriging模型得到在最小目标值的约束可靠性概率：

其中，

是第i个约束的可靠性概率，

是第i个约束Kriging模型的预测均值,I_g是是示性函数，当

时，I_g＝1，否则I_g＝0，N_sim是仿真的次数。

步骤7.2：根据约束可靠性概率大小判断出最易失效结构，即最小可靠性概率对应的约束，对目标稳健参数组合用蒙特卡洛方法再次结合约束Kriging代理模型进一步寻优，保证最易失效结构进一步远离失效边界，得到体积的稳健最优解及其参数组合。一种基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计系统，基于所述的齿轮减速器稳健优化设计方法，实现基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计。

一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时，实现所述的齿轮减速器稳健优化设计方法，完成基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计。

一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时，实现所述的齿轮减速器稳健优化设计方法，完成基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：1)采用可行性改进策略和约束期望改进准则实现样本空间填充，当初始试验设计无可行解时采用最大化可行性概率策略进行填充，反之则使用约束期望控制策略进行样本点填充，可实现合理分配空间填充样本；2)构建的多项式响应面模型精度较高，具有较强的解释性；3)在6σ稳健优化设计的基础上，进一步提升质量水平，实现稳健参数组合的高效获取，有效减少试验成本，提升系统可靠性；4)代理优化方法与多项式响应面建模相结合，并将其应用于稳健优化设计，进一步拓展了该方法的应用范围。

附图说明

图1为本发明确定优化解与稳健优化解的对比图

图2为本发明优化模型图

图3为本发明基于Kriging代理模型辅助的稳健优化设计的流程图

图4为本发明构建的齿轮减速器仿真模型

图5为本发明约束σ_H稳健优化前后质量水平对比图

具体实施方式

为了使本申请的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本申请进行进一步详细说明。应当理解，此处描述的具体实施例仅用以解释本申请，并不用于限定本申请。

本发明所述的方法将具有黑箱特性的昂贵约束优化问题及工程中代理模型精度不高，优确定性优化易导致系统失效问题进行稳健优化，提升系统可靠性。在全局优化过程中，该方法首先采用最大最小拉丁超立方抽样技术(latin hypercube sampling,LHS)进行空间填充，并利用计算机仿真获取响应数据；其次，利用样本库中的数据，选取Kriging近似模型对目标函数和约束函数进行近似估计以减少优化过程中的仿真建模计算负担；然后，通过约束期望改进准则通过控制函数调整最大改进值，实现样本设计空间的高效填充；最后，达到终止条件，获取最优目标值及设计参数。值得注意的是，如果初始试验设计无可行解的情况下，需采用最大化可行性概率策略进行空间填充，直至满足可行解条件后切换为约束期望控制策略。

如图3所示，本发明基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，具体包括以下步骤：

步骤1：对齿轮减速器小齿轮模数m，小齿轮齿数Z₁和齿宽b共3个参数采用最大最小LHS方法进行初始试验设计，获得5n个初始化参数样本；

对于LHS采用方法而言，其不受水平数和因素数的限制，具有极高的灵活性且便于程序实现，在计算机试验设计中应用最为广泛。LHS方法在实现过程中，假设需要抽取n个样本点，样本点x∈[0,1]^d。抽样需满足：(1)每个样本点在小区间内是均匀分布的；(2)将所有样本点投影到任意一个维度，维度上的n个子区间内有且仅有1个样本点。将d维设计空间沿每一维设计变量方向平均划分n个子空间：

所有设计变量的n个子空间组合成dⁿ子空间，并且在每个d维子空间内随机抽取1个样本。

步骤2、以齿轮减速器的总体积优化目标，以齿轮重合度、齿面接触疲劳强度，齿根弯曲疲劳强度为约束，构建齿轮减速器优化模型，进行仿真计算，得到齿轮减速器总体积的目标响应值和齿轮重合度ε、齿面接触疲劳强度σ_H、齿根弯曲疲劳强度σ_F的约束响应值，并将初始化参数样本和所得目标及约束的响应值保存，建立初始样本库；

