CN107526070A

CN107526070A - 天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法

Info

Publication number: CN107526070A
Application number: CN201710970706.4A
Authority: CN
Inventors: 黄大羽; 唐续; 周庆; 牟之英
Original assignee: China Aeronautical Radio Electronics Research Institute
Current assignee: China Aeronautical Radio Electronics Research Institute
Priority date: 2017-10-18
Filing date: 2017-10-18
Publication date: 2017-12-29

Abstract

本发明公开了一种天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法，一：初始化观测环境参数；二：初始化批处理参数并令批处理迭代次数i＝1；三：计算每个量测和每个目标、每条路径的后验关联概率；四：计算每个目标在每条路径下的综合量测及综合协方差；五：对每个目标的所有路径采用并行扩展卡尔曼平滑算法，更新状态参数及状态协方差；第六步：判断是否满足循环迭代收敛条件，如不满足，令i＝i+1并返回第三步；否则下一步；七：更新航迹的目标存在置信度,判断若目标存在置信度大于确认概率则输出确认航迹；若目标存在置信度小于删除概率则删除该航迹；否则作为临时航迹有待于进一步的判断；八：批处理滑动窗向前滑动T_s个时刻，返回第二步。

Description

天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法

技术领域

本发明属于雷达技术领域，主要涉及一种高效多路径信息融合的概率多假设跟踪(PMHT)算法，具体来说是一种基于天波超视距雷达(OTHR)的信号多路径传播特点，对微弱多目标进行跟踪的方法。该方法在可分辨的信号多路径传播环境中，通过对多路径观测函数显式建模，并对多路径观测信息融合处理，从而对低可观测、高杂波条件下的微弱多目标进行跟踪。

背景技术

目标跟踪技术广泛应用于各领域中，特别是雷达信号系统。天波超视距雷达是一种远程预警雷达，它利用高频电磁波在电离层的折射实现超视距范围的探测。天波超视距雷达的作用距离不受地球曲率的限制，可对监测区域内的各类运动目标实施远程预警，具有典型的四抗性能(侦察-反侦察、干扰-反干扰、摧毁-反摧毁和隐身-反隐身)。但相比常规雷达，OTHR雷达主要面对低检测概率、低测量精度、高虚警率等困难。同时，由于多层电离层折射电磁波，形成多条信号传播路径，一个目标可产生多个量测。

传统的多目标跟踪算法，如多假设跟踪(MHT)、联合概率数据关联(JPDA)等，都基于一种量测与目标关联的“硬”决策：一个目标至多产生一个量测。因此，不仅容易产生虚假航迹，而且目标跟踪精度差，失跟率高。基于这些基本算法，针对多路径特点的目标跟踪扩展算法在一定程度上允许多个量测与同一目标关联，解决了多径虚假航迹问题，但这些算法需要穷举所有可能的关联事件，其计算复杂度随着目标数、量测数以及路径数的增加，呈指数增长，成为NP难题。

概率多假设跟踪算法(PMHT)是一种复杂度与量测数和目标数线性相关的批处理目标跟踪算法。这源于其采用了量测与目标关联的“软”决策：一个目标可产生多个量测，且量测与目标的关联相互独立(可将所有量测分配给任一目标)。PMHT算法实现的核心是在目标与量测关联未知的情况下，基于期望最大(EM)算法得到目标状态的最大后验(MAP)估计。之前，PMHT算法曾应用到OTHR场景，但其没有区分不同路径的特性，只采用了一种量测模型对来源于不同路径的量测作处理，其结果导致目标的虚假航迹产生，且目标跟踪精度差，失跟率高。

发明内容

本发明的目的在于提供一种天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法，扩展传统PMHT算法在多径环境中应用的不足。

本发明的目的通过以下技术方案实现：

一种天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法，包含以下步骤：

第一步：初始化PMHT算法的观测环境参数；观测环境参数包含：倾斜距离方差，方位方差，多普勒方差，虚警概率，检测概率，杂波密度λ，采样间隔，监控空间的体积V，路径数目L。

第二步：初始化PMHT算法的批处理参数并令批处理迭代次数i＝1；批处理参数包含目标状态参数X，目标状态协方差P，量测数据Z、目标与量测关联的先验概率Π。

目标跟踪场景下的参数变量可分别表示为：

X＝(X(1),...,X(t),...,X(T_B))

