CN107577149A - 一种采用分数阶快速终端滑模控制的随动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种采用分数阶快速终端滑模控制的随动控制方法，首先接收角度指令，提取随动角度反馈，计算指令一阶至三阶导数，计算角度反馈的一阶导数和二阶导数；然后计算角度控制误差及其一二阶导数；计算位置环的分数阶快速终端滑模面的一阶导数以及非奇异快速终端滑模面；计算分数阶终端滑模控制量和随动系统的电流环指令；最后采集线电流计算PMSM在dq坐标下的交直轴电流，将dq轴电压控制量作为PMSM的逆park变换的输入来完成电机的控制。本发明使系统具有良好的动态响应能力，同时满足静态定位和动态跟踪精度。

Description

一种采用分数阶快速终端滑模控制的随动控制方法

技术领域

本发明属于火炮随动系统领域，主要涉及需要快速精确跟踪的随动控制系统能够精确快速跟随输入指令的鲁棒控制方法。

背景技术

传统火炮随动由三环控制结构组成，分别为位置环、速度环、电流环，而由速度环和电流环构成的控制器、功率驱动和电机通常称为驱动调速系统，控制器在工程上采用PI控制器，控制策略结构简单，易于调节，这种三环控制结构和控制方法广泛应用火炮各种随动系统。电流环由于功率电子开关频率高和电机电器时间短，电流环的带宽一般在500～600Hz以内，速度环的带宽一般在80～100Hz，而随动系统位置环的带宽通常只有2～3Hz，同时又受传动机构齿隙的影响，欲提高随动系统的带宽较为困难。这种传统控制结构常常在带宽要求高的系统中难以应用。

位置环控制器的被控对象是驱动调速系统、减速机及负载。工程上的位置环控制器采用“根号e”与PI+前馈的复合控制相结合的变结构控制，通过判断误差大小进行切换。其中“根号e”主要应用于随动系统大误差控制时，如大角度调转。复合控制应用于随动小误差控制时，如跟踪调转。位置环控制器参数主要基于工程法，其基本思想是首先在引入速度前馈之前，将位置环校正成临界阻尼或接近临界阻尼的典型二阶系统，确定位置环比例增益；然后基于引入速度前馈后系统稳态位置误差为零，确定位置环速度前馈增益。该方法在参数确定后，能够使随动系统位置响应无超调，定位精度高，稳态时静差小。但是随动系统参数发生变化时，如负载转动惯量变化，就必须对位置环比例增益和速度前馈系数进行合理配置。实际上需要对调速系统、传动、负载的参数进行测试，然后对这些参数进行调试，如此以来效率很低，也有随动性能可能不及预期。

电流环控制器参数设计常采用时域的最佳模原则、频域的幅值裕度和相位裕度要求进行设计PI控制参数。而永磁同步电机的种类多种多样，常常不太能预知现场所用电机的参数，并且随着时间和运行环境的变化，电机实际参数也会发生变化。在电机安装完成后，有必要对电机参数进行辨识并初步整定控制器参数，使整个调速系统能够平稳运行，避免在最开始调整控制器参数时发生恶劣情况，为人工整定或其他整定方法提供控制器的初值，并在实际过程中还需要进行调整，非常不便。

发明内容

为了克服现有技术具有位置环，速度环，电流环的三环控制结构的传统随动系统的带宽不高、实现精确位置跟踪的复合控制器对电机及负载参数敏感的不足，本发明提供一种采用分数阶快速终端滑模控制的随动控制方法，针对火炮随动系统常采用的隐极电机(交直轴电感相等，L_d＝L_q＝L)，位置环采用分数阶快速终端滑模变结构控制，电流环采用分数阶PI控制，以提升随动系统的静态和动态性能，以及鲁棒性。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：

(1)判断角度指令θ^*(k)是否到达，若是则进入步骤(2)，否则进入步骤(11)，k为角度控制的步数；

(2)提取随动角度反馈θ(k)；

(3)利用微分器求解计算指令θ^*(k)一阶至三阶导数d₁θ^*(k),d₂θ^*(k),d₃θ^*(k)：

其中，为滑模面θ^*(k-1)的估计误差；分别为为θ^*(k)及其一阶、二阶、三阶的估计值；分别为该微分器一阶、二阶、三阶、四阶增益；T_sp为随动角度控制周期；

