CN104236855B - 施瓦茨光学系统波像差测量方法 - Google Patents

Abstract

一种施瓦茨光学系统波像差测量方法，该方法基于光栅横向剪切干涉测量装置，测量时将待测施瓦茨光学系统置于所述光栅横向剪切干涉测量装置的针孔掩模和剪切光栅之间，测量步骤如下：①获取x方向和y方向的横向剪切干涉图；②获取x方向和y方向的差分波前；③获取待测波前的环Zernike多项式系数。本发明的优点是将差分波前拟合得到差分环Zernike多项式，直接得到待测环形波前的环Zernike多项式系数，通过所述的前J项环Zernike多项式系数与环Zernike多项式相乘再求和，即得到待测施瓦茨光学系统的波像差。本发明简化了波前重建过程，提高了波前测量精度和速度。

Description

施瓦茨光学系统波像差测量方法

技术领域

本发明属于光学测量技术领域，涉及一种施瓦茨(Schwarzschild)光学系统波像差测量方法。

背景技术

施瓦茨光学系统由于具有大孔径、宽光谱、无色差等优点，在生物医学、天文观测及极紫外光刻等领域得到了广泛的应用。传统的光学系统光瞳形状为圆形，对于施瓦茨光学系统，由于存在中心遮拦，其光瞳形状为环形。

波像差是光学成像系统成像分辨率的主要限制因素，在高分辨率光学成像系统装调过程中，需要对其波像差进行测量，并将波像差的测量数据展开到一组正交的多项式，这组正交多项式的系数可以直接为光学系统的装调提供依据，波像差测量的目标一般为获取正交多项式系数。对于传统的圆形光瞳的波像差，一般采用在单位圆上正交的圆Zernike多项式描述[参见：J.C.Wyant and K.Creath,Basic Wavefront Aberration Theory for Optical Metrology,Vol.XI of Applied Optics and Optical Engineering Series(Academic,1992),28.]，具有如下优点[参见：G.-m.Dai,Wavefront Optics for Vision Correction,SPIE Press,2008.]：

(1)圆Zernike多项式第1项的系数表示整个系统波像差的平均值；

(2)除第1项外的其它项的系数平均值为零；

(3)除第1项外各项圆Zernike多项式的平方和为整个波像差的方差；

(4)增加或减少拟合的项数，不影响各项系数的数值；

(5)表示一组平衡的像差，即像差的方差最小。

然而，圆Zernike多项式在单位圆内正交，在其他区域内并不正交。如果用于展开波像差的多项式在该波像差相应光瞳区域内不具备正交性，则上述5项优点都不具备，相应的多项式系数也将失去意义。因此，对于环形光瞳的施瓦茨光学系统的波像差需采用在单位环域内正交的环Zernike多项式展开[参见：D.Malacara,Optical Shop Testing,3rd ed,(CRC Press,Taylor&Francis,2007).]，获取环Zernike多项式系数是施瓦茨光学系统波像差测量的目标。

横向剪切干涉是一种重要的、应用广泛的光学成像系统波像差测量技术，因为横向剪切干涉测量具有不需要额外的参考波前、对振动不敏感等优点。与传统的干涉测量技术不同，横向剪切干涉测量的是待测波前在剪切方向的差分(即差分波前)，而非待测波前自身，因此需要进行波前重建，即从差分波前中恢复出待测波前自身。为准确的重建待测波前，需要在两个相互正交的方向上分别进行一次测量，得到两个方向上的差分波前。

基于圆Zernike多项式的模式法波前重建技术是一种重要的剪切干涉波前重建方法，因为其重建结果即为待测波前的圆Zernike多项式系数，而不需要再进行波像差的圆Zernike多项式拟合。Rimmer-Wyant方法是最早提出的一种基于圆Zernike多项式的模式法波前重建技术(在先技术[1]：M.P.Rimmer and J.C.Wyant,“Evaluation of large aberrations using a lateral-shear interferometer having variable shear,”Appl.Opt.14(1),142–150(1975).)，这种技术将待测波前和差分波前同时展开到圆Zernike多项式，通过差分波前拟合求解差分波前的圆Zernike多项式系数，然后将其转换为待测波前的圆Zernike多项式系数。由于圆Zernike多项式是单位圆内的正交多项式，其在差分波前区域内(如图2和图3阴影部分所示)不正交，使得这种方法重建误差较大。