Z＝(Z(1),...,Z(t),...,Z((T_B))

K＝(K(1),...,K(t),...,K(T_B))

其中T_B表示批处理的采样时刻数，X表示T_B个时刻的目标状态参数，P表示相应的目标状态协方差，Z表示T_B个时刻的量测集合，K代表一组未知且不可观测的随机变量，

X(t)＝(x₁(t),...,x_n(t),...,x_N(t))n＝1,...,N

其中，x_n(t)表示t时刻第n个目标的状态，P_n(t)表示相应的状态协方差，N表示目标数，z_j(t)表示t时刻的第j个量测数据，m_t表示t时刻的量测数据数目，k_j,l(t)表示t时刻第j个量测通过路径l来源的目标，其先验概率形式可表示为：

p(k_j,l(t)＝n)＝π_n,l(t)

这里π_n,l(t)表示量测通过路径l来源于目标x_n(t)的先验概率，则目标与量测关联的先验概率Π表示为：

Π＝(Π(1),...,Π(t),...,Π(T_B))

Π(t)＝(π_1,1(t),...,π_n,l(t),...,π_N,L(t))n＝1,...,Nl＝1,...,L

目标运动方程和对不同路径显式建模的观测方程，分别表示为：

x_n(t)＝F_n(t)x_n(t-1)+ν_n(t)n＝1,...,N

z_n,l(t)＝h_n,l(x_n(t))+ω_n,l(t)l＝1,...,L

其中F_n(t)为运动矩阵，h_n,l(·)为目标x_n(t)经路径l的观测函数。ν_n(t)、ω_n,l(t)分别为过程噪声和观测噪声，并假定均为零均值的高斯白噪声，且协方差矩阵分别为Q_n(t)和R_n,l(t)。z_n,l(t)表示目标x_n(t)通过路径l产生的目标量测。

第三步：计算每个量测和每个目标、每条路径的后验关联概率：

其中：n＝1,...,N，j＝1,...,m_t，l＝1,...,L，式中，R_n,l(t)表示观测噪声的误差协方差阵，表示t时刻第n个目标第i次迭代运算的目标状态估计，z_j(t)表示t时刻获取的第j个测量数据，k_j,l(t)表示t时刻第j个量测通过路径l来源的目标；N{χ；μ,Σ}表示高斯概率密度函数，高斯变量χ的均值为μ，协方差为Σ，且π_n,l(t)为量测通过路径l来源于目标n的先验概率，π₀(t)表示杂波先验概率，V表示监视空间的体积；

第四步：计算每个目标在每条路径下的综合量测及综合量测协方差；

第五步：对每个目标的所有路径采用并行扩展卡尔曼平滑算法，得到T_B个时刻的状态参数及状态协方差；

(一)对目标x_n(t)在不同路径下的量测矩阵、综合量测、综合量测协方差进行堆叠；对量测函数h_n,l(·)求梯度得到量测矩阵H_n,l(t)，得堆叠量测矩阵为：

再分别堆叠综合量测和综合量测协方差为：

式中diag(·)表示对角化矩阵。

(二)对目标x_n(t)执行并行扩展卡尔曼平滑算法。首先，进行向前平滑

x_n(t|t-1)＝F_n(t)x_n(t-1|t-1)

P_n(t|t-1)＝F_n(t)P_n(t-1|t-1)F_n(t)′+Q_n(t)

之后，进行向后平滑：

C_n(t)＝P_n(t|t)F_n(t)′P_n(t+1|t)^-1

x_n(t|N)＝x_n(t|t)+C_n(t)[x_n(t+1|N)-x_n(t+1|t)]

P_n(t|N)＝P_n(t|t)+C_n(t)[P_n(t+1|N)-P_n(t+1|t)]C_n(t)′

第六步：判断是否满足循环迭代收敛条件，如不满足，令i＝i+1并返回第三步；否则执行下一步；

第七步：更新航迹的目标存在置信度,判断若目标存在置信度大于确认概率则输出确认航迹；若目标存在置信度小于删除概率则删除该航迹；否则作为临时航迹有待于进一步的判断；

第八步：批处理滑动窗向前滑动T_s个时刻，返回执行第二步。

本发明的有益效果在于：本发明对OTHR多路径观测过程进行显式建模和信息融合处理，同时利用PMHT的算法特性有效降低量测与目标关联的计算复杂度，能有效利用多条路径的量测信息，在提高目标状态估计精度的同时显著降低了目标失跟率。