(4)利用微分器计算角度反馈θ(k)的一阶导和二阶导d₁θ(k),d₂θ(k)

e_θ(k-1)＝θ₀(k-1)-θ(k-1)

z_θ0(k)＝z_θ0(k-1)+T_sp(z_θ1(k-1)-λ_θ|₁e_θ(k-1)|^2/3sgn(e_θ(k-1)))

z_θ1(k)＝z_θ1(k-1)+T_sp(z_θ1(k-1)-λ_θ2|e_θ(k-1)|^1/2sgn(e_θ(k-1)))

z_θ2(k)＝z_θ2(k-1)+T_spλ_θ3sgn(-λ_θ2|e_θ(k-1)|^1/2sgn(e_θ(k-1)))

θ₀(k)＝z_θ0(k),dθ(k)＝z_θ1(k),d₂θ(k)＝z_θ2(k)

其中，e_θ(k-1)为滑模面θ(k-1)的估计误差；z_θ0(k),z_θ1(k),z_θ2(k)分别为为θ(k)及其一阶、二阶的估计值；λ_θ1,λ_θ2,λ_θ3分别为该微分估计器一阶、二阶、三阶增益；

(5)计算角度控制误差e(k)及其一阶导数、二阶导数d₁e(k),d₂e(k)：

e(k)＝θ^*(k)-θ(k)

d₁e(k)＝dθ^*(k)-dθ(k)

d₂e(k)＝d₂θ^*(k)-d₂θ(k)；

(6)计算位置环的分数阶快速终端滑模面s(k)：

s(k)＝dr(k)+b₁e(k)+b₂|e(k)|^zsign(e(k))

其中，r分数阶微分算子d^r参数，且0＜r＜1，指数z≥2，b₁,b₂分别是分数阶快速终端滑模面s(k)的增益系数，且属于非零正实数；

(7)利用微分器计算分数阶快速终端滑模面s(k)的一阶导数ds(k)：

e_s(k-1)＝s₀(k-1)-s(k-1)

z_s0(k)＝z_s0(k-1)+T_sp(z_s1(k-1)-λ_s1|e_s(k-1)|^1/2sgn(e_s(k-1)))

z_s1(k)＝z_s1(k-1)+T_spλ_s2sgn(-λ_s2|e_s(k-1)|^1/2sgn(e_s(k-1)))

s₀(k)＝z_s0(k),ds(k)＝z_s1(k)

其中：e_s(k-1)为滑模面s(k-1)的估计误差；s₀(k)为s(k)的估计值；z_s0(k)为s(k)的估计值；z_s1(k)为ds(k)的估计值；λ_s1与λ_s2分别为该微分器一阶、二阶增益；

(8)计算位置环的非奇异快速终端滑模面σ(k)＝s(k)+αs(k)^gh+βds(k)^pq；其中，α,β分别为非奇异快速终端滑模面σ(k)的系数，且α＞0,β＞0，g,h,p,q分别是正奇数，且g/h＞1,1＜p/q＜2；

(9)计算分数阶终端滑模控制量u(k)；

E(k)＝z(k-1)|e(k)|^z-2sign(e(k))d₁e(k)²+z|e(k)|^z-1d₂e(k)

Λ(k)＝b₁d₂e(k)+b₂E(k)-L₁(k)

其中，γ,m,n为推导过程中所使用的滑模趋近率的系数，δ为干扰上界，L₁(k)、L₂(k)分别为Γ₁(k)、Γ₂(k)的滤波输出，b₁、b₂；分别为增益系数，k_i、k_p分别为积分系数和比例系数；

(10)计算随动系统的电流环指令

其中：和分别电流指令的最大值和最小值；综合系数J为电机轴与负载的转动惯量总和，n_p为电机的极对数，η为传动的速比，ψ_f为PMSM定子永磁磁链；

(11)判断电流环周期是否达到，若是则进入第(13)步，否则返回第(1)步；

(12)采集线电流i_a(j),i_b(j)，i_c(j)和电机的电角度θ_e(j)，计算PMSM在dq坐标下的交直轴电流i_d(j),i_q(j)：

其中，T_sc为电流环控制周期，T_sp＝10T_sc，j/k＝10；

(13)计算随动系统的d轴电压控制指令u_d(k)；

e_d(j)＝-i_d(j)

