CN107121114B - 基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法 - Google Patents

Abstract

基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法，涉及大口径平面镜面形评价领域，解决了现有估计方法存在的计算量大、全面性低的问题。该方法包括：将Zernike多项式在频域上的表达代入不同子孔径的不同阶Zernike多项式系数之间的互相关系数在频域上的表达，利用上述获得的公式以及全口径Zernike多项式系数β_j的定义进行计算得到子孔径Zernike多项式系数α_i与全口径Zernike多项式系数β_j之间的关系： 为全口径Zernike多项式系数平方的期望；将上述公式进行展开讨论，当阶数i大于3时：本发明利用子孔径镜面功率谱的统计学特征估计大口径平面镜的低阶像差，节省了检测成本，提高了检测精度。

Description

基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法

技术领域

本发明涉及大口径平面镜面形评价技术领域，具体涉及一种基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法。

背景技术

子孔径拼接技术最早是由美国专家C.Kim和J.Wyant共同提出的，其基本原理是利用互相重叠的子区域，结合适合的拼接算法以获得全口径的面形数据。目前，国内外利用子孔径拼接技术检测大口径平面镜都取得了一定的进展。然而，随着大口径平面镜口径的增加，子孔径的数量也会随之增加，同时由于拼接算法的关系，将各个子孔径拼接完成之后提取的低阶像差(离焦、像散)测量敏感度也随之降低。如果为了增加其估计精度而使用更大口径的平面干涉仪，其成本也难以进行控制。另一方面，进行子孔径拼接时，往往需要进行多次测量，仅使用一次测量的数据对时间、人员成本也造成了极大的浪费。因此，为了精确估计大口径平面镜低阶像差，亟需对子孔径拼接算法加以改进。

随着大口径望远镜的发展，仅依靠波前均方根是不能有效的表征其全频域的特征。功率谱是功率谱密度函数的简称，定义为单位频带内的信号功率，表示信号功率随着频率的变化情况，即信号功率在频域的分布状况。功率谱评价方法是上个世纪末NIF所提出的，已经有了较为成熟的标准(ISO 10110)。但是，功率谱评价方法只能评价某一方向的波前(波在介质中传播时，某时刻刚刚开始位移的质点构成的面，称为波前，它代表某时刻波能量到达的空间位置，它是运动着的)起伏，对于超光滑表面来说，可以取某个方向作为评价的标准。但是对于大口径望远镜来说，由于成本限制以及大气的影响，其面形没有必要达到亚纳米级，在此尺度下，面形在较大尺度上的各项异性就变得十分明显。之后对于功率谱的研究引入了二维功率谱，最后坍陷到一维来进行面形评价。但是傅里叶变换必须是针对正交的数据进行处理，而对于其它角度上的面形的统计学特征就无法评价。另一方面，在低频的部分，功率谱评价方法由于缺乏平均来降低噪声，故其评价的效果也会受影响。

发明内容

为了解决现有估计方法存在的计算量大、全面性低的问题，本发明提供一种基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法。

本发明为解决技术问题所采用的技术方案如下：

本发明的基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法，包括以下步骤：

步骤一、将Zernike多项式在频域上的表达代入不同子孔径的不同阶Zernike多项式系数之间的互相关系数在频域上的表达，得到式(5)：

式(5)中，为第一个子孔径第i阶Zernike多项式系数的共轭，α_j'为第二个子孔径第j阶Zernike多项式系数，Φ_sub为子孔径面形数据，i为整数，j'为整数，m为第一个子孔径周向对称数，m′为第二个子孔周向对称数，n为第一个子孔径轴向对称数，n′为第二个子孔径轴向对称数，R为大口径平面镜的全口径半径，为第一个子孔径所对应的空间频率矢量，为n+1阶0型贝塞尔函数，为n′+1阶0型贝塞尔函数；

步骤二、利用式(5)以及全口径Zernike多项式系数β_j的定义进行计算得到子孔径Zernike多项式系数α_i与全口径Zernike多项式系数β_j之间的关系，如式(9)所示：

式(9)中，为全口径Zernike多项式系数平方的期望；

步骤三、将式(9)进行展开得到式(10)、式(11)和式(12)：

其中，为全孔径第1阶Zernike系数平方的期望，为全孔径第2阶Zernike系数平方的期望，为全孔径第3阶Zernike系数平方的期望，β₁为全孔径第1阶Zernike系数，β₂为全孔径第2阶Zernike系数，β₃为全孔径第3阶Zernike系数，R_sub为大口径平面镜的子孔径半径，R_sub＝μR，即α₁为子孔径第1阶Zernike系数，α₂为子孔径第2阶Zernike系数，α₃为子孔径第3阶Zernike系数，α₇为子孔径第7阶Zernike系数，α₈为子孔径第8阶Zernike系数，ρ_O为子孔径偏心距离；

