CN109145382B - 一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法，包括以下步骤：步骤1、分别对n个装载机驱动桥样件进行疲劳寿命实验，得到n个实验数据；步骤2、根据步骤1所得的n个试验数据建立GM模型，再通过GM灰色预测法将步骤1所得的n个原始实验数据扩充至m+n个样本数据，得到试验样本X；步骤3、利用Bootstrap方法求出步骤2中得到的试验样本X的寿命平均值u_Y和标准差σ；步骤4，根据步骤3所得的试验样本的寿命平均值u_Y和标准差σ求得75％置信度对应的试验样本的寿命平均值u_Y的下限值u_Ymin；步骤5，根据步骤4中所得的下限值u_Ymin计算得到装载机驱动桥的可靠性指标；本发明能够有效运用获取的少量样本对概率密度函数进行估计，解决了具有小样本特性的装载机驱动桥可靠性分析的难题。

Description

一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法

技术领域

本发明属于机械产品可靠性评估技术领域，具体涉及一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法。

背景技术

装载机属于铲土运输机械类，是一种用途非常广泛的工程机械，可用于装卸、搬运、平整物料及轻度的铲掘作业，广泛应用于建筑、矿山、公路、铁路、水电、国防工程及城市基础建设中。

装载机作业时：驱动桥将变速器输出轴传来的转矩进一步增大，转速进一步降低，以克服车轮的阻力，同时将输入的动力改变90°方向传给车轮；驱动桥通过差速器解决左右车轮的差速问题，以便利于转向和减少轮胎的磨损；所受到的各种载荷通过驱动桥传到车轮上，同时驱动桥也将车轮所受到的牵引阻力、制动阻力和侧向阻力传给机架。因此装载机驱动桥的疲劳耐久性直接关系到装载机的工作性能和工作效率,对驱动桥的强度及可靠性研究也具有非常重要的意义。

但是由于时间和经费的限制，装载机驱动桥的疲劳寿命试验不能取大量试件进行实验。而小样本数据无法满足机械结构的可靠性统计分析要求，因此对于小子样下机械构件的可靠性分析国内外研究者做了相关工作：文献1“高镇同.疲劳可靠性[M].北京航空航天大学出版社,2000”利用分散系数法对疲劳可靠性进行了研究。文献2“Madsen HO.Bayesian Fatigue Life Prediction[J].1985.”用贝叶斯线性回归分析和类似的先验信息，采用一阶和二阶可靠性方法，然后用回归参数的后验分布进行疲劳寿命预测。

但是，分散系数法一般用于机群安全寿命的评估，Bayes方法受验前平均寿命估计值影响较大。Bootstrap方法避免了半经验评估法和Bayes法需要对总体对数寿命均值分布的假定，通过足够多的有放回模拟再抽样，减少了人为因素的影响。Bootstrap方法通常适用于样本量n≥10的小子样试验评估，对于n＝1～3的极小子样并不适用；而装载机驱动桥作为工程机械关键零部件，进行足尺疲劳试验成本高且子样数极少，一般为1～3个件。

发明内容

本发明的目的在于提供一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法，解决了装载机驱动桥的子样少不适用现有的试验方法进行可靠性评估的缺陷。

为了达到上述目的，本发明采用的技术方案是：

本发明提供的一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法，包括以下步骤：

步骤1、分别对n个装载机驱动桥样件进行疲劳寿命实验，得到n个实验数据，其中，n≤3；

步骤2、根据步骤1所得的n个试验数据建立GM模型，再通过GM灰色预测法将步骤1所得的n个原始实验数据扩充至m+n个样本数据，得到试验样本X；

步骤3、利用Bootstrap方法求出步骤2中得到的试验样本X的寿命平均值u_Y和标准差σ；

步骤4，根据步骤3所得的试验样本的寿命平均值u_Y和标准差σ求得75％置信度对应的试验样本的寿命平均值u_Y的下限值u_Ymin；

步骤5，根据步骤4中所得的下限值u_Ymin计算得到装载机驱动桥的可靠性指标。

优选地，步骤2中，建立GM(1,1,k)模型的具体方法是：

首先，由步骤1所得的3组实验数据组成原始序列x⁽⁰⁾：x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),...,x⁽⁰⁾(n)}；