其中，u_max和u_min分别电压控制量u_d(k)、u_q(k)的最大值和最小值；k_p,k_i分别为分数阶PI控制器比例和积分系数，λ为分数阶参数；

(14)计算随动系统的q轴电压控制指令u_q(k)；

(15)计算随动系统的dq轴电压控制指令u_d(j)，u_q(j)给SVPWM输入端，控制功率电子驱动电机向目标角度θ^*(k)转动。

本发明的有益效果是：随动系统只有位置环和电流环的两环组成，较之传统随动位置环、速度环、电流环的三环控制结构，提高了随动系统的响应带宽。随动系统的电流环采用分数阶控制器的控制性能，如快速性和鲁棒性优于传统整数阶控制器，对电流环参数不敏感；随动系统位置环并采用分数阶快速终端滑模能有效的去除线性滑模在随动系统中的抖振，且具有更强的鲁棒性，对负载转动惯量和外界扰动不敏感，使随动跟踪误差快速有限时间收敛至零，使系统具有良好的动态响应能力，使系统同时满足静态定位和动态跟踪精度。

附图说明

图1是本发明的控制原理图；

图2是本发明的计算流程图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明，本发明包括但不仅限于下述实施例。

本发明的方案有如下步骤：

(1)判断角度指令θ^*(k)是否到？是，进入步骤(2)，否则就进入步骤(11)，k为角度控制的步数；

(2)提取随动角度反馈θ(k)，T_sp为随动角度控制周期；

(3)利用微分器求解计算指令θ^*(k)一阶至三阶导数d₁θ^*(k),d₂θ^*(k),d₃θ^*(k)：

其中，为滑模面θ^*(k-1)的估计误差；分别为为θ^*(k)及其一阶、二阶、三阶的估计值；分别为该微分估计器一阶、二阶、三阶、四阶增益；

(4)利用微分器计算角度反馈θ(k)的一阶导和二阶导d₁θ(k),d₂θ(k)

e_θ(k-1)＝θ₀(k-1)-θ(k-1)

z_θ0(k)＝z_θ0(k-1)+T_sp(z_θ1(k-1)-λ_θ1|e_θ(k-1)|^2/3sgn(e_θ(k-1)))

z_θ1(k)＝z_θ1(k-1)+T_sp(z_θ1(k-1)-λ_θ2|e_θ(k-1)|^1/2sgn(e_θ(k-1)))

z_θ2(k)＝z_θ2(k-1)+T_spλ_θ3sgn(-λ_θ2|e_θ(k-1)|^1/2sgn(e_θ(k-1)))

θ₀(k)＝z_θ0(k),dθ(k)＝z_θ1(k),d₂θ(k)＝z_θ2(k)

其中：e_θ(k-1)为滑模面θ(k-1)的估计误差；z_θ0(k),z_θ1(k),z_θ2(k)分别为为θ(k)及其一阶、二阶的估计值；λ_θ1,λ_θ2,λ_θ3分别为该微分估计器一阶、二阶、三阶增益；

(5)计算角度控制误差e(k)及其一阶导数，二阶导数d₁e(k),d₂e(k)：

e(k)＝θ^*(k)-θ(k)

d₁e(k)＝dθ^*(k)-dθ(k)

d₂e(k)＝d₂θ^*(k)-d₂θ(k)

(6)计算位置环的分数阶快速终端滑模面s(k)：

s(k)＝dr(k)+b₁e(k)+b₂|e(k)|^zsign(e(k))

其中：r分数阶微分算子d^r参数，且0＜r＜1，指数z≥2，b₁,b₂分别是分数阶快速终端滑模面s(k)的增益系数，且属于非零正实数；

(7)利用微分器计算分数阶快速终端滑模面s(k)的一阶导数ds(k)：

e_s(k-1)＝s₀(k-1)-s(k-1)

z_s0(k)＝z_s0(k-1)+T_sp(z_s1(k-1)-λ_s1|e_s(k-1)|^1/2sgn(e_s(k-1)))

z_s1(k)＝z_s1(k-1)+T_spλ_s2sgn(-λ_s2|e_s(k-1)|^1/2sgn(e_s(k-1)))

s₀(k)＝z_s0(k),ds(k)＝z_s1(k)

其中：e_s(k-1)为滑模面s(k-1)的估计误差；s₀(k)为s(k)的估计值；z_s0(k)为s(k)的估计值；z_s1(k)为ds(k)的估计值；λ_s1与λ_s2分别为该微分估计器一阶、二阶增益；

