CN110991001A - 一种基于单调回归理论的卷簧寿命评估方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供一种基于单调回归理论的卷簧寿命评估方法,具体的实施步骤如下:步骤一:基于单调回归理论修正倒挂数据;步骤二:卷簧应力松弛模型参数估计;步骤三:模型拟合优度检验;步骤四:卷簧寿命评估。本发明针对卷簧应力松弛试验数据,对初始试验数据中的倒挂现象进行修正,并运用最小二乘对卷簧应力松弛模型的参数进行估计,进而对卷簧应力松弛模型开展F‑检验、t‑检验以及相关系数检验,保证了应力松弛模型的适用性和卷簧寿命评估的准确性;本发明提出的方法计算简便,容易实现,且评估结果更加稳定,方便工程技术人员掌握使用,便于应用推广。
Description
技术领域
本发明提供一种基于单调回归理论的卷簧寿命评估方法,它是一种基于单调回归理论和F-检验、t检验以及相关系数检验理论的卷簧寿命评估方法。它针对卷簧应力松弛试验数据,通过单调回归理论中的相邻逆序量合并方法(ThePool-Adjacent-ViolatorsAlgorithm,简称PAVA方法)对倒挂数据进行修正,对卷簧应力松弛模型的参数进行最小二乘估计,并运用F-检验、t-检验以及相关系数检验理论验证卷簧应力松弛模型的适用性,最终完成评估卷簧寿命。本专利适用于产品寿命评估等相关技术领域。
背景技术
卷簧是一种由弹簧钢制作而成的涡卷式弹簧,它通过一端固定,另一端在扭矩作用下产生扭转,从而发生弹性形变,达到存储能力的目的。卷簧是机械陀螺等军用产品中重要的动力来源,而受应力松弛影响,卷簧的弹性性能会随着使用时间的增加而逐渐降低,从而直接影响到整个军用产品的运行状况。为了鉴定卷簧在使用过程中弹性性能的变化,需要对卷簧进行应力松弛试验并分析试验数据。
通常针对卷簧应力松弛试验的试验数据按如下方法进行分析:
记n为试验所用的卷簧数量,t=(t1,t2,…,tm)为m个检测时间点,Xi,j为第i个卷簧在检测时间点tj测量得到的力矩,其中,i=1,2,…,n,j=1,2,…,m。则计算得到第j次测量时所有样本的力矩平均值为:
从而得到数据:
其中,0<t1<t2<…<tm,且各次检测相互独立。
在实际工作中,受试验时间和试验成本等约束,试验样本量n不能取太大值,因此,试验结果受卷簧个体间差异性及测量误差的影响就会很大,有时会出现的情况,这与卷簧的弹性性能随时间增加而降低的特性不相符合,工程上称之为数据的倒挂,严重的倒挂现象会使计算结果产生很大的误差,极大影响卷簧弹性性能及寿命评估的结果。此外,工程应用中通常直接采用固定的卷簧应力松弛模型刻画卷簧弹性性能的变化情况,缺乏对模型适用性的统计检验,无法保证卷簧弹性性能及寿命评估结果的准确性。
基于此,本发明提出一种基于单调回归理论和F-检验、t-检验以及相关系数检验理论的卷簧寿命评估方法。
发明内容
(1)本发明的目的:
本发明针对卷簧在应力松弛试验中,由于试验样本量少而产生的一系列估计问题,提供一种基于单调回归理论的卷簧寿命评估方法,它是一种包含倒挂数据处理、卷簧应力松弛模型拟合、模型拟合优度检验、寿命估计的卷簧寿命评估方法。通过单调回归理论中的PAVA方法修正卷簧应力松弛试验数据,进而对卷簧应力松弛模型的参数进行最小二乘估计,并运用F-检验、t-检验以及相关系数检验理论验证应力松弛模型的适用性,最终评估卷簧在给定失效阈值下的寿命。
(2)技术方案:
基于上述理论和思路,本发明提供一种基于单调回归理论的卷簧寿命评估方法,具体的实施步骤如下:
步骤一:基于单调回归理论修正倒挂数据
②设置初始值:j=1,l=1;
③如果j<m,则执行以下过程:
至此,完成倒挂数据的修正;
步骤二:卷簧应力松弛模型参数估计
工程中,常用的卷簧应力松弛模型为:
S(x)=alnx+b (5)
式中,x代表卷簧的使用时间,S(x)代表卷簧在x时刻的力矩值,a、b为模型参数;
根据修正后的卷簧弹性性能变化数据,使用最小二乘估计方法,开展卷簧应力松弛模型(5)的参数估计,其开展过程如下:
令β=(a,b)T表示由卷簧应力松弛模型(5)中未知参数构成的向量,则基于最小二乘估计原理和修正后的弹性性能变化数据,得参数的估计结果为:
式中
步骤三:模型拟合优度检验
完成卷簧应力松弛模型的建立与参数估计后,需要基于统计假设检验思想对模型的拟合优度进行检验,以判断卷簧应力松弛模型是否适用于刻画卷簧弹性性能变化;统计中用于检验一元线性回归模型合理性的方法主要有F-检验法,t-检验法及相关系数检验法,针对卷簧应力松弛模型,三种检验方法的具体实施过程如下:
①F-检验法
F-检验法基于方差分析的思想,通过对比回归模型与误差对数据波动的影响大小来判断回归模型的合理性;事实上,检验卷簧应力松弛模型是否合理等价于检验卷簧应力松弛模型(5)中参数a是否显著;当a≠0,那么卷簧力矩随使用时间的变化作线性变化,则所得卷簧应力松弛模型显著;因此,构建检验问题为:
H0:a=0 vs H1:a≠0 (7)
其中,H0:a=0称为原假设,H1:a≠0称为备择假设;沿用上述记号,以表示卷簧在tj时刻的平均力矩,以表示用卷簧应力松弛模型(5)估计出的卷簧在tj时刻的平均力矩,即则称为卷簧应力松弛模型在tj处的残差;因此,得卷簧应力松弛模型(5)所对应的平方和分解公式为:
因此,得检验问题(7)的F-检验统计量为:
F=(m-2)·SR/Se (9)
当a=0时,F-检验统计量服从自由度为(1,m-2)的F-分布,
即,F~F(1,m-2);对于给定的显著性水平α,拒绝原假设H0:a=0的拒绝域为:
F>F1-α(1,m-2) (10)
式中,F1-α(1,m-2)表示自由度为(1,m-2)的F-分布的(1-α)分位数;因此,当F-检验统计量(9)的值大于F1-α(1,m-2)时,认为模型参数a显著,即卷簧应力松弛模型适用;
②t-检验法
与F-检验法类似,t-检验法同样通过检验模型参数a显著性来判断卷簧应力松弛模型是否合理;针对检验问题(7),构建t-检验统计量为:
当a=0时,t-检验统计量服从自由度为m-2的t-分布,即,t'~t(m-2);对于给定的显著性水平α,拒绝原假设H0:a=0的拒绝域为:
|t'|>t1-α/2(m-2) (12)
式中,t1-α/2(m-2)表示自由度为m-2的t-分布的(1-α/2)分位数;因此,当t-检验统计量(11)的绝对值大于t1-α/2(m-2)时,认为模型参数a显著,即卷簧应力松弛模型适用;
③相关系数检验法
相关系数检验法通过卷簧的平均力矩与使用时间的对数lntj(j=1,2,…,m)之间的相关系数ρ来检验卷簧应力松弛模型是否合理,当ρ≠0,那么卷簧力矩随使用时间的变化作线性变化,则所得卷簧应力松弛模型显著;因此,它的检验问题为:
H0:ρ=0 vs H1:ρ≠0 (13)
其中,H0:ρ=0称为原假设,H1:ρ≠0称为备择假设;所用的相关系数检验统计量为:
对于给定的显著性水平α,拒绝原假设H0:ρ=0的拒绝域为:
式中,F1-α(1,m-2)表示自由度为(1,m-2)的F-分布的(1-α)分位数;因此,当相关系数检验统计量r的值满足(15)时,认为相关系数ρ显著,即卷簧应力松弛模型适用;
步骤四:卷簧寿命评估
当卷簧应力松弛模型通过上述三种模型拟合优度检验方法后,即认为所估计的卷簧应力松弛模型能很好的刻画卷簧弹性性能的变化情况,进而能基于卷簧应力松弛模型对卷簧寿命开展评估,其过程如下:
设给定的卷簧失效阈值为D,即当卷簧的平均力矩低于D时,认为卷簧无法提供足够的动力保证产品的正常运行,则得卷簧的寿命为:
(3)优点和功效:
本发明一种基于单调回归理论的卷簧寿命评估方法,其优点为:
①本发明针对卷簧应力松弛试验数据,根据单调回归理论中的PAVA方法对初始试验数据中的倒挂现象进行修正,并运用最小二乘对卷簧应力松弛模型的参数进行估计,进而对卷簧应力松弛模型开展F-检验、t-检验以及相关系数检验,保证了应力松弛模型的适用性和卷簧寿命评估的准确性。