步骤3、使用初始样本库中全部样本构建Kriging代理模型，得到模型的预测均值及方差，包括：

目标的Kriging代理模型：

其中，

和

分别表示目标响应的预测均值及预测方差，f(x)＝[f₁(x),f₂(x),…,f_k(x)]^T为基函数向量，f_i(x)是Kriging代理模型的基函数，

是β的广义最小二乘估计，β＝[β₁,β₂,…,β_k]^T是未知的回归系数向量，y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T为目标响应向量；为表示方便，记h＝(f(x)-F^TR^-1r(x))，r(x)＝[R(x,x₁),…,R(x,x_n)]^T表示由回归基函数确定的设计向量，R(x,x_n)＝R(x,x_n|θ)为建模选取的相关函数；{x₁,x₂,…,x_n}为初始设计试验样本，R表示由回归基函数确定的设计矩阵，R和F表示如下：

约束条件的Kriging代理模型：

其中，

和

分别表示第i个约束的预测均值及预测方差，

为约束的回归系数，由广义最小二乘估计获得，

为高斯过程分布的估计方差。

步骤4、判断样本库中样本是否存在可行解，若无可行解，则根据约束的预测均值及预测方差构建可行性概率策略实现样本填充，否则根据目标响应和约束的预测均值及预测方差构建最大化期望约束控制策略实现样本填充，将填充样本数据及其对应的仿真输出目标值及响应值置于样本库中，具体方法为：

步骤41：根据目标响应向量y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T，计算当前最优目标值y_min＝min{y₁,y₂,…,y_n}；

步骤42：根据约束的预测均值及预测方差构建可行性概率策略，根据目标响应和约束的预测均值及预测方差构建最大化约束期望控制策略，用于实现后续样本填充；

可行性概率函数，表示为：

其中，Φ(·)为累积概率密度函数；r为约束条件个数；

分别表示第i个约束的响应均值及标准差；

最大化约束期望改进准则，表示为：

CEI(x)＝EI(x)·PoF(x)

其中,

y_min为当前试验点上目标函数的最小值；φ(·)是标准正态分布的概率密度函数

步骤43：判断样本库中样本是否存在可行解，若无可行解，则根据可行性概率策略实现样本填充，否则根据最大化约束期望改进准则实现样本填充；

步骤5、令T_max为设定的最大迭代次数，循环迭代步骤3-4更新样本库，直至达到最大迭代次数，据此得到最小目标值、对应的参数组合和高效填充的样本空间；

步骤6、在步骤5获取的高效填充的样本空间上构建目标的基于因子效应原则的多项式响应面模型，在最小目标值的基础上结合Kriging代理优化方法实现6σ稳健优化，得到对应目标稳健解及稳健参数组合，具体方法为：

步骤6.1：在步骤5获取的高效填充的样本空间上构建目标的多项式响应面模型；

其中，x_i是齿轮减速器设计变量x的第i个分量，X是因子效应矩阵，具体表示为

β₀，β_i，β_ij分别为常数项，一阶项以及二阶，三阶项的回归系数；β是回归系数矩阵，具体表示为

ξ是误差项；

依据因子效应原则中的效应稀疏原则、效应排序原则、效应遗传原则构建因子变量筛选器进行因子筛选，构建基于因子效应原则的多项式响应面模型；

因此齿轮减速器的变量筛选器可以表示为：

其中，γ₁,γ₂,γ₃分别表示因子x₁,x₂,x₃的变量筛选器，γ₁₂γ₁γ₂,…,γ₂₃γ₂γ₃分别表示因子x₁x₂,…,x₂x₃的变量筛选器，

分别表示

的变量筛选器，

分别表示

的变量筛选器；若依据因子效应原则，该因子被认定为非显著因子，则其对应的变量筛选器值为0；反之，则为1；

因此，体积的基于因子效应原则的多项式响应面模型可表示为：

y(x)＝XU_γβ+ξ

即

其中，U_γ为变量筛选器矩阵，具体表示为

步骤6.3：假设设计变量x₁,x₂,x₃的均值为μ₁,μ₂,μ₃，将体积的基于因子效应原则的多项式响应面模型在x＝[μ₁,μ₂μ₃]^T处进行二阶泰勒展开并取数学期望，得到体积均值μ_f和方差