(8)计算位置环的非奇异快速终端滑模面σ(k)

σ(k)＝s(k)+αs(k)^g/h+βds(k)^p/q

其中，α,β分别为非奇异快速终端滑模面σ(k)的系数，且α＞0,β＞0，g,h,p,q分别是正奇数，且g/h＞1,1＜p/q＜2；

(9)计算分数阶终端滑模控制量u(k)；

E(k)＝z(z-1)|e(k)|^z-2sign(e(k))de(k)²+z|e(k)|^z-1d₂e(k)

Λ(k)＝b₁d₂e(k)+b₂E(k)-L₁(k)

其中，γ,m,n为推导过程中所使用的滑模趋近率的系数，δ为干扰上界；

(10)计算随动系统的电流环指令

其中：和分别电流指令的最大值和最小值；综合系数J为电机轴与负载的转动惯量总和，n_p为电机的极对数，η为传动的速比，ψ_f为PMSM定子永磁磁链；

(11)电流环周期是否到，若是，进入第(13)步，否则进入第(1)步；

(12)采集线电流i_a(j),i_b(j)计算PMSM在dq坐标下的交直轴电流i_d(j),i_q(j)：

其中，T_sc为电流环控制周期，T_sp＝10T_sc，j/k＝10；

(13)计算随动系统的d轴电压控制指令u_d(k)；

e_d(j)＝-i_d(j)

其中，u_max和u_min分别电压控制量u_d(k)、u_q(k)的最大值和最小值；k_p,k_i分别为分数阶PI控制器比例和积分系数，λ为分数阶参数；

(14)计算随动系统的q轴电压控制指令u_q(k)；

(15)计算随动系统的dq轴电压控制指令u_d(j)，u_q(j)给SVPWM输入端，控制功率电子驱动电机向目标角度θ^*(k)转动。

本发明的控制原理见图1。图中在一般的火炮随动隐极PMSM驱动驱动原理图，将电流环环传统的PI控制器采用分数阶PI控制代替，随动系统取消传统的速度控制环，位置控制环由分数阶快速终端滑模变结构控制器取代传统的“PI+前馈”的复合控制器。该控制方法大致步骤：首先，接收角度指令θ^*(k)，提取随动角度反馈θ(k)，利用微分器求解计算指令θ^*(k)一阶至三阶导数，利用微分器计算角度反馈θ(k)的一阶导数和二阶导数；然后，计算角度控制误差e(k)及其一阶导数和二阶导数；再次，计算位置环的分数阶快速终端滑模面s(k)，利用微分器计算分数阶快速终端滑模面s(k)的一阶导数ds(k)，计算位置环的非奇异快速终端滑模面σ(k)；再再次，计算分数阶终端滑模控制量u(k)，计算随动系统的电流环指令最后，采集线电流i_a(k),i_b(k)计算PMSM在dq坐标下的交直轴电流i_d(k),i_q(k)，计算的电流环dq轴电压控制量u_d(k),u_q(k)，将dq轴电压控制量作为PMSM的逆park变换的输入来完成电机的k步控制。

分数阶滑模结合了分数阶微积分理论与传统滑模控制理论的双重优点，与传统滑模对比能够对具有模型不确定性和存在外部扰动的系统进行更好的鲁棒性控制。根据图1，写出隐极PMSM运动模型方程：

其中ω为角速率，B为摩擦系数，i_q为q轴电流环电流，ε_ω(T_L,Δ_ω)为外部干扰力矩和为建模误差。考虑采用分数阶PI控制器时电流环控制的过度过程，得到系统分数阶误差方程为：

其中分别取如下分数阶快速终端滑模面:

s＝d^re+b₁e+b₂|e|^zsign(e)

并结合位置系统分数阶误差方程，即可推导控制控制率，可以验证分别满足李雅普诺夫稳定性要求，即

其中V_e,V_σ分别为滑模面能量函数。能够保证控制误差e_θ在有限时间收敛至零。由于控制周期T_ps为1ms，时间非常短，利用一阶欧拉离散化近似实现连续状态快速终端滑模控制是可行的。

与传统微积分相比，分数阶微积分增加了微分和积分运算两个自由度的可变性，利用分数阶微积分算子的遗传特性和记忆性能够进一步提高系统的控制品质和综合性能。电流环被控对象的传递函数为:

其中k_g为逆变器、电机和电流调理电路的增益，T_l为电机的电气时间常数，T_∑i为逆变器和电流电路的小惯性时间常数。电流环开环传递函数G(s)＝C_s(s)G_p(s)：

其频率特性的相位和幅值分别为

其中ω_c为电流环截至频率。根据一下规则建立方程组设计分数阶PI控制器：

(1)相位裕度准则：为相位裕度

(2)增益准则：|G(jω_c)|＝1

(3)系统增益变化的鲁棒性准则：

解出分数阶PI控制器k_p,k_i,λ，并用Tustin+CEE方法(二阶)对分数阶算子直接离散化。

实施该控制方法的火炮随动驱动调速系统，该计算平台是以DSP28335为核心的控制板。功率驱动采用IPM驱动，选用PMSM电机，母线电压为56VDC，极对数n_p＝3，转矩系数ψ_f＝0.368Wb，定子电阻R_s＝0.008Ω，交直轴电感L＝0.2mH，功率3Kw，额定转速3500RPM，电机转子等效转动惯量J为0.0006329kg·m²。

图2为本发明控制方法的计算流程图，下面将结合流程图详述具体实施过程：

(1)判断角度指令θ^*(k)是否到？是，进入步骤(2)，否则就进入步骤(11)，k为角度控制的步数；

(2)提取随动角度反馈θ(k)，随动角度控制周期T_sp＝1ms；

(3)利用微分器求解计算指令θ^*(k)一阶至三阶导数d₁θ^*(k),d₂θ^*(k),d₃θ^*(k)：

其中，分别为该微分估计器一阶二阶三阶增益

(4)利用微分器计算角度反馈θ(k)的一阶导和二阶导d₁θ(k),d₂θ(k)

e_θ(k-1)＝θ₀(k-1)-θ(k-1)

z_θ0(k)＝z_θ0(k-1)+T_sp(z_θ1(k-1)-λ_θ1|e_θ(k-1)|^2/3sgn(e_θ(k-1)))

z_θ1(k)＝z_θ1(k-1)+T_sp(z_θ1(k-1)-λ_θ2|e_θ(k-1)|^1/2sgn(e_θ(k-1)))

z_θ2(k)＝z_θ2(k-1)+T_spλ_θ2sgn(-λ_θ2|e_θ(k-1)|^1/2sgn(e_θ(k-1)))

θ₀(k)＝z_θ0(k),dθ(k)＝z_θ1(k),d₂θ(k)＝z_θ2(k)

其中：该微分估计器一阶增益λ_θ1＝3.5、二阶增益λ_θ2＝15、三阶增益λ_θ3＝134、四阶增益λ_θ4＝873、；

(5)计算角度控制误差e(k)及其一阶导数，二阶导数d₁e(k),d₂e(k)：

d₁e(k)＝θ^*(k)-θ(k)

d₁e(k)＝dθ^*(k)-dθ(k)

d₂e(k)＝d₂θ^*(k)-d₂θ(k)

(6)计算位置环的分数阶快速终端滑模面s(k)：

s(k)＝d^re(k)+b₁e(k)+b₂|e(k)|^zsign(e(k))

其中：分数阶微分算子参数r＝0.46，且0＜r＜1，指数z＝7.23，分别是分数阶快速终端滑模面s(k)的增益系数b₁＝65.7,b₂＝9.14；dr(k)初值dr(0)＝0；dr(1)＝0；

(7)利用微分器计算分数阶快速终端滑模面s(k)的一阶导数ds(k)：

e_s(k-1)＝s₀(k-1)-s(k-1)

z_s0(k)＝z_s0(k-1)+T_sp(z_s1(k-1)-λ_s1|e_s(k-1)|^1/2sgn(e_s(k-1)))

z_s1(k)＝z_s1(k-1)+T_spλ_s2sgn(-λ_s2|e_s(k-1)|^1/2sgn(e_s(k-1)))

s₀(k)＝z_s0(k),ds(k)＝z_s1(k)

其中：该微分估计器一阶增益λ_s1＝7.8、二阶增益λ_s2＝24；

(8)计算位置环的非奇异快速终端滑模面σ(k)