G.Harbers等人提出一种椭圆正交变换法(在先技术[2]:G.Harbers,P.J.Kunst,and G.W.R.Leibbrandt,“Analysis of lateral shearing interferograms by use of Zernike polynomials,”Appl.Opt.35(31),6162–6172(1996).)，这种方法通过在差分波前区域内取最大的椭圆，并通过坐标变换由圆Zernike多项式获取在该椭圆域内正交的椭圆Zernike多项式，将差分波前拟合到椭圆Zernike多项式，获取椭圆Zernike多项式系数，并将差分波前的椭圆Zernike多项式系数转换为待测波前的圆Zernike多项式系数。椭圆Zernike多项式在连续的椭圆域内正交，但是实际的测量点分布于离散域，其在离散域内并不严格正交。

为进一步提高波前重建精度，F.Dai等人提出一种数值正交变换法(在先技术[3]:F.Dai,F.Tang,X.Wang,P.Feng,and O.Sasaki,“Use of numerical orthogonal transformation for the Zernike analysis of lateral shearing interferograms,”Opt.Express20,1530–1544(2012).)，这种方法通过对圆Zernike多项式进行数值正交变换获取在离散的差分波前测量点上正交的数值多项式，将离散的差分波前拟合到该数值多项式获取正交多项式系数，并将其转换为待测波前的圆Zernike多项式系数。

X.Liu提出一种差分圆Zernike多项式拟合法(在先技术[4]:X.Liu,A polarized lateral shearing interferometer and application for on-machine form error measurement of engineering surfaces,PH.D.Thesis,Hong Kong University of Science and Technology(2003).)，这种方法直接将差分波前拟合到差分圆Zernike多项式，获取待测波前的圆Zernike多项式系数，这种方法易于实现，耦合误差小，是性能最优的基于圆Zernike多项式的模式法重建方法。(F.Dai,F.Tang,X.Wang,O.Sasaki,and P.Feng,“Modal wavefront reconstruction based on Zernike polynomials for lateral shearing interferometry:comparisons of existing algorithms,”Appl.Opt.51,5028–5037(2012).)。

现有技术都是基于圆Zernike多项式的波前重建技术，重建结果为待测波前的圆Zernike多项式系数。对于圆形光瞳的波像差测量，这些方法的重建结果，即待测波像差的圆Zernike多项式系数，可以直接用于光学成像系统的装调。虽然对于环形光瞳的施瓦茨光学系统的波像差测量，这些基于圆Zernike多项式的重建方法也可以应用，但是重建得到的各项圆Zernike多项式系数之间存在耦合，系数没有直接的物理意义，不能直接作为光学系统的装调依据。因此需要进行额外的待测波前的拟合，即通过重建得到的待测波前的圆Zernike多项式系数构造出离散域内的待测波前，并将构造出的待测波前拟合到环Zernike多项式。对于环形光瞳的施瓦茨光学系统波像差测量，多出了散波前构造和环Zernike多项式拟合两个步骤，增加了重建过程的复杂性，延长了重建时间，且降低了重建精度。

发明内容

本发明的目的在于克服上述在先技术的不足，提供一种施瓦茨光学系统波像差测量方法，简化测量过程，提高测量精度和测量速度。

本发明的技术方案如下：

一种施瓦茨光学系统波像差测量方法，该方法基于光栅横向剪切干涉测量装置(光栅横向剪切干涉测量装置的详细结构请参阅：Hasegawa,T.,et al，“EUV wavefront metrology system in EUVA，”Proc.of SPIE,5734,797–807(2004))，用于施瓦茨光学系统波像差测量，所述的光栅横向剪切干涉测量装置包括光源，沿该光源输出的光束方向依次为针孔掩模、剪切光栅、双窗口掩模和光电探测器，该光电探测器的输出端与计算机的输入端相连，测量时将待测施瓦茨光学系统置于所述的针孔掩模和剪切光栅之间，特点在于该方法的测量步骤如下：

①获取x方向和y方向的横向剪切干涉图：

调整双窗口掩模，使所述的光栅横向剪切干涉测量装置的光轴通过该双窗口掩模的任意一个窗口的中心，并使两窗口中心连线平行于x轴，且该双窗口掩模的表面与所述的光栅横向剪切干涉测量装置的光轴垂直；启动光源，通过光电探测器采集待测施瓦茨光学系统输出波前x方向的横向剪切干涉图，并输入至计算机保存；将剪切光栅及双窗口掩模旋转90°，通过光电探测器采集y方向的横向剪切干涉图，并输入计算机保存；