当阶数i大于3时：

进一步的，步骤一中，获得不同子孔径的不同阶Zernike多项式系数之间的互相关系数在频域上的表达的具体过程如下：

①不同子孔径的不同阶Zernike多项式系数之间的互相关系数的定义如式(1)所示：

式(1)中，为第一个子孔径位置矢量，为第二个子孔径位置矢量，为第一个子孔径的共轭，为第二个子孔径的波前，为第一个子孔径对应的i阶Zernike多项式，第二个子孔径对应的j'阶Zernike多项式；

②结合快速傅里叶变换以及功率谱对式(1)进行计算得到式(2)：

式(2)中，PSD_sub(f/R，f′/R)为各个子孔径平均所获得的功率谱，f为第一个子孔径所对应的空间频率，f′为第二个子孔径所对应的空间频率；

③将式(2)带入式(1)中，使式(1)在频域上重新表达，获得式(3)：

式(3)中，F_sub为子孔径的频域数据，为第一个子孔径的第i阶Zernike多项式的频域数据，为第二个子孔径的第j'阶Zernike多项式的频域数据，为第一个子孔径所对应的空间频率矢量，为第二个子孔径所对应的空间频率矢量。

进一步的，步骤一中，所述Zernike多项式在频域上的表达如式(4)所示：

式(4)中，为Zernike多项式在频域上的表达式，为n+1阶0型贝塞尔函数，φ为波前整体的相位偏置。

进一步的，步骤二的具体过程如下：

①子孔径面形数据Φ_sub与全口径面形数据Φ_full在对应位置的数据相同，如式(6)和式(7)所示：

其中，α_i为子孔径Zernike多项式系数，β_j为全口径Zernike多项式系数，i为整数，j'为整数，为子孔径Zernike多项式，为全口径Zernike多项式，O点为全口径覆盖区域的镜面圆心，O′点为子孔径覆盖区域的镜面圆心，A点为子孔径覆盖区域的镜面圆周上的点，为O点到A点的位置矢量，为O′到A点的位置矢量，为O点到O′点的位置矢量，R_sub为大口径平面镜的子孔径半径，R_sub＝μR，即

②对式(5)、式(6)和式(7)进行计算得到式(8)：

式(8)中，为全孔径面形数，为第j阶Zernike多项式，为第i阶Zernike多项式；

③对式(8)进行计算得到子孔径Zernike多项式系数α_i与全口径Zernike多项式系数β_j之间的关系，如式(9)所示。

本发明的有益效果是：本发明利用子孔径镜面功率谱的统计学特征，估计大口径平面镜的低阶像差，计算量大幅度降低，检测比较全面，不但节省了大口径平面镜拼接检测成本，而且提高了低阶像差的检测精度。

附图说明

图1为子孔径参数示意图。

图2为利用功率谱估计大口径平面镜低阶像差流程图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步详细说明。

本发明的一种基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法，可以在不获得镜面全面形的情况下，实现对大口径平面镜低阶像差的估计。该方法如图2所示，其实现的具体过程如下：

一、不同子孔径的不同阶Zernike多项式系数之间的互相关系数的基本定义如式(1)所示：

式(1)中，为第一个子孔径第i阶Zernike多项式系数的共轭，α_j'为第二个子孔径第j'阶Zernike多项式系数，Φ_sub为子孔径面形数据，为第一个子孔径位置矢量，为第二个子孔径位置矢量，i为整数，j'为整数，为第一个子孔径的共轭，一般来说，第一个子孔径的波前为纯实数，在此为了和频域计算相对应，故取其共轭；为第二个子孔径的波前，为第一个子孔径对应的i阶Zernike多项式，第二个子孔径对应的j'阶Zernike多项式。

二、通过观察式(1)，结合快速傅里叶变换(FFT)以及功率谱(PSD)计算方法可得：

式(2)中，PSD_sub(f/R，f′/R)为各个子孔径平均所获得的功率谱，R为大口径平面镜的全口径半径，f为第一个子孔径所对应的空间频率，f′为第二个子孔径所对应的空间频率，为第一个子孔径的共轭，为第二个子孔径的波前。实际计算的时候，首先分别计算各个子孔径的功率谱，之后进行平均，要求子孔径尽量覆盖全口径。

