CN109039189A - 基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制系统及方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制系统及方法。本发明的方法包括如下步骤：步骤一：根据无差拍控制思想获得参考电压矢量；步骤二：通过参考电压矢量的位置角快速筛选出三个电压矢量，包括两个非零矢量和一个零矢量，作为备选矢量；步骤三：利用几何法从三个备选矢量中选择出两个电压矢量，并计算出对应的占空比；步骤四：将选择的两电压矢量及占空比转化为对应的开关序列，并经逆变器输出最优电压至永磁同步电机。本发明能有效提高永磁同步电机的稳态性能，且相比于传统的基于解析法的两矢量模型预测控制系统更易于理解，并易于扩展到多相电机控制中。

Description

基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制系统及方法

技术领域：

本发明涉及一种基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制系统及方法，属于控制技术领域。

背景技术：

与电励磁电机相比，永磁电机具有结构简单、体积小、质量轻、损耗小、效率高等显著特点，在工农业生产、航天航空、国防装备和家用电器中得到广泛应用，对永磁电机的控制性能要求也越来越高，因此永磁电机的控制技术也在快速发展。近年来，模型预测控制由于原理简单、易于处理系统非线性约束等优点，是当前变频调速系统中受广泛关注的一种电机优化控制方法。

然而，传统的模型预测控制方法需要遍历所有的逆变器功率管开通状态，计算负担大，且每个控制周期仅选用一个基本电压矢量作为最优输出，存在较大的电流谐波和转矩脉动。针对上述问题，国内外学者们从占空比控制、优化目标函数和多步法控制等多方面提出了解决方法。

针对电压型逆变器供电的五相永磁同步电机驱动系统，中国发明专利《一种五相永磁同步电机有限集模型预测电流控制方法》(专利号为CN201611214528.4，公开日期为2017.03.15)公开了基于大矢量和中矢量合成的虚拟矢量的模型预测电流控制方法。中国发明专利《矢量筛选和占空比结合的电机模型预测控制系统及方法》(专利号为CNCN201710271262.5，公开日期为2017.07.07)公开了以参考电压矢量和快速筛选出的非零基本电压矢量之间的比较作为价值函数，并采用一种占空比控制的方法计算出非零电压矢量的作用时间。中国发明专利《一种统一的永磁电机单/双矢量模型预测控制方法及装置》(专利号为CNCN201610917761.2，公开日期为2017.01.25)公开了将单矢量模型预测控制算法和双矢量模型预测控制算法融合为一种单一的算法，并统一单矢量模型预测控制算法和双矢量模型预测控制算法的脉冲宽度调制策略。

与上述专利所公开的模型预测控制方法相比，本发明提出了一种基于几何法实现两矢量模型预测控制的方法，可以简化繁琐的推导和计算解析过程，易于实现，并方便扩展到多相永磁电机的驱动控制系统中。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制系统及方法，该方法能有效提高永磁同步电机的稳态性能，且相比于传统的基于解析法的两矢量模型预测控制系统更易于理解，并易于扩展到多相电机控制中。

上述的目的通过以下技术方案实现：

一种基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制系统，包括转速PI控制器模块、电流采集模块、转子位置反馈模块、坐标变换模块、无差拍电压计算模块、双电压矢量选择及占空比计算模块、电压矢量作用序列模块、逆变器模块和五相永磁同步电机；

转速参考值和经转子位置反馈模块得到的实际转速相比较，其转速差值输入至转速PI控制器；转速PI控制器输出基波空间中电流参考值，并输入给无差拍电压计算模块；电流采集模块获取电机定子绕组各相电流值，结合转子位置反馈模块得到的转子位置信息，经过坐标变换模块计算得到旋转坐标系下的直轴电流与交轴电流实际值；无差拍电压计算模块利用测量和计算得到的直轴电流与交轴电流实际值和参考值，根据无差拍控制思想计算出参考电压矢量；双电压矢量选择及占空比计算模块通过判断参考电压矢量的位置角和幅值确定两个基本电压矢量及对应的占空比；电压矢量作用序列模块将两个基本电压矢量及对应的占空比转化为各相绕组开关状态输出至逆变器；逆变器输出最优电压至永磁同步电机。