其次，对原始序列x⁽⁰⁾进行一次累加得到数列x⁽¹⁾：x⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),...,x⁽¹⁾(n)}；

接着，对数列x⁽¹⁾建立微分方程，由微分方程得到GM(1,1,k)模型的数学表达式：

式中,m＝0,1,2...S，S为预测个数；a为发展系数；u为灰色作用量；其中，

y_n＝[x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),...,x⁽⁰⁾(n)]^T；

最后，对GM(1,1,k)模型的数学表达式进行累减还原，得到原始序列预测值公式：

优选地，对GM(1,1,k)模型进行优化，得到GM(1,1,k^*)优化模型，具体地方法是：将残差平方和与平均相对误差值都最小时对应的k作为GM(1,1,k^*)优化模型中的k^*的取值。

优选地，由GM(1,1,k^*)优化模型将原始的实验数据扩充至m+n个样本数据的具体方法是：

首先，将最优k^*对应的的a,u值代入原始序列预测值公式中可得m个预测结果值：

最后，将原始的n个试验数据与预测得到的m个数据合并得到m+n个样本数据X，即

优选地，步骤5中，可靠性指标包括可靠度与疲劳寿命之间的函数关系、失效概率密度与疲劳寿命之间的函数关系、失效率与疲劳寿命之间的函数关系、可靠寿命和平均寿命，其中：

可靠度与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

失效概率密度与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

失效率与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

其中，t是疲劳寿命值，

驱动桥的可靠寿命计算公式：

平均寿命计算公式:

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

本发明提供的一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法，基于GM灰色模型和Bootstrap原理，能够有效运用获取的少量样本对概率密度函数进行估计，解决了具有小样本特性的装载机驱动桥可靠性分析的难题，同时，本发明的装载机驱动桥可靠性评估方法也适用于其他不易获得大量样本的机械产品的可靠性分析。

附图说明

图1是本发明实施例的工作流程图；

图2是本发明实施例中建立GM(1,1,k)模型流程图；

图3是本发明实施例中样本数据累加后趋势图；

图4是本发明实施例中利用Bootstrap方法对扩充样本进行1000次抽样后得到的样本均值直方图以及正态分布拟合曲线；

图5是本发明实施例中利用Bootstrap方法对扩充样本进行1000次抽样后得到的样本方差直方图以及正态分布拟合曲线；

图6是本发明实施例中利用Bootstrap方法对扩充样本进行10000次抽样后得到的样本均值直方图以及正态分布拟合曲线；

图7是本发明实施例中利用Bootstrap方法对扩充样本进行10000次抽样后得到的样本方差直方图以及正态分布拟合曲线；

图8是本发明实施例中利用Bootstrap方法对扩充样本进行100000次抽样后得到的样本均值直方图以及正态分布拟合曲线；

图9是本发明实施例中利用Bootstrap方法对扩充样本进行100000次抽样后得到的样本方差直方图以及正态分布拟合曲线；

图10是本发明实施例中在置信水平γ＝75％时，驱动桥的可靠度和疲劳寿命之间的关系图；

图11是本发明实施例中在置信水平γ＝75％时，驱动桥的失效概率密度与疲劳寿命之间的关系图；

图12是本发明实施例中在置信水平γ＝75％时，驱动桥的失效率与疲劳寿命之间的关系图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明进一步详细说明。

如图1所示，本发明提供的一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法，包括以下步骤：

步骤1、分别对n个装载机驱动桥样件进行疲劳寿命实验，得到n个实验数据，其中，n≤3；

步骤2、根据步骤1所得的n个试验数据建立GM模型，再通过GM灰色预测法将步骤1所得的n个原始实验数据扩充至m+n个样本数据，得到试验样本X；

步骤3、利用Bootstrap方法求出步骤2中得到的试验样本X的寿命平均值u_Y和标准差σ；

步骤4，根据步骤3所得的试验样本的寿命平均值u_Y和标准差σ求得75％置信度对应的试验样本的寿命平均值u_Y的下限值；

步骤5，根据步骤4中所得的下限值u_Ymin计算得到装载机驱动桥的可靠性指标。

本发明的装载机驱动桥可靠性评估方法基于GM灰色模型和Bootstrap原理，能够有效运用获取的少量样本对概率密度函数进行估计，解决了具有小样本特性的装载机驱动桥可靠性分析的难题，同时，本发明的装载机驱动桥可靠性评估方法也适用于其他不易获得大量样本的机械产品的可靠性分析。

