CN108054789A - 一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法 - Google Patents

一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法 Download PDF

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Abstract

本发明提出一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法，属于电力系统安全约束经济调度领域。该方法首先构建由目标函数和约束条件构成的安全约束经济调度的最优潮流模型；对模型迭代求解后，对所有支路将检查标幺化误差：若存在线路不满足标幺化误差，则更新潮流方程约束，进行下一次迭代，直至所有线路均满足标幺化误差，模型收敛，迭代结束，得到包含节点电压幅值、电压相角、机组有功出力、无功出力的一整套电力系统安全约束经济调度方案。本发明能最大程度满足电力系统经济运行要求，降低电力系统运行成本；精度高，收敛性好，具有很强的实际应用价值。

Description

一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法
技术领域
本发明属于电力系统安全约束经济调度领域，特别涉及一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法。
背景技术
为实现电网安全稳定运行，电网中的节点必须遵循一些规范制度，安全约束经济调度就是基于电网中各节点及线路潮流在安全约束范围内，使电网运行费用最小的调控行为。安全约束经济调度需要求解交流最优潮流问题，而涉及的交流潮流方程的非线性特征导致其为非凸优化问题，求解难度很大。
目前，仅考虑有功的直流潮流网络模型在电力工业界广泛应用。直流潮流网络模型忽略了无功和网损，并假设各节点电压幅值均为标准值(1.0p.u.)。直流潮流方程中有功和电压相角为线性关系。工业界在直流最优潮流解的基础上执行潮流计算以得到交流可行的调度方案。然而，由于直流潮流方程采用了大量近似，直流最优潮流模型可能得到不经济、甚至不安全的调度方案。在安全裕度较低、有功无功紧密耦合的电力系统中，该现象愈加明显。目前，电力系统运行逐渐逼近其稳定极限，有功调度频繁被系统无功和电压约束制约。因此，电力工业界更迫切地需要能够考虑无功和电压的线性网络模型。
目前现有的考虑无功和电压的交流最优潮流模型为非线性模型，求解的方法有凸化松弛方法和内点法等。凸化松弛包括半正定规划(SemidifinateProgramming,SDP)松弛，二阶锥规划(SecondOrderConeProgramming,SOCP)松弛和二次规划(QuadraticProgramming,QP)松弛，但这类方法带来的误差较大，难以在实际电网中投入应用；而内点法的收敛性无法得到保证。
综上所述，现有的安全约束经济调度方法难以在考虑无功和电压的同时保证高计算精度、高计算效率和良好收敛性。
发明内容
本发明的目的在于为克服已有技术的不足之处，提出一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法。本发明提出了内嵌无功和电压的最优潮流模型，对无功和有功实现了整体性优化，基于该模型得到的调度方案能最大程度满足电力系统经济运行要求，降低电力系统运行成本；精度高，收敛性好，具有很强的实际应用价值。
本发明提出的一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
1)构建安全约束经济调度的最优潮流模型，该模型由目标函数和约束条件构成；具体步骤如下：
1-1)确定模型的目标函数，表达式如下：
其中，Pg为机组g的有功出力，Qg为机组g的无功出力，为机组集合；和分别为Pg和Qg的成本函数；该目标函数表示机组有功出力和无功出力的总成本最小化；
1-2)确定模型的约束条件；具体如下：
1-2-1)基于降阶网络的潮流方程约束；
假设模型第k次迭代时的初值为(vi，k-1,θi，k-1)，k＝1,2,3…，i∈N，表示所有节点的集合；其中，当k>1时，vi，k-1为第k-1次迭代优化得到的节点i的电压幅值，θi，k-1为第k-1次迭代优化得到的节点i的相角；k＝1时，初值(vi，0,θi，0)通过两种启动方式得到：冷启动和热启动，启动方式任意选择其中一种；
