CN109213963A - 一种激光沉积成型钛合金疲劳寿命统计分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种针对激光沉积成型钛合金疲劳寿命的统计处理方法，其特征在于采用了双峰对数正态分布模型对激光沉积成型钛合金试件的疲劳寿命进行描述，采用极大似然法和秩统计最小分布函数残差平方和(SSE)方法进行分布参数估计。具体包括：获取疲劳寿命数据；建立双峰对数正态分布模型；基于极大似然估计和最小SSE进行分布参数估计；最小试件数检验。本发明的应用可以更精确的描述激光沉积成型钛合金试件的疲劳寿命的分散特性，更精确地获取激光沉积成形钛合金疲劳寿命的特征参数。

Description

一种激光沉积成型钛合金疲劳寿命统计分析方法

技术领域

本发明涉及金属材料疲劳寿命统计分析技术，尤其涉及一种针对激光沉积成型钛合金材料疲劳寿命的统计分析方法。

背景技术

交变载荷作用下的疲劳断裂是结构最主要的失效形式，为了保证结构的使用安全和经济性，现代先进机械结构均采用抗疲劳设计思想进行设计。按该设计思想，在结构设计阶段需采用抗疲劳性能好的材料。因此，需要进行材料的疲劳性能测试与表征。大量的理论和试验研究表明，材料的疲劳寿命具有明显的分散性，即按相同的材料工艺和试件加工工艺得到的同一批次试件，在相同的应力水平下不同试件的疲劳寿命存在明显的差异。为此，需建立疲劳寿命统计分析处理方法，这是材料疲劳寿命表征的核心内容。在材料疲劳寿命统计分析中，需要解决两个关键问题：(1)疲劳寿命的分布特性；(2)疲劳寿命参数估计方法。

对于传统锻造、轧制的钢、钛合金、铝合金等金属材料，大量的理论和试验研究表明，可以采用对数正态分布、Weibull分布等连续型随机变量模型描述其疲劳寿命分布，并提出了基于极大似然法、秩统计方法等分布参数估计方法。上述方法集中反应在GB/T24176与ISO 12107标准中，在上述标准中，推荐采用对数正态分布对疲劳寿命进行统计分析，其原理如下：

令随机变量X服从正态分布X～G(μ，σ²)。假设疲劳寿命Y＝10^X则Y服从对数正态分布，记为 Y～LG(μ，σ²)。其中μ为Y的对数期望，σ为Y的对数标准差，X的概率密度函数为

Y的概率密度函数为

其分布函数为

推荐采用极大似然估计法对参数μ，σ进行估计，其估计为：

近年来，增材制造技术受到了国内外的广泛关注，基于增材制造技术的钛合金金属材料/结构的应用也从次承力结构向主承力结构发展，其应用越来越普及。其中激光沉积成型技术是一种以激光为能量源的直接能量沉积增材制造技术，该技术通过激光熔化基体和同步送来的粉末，使粉末和基体形成冶金结构，并且在基体上逐层沉积成致密的零件。而钛合金普遍具有熔点高、加工性能差等特点，因此采用激光沉积成型技术加工钛合金零件具有潜在的应用价值。激光沉积成形钛合金是目前较为成熟的一种钛合金增材制造工艺。为了实现其在主承力结构上的应用，迫切需要开展激光沉积成形钛合金材料疲劳/断裂研究。

试验和理论研究表明：激光沉积成型工艺与传统机械加工方式完全不同，其独特的工艺特点使得材料 /结构在成型过程中会受到更多因素的影响，使得材料/结构内部不可避免地存在气孔、粉末熔化不良等缺陷。这些缺陷在零件内部随机分布，在交变载荷作用下，激光沉积成型材料会出现与传统材料不同的失效特点，与传统成熟工艺材料疲劳失效形式单一相比，激光沉积成型钛合金材料会出现两种主要的失效形式：一种是与传统材料相同的失效形式，一种是由于缺陷诱发裂纹而导致断裂的失效形式；这两种失效形式对应的材料寿命存在差异，造成了比传统材料更大的疲劳分散性，激光沉积成型钛合金材料疲劳寿命的统计分析是目前迫切需要解决的关键技术问题。试验结果表明，采用GB/T 24176与ISO 12107等标准中推荐的对数正态分布模型难以准确描述激光沉积成形金属材料的疲劳寿命分布，会造成疲劳寿命分布特性描述不准，进而造成特征参数估计不准，可靠寿命过低与实际情况不符的情况。因此，需要针对激光沉积成形钛合金材料疲劳失效特点和寿命分散性特点，有针对性的建立合适的疲劳寿命的统计分析方法，这对保障激光沉积成型钛合金材料/结构在交变载荷下的寿命可靠性具有非常重要的意义。