的近似表达如下：

其中，σ为x的标准差，取σ＝0.01μ；

依据最小体积目标值对应的参数组合及其标准差重构参数区间[x_LSL+6σ,x_USL-6σ]；构建齿轮减速器的6σ稳健优化模型；

min F＝μ_f(x)+6σ_f(x))

其中，

和

是第i个约束条件G_i的均值和标准差；X_LSL和X_USL分别为设计变量的下限值和上限值，σ_x为设计变量的标准差；B_L,B_R为约束条件的上、下界；

步骤6.5：结合Kriging代理优化方法对齿轮减速器的6σ稳健优化模型进行迭代寻优，得到目标稳健解及稳健参数组合。

步骤7、对获取的目标稳健参数组合用蒙特卡洛模拟结合约束的Kriging代理模型进一步寻优，得到目标稳健最优解及其参数组合，具体方法为：

步骤7.1：采用蒙特卡洛模拟结合约束Kriging模型得到在目标最小目标值的约束可靠性概率：

其中，

是第i个约束的可靠性概率，

是第i个约束Kriging模型的预测均值,I_g是是示性函数，当

时，I_g＝1，否则I_g＝0，N_sim是仿真的次数。

步骤7.2：根据约束可靠性概率判断出最易失效结构，即最小可靠性概率对应的约束，对目标稳健参数组合用蒙特卡洛方法再次结合约束Kriging代理模型进一步寻优，保证最易失效结构进一步远离失效边界，得到体积的稳健最优解及其参数组合。

实施例

为了验证本发明方案的有效性，进行如下实验。

本实施例中，如图4所示齿轮减速器优化设计案例进行试验，基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，具体包括以下步骤：

步骤1：对齿轮减速器小齿轮模数m，小齿轮齿数Z₁和齿宽b共3个参数采用最大最小LHS方法进行初始试验设计，抽取5×3＝15个样本。

步骤2：以齿轮减速器的总体积优化目标，以齿轮重合度、齿面接触疲劳强度，齿根弯曲疲劳强度为约束，构建齿轮减速器优化模型，进行仿真计算，得到齿轮减速器总体积的目标响应值和齿轮重合度ε、齿面接触疲劳强度σ_H、齿根弯曲疲劳强度σ_F的约束响应值，并将初始化参数样本和所得目标及约束的响应值保存，建立初始样本库；

齿轮减速器优化模型表示为：

min y(x)

s.t.g_i(x)≤0,i＝1,2,…,r

x∈D

其中，y(x)表示齿轮减速器体积；g_i(x)表示第i个约束条件；r代表约束条件的总个数；D＝[x_LSL,x_USL]为小齿轮模数、齿宽、齿数的设计空间，x_LSL,x_USL分别表示小齿轮模数、齿宽、齿数的下限值和上限值；

首先利用Catia软件进行三维建模，并利用HyperMesh前处理软件进行网格划分，然后在Abaqus中建立仿真模型，仿真得到目标响应值集合y及约束响应值集合g_i，建立初始样本库。

步骤3：构建Kriging模型，得到目标预测均值及方差

和约束预测不确定信息

步骤4：根据Kriging模型提供信息构建约束期望控制策略，实现样本填充，将填充样本数据及其对应的仿真输出目标值及响应值置于样本库中

步骤5、令T_max为设定的最大迭代次数，循环迭代步骤3-4更新样本库，直至达到最大迭代次数，据此得到最小目标值、对应的参数组合和高效填充的样本空间；

步骤6、在步骤5获取的高效填充的样本空间上构建目标的基于因子效应原则的多项式响应面模型，在最小目标值的基础上结合Kriging代理优化方法实现6σ稳健优化，得到对应体积稳健解及稳健参数组合；