冷启动时，
热启动时，
vi，0＝1p.u.，θi，0取直流最优潮流的解，
则潮流方程约束如下：
其中，Pij和Qij分别为线路(i，j)的有功潮流和无功潮流；vi表示节点i的电压幅值,θi表示节点i的相角；vij为线路(i，j)首末节点的电压幅值差，满足vij＝vi-vj；θij为线路(i，j)首末节点的相角差，满足θij＝θi-θj；和为第k次迭代有功平衡系数，计算表达式分别如(12)和(13)所示；和为第k次迭代无功平衡系数，计算表达式分别如(14)和(15)所示；
表示电压幅值对网损影响，满足如下约束：
k>1时，
k＝1时，
其中，vij，est表示线路(i，j)首末节点的电压幅值差的估计值；vi，est表示节点i的电压幅值的估计值；vij，k-1为第k-1次迭代优化得到的线路(i，j)的电压幅值差；
为电压相角差对网损影响，满足如下约束：
k＝1且在冷启动方式下，
其中，θij，est线路(i，j)首末节点的相角差的估计值，gij表示线路(i，j)的电导；
k>1且为任一种启动方式，或k＝1且在热启动方式下，
有功平衡系数和的计算表达式分别如下：
无功平衡系数和的计算表达式分别如下：
其中，bij表示线路(i，j)的电纳；和为正弦函数泰勒展开表达式系数，计算表达式如(16)所示；和为余弦函数泰勒展开表达式系数，计算表达式如(17)所示：
1-2-2)节点平衡方程约束，表达式如下：
其中，表示与节点i通过线路相连的所有节点的集合；gii表示节点i的接地电导，bii表示节点i的接地电纳；
1-2-3)节点注入约束，表达式如下：
其中，表示与节点i相连的机组集合；Pd，i表示节点i的有功负荷，Qd，i表示节点i的无功负荷；
1-2-4)线路潮流复功率线性化约束，表达式如下：
其中，表示所有线路集合；
计算线路潮流复功率线性化约束采用多条线段近似圆弧，具体步骤如下：
1-2-4-1)选取参数为弧度值，取值范围[0，π]，对和对应的圆弧进行分段线性近似；
1-2-4-2)选取参数M,N；M,N分别为上下半平面的分段线性数；将定义的圆弧均匀分成N份，用线段连接相邻的端点得到N条线段，即将定义的圆弧均匀分成M份，用线段连接相邻的端点得到M条线段，，即
1-2-4-3)用步骤1-2-4-2)得到的(M+N)条线段对应的线性约束组合近似二次复功率约束，得到复功率线性化约束，如式(22)所示；
1-2-5)机组有功出力、无功出力及电压幅值的上下限约束，表达式如下：
其中，Pg，max表示机组g有功出力上限，Pg，min表示机组g有功出力下限；Qg，max表示机组g无功出力上限，Qg，min表示机组g无功出力下限；vi，max表示节点i电压幅值上限，vi，mim表示节点i电压幅值下限；
2)对步骤1)建立的模型求解，得到电力系统安全约束经济调度方案；
对步骤1)建立的模型求解，令当前迭代次数记为k，迭代完成后，得到第k次迭代的最优解vi，θi，Pg，Qg，并根据潮流方程约束式(4)和(5)分别得到模型第k次迭代后线路(i，j)的有功潮流和无功潮流
将第k次迭代的最优解vi，θi，代入线路交流潮流方程：
得到交流有功潮流Pij和交流无功潮流Qij；
根据PijQij，的值，对所有支路将检查标幺化误差，表达式如下：
其中，Δij表示线路(i,j)的潮流方程近似误差；
若所有线路均满足Δij<Δtol，Δtol表示线性近似误差上限，则模型收敛，迭代结束，输出vi，θi，Pg，Qg，得到了包含节点电压幅值、电压相角、机组有功出力、无功出力的电力系统安全约束经济调度方案；否则，令k＝k+1，将第k次迭代的最优解vi，θi作为初值vi，k-1和θi，k-1，更新潮流方程约束，重新返回步骤2)，进行下一次迭代。
本发明的特点及有益效果在于：
1本发明方法不但考虑了有功和相角，而且内嵌无功和电压，得到的调度方案是同时保证了经济性和安全性，在安全裕度较低、有功无功紧密耦合的电力系统中同样可以使用，有很高的应用价值。
2本发明提出的线性化方法大幅降低了最优潮流问题的非凸性和非线性度，从而确保其求解算法满足电力工业的应用要求；在迭代初值不佳的情况下，由于模型保留较高精度，仅需2～3次迭代即可大幅减小潮流方程线性化误差，达到收敛条件；每次迭代需要求解仅为线性模型，可方便利用现有的商业软件高效求解。
附图说明
图1是本发明一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法的整体流程图。
图2是本发明中二次复功率约束的线性化方法示意图。
图3是本发明实施例的交流可行性恢复流程图。