发明内容

本发明旨在提供一种基于双峰对数正态分布模型的疲劳寿命统计分析方法对激光沉积成型钛合金材料的疲劳寿命进行描述与分析。通过本方法的实施，可以准确的描述激光沉积成型钛合金材料疲劳寿命的分散性，合理的估计特征寿命。

本发明涉及一种基于双峰对数正态分布模型的疲劳寿命统计分析方法，具体包括：

(1)获取材料的疲劳寿命数据

按相关标准要求进行疲劳试验，获取疲劳寿命数据。

(2)建立基于双峰对数正态分布的疲劳寿命分布模型

设疲劳寿命为Y，Y为两个服从对数正态分布的随机变量Y₁、Y₂的线性加权，有：

式中，f_Y(y)，P_Y(y)分别表示Y的概率密度函数和分布函数，α表示权重，0≤α≤1，当α＝0或α＝1时， Y退化为普通的单峰对数正态分布。分别表示Y₁、Y₂的概率密度函数和分布函数。

对于Y₁、Y₂，有

式中，LG表示对数正态分布，其概率密度函数与分布函数见式(2)、式(3)。

由式(5)和可知，Y的分布可由5个参数α，μ₁，σ₁，μ₂，σ₂唯一确定，Y服从双峰对数正态分布，简记为Y～BLG(α，μ₁，μ₂，)。

(3)分布参数估计

采用如下方法对α，μ₁，σ₁，μ₂，σ₂进行估计：

1)将疲劳寿命样本按从小到大顺序进行排列，记为y_i(i＝1，…，n)，其中i为序号，n为总样本数；

2)按秩统计理论，疲劳寿命样本y_i(i＝1，…，n)的累积分布概率P_R的均秩估计量为：

3)将样本进行分类。按1)中排好的顺序，取前n₁个样本作为第一类样本，用随机变量Y₁表示，假设其出自一个母体；后(n-n₁)个样本出自另一个母体，为第二类样本，用随机变量Y₂表示；

4)令n₁从2依次取到n-2，对任意n₁值，分别用极大似然估计法估计两类样本的对数寿命期望和标准差，得到将第一类样本的样本量占总样本量的比例作为权重α的估计值。见式(8)，式中n₁，n₂表示Y₁、Y₂的样本数量，y_1i，y_2i分布表示Y₁、Y₂中第i个样本。

5)对某一n₁，将按4)中方法所求得的带入式(5)，依次计算y_i(i＝1，…，n)对应的分布函数，记为P(y_i)，根据式(9)计算n₁对应的分布函数残差平方和SSE(n₁)；

6)找出SSE最小值对应的n₁，该n₁值对应的即为Y～BLG(α，μ₁，μ₂，)中 5个待定参数的估计值。

7)计算对数寿命期望及对数寿命标准差

Y的对数寿命期望：

式中，X、X₁、X₂为服从正态分布的随机变量，且X＝1gY，X₁＝1g Y₁，X₂＝1g Y₂。

Y的对数寿命方差：

Y的对数寿命标准差：

根据式(10)和式(11)其对数寿命期望和方差的估计为：

(4)最小试件数检验

对于本发明提到的双峰对数正态分布，取误差为δ，置信度为γ，有：

第一类样本所需的最小试件数n′₁为

第一类样本所需的最小试件数n′₂为

全部样本所需最少有效试件数n′为

n′≥n′₁+n′₂ (15)