附图说明

图1为超视距雷达下，目标与传感器的位置和量测模型几何图。

图2为两种电离层E和F下，信号从发射机传感器到目标再到接收机传感器的传播路径图。分别为EE、EF、FE和FF这4种传播路径，对应4种量测模型。

图3为2个目标环境下40个采样时刻的倾斜距离。图中：杂波用黑色圆点表示，由EE传播路径产生的量测用圆形表示，由EF传播路径产生的量测用正方形表示，由FE传播路径产生的量测用菱形表示，由FF传播路径产生的量测用星形表示。由目标1通过同一传播路径产生的量测用实线连接，由目标2通过同一传播路径产生的量测用虚线连接。

图4为2个目标环境下40个采样时刻的多普勒。

图5为2个目标环境下40个采样时刻的倾斜角度观测值。

图6为2个目标环境下，多路径PMHT算法多目标跟踪结果图。

图7为天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法的流程示意图。

3、具体实现方式

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将对本发明的具体实施方式作进一步的详细描述。

如图7所示，天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法包含以下步骤：

第一步：初始化PMHT算法的观测环境参数。

在天波超视距雷达应用场景中，接收机传感器固定在[0km，0km]收集由电离层反射回来的信号，发射机传感器固定在[100km，0km]。假定有两个理想的电离层E和F如图1所示，它们相对应有两个固定的高度h_E＝100km和h_F＝220km，那么信号从发射机传感器到目标再到接收机传感器有EE、EF、FE和FF共4种传播路径，且设每条路径观测的检测概率均为0.4。

监视区域所对应量测空间的斜距范围为1 100～1 350km，多普勒范围为0.135～0.155km/s，方位角范围为0.09～0.17rad，量测数据表示为z_j(t)＝[Rg_j(t),Rr_j(t),Az_j(t)]^T，其中Rg(t),Rr(t),Az(t)分别为斜距，多普勒和方向角量测。量测标准差分别为：σ_Rg＝5km，σ_Rr＝0.001km/s，σ_Az＝0.003rad。假定杂波在单元内均匀分布，且平均每个时刻的杂波数N_λ＝10。

雷达系统采样时刻之间的间隔ΔT为20s，仿真总时长为40个时刻，每次批处理的时长T_B为3个时刻，滑动长度T_s为2个时刻。每批处理中采用固定循环迭代次数为5次。在采样过程中，有2个目标分为以初始状态的运动向量为：

x₁＝[1100km 0.15km/s 0.10472rad 8.72665e-5rad/s]

x₂＝[1130km 0.15km/s 0.10472rad 8.72665e-5rad/s]

做匀速直线运动；

第二步：初始化PMHT算法的批处理参数并令批处理迭代次数i＝1。

由目标检测初始化算法或者目标预设得到N个目标初始化状态及相应的目标状态协方差：

X(1)＝(x₁(1),...,x_n(1),...,x_N(1))n＝1,...,N

P(1)＝(P₁(1),...,P_n(1),...,P_N(1))n＝1,...,N

传感器收到的量测数据Z如图3-图5所示。从地面状态参数坐标到传感器观测坐标[Rg Rr Az]的映射即观测模型由图2的几何模型可得：

η＝ρ-dsin(b)