②获取x方向和y方向的差分波前：

将所述的x方向的横向剪切干涉图通过傅里叶变换相位提取方法(傅立叶变换相位提取方法请参阅：M.Takeda,H.Ina,and S.Kobayashi,“Fourier-transform method of fringe-pattern analysis for computer-based tomography and interferometry,”J.Opt.Soc.Am.72,156–160(1982))获取x方向的差分波前；将该x方向的差分波前采用补零法拓展为矩形区域(补零拓展方法请参阅：W.Zou and Z.Zhang,“Generalized wave-front reconstruction algorithm applied in a Shack–Hartmann test,”Appl.Opt.39,571250–268(2000))，将所述的矩形区域离散点的值定义为M_x矩阵，将M_x矩阵的行数记为N，列数记为m；将所述的y方向的横向剪切干涉图通过傅里叶变换相位提取方法获取y方向的差分波前；将所述的y方向的差分波前采用补零法拓展为矩形区域，将该矩形区域离散点的值定义为M_y矩阵，将M_y矩阵的行数记为k，列数记为N；

③获取待测波前的环Zernike多项式系数：

在计算机中设置N×N的第一全零矩阵M₁，用所述的M_x矩阵所有m列的元素逐个替换全零矩阵M₁的第1列至第m列的所有元素，获得x方向差分波前矩阵；将所述的x方向的差分波前矩阵采取逐行从左至右排序的方式变为列向量(请参阅：F.Dai,F.Tang,X.Wang,P.Feng,and O.Sasaki,“Use of numerical orthogonal transformation for the Zernike analysis of lateral shearing interferograms,”Opt.Express20,1530–1544657(2012))，将该列向量记为ΔW_x；在计算机中设置一个N×N的第二全零矩阵M₂，用所述的M_y矩阵的所有行的元素逐个替换第二全零矩阵M₂的第1行至第k行的所有元素，获得y方向的差分波前矩阵，将所述的y方向的差分波前矩阵采取逐行从左至右排序的方式变为列向量，将该列向量记为ΔW_y；

由所述的两个列向量ΔW_x和ΔW_y，利用最小二乘拟合法计算待测的所述环形波前的环Zernike多项式系数

$\hat{a}{=\left[\begin{array}{cc}{\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{H}_x\\ \mathrm{\Δ}{H}_y\end{array}\right)}^T& \left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{H}_x\\ \mathrm{\Δ}{H}_y\end{array}\right)\end{array}\right]}^{-1}{\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{H}_x\\ \mathrm{\Δ}{H}_y\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{W}_x\\ \mathrm{\Δ}{W}_y\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中：ΔH_x和ΔH_y均为N²×(J-1)矩阵，分别表示x方向和y方向除第一项外的前J项差分环Zernike多项式在所有N²点上的值，通过将x、y的坐标值、由装置决定的x和y方向的剪切率以及待测施瓦茨光学系统光瞳的中心遮拦比代入差分环形Zernike多项式计算得到；为J-1列向量，即表示待测波前除第一项外的前J项环Zernike多项式系数，T表示转置，通过所述的前J项环Zernike多项式系数与环Zernike多项式相乘并求和即可得到待测施瓦茨光学系统的波像差。

本发明的原理为：

设待测施瓦茨光学系统的波像差为W(x,y)，其中(x,y)表示笛卡尔坐标。将W(x,y)展开为前J项环Zernike多项式，则有：

$W(x,y)=\underset{i=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{H}_i(x,y;\mathrm{\ϵ})---\left(1\right)$

其中，H_i(x,y；ε)表示第i项环Zernike多项式，ε表示环形光瞳的中心遮拦比(如图2所示)，a_i表示第i项环Zernike多项式的系数。设参与干涉的光分别为剪切光栅衍射的零级光和一级光，x方向和y方向的剪切率分别为s_x和s_y，如图2和图3所示，则x方向差分波前ΔW_x(x,y)和y方向差分波前ΔW_y(x,y)分别为：

ΔW_x(x,y)＝W(x+2s_x,y)-W(x,y) (2)

ΔW_y(x,y)＝W(x,y+2s_y)-W(x,y) (3)