一种基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制方法，该方法包括如下步骤：

步骤一：根据无差拍控制思想获得参考电压矢量；

步骤二：通过参考电压矢量的位置角快速筛选出三个电压矢量，包括两个非零矢量和一个零矢量，作为备选矢量；

步骤三：利用几何法从三个备选矢量中选择出两个电压矢量，并计算出对应的占空比；

步骤四：将选择的两电压矢量及占空比转化为对应的开关序列，并经逆变器输出最优电压至永磁同步电机。

进一步地，步骤一中所述根据无差拍控制思想获得参考电压矢量的具体方法包括如下步骤：

(11)计算基波空间直轴电流与交轴电流参考值i_d ^*、i_q ^*：获取电机实际转速n，将转速参考值n^*与实际转速n的差值e_n输入转速PI控制器，根据公式(1)获得基波空间电流参考值i^*；对于i_d＝0控制方式，i_q ^*＝i^*，i_d ^*＝0；对于最大转矩电流比等其他控制方式，则按照相应的控制算法确定i_d ^*、i_q ^*与i^*的关系。

其中，K_P和K_I分别为转速PI控制器的比例增益和积分增益；

(12)计算基波空间直轴电流与交轴电流实际值i_d、i_q：利用电流传感器模块获取定子绕组各相电流值，结合获取的转子位置信息，进行坐标变换，得到基波空间直轴电流与交轴电流实际值i_d、i_q；

(13)计算直轴参考电压矢量与交轴参考电压矢量u_d ^*、u_q ^*：利用电机电流微分方程，根据无差拍控制思想，将基波空间直轴电流与交轴电流实际值i_d、i_q和参考值i_d ^*、i_q ^*带入方程，根据公式(5)，计算得出直轴参考电压矢量与交轴参考电压矢量u_d ^*、u_q ^*；

其中，R_s为定子每相绕组电阻，L_d为直轴电感，L_q为交轴电感，ω为电机转子电角频率，ψ_f为直轴永磁磁链，T_s为采样周期。

进一步，步骤二中所述通过参考电压矢量的位置角快速筛选出三个电压矢量，包括两个非零矢量和一个零矢量，作为备选矢量的具体方法包括如下步骤：

(21)计算静止坐标系下参考电压矢量的位置角：将步骤一得到的直轴参考电压矢量与交轴参考电压矢量u_d ^*、u_q ^*经过公式(6)Park逆变换得到静止坐标系下的参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*；

θ为转子位置电角度；

(22)计算参考电压矢量的空间位置角：根据公式(7)，通过反正切函数可以由u_α ^*、u_β ^*计算出该矢量的位置角；

其中，θ_u为参考电压矢量所在的空间相位角；

(23)确定备选电压矢量：对于n相永磁同步电机，对应于两电平n相电压源逆变器，共有2ⁿ个基本电压矢量，包括2个零矢量与(2ⁿ-2)个非零矢量；非零矢量按照作用时间可以合成2n个均匀分布的虚拟电压矢量，其分布从0度开始，逆时针旋转，间隔为π/n，到2π共2n个虚拟电压矢量，依次定义为V_i(i＝1,2,3,…,2n)，零矢量定义为V₀；2n个虚拟电压矢量可将空间分割为2n个扇区；根据空间相位角θ_u即可确定备选电压矢量，当θ_u位于扇区k[(k-1)π/n，kπ/n),(k＝1,2,3,…,2n)时，选择的备选电压矢量为V_k、V_k+1和V₀；

进一步，步骤三中所述利用几何法从三个备选矢量中选择出两个电压矢量的具体方法是：利用几何法从三个备选矢量中选择出最优的两个电压矢量u_i和u_j，并确定对应作用时间t_i和t_j，使得公式(8)中模型预测控制的价值函数g达到最小值；

g＝||u_αβ ^*-t_iu_i-t_ju_j|| (8)。

进一步，步骤四中所述将选择的两电压矢量及占空比转化为对应的开关序列，并经逆变器输出最优电压至永磁同步电机的具体方法是：θ_u位于扇区k时，选择的备选电压矢量为V_k、V_k+1和V₀；若选择的两个矢量为V_k和V₀，则通过作用时间可以控制合成矢量末端为矢量V_k所在迹线上的任意一点；若选择的两个矢量为V_k+1和V₀，则通过作用时间可以控制合成矢量末端为矢量V_k+1所在迹线上的任意一点；若选择的两个矢量为V_k和V_k+1，则通过作用时间可以控制合成矢量末端为矢量V_k和V_k+1末端连线上的任意一点；由此可知通过两个电压矢量可以确定一个电压矢量三角形的三条边；