②本发明提出的方法计算简便,容易实现,且评估结果更加稳定,方便工程技术人员掌握使用,便于应用推广。
附图说明
图1是本发明所述方法的流程图。
具体实施方式
下面以某型机械陀螺产品中使用的某型卷簧为例,结合附图1,对本发明做进一步详细说明。
在某次卷簧应力松弛试验中,8个卷簧通过一端固定,扭转另一端使其保持在稳定的弹性形变状态下,试验过程中通过对该8个卷簧的力矩进行测量以获得卷簧弹性性能变化数据。试验共历时8天,其中,每天在相同的时间对8个卷簧的力矩进行测量,综合得到8天的试验数据结果,如表1所示:
表1某型卷簧应力松弛试验数据
从表1中平均力矩的数据结果能看到,第6天的平均力矩高于第5天的平均力矩,第8天的平均力矩高于第7天的平均力矩,出现了数据倒挂现象,这与卷簧的弹性性能随时间增加而降低的特性不相符合。
因此,本发明提出一种基于单调回归理论的卷簧寿命评估方法,操作流程见图1所示,其具体步骤如下:
步骤一:基于单调回归理论修正倒挂数据
计算结果如表2所示:
表2卷簧平均力矩修正前后对比
时间(天) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
平均力矩(牛.米) | 1.711 | 1.69 | 1.678 | 1.67 | 1.659 | 1.669 | 1.65 | 1.66 |
修正后平均力矩(牛.米) | 1.711 | 1.69 | 1.678 | 1.67 | 1.664 | 1.664 | 1.655 | 1.655 |
步骤二:卷簧应力松弛模型参数估计
S(t)=-0.02712×lnt+1.709 (17)
步骤三:模型拟合优度检验
为验证所得到的卷簧应力松弛模型(17)在刻画该型卷簧弹性性能变化情况的合理性,需开展基于F-检验、t-检验和相关系数检验的模型拟合优度检验。基于F-检验统计量(9)、t-检验统计量(11)和相关系数检验统计量(14)的计算公式,计算得到各统计量值,结果如表3所示。此外,取显著性水平α=0.05,查表得F1-α(1,m-2)=5.99和t1-α/2(m-2)=2.45,将其与各统计量值作比较,结果如表3所示:
表3卷簧应力松弛模型显著性检验结果
统计量 | 统计量值 | 拒绝域 | 是否拒绝原假设 |
F-检验统计量 | 534.5 | (5.99,+∞) | 拒绝 |
t-检验统计量 | -23.12 | (-∞,-2.45)(2.45,+∞) | 拒绝 |
相关系数检验统计量 | -0.9944 | (-∞,-0.7068)(0.7068,+∞) | 拒绝 |
从表3的检验结果能看到,所有的统计量值都落入到各自所对应的拒绝域内,说明检验问题(7)和检验问题(13)中的原假设不成立,因此认为在显著性水平为α=0.05的条件下,卷簧应力松弛模型是显著的,即所得到的卷簧应力松弛模型(17)能较好的刻画该型卷簧弹性性能变化情况。
步骤四:卷簧寿命评估
在卷簧应力松弛模型(17)通过显著性检验后,即能根据卷簧失效阈值及式(16)开展卷簧寿命评估。根据工程经验,确定该型卷簧的失效阈值为D=1.47,即当卷簧的力矩低于1.47(牛.米)时,认为该型卷簧无法提供足够的动力保证产品的正常运行,根据步骤二所得参数估计值与式(16),得到该型卷簧的寿命为:
L=exp[(1.709-D)/0.02712]≈6719 (18)
因此,基于上述计算评估得该型卷簧的寿命为6719天。
综上所述,本发明涉及一种基于单调回归理论和F-检验、t检验以及相关系数检验理论的卷簧寿命评估方法。它针对卷簧应力松弛试验数据,通过单调回归理论中的PAVA方法修正初始数据中的倒挂数据,对卷簧应力松弛模型的参数进行最小二乘估计,并运用F-检验、t-检验以及相关系数检验理论验证应力松弛模型的适用性,最终评估卷簧寿命,从而保证卷簧寿命评估结果的准确性。
Claims (1)
1.一种基于单调回归理论的卷簧寿命评估方法,其特征在于:具体的实施步骤如下:
步骤一:基于单调回归理论修正倒挂数据
②设置初始值:j=1,l=1;