其中s_x和s_y分别表示x方向和y方向的剪切率，将式(2)代入以上两式，可得：

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{W}_x(x,y)=W(x+2s_x,y)-W(x,y)\\ =\underset{i=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{H}_i(x+2s_x,y;\mathrm{\ϵ})-\underset{i=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{H}_i(x,y;\mathrm{\ϵ})\\ =\underset{i=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i[H_i(x+2s_x,y;\mathrm{\ϵ})-H_i(x,y;\mathrm{\ϵ})]\\ =\underset{i=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i\mathrm{\Δ}{H}_{x,i}(x,y;\mathrm{\ϵ})\end{array}---\left(4\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{W}_y(x,y)=W(x,y+2s_y)-W(x,y)\\ =\underset{i=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{H}_i(x,y+2s_y;\mathrm{\ϵ})-\underset{i=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{H}_i(x,y;\mathrm{\ϵ})\\ =\underset{i=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i[H_i(x,y+2s_y;\mathrm{\ϵ})-H_i(x,y;\mathrm{\ϵ})]\\ =\underset{i=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i\mathrm{\Δ}{H}_{y,i}(x,y;\mathrm{\ϵ})\end{array}---\left(5\right)$

其中ΔH_x,i(x,y；ε)与ΔH_y,i(x,y；ε)分别表示x方向和y方向的第i项差分环Zernike多项式，分别由以下两式给出：

ΔH_x,i(x,y；ε)＝H_i(x+2s_x,y；ε)-H_i(x,y；ε) (6)

ΔH_y,i(x,y；ε)＝H_i(x,y+2s_y；ε)-H_i(x,y；ε) (7)

对比式(5)、式(6)和式(1)可知，差分波前的差分环Zernike多项式系数与待测波前的环Zernike多项式系数相同，同为a_i。因此可以直接通过x方向和y方向差分波前的差分环Zernike多项式的最小二乘拟合(即式(2))获取待测波前的环Zernike多项式系数。

本发明与现有技术相比，将测量的x方向和y方向的差分波前拟合到差分环Zernike多项式，拟合得到的结果即为待测施瓦茨光学系统(光瞳为环形)的环Zernike多项式系数，该组系数相互正交，可以直接用于施瓦茨光学系统的装调，避免了现有技术需要重新构造波前和环Zernike多项式拟合的步骤，简化了测量过程，提高了波像差测量的速度和精度。

附图说明

图1为本发明施瓦茨光学系统波像差测量装置结构示意图；

图2为本发明施瓦茨光学系统波像差测量方法的x方向横向剪切示意图；

图3为本发明施瓦茨光学系统波像差测量方法的y方向横向剪切示意图；

图4为本发明施瓦茨光学系统波像差测量方法的x方向差分波前示意图；

图5为本发明施瓦茨光学系统波像差测量方法的y方向差分波前示意图；

图6为本发明施瓦茨光学系统波像差测量方法的流程图

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明作进一步说明，但不应以此限制本发明的保护 范围。

先请参阅图1，图1是本发明施瓦茨光学系统波像差测量方法所采用的测量系统结构示意图。由图可见，本发明施瓦茨光学系统波像差测量方法所采用的测量系统，包括光源1，沿该光源1输出的光束方向依次为针孔掩模2、剪切光栅4、双窗口掩模5和光电探测器6，该光电探测器6的输出端与计算机7的输入端相连，测量时将待测成像系统3置于所述的针孔掩模2和剪切光栅4之间。

所述的光源1选择He-Ne激光器，波长λ为632.8nm。

所述的针孔掩模2，孔径在100nm到1μm之间，材料为金属材料铬，材料厚度为100nm到1μm之间。用于对光源出射的光波进行滤波，产生一个标准的球面波前。

所述的剪切光栅4是二元光栅，光栅周期为3.99μm。作为光束分束器，将入射波前分解为多级衍射光。

所述的双窗口掩模5，包括2个窗口，每个窗口都为边长1μm的方形，两窗口中心距离1.92μm，材料为金属材料铬，材料厚度为400nm。测量时垂直于光轴放置，并使光轴穿过任意一个窗口的中心，选择零级光和一级光进行干涉。

所述的光电探测器6为CCD，CCD像素数为512×512，光敏面为6.2mm×4.6mm，CCD位数为8位，用于记录测量产生的横向剪切干涉图。

所述的被测物镜是施瓦茨光学系统，设计波像差的环Zernike多项式系数从第4项到第19项分别为：-0.24λ，0.02λ，-0.10λ，-0.57λ，-0.8λ，0.09λ，0.07λ，-0.06λ，-0.06λ，0.14λ，0.25λ，0.28λ，-0.22λ，0.03λ，-0.20λ，-0.04λ。