求解价值函数g的最小值，可以等效转化为参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*的末端点到三角形的三条边的最小距离；由此可以引入三角心的内心O，通过连接内心O与三角形三个端点A、B、C，可将三角形分割成3个小的三角形区域；θ_u位于扇区k时，三角形的内心连接的点为矢量V_k的首末端点为区域Ⅰ，内心连接的点为矢量V_k+1的首末端点为区域Ⅱ，另一个为区域Ⅲ；参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*位于区域Ⅰ中则选择V_k和V₀，参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*位于区域Ⅱ中则选择V_k+1和V₀，参考电压矢量u_αβ ^*位于区域Ⅲ中则选择V_k和V_k+1，作为u_i和u_j；

两矢量作用时间的计算：根据求得的两作用矢量使价值函数达到最小值，可知对应于在三角形的某一条边上所做垂线的长度；此时，占空比可根据在该边上的投影长度与该边长的比值确定；当两个电压矢量及其时间确定后，占空比控制模块设计对称式占空比信号并输送至逆变器，逆变器输出最优电压至永磁同步电机。

有益效果：

转速参考值和经转子位置反馈模块得到的实际转速相比较，其转速差值输入至转速PI控制器；转速PI控制器输出基波空间中电流参考值，并输入给无差拍电压计算模块；电流采集模块获取电机定子绕组各相电流值，结合转子位置反馈模块得到的转子位置信息，经过坐标变换模块计算得到旋转坐标系下的直轴与交轴电流实际值；无差拍电压计算模块利用测量和计算得到的直轴与交轴电流实际值和参考值，根据无差拍控制思想计算出参考电压矢量；双电压矢量选择及占空比计算模块通过判断参考电压矢量的位置角和幅值确定两个基本电压矢量及对应的占空比；电压矢量作用序列模块将两个基本电压矢量及对应的占空比转化为各相开关状态输出至逆变器；逆变器输出最优电压至永磁同步电机。

有益效果：对于永磁同步电机模型预测控制系统，本发明采用了双电压矢量控制方法，并基于几何方法来快速筛选矢量并计算出对应的占空比，简化了复杂的解析计算，降低了转矩脉动，提高了永磁同步电机的稳态控制性能。本发明易于实现，并方便扩展到多相电机控制中。

附图说明

图1是本发明提供的基于几何法的永磁同步电机两矢量模型预测控制系统示意图；

图2是本发明提供的基于几何法的永磁同步电机两矢量模型预测控制方法流程图；

图3a、图3b是本发明提供的基于几何法的永磁同步电机两矢量模型预测控制方法中两个作用电压矢量的选择与占空比计算示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施方式，进一步阐明本发明，应理解下述具体实施方式仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。

如图1所示，一种基于几何法的永磁同步电机两矢量模型预测控制系统，包括转速PI控制器1、电流采集模块2、转子位置反馈模块3、坐标变换模块4、无差拍电压计算模块5、双电压矢量选择及占空比计算模块6、电压矢量作用序列模块7、逆变器8和五相永磁同步电机9；

转速参考值和经转子位置反馈模块3得到的实际转速相比较，其转速差值输入至转速PI控制器1；转速PI控制器1输出基波空间中电流参考值，并输入给无差拍电压计算模块5；电流采集模块2获取电机定子绕组各相电流值，结合转子位置反馈模块3得到的转子位置信息，经过坐标变换模块4计算得到旋转坐标系下的直轴与交轴电流实际值；无差拍电压计算模块5利用测量和计算得到的直轴与交轴电流实际值和参考值，根据无差拍控制思想计算出参考电压矢量；双电压矢量选择及占空比计算模块6通过判断参考电压矢量的位置角和幅值确定两个基本电压矢量及对应的占空比；电压矢量作用序列模块7将两个基本电压矢量及对应的占空比转化为各相开关状态输出至逆变器8；逆变器8输出最优电压至永磁同步电机9。