σ(k)＝s(k)+αs(k)^g/h+βds(k)^p/q

其中，非奇异快速终端滑模面σ(k)的系数α＝91.3,β＝5.75，分别是正奇数g＝7,h＝3,p＝5,q＝3g＝7,h＝3,p＝5,q＝3，且g/h＞1,1＜p/q＜2；

(9)计算分数阶终端滑模控制量u(k)；

E(k)＝z(z-1)|e(k)|^z-2sign(e(k))de(k)²+z|e(k)|^z-1d₂e(k)

Λ(k)＝b₁d₂e(k)+b₂E(k)-L₁(k)

其中，滑模σ趋近律的系数γ＝2.7,m＝1,n＝3，估计干扰上界δ＝10；L₁(k)的初值L₁(0)＝0；L₁(1)＝0；L₂(k)的初值L₂(0)＝0,L₂(1)＝0；b₁＝2，b₂＝4，k_i＝0.5，k_p＝3；

(10)计算随动系统的电流环指令

其中：电流指令的最大值和最小值综合系数电机轴与负载的转动惯量总和J＝0.0006329，电机的极对数n_p＝3，传动的速比η＝340，PMSM定子永磁磁链ψ_f＝0.368；的初值

(11)电流环周期是否到，若是，进入第(13)步，否则进入第(1)步；

(12)采集线电流i_a(j),i_b(j)计算PMSM在dq坐标下的交直轴电流i_d(j),i_q(j)：

其中，电流环控制周期T_sc＝0.1ms，T_sp＝10T_sc，j/k＝10；

(13)计算随动系统的d轴电压控制指令u_d(k)；

e_d(j)＝-i_d(j)

其中，电压控制量的最大值u_max＝32和最小值u_min＝-32；在给定相位裕度φ_m＝60°，电流环截至频率ω_c＝570Hz，设计出分数阶PI控制器比例系数k_p＝5.72和积分系数k_i＝420.6，分数阶参数λ＝0.853。

(14)计算随动系统的q轴电压控制指令u_q(k)；

(15)计算随动系统的dq轴电压控制指令u_d(j)，u_q(j)给SVPWM输入端，控制功率电子驱动电机向目标角度θ^*(k)转动；

本发明所需要参数见表1。

表1本发明所用参数取值表

Claims (1)

1.一种采用分数阶快速终端滑模控制的随动控制方法，其特征在于包括下述步骤：

(1)判断角度指令θ^*(k)是否到达，若是则进入步骤(2)，否则进入步骤(11)，k为角度控制的步数；

(2)提取随动角度反馈θ(k)；

(3)利用微分器求解计算指令θ^*(k)一阶至三阶导数d₁θ^*(k),d₂θ^*(k),d₃θ^*(k)：

<mrow> <msub> <mi>e</mi> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>3</mn> <mo>/</mo> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msup> <mi>d&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，为滑模面θ^*(k-1)的估计误差；分别为为θ^*(k)及其一阶、二阶、三阶的估计值；分别为该微分器一阶、二阶、三阶、四阶增益；T_sp为随动角度控制周期；

(4)利用微分器计算角度反馈θ(k)的一阶导和二阶导d₁θ(k),d₂θ(k)

e_θ(k-1)＝θ₀(k-1)-θ(k-1)

z_θ0(k)＝z_θ0(k-1)+T_sp(z_θ1(k-1)-λ_θ1|e_θ(k-1)|^2/3sgn(e_θ(k-1)))

z_θ1(k)＝z_θ1(k-1)+T_sp(z_θ1(k-1)-λ_θ2|e_θ(k-1)|^1/2sgn(e_θ(k-1)))

z_θ2(k)＝z_θ2(k-1)+T_spλ_θ3sgn(-λ_θ2|e_θ(k-1)|^1/2sgn(e_θ(k-1)))

θ₀(k)＝z_θ0(k),dθ(k)＝z_θ1(k),d₂θ(k)＝z_θ2(k)

其中，e_θ(k-1)为滑模面θ(k-1)的估计误差；z_θ0(k),z_θ1(k),z_θ2(k)分别为为θ(k)及其一阶、二阶的估计值；λ_θ1,λ_θ2,λ_θ3分别为该微分估计器一阶、二阶、三阶增益；

(5)计算角度控制误差e(k)及其一阶导数、二阶导数d₁e(k),d₂e(k)：

e(k)＝θ^*(k)-θ(k)

d₁e(k)＝dθ^*(k)-dθ(k)

d₂e(k)＝d₂θ^*(k)-d₂θ(k)；

(6)计算位置环的分数阶快速终端滑模面s(k)：

<mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>

s(k)＝dr(k)+b₁e(k)+b₂|e(k)|^zsign(e(k))