一种装载机驱动桥可靠性的评估方法，包括以下步骤：

步骤1，由实验分别测得n个装载机驱动桥样本的疲劳寿命实验数据，得到n个实验数据；

步骤2、通过步骤1所得的n个试验数据建立GM(1,1,k)模型：

由步骤1所得的n个实验数据组成原始序列x⁽⁰⁾：x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),...,x⁽⁰⁾(n)}，对无规律可循的非负原始序列x⁽⁰⁾通过式(1)进行一次累加得到数列x⁽¹⁾，即x⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),...,x⁽¹⁾(n)}：

其中，n为原始实验样本数；x⁽⁰⁾(n)为第n个试验数据；x⁽¹⁾(n)为对x⁽⁰⁾(n)进行累加后得到的第n个数据。

数学证明,累加生成可使任意非负数列转化为保持x⁽⁰⁾信息的单调递增数列,这使得预测有规律可循；同时，累加生成具有概率意义,由实际问题可知,累加生成具有统计意义,且累加的规律性由发掘原始信息的内涵而得,保持了与原始信息的关联性。

对x⁽¹⁾可建立如下微分方程：

根据微分方程(2)得到GM(1,1,k)模型的数学表达式

式中,m＝0,1,2...S，S为预测个数，而当m＝0时：

即第一个预测值与原始样本第一个值相等，因此从第二个预测值开始取,即m＝1时开始取；a为发展系数,反应了序列的发展态势，u为灰色作用量,它的大小及变化反应了数据和行为模式的变化关系，在系统中相当于作用量；a、u可用最小二乘法求得，即:

y_n＝[x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),...,x⁽⁰⁾(n)]^T (6)

将式(4)代入式(3)即可得GM(1,1,k)模型数学表达式

其中，由于k的取值将会影响灰色预测模型的精度，因此，有必要对k进行优化，优化方法参见步骤3。

当m＝0时，由式(3)可得：

当m＝1,2,3…时，将式(3)通过式(7)进行累减还原，得到原始序列预测值

的表达式，即公式(8)：

优选地，对GM(1,1,k)模型进行优化，得到GM(1,1,k^*)优化模型。通过式(5)可知，k的取值将会影响

值，即当k在0-1区间取不同值时，

的值不同，进而影响灰色预测模型的精度，具体地：

k取不同参数时，相对于原始试验数据对应的预测值见表1；其中，将残差平方和与平均相对误差值都最小时对应的k作为GM(1,1,k^*)优化模型中的k^*的取值：

表1

由GM(1,1,k^*)优化模型将实验数据扩充至m+n个；

将最优k^*对应的的a,u值代入原始序列预测值

中可得m个预测结果值：

将原始的n个试验数据与预测得到的m个数据合并得到m+n个样本数据X，即

步骤3、将步骤2得到样本数据

利用Bootstrap方法进行处理，得到样本数据X的寿命平均值u_Y和标准差σ。

步骤4、根据步骤3所得的样本数据的寿命平均值u_Y和标准差σ求得75％置信度对应的样本数据的寿命平均值u_Y的下限值u_Ymin，

步骤5、根据步骤4所得到的下限值u_Ymin代入公式(9)-(14)中，得到装载机驱动桥的可靠性指标，可靠性指标包括可靠度与疲劳寿命之间的函数关系、失效概率密度与疲劳寿命之间的函数关系、失效率与疲劳寿命之间的函数关系、可靠寿命和平均寿命，具体如下：

可靠度与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

失效概率密度与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

失效率与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

其中，t是疲劳寿命值，

驱动桥的可靠寿命计算公式：

平均寿命计算公式:

利用半经验法计算出75％置信度下装载机驱动桥的疲劳寿命，具体地：把正态分布变量转换为标准正态分布随机变换Z，即：

式中:

其中，T₀为平均寿命，

为平均寿命的对数值，σ_Y为对数裂纹形成寿命的标准差。

75％置信度的下限值Z_low可由Φ(Z_low)＝γ得出，其中γ＝0.75，可得Z_low＝-1.1504。由公式：

将步骤5结果与半经验法结果进行对比，证明GM预测模型与Bootstrap方法相结合进行装载机驱动桥的可靠性评估的可行性。

实施例1

一种装载机驱动桥可靠性的评估方法，包括以下步骤：

1)由实验分别测得装载机驱动桥的3个疲劳寿命分别为x⁽⁰⁾(1)＝4.596335，x⁽⁰⁾(2)＝4.62608，x⁽⁰⁾(3)＝4.61471；

2)建立GM(1,1,k)模型，如图2、图3所示；

由原始序列：x⁽⁰⁾＝{39476.16,42275.04,41181.92}，对无规律可循的非负原始序列x⁽⁰⁾通过式(1)：

进行一次累加得：x⁽¹⁾＝{39476.16,81751.2,122933.12}。

其中：n为实验数据总数，本例中n＝3。

数学证明,累加生成可使任意非负数列转化为保持x⁽⁰⁾信息的单调递增数列,

这使得预测有规律可循。同时,累加生成具有概率意义,由实际问题可知,累加生成具有统计意义,且累加的规律性由发掘原始信息的内涵而得,保持了与原始信息的关联性。

对x⁽¹⁾可建立如下微分方程：

即GM(1,1)模型，其解为：

式中,m＝0,1,2...S，S为预测个数，而当m＝0时：

即第一个预测值与原始样本第一个值相等，因此从第二个预测值开始取，即m＝1时开始取。本例中需7个预测值，所以S取值为7。a为发展系数,反应了序列的发展态势，u为灰色作用量,它的大小及变化反应了数据和行为模式的变化关系，在系统中相当于作用量。a，u可用最小二乘法求得，即:

y_n＝[42275.04,41181.92]^T (6)

将式(4)代入式(3)即可得GM(1,1,k^*)模型。k的取值将会影响灰色预测模型的精度。因此，有必要对k进行优化。

当m＝0时，由式(3)可得：

当m＝1,2,3…时，由式(3)经式(7)累减还原，得到原始序列预测值式(8)

对GM(1,1,k)模型进行优化，得到GM(1,1,k^*)优化模型

根据前文所述灰色模型预测方法，求得当k在0-1区间取不同值时的

值。

当k＝0.4时：

当k＝0.5时：

当k＝0.6时：

k取不同参数时其相对于原始数据预测值见表1。

由表1可知,所有方差比C都小于0.35，且0.6475S₁＝0.6475×0.021226＝0.01432，而所有

都小于0.01432，故小误差概率：

根据灰色模型预测等级对照表1知P≥0.95，C＜0.35时表示预测等级为优。因此由表2可知三组预测数据都满足等级为优的要求，取残差平方和与平均相对误差值都最小时，即当k＝k^*＝0.4时作为全局最优。

表2

P	C	模型精度
			>0.95	<0.35	优
>0.80	<0.50	合格
			>0.70	<0.65	勉强合格
<0.70	>0.65	不合格

将k^*＝0.4时求得的a，u值代入公式(8)可得：

即：

3)由GM优化模型将3个实验数据扩充至10个；

通过上述公式解得预测7个结果值：{4.626687，4.615135，4.603612，4.592116，4.580651，4.569213，4.557804}。

预测得到的7个数据加上原始3个试验数据即得到10个数据：

X＝{4.596335，4.62608,4.61471,4.626687，4.615135，4.603612，4.592116，4.580651，4.569213，4.557804}。

4)将3)得到样本数据X＝{4.596335，4.62608,4.61471,4.626687，4.615135，4.603612，4.592116，4.580651，4.569213，4.557804}，利用Bootstrap方法处理样本数据，求出样本均值的估计值：对上述由三个试验样本数据经GM法扩展得到10个数据样本X进行随机重复抽样，抽样次数为1000，10000,100000次数据的平均值和方差与正态曲线的拟合情况如图4-图9所示。