如图2和图3所示，一种基于几何法的永磁同步电机两矢量模型预测控制方法，包括以下步骤：

(1)计算基波空间直轴与交轴电流参考值i_d ^*、i_q ^*：根据转子位置反馈模块得到电机转速n，将转速参考值n^*与实际转速n的差值e_n输入转速PI控制器，根据公式(1)获得基波空间电流参考值i^*；对于i_d＝0控制方式，i_q ^*＝i^*，i_d ^*＝0；对于最大转矩电流比等其他控制方式，则按照相应的控制算法确定i_d ^*、i_q ^*与i^*的关系。

其中，K_P和K_I分别为转速PI控制器的比例增益和积分增益；

(2)计算基波空间直轴电流与交轴电流实际值i_d、i_q：利用电流传感器模块获取定子绕组各相电流值，结合或得的转子位置信息，并进行坐标变换，得到基波空间直轴电流与交轴电流实际值i_d、i_q；分别以三相永磁同步电机和五相永磁同步电机为例进行分析，其它多相永磁同步电机分析方法相同；对于三相永磁同步电机，坐标变换如公式(2)、(3)所示；

其中，δ＝2π/3，θ为转子位置电角度；

对于五相永磁同步电机，坐标变换公式如公式(4)、(3)所示；

其中，δ＝2π/5，θ为转子位置电角度；

(3)计算直轴与交轴参考电压矢量u_d ^*、u_q ^*：利用电机的电流微分方程，根据无差拍控制思想，将基波空间直轴与交轴电流实际值i_d、i_q和参考值i_d ^*、i_q ^*带入方程，根据公式(5)，可以计算得直轴与交轴参考电压矢量u_d ^*、u_q ^*；

其中，R_s为定子每相绕组电阻，L_d为直轴电感，L_q为交轴电感，ω为电机转子电角频率，ψ_f为直轴永磁磁链，T_s为采样周期；

(4)计算静止坐标系下参考电压矢量的位置角：将步骤一得到的直轴与交轴参考电压矢量u_d ^*、u_q ^*经过公式(6)Park逆变换得到静止坐标系下的参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*；

其中，θ为转子位置电角度；

(5)计算参考电压矢量的空间位置角：根据公式(7)，通过反正切函数可以由u_α ^*、u_β ^*计算出该矢量的位置角；

其中，θ_u为参考电压矢量所在的空间相位角；

(6)确定备选电压矢量：分别以三相永磁同步电机和五相永磁同步电机为例进行分析，其它多相永磁同步电机分析方法相同；对于三相永磁同步电机，对应于两电平三相电压源逆变器，共有8个基本电压矢量，包括2个零矢量与6个非零矢量；非零电压矢量在空间上从0度开始，逆时针旋转，间隔为π/3，至2π共有6个基本电压矢量均匀分布，依次定义为V_i(i＝1,2,3,…,6)，零矢量定义为V₀；6个基本电压矢量可将空间分割为6个扇区；根据空间相位角θ_u即可确定备选电压矢量，例如，当θ_u位于扇区一[0，π/3)时，选择的备选电压矢量为V₁、V₂和V₀；对于五相永磁同步电机，在五相逆变器中共有32个基本电压矢量，包括2个零矢量与30个非零矢量；非零矢量按照作用时间可以合成10个均匀分布的虚拟电压矢量，其分布从0度开始，逆时针旋转，间隔为π/5，到2π共10个虚拟电压矢量，依次定义为V_i(i＝1,2,3,…,10)，零矢量定义为V₀；10个虚拟电压矢量可将空间分割为10个扇区；根据空间相位角θ_u即可确定备选电压矢量，例如，当θ_u位于扇区一[0，π/5)时，选择的备选电压矢量为V₁、V₂和V₀；

(7)两个作用电压矢量的选择：利用几何法从三个备选矢量中选择出最优的两个电压矢量u_i和u_j，并确定对应作用时间t_i和t_j，使得公式(8)中模型预测控制的价值函数g达到最小值；

g＝||u_αβ ^*-t_iu_i-t_ju_j|| (8)

如图3，以θ_u位于扇区一时为例，选择的备选电压矢量为V₁、V₂和V₀；若选择的两个矢量为V₁和V₀，则通过作用时间可以控制合成矢量末端为矢量V₁所在迹线上的任意一点；若选择的两个矢量为V₂和V₀，则通过作用时间可以控制合成矢量末端为矢量V₂所在迹线上的任意一点；若选择的两个矢量为V₁和V₂，则通过作用时间可以控制合成矢量末端为矢量V₁和V₂末端连线上的任意一点；由此可知通过两个电压矢量可以确定一个电压矢量三角形的三条边；