请参阅图6，上述波像差测量系统测量施瓦茨光学系统波像差的方法基于光栅横向剪切干涉测量装置，用于施瓦茨光学系统波像差测量，具体包括以下步骤：

①获取x方向和y方向的横向剪切干涉图：

调整双窗口掩模5，使所述的光栅横向剪切干涉测量装置的光轴通过该双窗口掩模的任意一个窗口的中心，并使两窗口中心连线平行于x轴，且该双窗口掩模的表面与所述的光栅横向剪切干涉测量装置的光轴垂直；启动光源1，通过光电探测器6采集待测施瓦茨光学系统输出波前x方向的横向剪切干涉图，并输入至计算机保存；将剪切光栅4及双窗口掩模5旋转90°，通过光电探测器6采集y方向的横向剪切干涉图，并输入计算机保存；

②获取x方向和y方向的差分波前：

将所述的x方向的横向剪切干涉图通过傅里叶变换相位提取方法获取x方向的差分波前；将该x方向的差分波前采用补零法拓展为矩形区域，将所述的矩形区域离散点的值定义为M_x矩阵，将M_x矩阵的行数记为N，列数记为m；将所述的y方 向的横向剪切干涉图通过傅里叶变换相位提取方法获取y方向的差分波前；将所述的y方向的差分波前采用补零法拓展为矩形区域，将该矩形区域离散点的值定义为M_y矩阵，将M_y矩阵的行数记为k，列数记为N；

③获取待测波前的环Zernike多项式系数：

在计算机中设置N×N的第一全零矩阵M₁，用所述的M_x矩阵所有m列的元素逐个替换全零矩阵M₁的第1列至第m列的所有元素，获得x方向差分波前矩阵；将所述的x方向的差分波前矩阵采取逐行从左至右排序的方式变为列向量，将该列向量记为ΔW_x；在计算机中设置一个N×N的第二全零矩阵M₂，用所述的M_y矩阵的所有行的元素逐个替换第二全零矩阵M₂的第1行至第k行的所有元素，获得y方向的差分波前矩阵，将所述的y方向的差分波前矩阵采取逐行从左至右排序的方式变为列向量，将该列向量记为ΔW_y；

由所述的两个列向量ΔW_x和ΔW_y，利用最小二乘拟合法计算待测的所述环形波前的环Zernike多项式系数

$\hat{a}{=\left[\begin{array}{cc}{\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{H}_x\\ \mathrm{\Δ}{H}_y\end{array}\right)}^T& \left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{H}_x\\ \mathrm{\Δ}{H}_y\end{array}\right)\end{array}\right]}^{-1}{\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{H}_x\\ \mathrm{\Δ}{H}_y\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{W}_x\\ \mathrm{\Δ}{W}_y\end{array}\right),$

式中：ΔH_x和ΔH_y均为N²×(J-1)矩阵，分别表示x方向和y方向除第一项外的前J项差分环Zernike多项式在所有N2点上的值，通过将x、y的坐标值、由装置决定的x和y方向的剪切率以及待测施瓦茨光学系统光瞳的中心遮拦比代入差分环形Zernike多项式计算得到；为J-1列向量，即表示待测波前除第一项外的前J项环Zernike多项式系数，T表示转置，通过所述的前J项环Zernike多项式系数与环Zernike多项式相乘并求和即可得到待测施瓦茨光学系统的波像差。

采用所述的测量方法，由设计的待测施瓦茨光学系统波像差的环Zernike多项式系数以及光源波长632.8nm、光栅周期3.99μm等参数作为输入条件，采用Matlab软件进行仿真，由设计的环Zernike多项式系数构造波前，通过光源波长和光栅周期等参数计算剪切率，根据剪切率和构造的波前计算差分波前，然后由差分波前用在先技术4和本发明的方法进行波前重建，测量结果如表1所示。

表1待测施瓦茨光学系统波像差的环Zernike多项式系数的设计值、在先技术4以及本发明方法的测量结果比较(单位λ，λ＝632.8nm)

由表1可知，在理想情况下，即参与重建的环Zernike多项式(或圆Zernike多项式)项数与待测波前实际项数相同时，本发明可以无误差的测量待测波前，而由在先技术4获取的待测波前的环Zernike多项式系数的a₄，a₉，a₁₆和a₁₇存在测量误差，相对测量误差分别为0.08％，0.4％，0.2％，1％，由此本发明相对在先技术4提高了波前测量精度。