具体实施方式
本发明提出的一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法，下面结合附图和具体实施例进一步详细说明如下。
本发明提出的一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法，其核心是采用逐次线性方法求解最优潮流模型，初次迭代可通过冷启动或热启动方式构建潮流方程约束，得到对应的最优潮流模型；之后的每次迭代中，基于上次迭代最优解更新潮流方程约束，使得模型精度进一步提高。本方法将线性近似潮流方程的误差作为收敛判据：如果最优解满足收敛判据，则认为线性近似的精度满足要求。此时，通过恢复交流可行性模块对优化结果做少量修正，得到的优化结果交流可行且接近交流最优。为修正由此引起的约束的潜在越限，方法将对是否存在越限进行检验；若存在，则收紧电网运行中对应的约束限值，重新建立最优潮流模型，并重新求解。最终调度方法得到的操作参数应当是安全且经济的。本方法整体流程如图1所示，包括以下步骤：
1)构建安全约束经济调度的最优潮流模型，该模型由目标函数和约束条件构成；具体步骤如下：
1-1)确定模型的目标函数，表达式如下：
其中，Pg为机组g的有功出力，Qg为机组g的无功出力，为机组集合；和分别为Pg和Qg的成本函数；该目标函数要求机组有功出力和无功出力的总成本最小化。
1-2)确定模型的约束条件；具体如下：
1-2-1)基于降阶网络的潮流方程约束；
假设模型第k次(k＝1,2,3…)迭代时的初值为(vi，k-1,θi，k-1)，i∈N(N表示所有节点的集合)；其中，当k>1时，vi，k-1为第k-1次迭代后节点i的电压幅值，θi，k-1为第k-1次迭代后节点i的相角，(vi，k-1,θi，k-1)取第k-1次迭代后迭代得到的最优解；k＝1时，初值(vi，0,θi，0)可通过两种启动方式得到：冷启动和热启动，启动方式可任意选择其中一种。
冷启动时，
热启动时，
vi，0＝1p.u.，θi，0取直流最优潮流的解，
则潮流方程约束如下：
其中，Pij和Qij分别为线路(i，j)的有功潮流和无功潮流；vi表示节点i的电压幅值,θi表示节点i的相角，均为待求量；vij为线路(i，j)首末节点的电压幅值差，满足vij＝vi-vj；θij为线路(i，j)首末节点的相角差，满足θij＝θi-θj；和为第k次迭代有功平衡系数，计算表达式如(12)和(13)所示；和为第k次迭代无功平衡系数，计算表达式如(14)和(15)所示。
表示电压幅值对网损影响，需满足如下约束：
k>1时，
k＝1时，
其中，vij，est表示线路(i，j)首末节点的电压幅值差的估计值，通常通过历史数据得到。vi，est表示节点i的电压幅值差的估计值。vij，k-1为第k-1次迭代优化得到的线路(i，j)的电压幅值差。
为电压相角差对网损影响，需满足如下约束：
k＝1且在冷启动方式下
其中，θij，est线路(i，j)首末节点的相角差的估计值，通常通过历史数据得到；gij表示线路(i，j)的电导；
k>1且为任一种启动方式，或k＝1且在热启动方式下，
有功平衡系数和的计算表达式分别如下：
无功平衡系数和的计算表达式分别如下：
其中，gij表示线路(i，j)的电导，bij表示线路(i，j)的电纳。和为正弦函数泰勒展开表达式系数，计算表达式如(16)所示；和为余弦函数泰勒展开表达式系数，计算表达式如(17)所示：
1-2-2)节点平衡方程约束，表达式如下：
其中，表示与节点i通过线路相连的所有节点的集合；gii表示节点i的接地电导，bii表示节点i的接地电纳。将v2视为独立变量，则式(18)和(19)均为线性方程。
1-2-3)节点注入约束，表达式如下：
其中，表示与节点i相连的机组集合；Pd，i表示节点i的有功负荷，Qd，i表示节点i的无功负荷。
1-2-4)线路潮流复功率线性化约束，表达式如下：
其中，表示所有线路集合。
计算线路潮流复功率线性化约束的核心思想即用多条线段近似圆弧，如图2所示，具体步骤如下：
1-2-4-1)选取参数为弧度值，取值范围[0，π]。基于线路潮流有功和无功的比例，通常只对和对应的圆弧做分段线性近似；
1-2-4-2)选取参数M,N；M,N分别为上下半平面的分段线性数，取值范围[10,100]。将定义的圆弧均匀分成N份。用线段连接相邻的端点(如图2中线段所示)，由此可得到N条线段，即将定义的圆弧均匀分成M份，用线段连接相邻的端点得到M条线段，，即