③如果j<m,则执行以下过程:
至此,完成倒挂数据的修正;
步骤二:卷簧应力松弛模型参数估计
卷簧应力松弛模型为:
S(x)=alnx+b·············(4)
式中,x代表卷簧的使用时间,S(x)代表卷簧在x时刻的力矩值,a、b为模型参数;
根据修正后的卷簧弹性性能变化数据,使用最小二乘估计方法,开展卷簧应力松弛模型(5)的参数估计,其开展过程如下:
令β=(a,b)T表示由卷簧应力松弛模型(5)中未知参数构成的向量,则基于最小二乘估计原理和修正后的弹性性能变化数据,得到参数的估计结果为:
式中
步骤三:模型拟合优度检验
完成卷簧应力松弛模型的建立与参数估计后,需要基于统计假设检验思想对模型的拟合优度进行检验,判断卷簧应力松弛模型是否适用于刻画卷簧弹性性能变化;统计中用于检验一元线性回归模型合理性的方法有F-检验法,t-检验法及相关系数检验法,针对卷簧应力松弛模型,三种检验方法的具体实施过程如下:
①F-检验法
F-检验法基于方差分析的思想,通过对比回归模型与误差对数据波动的影响大小来判断回归模型的合理性;检验卷簧应力松弛模型是否合理等价于检验卷簧应力松弛模型(5)中参数a是否显著;当a≠0,那么卷簧力矩随使用时间的变化作线性变化,则所得卷簧应力松弛模型显著;因此,构建检验问题为:
H0:a=0 vs H1:a≠0··········(6)
其中,H0:a=0称为原假设,H1:a≠0称为备择假设;沿用上述记号,以表示卷簧在tj时刻的平均力矩,以表示用卷簧应力松弛模型(5)估计出的卷簧在tj时刻的平均力矩,即则称为卷簧应力松弛模型在tj处的残差;因此,得卷簧应力松弛模型(5)所对应的平方和分解公式为:
因此,得检验问题(7)的F-检验统计量为:
F=(m-2)·SR/Se············(8)
当a=0时,F-检验统计量服从自由度为(1,m-2)的F-分布,即,F~F(1,m-2);对于给定的显著性水平α,拒绝原假设H0:a=0的拒绝域为:
F>F1-α(1,m-2)············(9)
式中,F1-α(1,m-2)表示自由度为(1,m-2)的F-分布的(1-α)分位数;因此,当F-检验统计量(9)的值大于F1-α(1,m-2)时,认为模型参数a显著,即卷簧应力松弛模型适用;
②t-检验法
与F-检验法类似,t-检验法同样通过检验模型参数a显著性来判断卷簧应力松弛模型是否合理;针对检验问题(7),构建t-检验统计量为:
当a=0时,t-检验统计量服从自由度为m-2的t-分布,即,t'~t(m-2);对于给定的显著性水平α,拒绝原假设H0:a=0的拒绝域为:
|t'|>t1-α/2(m-2)············(11)
式中,t1-α/2(m-2)表示自由度为m-2的t-分布的(1-α/2)分位数;因此,当t-检验统计量(11)的绝对值大于t1-α/2(m-2)时,认为模型参数a显著,即卷簧应力松弛模型适用;
③相关系数检验法
相关系数检验法通过卷簧的平均力矩与使用时间的对数lntj之间的相关系数ρ来检验卷簧应力松弛模型是否合理,当ρ≠0,那么卷簧力矩随使用时间的变化作线性变化,则所得卷簧应力松弛模型显著;因此,它的检验问题为:
H0:ρ=0 vs H1:ρ≠0·········(12)
其中,H0:ρ=0称为原假设,H1:ρ≠0称为备择假设;所用的相关系数检验统计量为:
对于给定的显著性水平α,拒绝原假设H0:ρ=0的拒绝域为:
式中,F1-α(1,m-2)表示自由度为(1,m-2)的F-分布的(1-α)分位数;因此,当相关系数检验统计量r的值满足(15)时,认为相关系数ρ显著,即卷簧应力松弛模型适用;
步骤四:卷簧寿命评估
当卷簧应力松弛模型通过上述三种模型拟合优度检验方法后,即认为所估计的卷簧应力松弛模型能很好的刻画卷簧弹性性能的变化情况,进而能基于卷簧应力松弛模型对卷簧寿命开展评估,其过程如下:
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