Rg＝r₁+r₂

Az＝sin^-1{ρsin(b)/(2r₁)}

其中h_r和h_t分别替换成电离层E和F的高度，即为4种不同的观测模型。

目标与量测关联的先验概率Π计算如下：

第三步：计算每个量测和每个目标、每条路径的后验关联概率

第四步：计算每个目标在每条路径下的综合量测及综合协方差

第五步：对每个目标的所有路径采用并行扩展卡尔曼平滑算法，得到T_B个时刻的状态参数及状态协方差。

(一)对目标x_n(t)在不同路径下的量测矩阵、综合量测、综合量测协方差进行堆叠得到堆叠量测矩阵堆叠综合量测堆叠综合量测协方差

(二)对目标x_n(t)执行并行扩展卡尔曼平滑算法得到更新后的x_n(t)和P_n(t)；

第六步：判断是否满足循环迭代收敛条件，例如是否i＝5，如否，令i＝i+1并返回第三步；否则执行下一步。

第七步：更新航迹的目标存在置信度,判断若目标存在概率大于确认概率则输出确认航迹；若目标存在概率小于删除概率则删除该航迹；否则作为临时航迹有待于进一步的判断。

第八步：批处理滑动窗向前滑动T_s个时刻，即接收新的T_s个时刻量测数据，舍弃前T_s个时刻量测数据。返回执行第二步。

在本例实施中，图6中蓝色实线为在低检测概率，高杂波的OTHR环境下对多目标跟踪100次的跟踪航迹结果，且统计结果对两个目标的失跟次数均为0。其结果表明，跟踪航迹和目标真实航迹非常接近，多路径的PMHT算法对多目标保持了稳定的跟踪，既提高了目标状态估计精度，又显著降低了目标失跟率。

最后说明的是，以上实施仅用以说明本发明的技术方案而非限制，凡依本发明申请专利范围所做的均等变化和修饰，皆应属本发明的涵盖范围。

Claims

1.一种天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法，包含以下步骤：

第一步：初始化PMHT算法的观测环境参数；

第二步：初始化PMHT算法的批处理参数并令批处理迭代次数i＝1；

<mrow> <msubsup> <mi>w</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&pi;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&pi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>V</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>L</mi> </munderover> <msub> <mi>&pi;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>

其中

式中，L表示雷达传播的路径数目，N表示目标数，m_t表示t时刻的量测数据数目，R_n,l(t)表示观测噪声的误差协方差阵；表示t时刻第n个目标第i次迭代运算的目标状态估计，z_j(t)表示t时刻获取的第j个测量数据，k_j,l(t)表示t时刻第j个量测通过路径l来源的目标；N{χ；μ,Σ}表示高斯概率密度函数，高斯变量χ的均值为μ，协方差为Σ，且π_n,l(t)为量测通过路径l来源于目标n的先验概率，π₀(t)表示杂波先验概率，V表示监视空间的体积；

<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>t</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>w</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>t</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>w</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>t</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>w</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>

2.根据权利要求1所述的一种天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法，其特征在于所述观测环境参数包含：倾斜距离方差，方位方差，多普勒方差，虚警概率，检测概率，杂波密度λ，采样间隔，监控空间的体积V，路径数目L。

3.根据权利要求1所述的一种天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法，其特征在于所述批处理参数包含目标状态参数，目标状态协方差，量测数据、目标与量测关联的先验概率。

4.根据权利要求1所述的一种天波超视距雷达的多路径融合多目标跟踪算法，其特征在于所述第五步包含以下步骤：

(二)对目标x_n(t)进行向前平滑，得到：

<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>I</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>H</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>I</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>H</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>W</mi> <mi>n</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow>

其中，

P_n(t|t-1)＝F_n(t)P_n(t-1|t-1)F_n(t)′+Q_n(t)

<mrow> <msub> <mi>W</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>H</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msup> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>H</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>H</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow>

式中，P_n(t|t)与P_n(t|t-1)分别为目标x_n(t)的误差协方差估计与误差预测协方差估计，x_n(t|t)与x_n(t|t-1)分别为目标的状态估计与状态预测估计，Q_n(t)为雷达测量的误差协方差阵，W_n(t)为增益，F_n(t)为运动矩阵；

(三)对目标x_n(t)进行向后平滑，得到：

x_n(t|N)＝x_n(t|t)+C_n(t)[x_n(t+1|N)-x_n(t+1|t)]

P_n(t|N)＝P_n(t|t)+C_n(t)[P_n(t+1|N)-P_n(t+1|t)]C_n(t)′

其中，C_n(t)＝P_n(t|t)F_n(t)′P_n(t+1|t)^-1，x_n(t|N)与P_n(t|N)为向后平滑的目标状态估计与误差协方差估计。