三、将式(2)带入式(1)中，使式(1)在频域上重新表达，获得式(3)：

式(3)中，为第一个子孔径第i阶Zernike多项式系数的共轭，α_j'为第二个子孔径第j阶Zernike多项式系数，Φ_sub为子孔径面形数据，i为整数，j'为整数，F_sub为子孔径的频域数据，为第一个子孔径的第i阶Zernike多项式的频域数据，为第二个子孔径的第j'阶Zernike多项式的频域数据，f为第一个子孔径所对应的空间频率，为第一个子孔径所对应的空间频率矢量，f′为第二个子孔径所对应的空间频率，为第二个子孔径所对应的空间频率矢量，R为大口径平面镜的全口径半径，而其中的Zernike多项式在频域上的表达如式(4)所示：

式(4)中，为Zernike多项式在频域上的表达式，为n+1阶0型贝塞尔函数，m为第一个子孔径周向对称数，n为第一个子孔径轴向对称数，为第一个子孔径所对应的空间频率矢量，φ为波前整体的相位偏置，i为整数，j'为整数。

四、将Zernike多项式在频域上的表达代入不同子孔径的不同阶Zernike多项式系数之间的互相关系数在频域上重新表达，即将式(4)代入式(3)可以得到基于功率谱(PSD)的相关系数表达，如式(5)所示：

式(5)中，为第一个子孔径第i阶Zernike多项式系数的共轭，α_j'为第二个子孔径第j阶Zernike多项式系数，Φ_sub为子孔径面形数据，i为整数，j'为整数，m为第一个子孔径周向对称数，m′为第二个子孔周向对称数，n为第一个子孔径轴向对称数，n′为第二个子孔径轴向对称数，R为大口径平面镜的全口径半径，为第一个子孔径所对应的空间频率矢量，为n+1阶0型贝塞尔函数，为n′+1阶0型贝塞尔函数。

五、利用式(5)可以建立起功率谱和Zernike多项式。利用子孔径数据对大口径平面镜镜面面形估计的核心思想在于子孔径面形数据Φ_sub与全口径面形数据Φ_full在对应位置的数据相同，如式(6)和式(7)所示：

即：

式(6)和式(7)中，α_i为子孔径Zernike多项式系数，β_j为全口径Zernike多项式系数，i为整数，j'为整数，为子孔径Zernike多项式，为全口径Zernike多项式。

如图1所示：O点为全口径覆盖区域的镜面圆心，O′点为子孔径覆盖区域的镜面圆心，A点为子孔径覆盖区域的镜面圆周上的点，为O点到A点的位置矢量，为O′到A点的位置矢量，为O点到O′点的位置矢量，R为大口径平面镜的全口径半径，R_sub为大口径平面镜的子孔径半径，R_sub＝μR，即

六、利用式(5)以及全口径Zernike多项式系数β_j的最基本定义式(6)和式(7)可得：

式(8)中，为全孔径面形数，为第j阶Zernike多项式，为第i阶Zernike多项式，Φ_sub为子孔径面形数据，α_i为子孔径Zernike多项式系数，i为整数，j'为整数。

七、对式(8)进行计算可得子孔径Zernike多项式系数α_i与全口径Zernike多项式系数β_j之间的关系，如式(9)所示：

式(9)中，为全口径Zernike多项式系数平方的期望，β_j为全口径Zernike多项式系数，α_i为子孔径Zernike多项式系数，Φ_sub为子孔径面形数据。

八、将式(9)展开并进行分情况讨论可得：

式(10)、式(11)和式(12)中，为全孔径第1阶Zernike系数平方的期望，为全孔径第2阶Zernike系数平方的期望，为全孔径第3阶Zernike系数平方的期望，β₁为全孔径第1阶Zernike系数，β₂为全孔径第2阶Zernike系数，β₃为全孔径第3阶Zernike系数，R为大口径平面镜的全口径半径，R_sub为大口径平面镜的子孔径半径，R_sub＝μR，即α₁为子孔径第1阶Zernike系数，α₂为子孔径第2阶Zernike系数，α₃为子孔径第3阶Zernike系数，α₇为子孔径第7阶Zernike系数，α₈为子孔径第8阶Zernike系数，ρ_O为子孔径偏心距离。

当阶数i大于3时：

式(13)中，α_i为子孔径Zernike多项式系数，i为整数，R为大口径平面镜的全口径半径，R_sub为大口径平面镜的子孔径半径，R_sub＝μR，即

以低阶像差中的离焦为例，对于离焦n＝2，m＝0，结合式(5)与式(10)、式(11)、式(12)可得离焦的表达式如(14)所示：

式(14)中，β₄为全孔径第4阶Zernike系数，为第一个子孔径所对应的空间频率矢量，为3阶0型贝塞尔函数，R为大口径平面镜的全口径半径，R_sub为大口径平面镜的子孔径半径，R_sub＝μR，即

需要说明的是：上述基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法中，涉及所有公式中的同一字母表示的含义是相同的。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (4)