其中，r分数阶微分算子d^r参数，且0＜r＜1，指数z≥2，b₁,b₂分别是分数阶快速终端滑模面s(k)的增益系数，且属于非零正实数；

(7)利用微分器计算分数阶快速终端滑模面s(k)的一阶导数ds(k)：

e_s(k-1)＝s₀(k-1)-s(k-1)

z_s0(k)＝z_s0(k-1)+T_sp(z_s1(k-1)-λ_s1|e_s(k-1)|^1/2sgn(e_s(k-1)))

z_s1(k)＝z_s1(k-1)+T_spλ_s2sgn(-λ_s2|e_s(k-1)|^1/2sgn(e_s(k-1)))

s₀(k)＝z_s0(k),ds(k)＝z_s1(k)

其中：e_s(k-1)为滑模面s(k-1)的估计误差；s₀(k)为s(k)的估计值；z_s0(k)为s(k)的估计值；z_s1(k)为ds(k)的估计值；λ_s1与λ_s2分别为该微分器一阶、二阶增益；

(8)计算位置环的非奇异快速终端滑模面σ(k)＝s(k)+αs(k)^g/h+βds(k)^p/q；其中，α,β分别为非奇异快速终端滑模面σ(k)的系数，且α＞0,β＞0，g,h,p,q分别是正奇数，且g/h＞1,1＜p/q＜2；

(9)计算分数阶终端滑模控制量u(k)；

E(k)＝z(k-1)|e(k)|^z-2sign(e(k))d₁e(k)²+z|e(k)|^z-1d₂e(k)

<mrow> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> </mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </mrow> </msup> </mrow>

Λ(k)＝b₁d₂e(k)+b₂E(k)-L₁(k)

<mrow> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>q</mi> <mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>p</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，γ,m,n为推导过程中所使用的滑模趋近率的系数，δ为干扰上界，L₁(k)、L₂(k)分别为Γ₁(k)、Γ₂(k)的滤波输出，b₁、b₂；分别为增益系数，k_i、k_p分别为积分系数和比例系数；

(10)计算随动系统的电流环指令

<mrow> <mi>s</mi> <mi>u</mi> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mi>b</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>i</mi> <mi>q</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <msubsup> <mi>i</mi> <mi>q</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>&amp;lambda;</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <msubsup> <mi>i</mi> <mi>q</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <mi>s</mi> <mi>u</mi> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>s</mi> <mi>u</mi> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>u</mi> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mrow> <msubsup> <mi>i</mi> <mi>q</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>i</mi> <mi>q</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msubsup> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>i</mi> <mi>q</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>min</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>&lt;</mo> <msubsup> <mi>i</mi> <mi>q</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <msubsup> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>min</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>i</mi> <mi>q</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>min</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

其中：和分别电流指令的最大值和最小值；综合系数J为电机轴与负载的转动惯量总和，n_p为电机的极对数，η为传动的速比，ψ_f为PMSM定子永磁磁链；

(11)判断电流环周期是否达到，若是则进入第(13)步，否则返回第(1)步；

(12)采集线电流i_a(j),i_b(j)，i_c(j)和电机的电角度θ_e(j)，计算PMSM在dq坐标下的交直轴电流i_d(j),i_q(j)：

<mrow> <msub> <mi>i</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>i</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow>

其中，T_sc为电流环控制周期，T_sp＝10T_sc，j/k＝10；

(13)计算随动系统的d轴电压控制指令u_d(k)；

e_d(j)＝-i_d(j)

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>p</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;e</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;e</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>min</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>min</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>min</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

其中，u_max和u_min分别电压控制量u_d(k)、u_q(k)的最大值和最小值；k_p,k_i分别为分数阶PI控制器比例和积分系数，λ为分数阶参数；

(14)计算随动系统的q轴电压控制指令u_q(k)；

<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>i</mi> <mi>q</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;u</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>p</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;e</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;e</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>max</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>min</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>max</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>min</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>min</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

(15)计算随动系统的dq轴电压控制指令u_d(j)，u_q(j)给SVPWM输入端，控制功率电子驱动电机向目标角度θ^*(k)转动。