1-2-4-3)用步骤1-2-4-2)得到的(M+N)条线段对应的线性约束组合近似二次复功率约束，得到复功率线性化约束，如式(22)所示。
1-2-5)机组有功出力、无功出力及电压幅值的上下限约束，表达式如下：
其中，Pg，max表示机组g有功出力上限，Pg，min表示机组g有功出力下限；Qg，max表示机组g无功出力上限，Qg，min表示机组g无功出力下限；vi，max表示节点i电压幅值上限，vi，mim表示节点i电压幅值下限。将θ和v2视为独立变量，最优潮流模型的约束为线性。
2)对步骤1)建立的模型求解，得到电力系统安全约束经济调度方案；
利用现有的商业优化求解器(如Cplex，Gurobi)求解步骤1)建立的线性模型。令当前迭代次数记为k，迭代求解最优潮流模型后，在得到第k次迭代的最优解 的同时，根据潮流方程约束式(4)和(5)得到模型第k次迭代后线路(i，j)的有功潮流和无功潮流这是基于降阶网路近似得到的。
将第k次迭代的模型优解vi，θi，代入线路交流潮流方程：
得到交流有功潮流Pij和交流无功潮流Qij。
根据PijQij，的值，对所有支路将检查标幺化误差，表达式如下：
其中，Δij表示线路(i,j)的潮流方程近似误差；
若所有线路均满足Δij<Δtol，则模型收敛，若所有线路均满足Δij<Δtol，则模型收敛，迭代结束，输出vi，θi，Pg，Qg，得到了包含节点电压幅值、电压相角、机组有功出力、无功出力的电力系统安全约束经济调度方案；否则，令k＝k+1，将第k次迭代的最优解vi，θi作为初值vi，k-1和θi，k-1，更新潮流方程约束，重新返回步骤2)，进行下一次迭代；其中，Δtol表示线性近似误差上限，取值范围[1e-4,1e-2]。
为进一步提高结果的准确度，本发明在步骤2)迭代结束后，还可以包括如下步骤：
3)对步骤2)得到的结果进行交流可行性恢复；
本发明在模型达到收敛后，采用常规的潮流计算恢复解的交流可行性。流程如图3所示。
根据步骤2)得到的最优潮流解(模型最优解)，首先固定特定变量取值以准备潮流计算的输入数据。需要固定的特定变量有：参考节点的v和θ；PQ节点的P和Q；PV节点的P和v。基于输入条件，执行交流潮流计算。在交流潮流计算得到的解中，如果存在机组无功越限，则固定该机组的无功出力，将节点类型转化为PQ节点，并重新执行交流潮流计算；最终，得到交流可行的最优潮流解。
4)检查步骤3)得到的结果是否存在越限；
首先设置越限系数上限γmax(取值为小于1的正数)，约束越限率超出该值才判定为越限。对步骤3)得到的交流可行的最优潮流解分别检查：
所有线路潮流复功率越限；
根据式(26)和(27)计算得到校正后的线路有功、无功潮流，分别平方再求和后再开根，得到校正之后准确地线路潮流复功率Sij，若其超出额定值Smax，ij的比率超过γmax，则判定其为越限，即如下情况：
Sij＝Smax，ij(1+γij)，γij≥γmax (29)
其中，γij为线路(i,j)潮流复功率的越限率。
松弛节点上机组的有功出力越限(根据式(23)和γmax判定)，以及PQ的电压幅值越限(根据式(25)和γmax判定)类似可得。
若存在上述任一种越限，则进入步骤5)；若无越限，则进入步骤6)；
对步骤3)得到的交流可行的最优潮流解分别检查如下约束：所有线路潮流复功率约束，松弛节点上机组的有功出力约束，以及PQ的电压约束；
若上述任一种约束越限，即该约束超过设置越限系数上限γmax(取值为小于1的正数)时，则进入步骤5)；若以上约束均无越限，则进入步骤6)。
5)越限约束校正；
对步骤4)中判定为线路潮流复功率越限的线路(i,j)，
在下一次迭代中，线路(i，j)的线路潮流复功率上限将被修改为：
Sij，max＝Sij，max(1-L·γij) (30)
对松弛节点上机组的有功出力越限，类似地在下一次迭代中调整机组有功界限；对PQ的电压幅值越限的情况，也类似地调整电压幅值界限。下一次迭代开始时，利用本次迭代模型优解vi，θi，作为降阶网络的潮流方程约束中的初值(vi，k-1,θi，k-1)，更新潮流方程约束，重新返回步骤2)，进行下一次迭代；
6)输出电力系统安全约束经济调度方案；
迭代结束，步骤2)输出的vi，θi，Pg，Qg，为模型的最优解，得到了包含节点电压幅值、电压相角、机组有功出力、无功出力在内的一整套电力系统安全约束经济调度方案。
附录)算例
此处将在若干IEEE标准测试系统和规模较大的波兰测试系统中验证本发明调度方法的有效性。数据来自开源仿真工具Matpower4.1。