通过在先技术4和本发明获取待测波像差环Zernike多项式系数的时间分别为3.60秒和0.0976秒，两者相差30倍以上，因此本发明相对在先技术4显著降低了测量时间，提高了测量速度。

如前面背景技术所述，在先技术4是现有剪切波前重建技术中精度最高、速度最快、性能最优的重建技术。而在环形光瞳的施瓦茨光学系统的波像差测量时，应用本发明方法的积极效果是：测量精度优于在先技术4，而且由于简化了测量步骤，测量速度得到了显著提升。

Claims (1)

1.一种施瓦茨光学系统波像差测量方法，该方法基于光栅横向剪切干涉测量装置，用于施瓦茨光学系统波像差测量，所述的光栅横向剪切干涉测量装置包括光源(1)，沿该光源(1)输出的光束方向依次为针孔掩模(2)、剪切光栅(4)、双窗口掩模(5)和光电探测器(6)，该光电探测器(6)的输出端与计算机(7)的输入端相连，测量时将待测施瓦茨光学系统(3)置于所述的针孔掩模(2)和剪切光栅(4)之间，特征在于该方法的测量步骤如下：

①获取x方向和y方向的横向剪切干涉图：

调整双窗口掩模(5)，使所述的光栅横向剪切干涉测量装置的光轴通过该双窗口掩模的任意一个窗口的中心，并使两窗口中心连线平行于x轴，且该双窗口掩模的表面与所述的光栅横向剪切干涉测量装置的光轴垂直；启动光源(1)，通过光电探测器(6)采集待测施瓦茨光学系统输出波前x方向的横向剪切干涉图，并输入至计算机保存；将剪切光栅(4)及双窗口掩模(5)旋转90°，通过光电探测器(6)采集y方向的横向剪切干涉图，并输入计算机保存；

②获取x方向和y方向的差分波前：

将所述的x方向的横向剪切干涉图通过傅里叶变换相位提取方法获取x方向的差分波前；将该x方向的差分波前采用补零法拓展为矩形区域，将所述的矩形区域离散点的值定义为M_x矩阵，将M_x矩阵的行数记为N，列数记为m；将所述的y方向的横向剪切干涉图通过傅里叶变换相位提取方法获取y方向的差分波前；将所述的y方向的差分波前采用补零法拓展为矩形区域，将该矩形区域离散点的值定义为M_y矩阵，将M_y矩阵的行数记为k，列数记为N；

③获取待测波前的环Zernike多项式系数：

在计算机中设置N×N的第一全零矩阵M₁，用所述的M_x矩阵所有m列的元素逐个替换第一全零矩阵M₁的第1列至第m列的所有元素，获得x方向差分波前矩阵；将所述的x方向的差分波前矩阵采取逐行从左至右排序的方式变为列向量，将该列向量记为ΔW_x；在计算机中设置一个N×N的第二全零矩阵M₂，用所述的M_y矩阵的所有行的元素逐个替换第二全零矩阵M₂的第1行至第k行的所有元素，获得y方向的差分波前矩阵，将所述的y方向的差分波前矩阵采取逐行从左至右排序的方式变为列向量，将该列向量记为ΔW_y；

由所述的列向量ΔW_x和ΔW_y，利用最小二乘拟合法计算待测施瓦茨光学系统的环形波前的环Zernike多项式系数

$\hat{a}{=\left[\begin{array}{cc}{\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{H}_x\\ \mathrm{\Δ}{H}_y\end{array}\right)}^T& \left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{H}_x\\ \mathrm{\Δ}{H}_y\end{array}\right)\end{array}\right]}^{-1}{\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{H}_x\\ \mathrm{\Δ}{H}_y\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{W}_x\\ \mathrm{\Δ}{W}_y\end{array}\right),$

式中：ΔH_x和ΔH_y均为N²×(J-1)矩阵，分别表示x方向和y方向除第1项外的前J项差分环Zernike多项式在所有N²点上的值，通过将x、y的坐标值、由装置决定的x和y方向的剪切率以及待测施瓦茨光学系统光瞳的中心遮拦比代入差分环形Zernike多项式计算得到；为J-1列向量，即表示待测波前除第1项外的前J项环Zernike多项式系数，T表示转置，通过所述的前J项环Zernike多项式系数与环Zernike多项式相乘再求和，即得到待测施瓦茨光学系统的波像差。