利用步骤5中高效填充的样本空间构建齿轮减速器目标的多项式响应面模型，并在此基础上构建采用因子变量筛选器进行因子筛选，具体结果见表1。

表1因子筛选结果

由表1可知:

均为0，所以

对模型的影响不显著.因此,在后续的建模过程中可以剔除这些变量进而构建目标的基于因子效应原则的多项式响应面模型V_e(x)代替复杂的仿真进行6σ稳健优化设计。得到V_e(x)如下:

在此基础上构建6σ稳健优化模型采用Kriging代理优化方法迭代寻优得到目标稳健解及参数组合；

步骤7、对目标稳健解的参数组合用蒙特卡洛模拟结合约束Kriging代理模型进一步寻优，得到目标稳健最优解及其参数组合提升质量水平；

与确定性优化以及在初始试验设计的基础上建立目标的多项式响应面模型并结合顺序二次规划算法进行6σ稳健优化方法(称为伍方法)进行对比，并分别计算每种优化方法得到的齿轮减速器参数组合的系统失效率

其中，

表示系统可靠性，

表示单个约束条件的可靠度。优化结果对比如表2所示。

表2优化结果对比

由表2知:(1)Hooke-Jeeves算法平均仿真101次才能找到体最小目标值V(4,21,42)＝1.2592×106mm³，而Kriging代理优化方法平均仅仿真17次收敛到V(3,25,46)＝1.0994×106mm³，表明Kriging代理优化更高效,仿真成本更低。(2)对比确定性优化的结果可知，二者的系统失效率

不满足质量水平与系统可靠性的要求。因此，需要进行稳健优化降低设计参数不确定因素对系统性能的作用。(3)对比伍方法及所提方法可知，本方法得到得体积的稳健最优解参数组合进一步提升质量水平，体积从V＝1.0994×106mm³增大至V＝1.4745×106mm³，相比稳健优化之前增大34.1％；但相对初始目标值减小12.6％,系统失效率

总的来说，所提方法能有效减少不确定因素对整个系统性能波动的影响，有效提升系统的稳健性。因此在实际应用中，尤其在装备制造及高精密仪器的使用过程中，例如齿轮减速器，用部分成本增加换取目标性能的稳健性及整个系统的可靠性提升是十分值得的。

由σ_H稳健优化前后质量水平对比图5可以看出：稳健优化后σ_H的约束均值都有所降低，达到稳健状态的同时可靠性大幅提升，有效改善了因设计参数不确定性而导致的系统失效问题。

以上所述实施例仅表达了本申请的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本申请范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本申请构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本申请的保护范围。因此，本申请的保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (9)

1.一种基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，对齿轮减速器的小齿轮模数、齿宽、齿数采用最大最小拉丁超立方抽样方法进行初始试验设计，获得初始化参数样本；

步骤2，根据齿轮减速器问题信息，以齿轮减速器的总体积为优化目标，以齿轮重合度

齿面接触疲劳强度σ_H、齿根弯曲疲劳强度σ_F为约束，构建齿轮减速器优化模型，进行仿真计算，得到齿轮减速器总体积的目标响应值和齿轮重合度、齿面接触疲劳强度、齿根弯曲疲劳强度的约束响应值，并将初始化参数样本和所得目标及约束的响应值保存，建立初始样本库；

步骤3，分别构建目标和约束条件的Kriging代理模型，获取目标响应和约束的预测均值及预测方差；

步骤4，判断样本库中样本是否存在可行解，若无可行解，则根据约束的预测均值及预测方差构建可行性概率策略实现样本填充，否则根据目标响应和约束的预测均值及预测方差构建最大化约束期望改进准则获取新试验样本，并利用计算机软件实现仿真计算，将新试验样本数据及其对应的仿真输出目标值及响应值置于样本库中；

步骤5，循环迭代步骤3-4更新样本库，直至达到最大迭代次数，据此得到最小目标值、对应的参数组合和高效填充的样本空间；

步骤6，在步骤5获取的高效填充的样本空间上构建目标的基于因子效应原则的多项式响应面模型，在最小目标值的参数组合基础上结合Kriging代理优化方法实现6σ稳健优化，得到目标稳健解及其稳健参数组合；