式中t_γ(n₁-1)、t_γ(n₂-1)分别表示自由度为n₁-1和n₂-2的t分布分位数。

若试验试件数满足式(13)、式(14)和式(15)的要求，则认为统计分析的结论有效；若不满足，则应补充试验，直至满足要求。

本发明与现有成熟方法相比，具有下列有益效果：

(1)采用本发明所述双峰对数正态分布模型可以更为准确的描述激光沉积成型钛合金材料的疲劳寿命分布，更符合激光沉积成型工艺特性对钛合金材料疲劳寿命的影响；

(2)采用本发明所述基于最小残差平方和SSE和极大似然法的分布参数估计方法可以快速、简便的估计激光沉积成型钛合金材料的疲劳寿命分布参数；

(3)采用本发明所述最小试件数检验方法，能采用最少试件数获得最为可靠的结果。

附图说明

图1激光沉积成型钛合金疲劳寿命统计分析方法实施流程图；

图2实施例1中所用试件图纸；

图3实施例1中疲劳寿命数据秩统计结果；

图4实施例1中频数直方图及两种分布模型的概率密度曲线；

图5实施例1中秩统计结果及两种分布模型的概率分布函数曲线。

具体实施方式

本发明激光沉积成型钛合金疲劳寿命统计分析方法的实施步骤如图1所示，具体包括如下步骤：

步骤1试验数据获取，按照相关标准要求加工试件、进行疲劳试验，获取疲劳寿命数据。

步骤2建立基于双峰对数正态分布的疲劳寿命统计分布模型。

步骤3进行分布参数估计，将疲劳寿命样本按从小到大的顺序排序，按式进行统计；令n₁从2依次取到n-2，前n₁个样本作为第一类样本，后n-n₁个样本作为第二类样本；按式(8)估计参数α，采用极大似然估计法估计其他分布参数；按式(9)计算n₁对应的残差平方和SSE，找出SSE最小时对应的n₁，n₁下估计到的即为Y～BLG(α，μ₁，μ₂，)中5个待定参数的估计值。

步骤4最小试件数检验，根据统计分布参数估计及分析结果，按式(13)、式(14)和式(15)要求进行最小试件数检验；若同时满足上述3式的要求，则认为符合最小试件数要求；若不同时满足，则应补充试验，重复步骤2-4中操作。

实施例1

步骤1疲劳寿命数据的获取。

采用如图2所示标准圆棒试件进行疲劳试验，试件材料为TA15钛合金，采用激光沉积成型工艺制造。试验采用单轴拉-拉载荷，应力水平820MPa，应力比R＝0.1。试验共得到22件有效试件，得到疲劳试验结果见表1。

表1疲劳试验结果

步骤2建立基于双峰对数正态分布的疲劳寿命统计分布模型。

假设有效试件的疲劳寿命N服从双峰对数正态分布，为方便表示，用随机变量Y表示，则有 Y～BLG(α，μ₁，μ₂，)，且：

以及

步骤3分布参数估计。

将疲劳寿命按从小到大顺序排列，并按式(7)进行秩统计，秩序统计结果见图3。取前n₁个样本作为第一类样本，假设其出自一个母体；后(22-n₁)个样本出自另一个母体，为第二类样本。令n₁从2依次取到22，对任意n₁值，用极大似然估计法分别估计两类样本的对数寿命期望和标准差，按式(8)估计参数α。按式(9) 计算n₁对应的SSE，找出SSE最小时对应的n₁，n₁下估计得到即为 Y～BLG(α，μ₁，μ₂，)中5个待定参数的估计值。本实施例中估计得到双峰对数正态分布的参数见表2，表中一并给出了n₁和此n₁对应的SSE。

表2双峰对数正态分布参数估计结果

n<sub>1</sub>	SSE	α	μ<sub>1</sub>	σ<sub>1</sub>	μ<sub>2</sub>	σ<sub>2</sub>
							13	0.032	0.591	4.62	0.156	5.27	0.209

按式(12)估计对数寿命期望和对数寿命标准差，估计结果见表3。

步骤4最小试件数检验。

按式(13)、式(14)和式(15)要求进行最小试件数检验，取δ＝5％，γ＝95％。从表4中可以看出，满足最小试件数要求。

表4最小试件数检验

	第一类样本	第二类样本	全体样本
				最小试件数n’	5	5	10
有效试件数n	13	9	22

下面通过与传统的对数正态分布模型对本例的统计分析结果的对比来说明本发明的效果：

根据式(4)估计对数正态分布的统计结果，并计算SSE，见表5，表中一并给出了双峰对数正态分布的对数寿命期望和对数寿命标准差，以方便比较；将22件有效试件的疲劳寿命数据的频数统计直方图、对数正态分布与双峰对数正态分布的概率密度函数绘制成图4，为使图中单位统一，对概率密度函数进行了坐标变换；将秩序统计结果与两种分布形式的概率分布函数绘制成图5。通过对以上图表进行分析，可以看出本发明所用双峰对数正态分布模型对激光沉积成型钛合金试件疲劳寿命分布的拟合情况明显优于传统对数正态分布。