算例采用Gurobi求解。计算机处理器为Intel(R)Core(TM)i5-3210@2.50GHz。算例中采用的参数如下表所示：
表1算例参数设置表
a)使用冷启动的计算结果；
测试调度方法在冷启动(即以v＝1.0p.u.,θ＝0为初值)下的计算效果。大部分测试系统均存在阻塞。方法计算结果如表2所：
表2冷启动下的计算结果列表
b)使用热启动的计算结果；
在基于直流最优潮流的热启动(v＝1.0p.u.，θ取自直流最优潮流)下，本发明方法的计算结果如表3所示：
表3热启动下的计算结果列表
上述实验结果说明本专利给出的内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法计算效果好，实际应用性强。

Claims (1)

1.一种内嵌无功和电压的安全约束经济调度方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
1)构建安全约束经济调度的最优潮流模型，该模型由目标函数和约束条件构成；具体步骤如下：
1-1)确定模型的目标函数，表达式如下：
<mrow> <msub> <mi>min</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>G</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>g</mi> <mi>P</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>g</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>g</mi> <mi>Q</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>g</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Pg为机组g的有功出力，Qg为机组g的无功出力，为机组集合；和分别为Pg和Qg的成本函数；该目标函数表示机组有功出力和无功出力的总成本最小化；
1-2)确定模型的约束条件；具体如下：
1-2-1)基于降阶网络的潮流方程约束；
假设模型第k次迭代时的初值为(vi，k-1，θi，k-1)，k＝1，2，3...，i∈N，表示所有节点的集合；其中，当k＞1时，vi，k-1为第k-1次迭代优化得到的节点i的电压幅值，θi，k-1为第k-1次迭代优化得到的节点i的相角；k＝1时，初值(vi，0，θi，0)通过两种启动方式得到：冷启动和热启动，启动方式任意选择其中一种；
冷启动时，
热启动时，
vi，0＝1p.u.，θi，0取直流最优潮流的解，
则潮流方程约束如下：
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>P</mi> </msubsup> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>P</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>P</mi> </msubsup> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>Q</mi> </msubsup> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>Q</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>Q</mi> </msubsup> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Pij和Qij分别为线路(i，j)的有功潮流和无功潮流；vi表示节点i的电压幅值，θi表示节点i的相角；vij为线路(i，j)首末节点的电压幅值差，满足vij＝vi-vj；θij为线路(i，j)首末节点的相角差，满足θij＝θi-θj；和为第k次迭代有功平衡系数，计算表达式分别如(12)和(13)所示；和为第k次迭代无功平衡系数，计算表达式分别如(14)和(15)所示；
表示电压幅值对网损影响，满足如下约束：
k＞1时，
<mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
k＝1时，
<mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，vij，est表示线路(i，j)首末节点的电压幅值差的估计值；vi，est表示节点i的电压幅值的估计值；vij，k-1为第k-1次迭代优化得到的线路(i，j)的电压幅值差；
为电压相角差对网损影响，满足如下约束：
k＝1且在冷启动方式下，
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，θij，est线路(i，j)首末节点的相角差的估计值，gij表示线路(i，j)的电导；
k＞1且为任一种启动方式，或k＝1且在热启动方式下，
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
有功平衡系数和的计算表达式分别如下：
<mrow> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>P</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>P</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
无功平衡系数和的计算表达式分别如下：
<mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>Q</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>Q</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，bij表示线路(i，j)的电纳；和为正弦函数泰勒展开表达式系数，计算表达式如(16)所示；和为余弦0数泰勒展开表达式系数，计算表达式如(17)所示：
<mrow> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
1-2-2)节点平衡方程约束，表达式如下：
其中，表示与节点i通过线路相连的所有节点的集合；gii表示节点i的接地电导，bii表示节点i的接地电纳；
1-2-3)节点注入约束，表达式如下：
其中，表示与节点i相连的机组集合；Pd，i表示节点i的有功负荷，Qd，i表示节点i的无功负荷；
1-2-4)线路潮流复功率线性化约束，表达式如下：
其中，表示所有线路集合；
计算线路潮流复功率线性化约束采用多条线段近似圆弧，具体步骤如下：
1-2-4-1)选取参数为弧度值，取值范围[0，π]，对和对应的圆弧进行分段线性近似；
1-2-4-2)选取参数M，N；M，N分别为上下半平面的分段线性数；将定义的圆弧均匀分成N份，用线段连接相邻的端点得到N条线段，即将定义的圆弧均匀分成M份，用线段连接相邻的端点得到M条线段，，即
1-2-4-3)用步骤1-2-4-2)得到的(M+N)条线段对应的线性约束组合近似二次复功率约束，得到复功率线性化约束，如式(22)所示；
1-2-5)机组有功出力、无功出力及电压幅值的上下限约束，表达式如下：
其中，Pg，max表示机组g有功出力上限，Pg，min表示机组g有功出力下限；Qg，max表示机组g无功出力上限，Qg，min表示机组g无功出力下限；vi，max表示节点i电压幅值上限，vi，mim表示节点i电压幅值下限；
2)对步骤1)建立的模型求解，得到电力系统安全约束经济调度方案；
对步骤1)建立的模型求解，令当前迭代次数记为k，迭代完成后，得到第k次迭代的最优解vi，θi，Pg，Qg，并根据潮流方程约束式(4)和(5)分别得到模型第k次迭代后线路(i，j)的有功潮流阳无功潮流
将第k次迭代的最优解vi，θi，代入线路交流潮流方程：
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
得到交流有功潮流Pij和交流无功潮流Qij；
根据PijQij，的值，对所有支路将检查标幺化误差，表达式如下：
其中，Δij表示线路(i，j)的潮流方程近似误差；
若所有线路均满足Δij＜Δtol，Δtol表示线性近似误差上限，则模型收敛，迭代结束，输出vi，θi，Pg，Qg，得到了包含节点电压幅值、电压相角、机组有功出力、无功出力的电力系统安全约束经济调度方案；否则，令k＝k+1，将第k次迭代的最优解vi，θi作为初值vi，k-1和θi，k-1，更新潮流方程约束，重新返回步骤2)，进行下一次迭代。
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