求解价值函数g的最小值，可以等效转化为参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*的末端点到三角形的三条边的最小距离；由此可以引入三角心的内心O，通过连接内心O与三角形三个端点A、B、C，可将三角形分割成3个小的三角形区域；以θ_u位于区间一时为例，三角形的内心连接的点为矢量V₁的首末端点为区域Ⅰ，内心连接的点为矢量V₂的首末端点为区域Ⅱ，另一个为区域Ⅲ；参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*位于区域Ⅰ中则选择V₁和V₀，参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*位于区域Ⅱ中则选择V₂和V₀，参考电压矢量u_αβ ^*位于区域Ⅲ(或者Ⅲ+)中则选择V₁和V₂，作为u_i和u_j；

(8)两矢量作用时间的计算：根据求得的两作用矢量使价值函数达到最小值，可知对应于在三角形的某一条边上所做垂线的长度；此时，占空比可根据在该边上的投影长度d与该边长的比值确定，如图3所示；设周期长度为T_s，则两各所选矢量的作用时间分别为t_i和t_j，满足条件：t_i+t_j＝T_s；

(9)逆变器开关序列控制：当两个电压矢量及其时间确定后，占空比控制模块设计对称式占空比信号并输送至逆变器，逆变器输出最优电压至永磁同步电机。

以上结合附图对本发明的实施方式做出详细说明，但本发明不局限于所描述的实施方式。对本领域的普通技术人员而言，在本发明的原理和技术思想的范围内，对这些实施方式进行多种变化、修改、替换和变形仍落入本发明的保护范围内。

Claims (6)

1.一种基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制系统，其特征在于，包括转速PI控制器模块、电流采集模块、转子位置反馈模块、坐标变换模块、无差拍电压计算模块、双电压矢量选择及占空比计算模块、电压矢量作用序列模块、逆变器模块和五相永磁同步电机；

转速参考值和经转子位置反馈模块得到的实际转速相比较，其转速差值输入至转速PI控制器；转速PI控制器输出基波空间中电流参考值，并输入给无差拍电压计算模块；电流采集模块获取电机定子绕组各相电流值，结合转子位置反馈模块得到的转子位置信息，经过坐标变换模块计算得到旋转坐标系下的直轴电流与交轴电流实际值；无差拍电压计算模块利用测量和计算得到的直轴电流与交轴电流实际值和参考值，根据无差拍控制思想计算出参考电压矢量；双电压矢量选择及占空比计算模块通过判断参考电压矢量的位置角和幅值确定两个基本电压矢量及对应的占空比；电压矢量作用序列模块将两个基本电压矢量及对应的占空比转化为各相绕组开关状态输出至逆变器；逆变器输出最优电压至永磁同步电机。

2.一种基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

步骤一：根据无差拍控制思想获得参考电压矢量；

步骤二：通过参考电压矢量的位置角快速筛选出三个电压矢量，包括两个非零矢量和一个零矢量，作为备选矢量；

步骤三：利用几何法从三个备选矢量中选择出两个电压矢量，并计算出对应的占空比；

步骤四：将选择的两电压矢量及占空比转化为对应的开关序列，并经逆变器输出最优电压至永磁同步电机。

3.根据权利要求2所述的基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制方法，其特征在于，步骤一中所述根据无差拍控制思想获得参考电压矢量的具体方法包括如下步骤：

(11)计算基波空间直轴电流与交轴电流参考值i_d ^*、i_q ^*：获取电机实际转速n，将转速参考值n^*与实际转速n的差值e_n输入转速PI控制器，根据公式(1)获得基波空间电流参考值i^*；对于i_d＝0控制方式，i_q ^*＝i^*，i_d ^*＝0；对于最大转矩电流比等其他控制方式，则按照相应的控制算法确定i_d ^*、i_q ^*与i^*的关系。

其中，K_P和K_I分别为转速PI控制器的比例增益和积分增益；

(12)计算基波空间直轴电流与交轴电流实际值i_d、i_q：利用电流传感器模块获取定子绕组各相电流值，结合获取的转子位置信息，进行坐标变换，得到基波空间直轴电流与交轴电流实际值i_d、i_q；