由图4-图9可以看出抽样后结果都服从正态分布，随着抽样次数的增多，其正态分布曲线与直方图的拟合精度越高。由图8、图9可以看出抽样100000次时其结果服从N(4.598,0.145²)的正态分布，和原始样本的平均值4.6125基本一致，说明本文中GM(1,1,k)-Bootstrap组合方法可以有效继承原始数据的基本统计特征。

取α＝0.25以满足双侧75％的置信水平，μ对应置信区间为[4.4312,4.7648]。

5)由Bootstrap方法得出的75％置信度对应的试验寿命均值的下限为26989.82h，具体如表3，表3

利用半经验法计算出75％置信度下装载机驱动桥的疲劳寿命均值的下限为28115.6h。两种评估方法的结果误差为3.11％，所以充分证明GM预测模型与Bootstrap方法相结合进行装载机驱动桥的可靠性评估是可行的。

将置信度γ＝0.75的置信下限4.4312代入对数正态分布的相关函数表达式，可得装载机驱动桥的可靠性指标如下：

可靠度与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

失效概率密度与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

失效率与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

其中，t是疲劳寿命值，

驱动桥的可靠寿命:

平均寿命为:

综上所述，可由公式(10)、(12)、(13)绘制75％置信度下装载机驱动桥的可靠度函数曲线，失效概率密度函数曲线和失效率函数曲线如图10-图12所示。

本说明书实施例所述的内容仅仅是对发明构思的实现形式的列举，本发明的保护范围不应当被视为仅限于实施例所陈述的具体形式，本发明的保护范围也包括本领域技术人员根据本发明构思所能够想到的等同技术手段。

Claims (5)

1.一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、分别对n个装载机驱动桥样件进行疲劳寿命实验，得到n个实验数据，其中，n≤3；

步骤2、根据步骤1所得的n个试验数据建立GM模型，再通过GM灰色预测法将步骤1所得的n个原始实验数据扩充至m+n个样本数据，得到试验样本X；

步骤3、利用Bootstrap方法求出步骤2中得到的试验样本X的寿命平均值u_Y和标准差σ；

步骤4，根据步骤3所得的试验样本的寿命平均值u_Y和标准差σ求得75％置信度对应的试验样本的寿命平均值u_Y的下限值u_Ymin；

步骤5，根据步骤4中所得的下限值u_Ymin计算得到装载机驱动桥的可靠性指标。

2.根据权利要求1所述的一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法，其特征在于，步骤2中，建立GM(1,1,k)模型的具体方法是：

首先，由步骤1所得的n个实验数据组成原始序列x⁽⁰⁾：x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),...,x⁽⁰⁾(n)}；

其次，对原始序列x⁽⁰⁾进行一次累加得到数列x⁽¹⁾：x⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),...,x⁽¹⁾(n)}；

接着，对数列x⁽¹⁾建立微分方程，由微分方程得到GM(1,1,k)模型的数学表达式：

式中,m＝0,1,2...S，S为预测样本个数；a为发展系数；u为灰色作用量；其中，

y_n＝[x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),...,x⁽⁰⁾(n)]^T；

最后，对GM(1,1,k)模型的数学表达式进行累减还原，得到原始序列预测值公式：

3.根据权利要求2所述的一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法，其特征在于，对GM(1,1,k)模型进行优化，得到GM(1,1,k^*)优化模型，具体地方法是：将残差平方和与平均相对误差值都最小时对应的k作为GM(1,1,k^*)优化模型中的k^*的取值。

4.根据权利要求3所述的一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法，其特征在于，由GM(1,1,k^*)优化模型将原始的n个实验数据扩充至m+n个样本数据的具体方法是：

首先，将最优k^*对应的a,u值代入原始序列预测值公式中可得m个预测结果值：

最后，将原始的n个试验数据与预测得到的m个数据合并得到m+n个样本数据X，即

5.根据权利要求1所述的一种装载机驱动桥小子样可靠性的评估方法，其特征在于，步骤5中，可靠性指标包括可靠度与疲劳寿命之间的函数关系、失效概率密度与疲劳寿命之间的函数关系、失效率与疲劳寿命之间的函数关系、可靠寿命和平均寿命，其中：

可靠度与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

失效概率密度与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

失效率与疲劳寿命之间的函数关系表达式：

其中，t是疲劳寿命值，

驱动桥的可靠寿命计算公式：

平均寿命计算公式:

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