步骤7，对获取的稳健参数组合用蒙特卡洛模拟结合约束Kriging代理模型进一步寻优，得到目标稳健最优解及对应参数组合。

2.根据权利要求1所述的基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，其特征在于，步骤2，以齿轮减速器的总体积优化目标，以小齿轮模数、齿数、齿宽为设计变量，以齿轮重合度ε、齿面接触疲劳强度σ_H、齿根弯曲疲劳强度σ_F为约束，构建齿轮减速器优化模型，进行仿真计算，得到齿轮减速器总体积的目标响应值和齿轮重合度、齿面接触疲劳强度、齿根弯曲疲劳强度的约束响应值，并将初始化参数样本和所得目标及约束的响应值保存，建立初始样本库，其中齿轮减速器优化模型表示为：

min y(x)

s.t.g_i(x)≤0,i＝1,2,…,r

x∈D

其中，y(x)表示齿轮减速器总体积；g_i(x)表示第i个约束条件；r代表约束条件的总个数；D＝[x_LSL,x_USL]为小齿轮模数、齿宽、齿数的设计空间，x_LSL,x_USL分别表示小齿轮模数、齿宽、齿数的下限值和上限值；

选择Catia软件对齿轮减速器进行三维建模，并利用HyperMesh前处理软件进行网格划分，在Abaqus中建立仿真模型，仿真得到目标响应值集合y及约束响应值集合g_i，建立初始样本库。

3.根据权利要求1所述的基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，其特征在于，步骤3，分别构建目标和约束的Kriging代理模型，获取目标响应和约束的预测均值及预测方差，具体方法为：

目标的Kriging代理模型：

其中，

和

分别表示目标响应的预测均值及预测方差，f(x)＝[f₁(x),f₂(x),…,f_k(x)]^T为基函数向量，f_i(x)是Kriging代理模型的基函数，

是β的广义最小二乘估计，β＝[β₁,β₂,…,β_k]^T是未知的回归系数向量，y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T为目标响应向量；为表示方便，记h＝(f(x)-F^TR^-1r(x))，r(x)＝[R(x,x₁),…,R(x,x_n)]^T表示由回归基函数确定的设计向量，R(x,x_n)＝R(x,x_n|θ)为建模选取的核函数；{x₁,x₂,…,x_n}为初始设计试验样本，R表示由回归基函数确定的设计矩阵，R和F表示如下：

约束条件的Kriging代理模型：

其中，

和

分别表示第i个约束的预测均值及预测方差，

为约束的回归系数，由广义最小二乘估计获得，

为高斯过程分布的估计方差。

4.根据权利要求1所述的基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，其特征在于，步骤4，判断样本库中样本是否存在可行解，若无可行解，则根据约束的预测均值及预测方差构建可行性概率策略实现样本填充，否则根据目标响应和约束的预测均值及预测方差构建最大化期望约束改进准则实现样本填充，将填充样本数据及其对应的仿真输出目标值及响应值置于样本库中，具体方法为：

步骤41，根据目标响应向量y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T，计算当前最优目标值y_min＝min{y₁,y₂,…,y_n}；

步骤42：根据约束的预测均值及预测方差构建可行性概率策略，根据目标响应和约束的预测均值及预测方差构建最大化约束期望改进准则，用于实现后续样本填充；

可行性概率函数，表示为：

其中，Φ(·)为累积概率密度函数；r为约束条件个数；

分别表示第i个约束的响应均值及标准差；

最大化约束期望改进准则，表示为：

CEI(x)＝EI(x)·PoF(x)

其中，

y_min为当前试验点上目标函数的最小值；φ(·)是标准正态分布的概率密度函数；

步骤43：判断样本库中样本是否存在可行解，若无可行解，则根据可行性概率策略实现样本填充，否则根据最大化约束期望改进准则实现样本填充。

5.根据权利要求1所述的基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，其特征在于，步骤6，在步骤5获取的高效填充的样本空间上构建目标的基于因子效应原则的多项式响应面模型，在最小目标值的参数组合基础上结合Kriging代理优化方法实现6σ稳健优化，得到目标稳健解及对应的稳健参数组合，具体方法为：