(13)计算直轴参考电压矢量与交轴参考电压矢量u_d ^*、u_q ^*：利用电机电流微分方程，根据无差拍控制思想，将基波空间直轴电流与交轴电流实际值i_d、i_q和参考值i_d ^*、i_q ^*带入方程，根据公式(5)，计算得出直轴参考电压矢量与交轴参考电压矢量u_d ^*、u_q ^*；

其中，R_s为定子每相绕组电阻，L_d为直轴电感，L_q为交轴电感，ω为电机转子电角频率，ψ_f为直轴永磁磁链，T_s为采样周期。

4.根据权利要求2所述的基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制方法，其特征在于，步骤二中所述通过参考电压矢量的位置角快速筛选出三个电压矢量，包括两个非零矢量和一个零矢量，作为备选矢量的具体方法包括如下步骤：

(21)计算静止坐标系下参考电压矢量的位置角：将步骤一得到的直轴参考电压矢量与交轴参考电压矢量u_d ^*、u_q ^*经过公式(6)Park逆变换得到静止坐标系下的参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*；

θ为转子位置电角度；

(22)计算参考电压矢量的空间位置角：根据公式(7)，通过反正切函数可以由u_α ^*、u_β ^*计算出该矢量的位置角；

其中，θ_u为参考电压矢量所在的空间相位角；

(23)确定备选电压矢量：对于n相永磁同步电机，对应于两电平n相电压源逆变器，共有2ⁿ个基本电压矢量，包括2个零矢量与(2ⁿ-2)个非零矢量；非零矢量按照作用时间可以合成2n个均匀分布的虚拟电压矢量，其分布从0度开始，逆时针旋转，间隔为π/n，到2π共2n个虚拟电压矢量，依次定义为V_i(i＝1，2，3，...，2n)，零矢量定义为V₀；2n个虚拟电压矢量可将空间分割为2n个扇区；根据空间相位角θ_u即可确定备选电压矢量，当θ_u位于扇区k[(k-1)π/n，kπ/n)，(k＝1，2，3，...，2n)时，选择的备选电压矢量为V_k、V_k+1和V₀。

5.根据权利要求2所述的基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制方法，其特征在于，步骤三中所述利用几何法从三个备选矢量中选择出两个电压矢量的具体方法是：利用几何法从三个备选矢量中选择出最优的两个电压矢量u_i和u_j，并确定对应作用时间t_i和t_j，使得公式(8)中模型预测控制的价值函数g达到最小值；

g＝||u_αβ ^*-t_iu_i-t_ju_j|| (8)。

6.根据权利要求2所述的基于几何法的永磁同步电机两矢量预测控制方法，其特征在于，步骤四中所述将选择的两电压矢量及占空比转化为对应的开关序列，并经逆变器输出最优电压至永磁同步电机的具体方法是：θ_u位于扇区k时，选择的备选电压矢量为V_k、V_k+1和V₀；若选择的两个矢量为V_k和V₀，则通过作用时间可以控制合成矢量末端为矢量V_k所在迹线上的任意一点；若选择的两个矢量为V_k+1和V₀，则通过作用时间可以控制合成矢量末端为矢量V_k+1所在迹线上的任意一点；若选择的两个矢量为V_k和V_k+1，则通过作用时间可以控制合成矢量末端为矢量V_k和V_k+1末端连线上的任意一点；由此可知通过两个电压矢量可以确定一个电压矢量三角形的三条边；

求解价值函数g的最小值，可以等效转化为参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*的末端点到三角形的三条边的最小距离；由此可以引入三角心的内心O，通过连接内心O与三角形三个端点A、B、C，可将三角形分割成3个小的三角形区域；θ_u位于扇区k时，三角形的内心连接的点为矢量V_k的首末端点为区域I，内心连接的点为矢量V_k+1的首末端点为区域II，另一个为区域III；参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*位于区域I中则选择V_k和V₀，参考电压矢量u_α ^*、u_β ^*位于区域II中则选择V_k+1和V₀，参考电压矢量u_αβ ^*位于区域III中则选择V_k和V_k+1，作为u_i和u_j；

两矢量作用时间的计算：根据求得的两作用矢量使价值函数达到最小值，可知对应于在三角形的某一条边上所做垂线的长度；此时，占空比可根据在该边上的投影长度与该边长的比值确定；当两个电压矢量及其时间确定后，占空比控制模块设计对称式占空比信号并输送至逆变器，逆变器输出最优电压至永磁同步电机。