1.基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、将Zernike多项式在频域上的表达代入不同子孔径的不同阶Zernike多项式系数之间的互相关系数在频域上的表达，得到式(5)：

式(5)中，为第一个子孔径第i阶Zernike多项式系数的共轭，α_j'为第二个子孔径第j阶Zernike多项式系数，Φ_sub为子孔径面形数据，i为整数，j'为整数，m为第一个子孔径周向对称数，m′为第二个子孔径周向对称数，n为第一个子孔径轴向对称数，n′为第二个子孔径轴向对称数，R为大口径平面镜的全口径半径，为第一个子孔径所对应的空间频率矢量，为n+1阶0型贝塞尔函数，为n′+1阶0型贝塞尔函数；为第一个子孔径获得的功率谱密度；

步骤二、利用式(5)以及全口径Zernike多项式系数β_j的定义进行计算得到子孔径Zernike多项式系数α_i与全口径Zernike多项式系数β_j之间的关系，如式(9)所示：

式(9)中，为全口径Zernike多项式系数平方的期望；为第j阶Zernike多项式，为第i阶Zernike多项式；O点为全口径覆盖区域的镜面圆心，O′点为子孔径覆盖区域的镜面圆心，A点为子孔径覆盖区域的镜面圆周上的点；为O点到A点的位置矢量，为O′到A点的位置矢量；

步骤三、将式(9)进行展开得到式(10)、式(11)和式(12)：

其中，为全孔径第1阶Zernike系数平方的期望，为全孔径第2阶Zernike系数平方的期望，为全孔径第3阶Zernike系数平方的期望，β₁为全孔径第1阶Zernike系数，β₂为全孔径第2阶Zernike系数，β₃为全孔径第3阶Zernike系数，R_sub为大口径平面镜的子孔径半径，R_sub＝μR，即α₁为子孔径第1阶Zernike系数，α₂为子孔径第2阶Zernike系数，α₃为子孔径第3阶Zernike系数，α₇为子孔径第7阶Zernike系数，α₈为子孔径第8阶Zernike系数，ρ_O为子孔径偏心距离；

当阶数i大于3时：

2.根据权利要求1所述的基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法，其特征在于，步骤一中，获得不同子孔径的不同阶Zernike多项式系数之间的互相关系数在频域上的表达的具体过程如下：

①不同子孔径的不同阶Zernike多项式系数之间的互相关系数的定义如式(1)所示：

式(1)中，为第一个子孔径位置矢量，为第二个子孔径位置矢量，为第一个子孔径的共轭，为第二个子孔径的波前，为第一个子孔径对应的i阶Zernike多项式，第二个子孔径对应的j'阶Zernike多项式；

②结合快速傅里叶变换以及功率谱对式(1)进行计算得到式(2)：

式(2)中，PSD_sub(f/R，f′/R)为各个子孔径平均所获得的功率谱，f为第一个子孔径所对应的空间频率，f′为第二个子孔径所对应的空间频率；

③将式(2)带入式(1)中，使式(1)在频域上重新表达，获得式(3)：

式(3)中，F_sub为子孔径的频域数据，为第一个子孔径的第i阶Zernike多项式的频域数据，为第二个子孔径的第j'阶Zernike多项式的频域数据，为第一个子孔径所对应的空间频率矢量，为第二个子孔径所对应的空间频率矢量。

3.根据权利要求1所述的基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法，其特征在于，步骤一中，所述Zernike多项式在频域上的表达如式(4)所示：

式(4)中，为Zernike多项式在频域上的表达式，为n+1阶0型贝塞尔函数，φ为波前整体的相位偏置。

4.根据权利要求1所述的基于功率谱的大口径平面镜低阶像差估计方法，其特征在于，步骤二的具体过程如下：

①子孔径面形数据Φ_sub与全口径面形数据Φ_full在对应位置的数据相同，如式(6)和式(7)所示：

其中，α_i为子孔径Zernike多项式系数，β_j为全口径Zernike多项式系数，i为整数，j'为整数，为子孔径Zernike多项式，为全口径Zernike多项式，O点为全口径覆盖区域的镜面圆心，O′点为子孔径覆盖区域的镜面圆心，A点为子孔径覆盖区域的镜面圆周上的点，为O点到A点的位置矢量，为O′到A点的位置矢量，为O点到O′点的位置矢量，R_sub为大口径平面镜的子孔径半径，R_sub＝μR，即

②对式(5)、式(6)和式(7)进行计算得到式(8)：

式(8)中，为全孔径面形数，为第j阶Zernike多项式，为第i阶Zernike多项式；

③对式(8)进行计算得到子孔径Zernike多项式系数α_i与全口径Zernike多项式系数β_j之间的关系，如式(9)所示。