步骤6.1：在步骤5获取的高效填充样本空间上构建目标多项式响应面模型；

其中，y(x)表示齿轮减速器总体积，x_i是齿轮减速器设计变量x的第i个分量，X是因子效应矩阵，具体表示为

β₀，β_i，β_ij分别为常数项，一阶项以及二阶，三阶项的回归系数，β是回归系数矩阵，具体表示为

ξ是误差项；

步骤6.2，依据因子效应原则中的效应稀疏原则、效应排序原则、效应遗传原则构建因子变量筛选器进行因子筛选，构建基于因子效应原则的多项式响应面模型；

变量筛选器表示为：

其中，γ₁,γ₂,γ₃分别表示因子x₁,x₂,x₃的变量筛选器，γ₁₂γ₁γ₂,…,γ₂₃γ₂γ₃分别表示因子x₁x₂,…,x₂x₃的变量筛选器，γ₁₂γ₁,γ₂₂γ₂,γ₃₂γ₃分别表示

的变量筛选器，γ₁₃γ₁,γ₂₃γ₂,γ₃₃γ₃分别表示

的变量筛选器；依据因子效应原则，若该因子被认定为非显著因子，则其对应的变量筛选器值为0；反之，则为1；

基于因子效应原则的多项式响应面模型表示为：

y(x)＝XU_γβ

即

其中，U_γ为变量筛选器构成的矩阵，具体表示为

步骤6.3：假设设计变量x₁,x₂,x₃的均值为μ₁,μ₂,μ₃，将体积的基于因子效应原则的多项式响应面模型在x＝[μ₁,μ₂μ₃]^T处进行二阶泰勒展开并取数学期望，得到体积均值μ_f和方差

的近似表达如下：

其中，σ为x的标准差，取σ＝0.01μ；

步骤6.4，依据最小目标值对应的参数组合及其标准差重构参数区间[x_LSL+6σ,x_USL-6σ]，构建齿轮减速器的6σ稳健优化模型；

min F＝μ_f(x)+6σ_f(x))

其中，

和

是第i个约束条件G_i的均值和标准差；X_LSL和X_USL分别为设计变量的下限值和上限值，σ_x为设计变量的标准差；B_L,B_R为约束条件的上、下界；

步骤6.5：结合Kriging代理优化方法对齿轮减速器的6σ稳健优化模型进行迭代寻优，得到目标稳健解及稳健参数组合。

6.根据权利要求1所述的基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计方法，其特征在于，步骤7，对获取的稳健参数组合用蒙特卡洛模拟结合约束的Kriging代理模型进一步寻优，得到目标稳健最优解及对应参数组合，具体方法为：

步骤7.1：采用蒙特卡洛模拟结合约束条件的Kriging代理模型计算在最小目标值的约束可靠性概率：

其中，

是第i个约束的可靠性概率，

是第i个约束Kriging模型的预测均值，I_g是示性函数，当

时，I_g＝1，否则I_g＝0，N_sim是仿真的次数；

步骤7.2：根据约束可靠性概率大小判断出最易失效结构，即最小可靠性概率对应的约束，对目标稳健参数组合用蒙特卡洛方法再次结合约束的Kriging代理模型进一步寻优，保证最易失效结构进一步远离失效边界，得到目标稳健最优解及其参数组合。

7.一种基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计系统，其特征在于，基于权利要求1-6任一项所述的齿轮减速器稳健优化设计方法，实现基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计。

8.一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时，实现基于权利要求1-6任一项所述的齿轮减速器稳健优化设计方法，完成基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计。

9.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时，实现基于权利要求1-6任一项所述的齿轮减速器稳健优化设计方法，完成基于Kriging代理模型辅助的齿轮减速器稳健优化设计。

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