表5对数正态分布参数估计结果

	μ	σ	SSE
				对数正态分布	4.885	0.371	0.107
双峰对数正态分布	4.886	0.367	0.032

以上仅为本发明的优选实施例，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种激光沉积成型钛合金疲劳寿命统计分析方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)获取疲劳寿命数据：按照相关标准要求进行标准试样的疲劳试验，获取疲劳寿命数据；

(2)建立双峰对数正态分布的疲劳统计分布模型：假设疲劳寿命服从双峰对数正态分布，用随机变量Y表示；

(3)双峰对数正态分布参数估计：采用秩统计、最小分布函数残差平方和(SSE)方法、最大似然估计法进行双峰对数正太分布的参数估计。

(4)最小试件数检验：根据统计分布参数估计及分析结果，进行最小试件数检验；若满足最小试件数要求，则结束；若不满足，则应补充试验，重复(2)-(4)中步骤。

2.如权利要求1所述的激光沉积成型钛合金疲劳寿命统计分析方法，其特征在于，所述双峰对数正态分布的原理如下：

设疲劳寿命为Y，Y为两个服从对数正态分布的随机变量Y₁、Y₂的线性加权，有：

式中，f_Y(y)，P_Y(y)分别表示Y的概率密度函数和分布函数，α表示权重，0≤α≤1，当α＝0或α＝1时，Y退化为普通的单峰对数正态分布。分别表示Y₁、Y₂的概率密度函数和分布函数。

Y的分布可由5个参数α，μ₁，σ₁，μ₂，σ₂唯一确定，Y服从双峰对数正态分布，简记为

3.如权利要求2所述的激光沉积成型钛合金疲劳寿命统计分析方法，其特征在于，所述对数正态分布参数估计方法的原理如下：

令随机变量X服从正态分布X～G(μ,σ²)。假设疲劳寿命Y＝10^X则Y服从对数正态分布，记为Y～LG(μ,σ²)。其中μ为Y的对数期望，σ为Y的对数标准差，其估计为：

X的概率密度函数

Y的概率密度函数

即

其分布函数为

4.如权利要求1所述的激光沉积成型钛合金疲劳寿命统计分析方法，其特征在于，所述双峰对数正态分布的参数估计方法，其具体方法如下：

(1)将疲劳寿命样本按从小到大顺序进行排列，记为y_i(i＝1,…,n)，其中i为序号，n为总样本数；

(2)按秩统计理论，疲劳寿命样本y_i(i＝1,…,n)的累积分布概率P_R的均秩估计量为：

(3)将样本进行分类。按(1)中排好的顺序，取前n₁个样本作为第一类样本，用随机变量Y₁表示，假设其出自一个母体；后(n-n₁)个样本出自另一个样本，为第二类样本，用随机变量Y₂表示；

(4)令n₁从2依次取到n-2，对任意n₁值，分别用极大似然估计法估计两类样本的对数寿命期望和标准差，得到将第一类样本的样本量占总样本量的比例作为权重α的估计值。见下式，中n₁,n₂表示Y₁、Y₂的样本数量，y_1i，y_2i分布表示Y₁、Y₂中第i个样本。

(5)对某一n₁，将按4)中方法所求得的带入下式，依次计算y_i(i＝1,…,n)对应的分布函数，记为P(y_i)，计算n₁对应的分布函数残差平方和SSE(n₁)；

(6)找出SSE最小值对应的n₁，该n₁值对应的即为中5个待定参数的估计值。

5.如权利要求1所述的激光沉积成型钛合金疲劳寿命统计分析方法，其特征在于，所述最小试件数检验方法，其方法如下：

对于本发明提到的双峰对数正态分布，取误差为δ，置信度为γ，有：

第一类样本所需的最小试件数n'₁为

第一类样本所需的最小试件数n'₂为

全部样本所需最少有效试件数n'为

n′≥n′₁+n′₂

式中t_γ(n₁-1)、t_γ(n₂-1)分别表示自由度为n₁-1和n₂-2的t分布分位数。

若试验试件数满足上述三式的要求，则认为统计分析的结论有效；若不满足，则应补充试验，直至满足要求。