CN106801714A - 两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法，属于悬架钢板弹簧技术领域。本发明可根据各片第一级、第二级主簧和副簧的结构参数，弹性模量，骑马螺栓夹紧距，初始切线弧高，在接触载荷和渐变刚度仿真计算的基础上，对两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧挠度特性进行仿真计算。通过样机的ANSYS仿真和加载挠度试验可知，本发明所提供的两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法是正确的，为两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧特性仿真验证奠定了可靠的技术基础。利用该方法可得到准确、可靠的挠度仿真计算值，提高板簧设计水平、质量和性能及车辆行驶平顺性；同时，降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

Description

两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法

技术领域

本发明涉及车辆悬架钢板弹簧，特别是两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法。

背景技术

为了进一步提高车辆在半载情况下的行驶平顺性，可采用两级主簧式渐变刚度板簧，即将原一级渐变刚度板簧的主簧拆分为两级主簧；同时，为了确保主簧的应力强度，通常通过第一级主簧、第二级主簧和副簧的初始切线弧高及两级渐变间隙，使第二级主簧和副簧适当提前承担载荷，即给次接触载荷适当提前，从而降低第一级主簧的应力，即采用两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧悬架，其中，板簧的挠度特性影响悬架的静挠度、动挠度和偏频及车辆行驶平顺性和安全性，且在不同载荷下挠度特性仿真计算，是两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧的初始切线弧高、最大限位挠度及渐变间隙仿真验证的前提。然而，由于两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧的挠度计算非常复杂，并且受板簧根部重叠部分等效厚度和渐变刚度计算及接触载荷仿真计算的制约，先前一直未能给出两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法，大都是通过试验加以确定，因此，不能满足车辆行业快速发展及悬架弹簧现代化CAD设计要求。随着车辆行驶速度及其对平顺性要求的不断提高，对渐变刚度板簧悬架提出了更高要求，因此，必须建立一种精确、可靠的两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法，为两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的设计、特性验证及CAD软件开发奠定可靠的技术基础，满足车辆行业快速发展、车辆行驶平顺性及对渐变刚度板簧的设计要求，提高两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的设计水平、产品质量和性能及车辆行驶平顺性和安全性；同时，降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

发明内容

针对上述现有技术中存在的缺陷，本发明所要解决的技术问题是提供一种简便、可靠的两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法，仿真计算流程如图1所示。两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的一半对称结构如图2所示，是由第一级主簧1、第二级主簧2和副簧3组成。采用两级主簧，并通过第一级主簧1、第二级主簧2和副簧的初始切线弧高H_gM10、H_gM20和H_gA0，在第一级主簧1与第二级主簧2和第二级主簧2与副簧3之间设有两级渐变间隙δ_M12和δ_MA，以提高半载情况下的车辆行驶平顺性。为了确保满足第一级主簧1应力强度设计要求，第二级主簧2和副簧3适当提前承担载荷，悬架渐变载荷偏频不相等，即将板簧设计为非等偏频型渐变刚度板簧。板簧的一半跨度等于第一级主簧首片的一半作用长度L_11T，骑马螺栓夹紧距的一半为L₀，宽度为b，弹性模量为E。第一级主簧1的片数为n₁，第一级主簧各片的厚度为h_1i，一半作用长度为L_1iT，一半夹紧长度L_1i＝L_1iT-L₀/2，i＝1,2,…,n₁。第二级主簧2的片数为n₂，各片二级主簧的厚度为h_2j，一半作用长度为L_2jT，一半夹紧长度L_2j＝L_2jT-L₀/2，j＝1,2,…,n₂。副簧3的片数为m，各片副簧的厚度为h_Ak，一半作用长度为L_AkT，一半夹紧长度L_Ak＝L_AkT-L₀/2，k＝1,2,…,m。根据各片板簧的结构参数，弹性模量，骑马螺栓夹紧距，第一级主簧夹紧刚度，第一级主簧与第二级主簧和副簧的复合夹紧刚度，初始切线弧高，及额定载荷，在各次接触载荷和渐变夹紧刚度仿真计算基础上，对两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性进行仿真计算。

为解决上述技术问题，本发明所提供的两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法，其特征在于采用以下仿真计算步骤：

(1)两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的两级主簧和副簧的初始曲率半径计算：

I步骤：第一级主簧末片下表面初始曲率半径R_M10b计算

根据第一级主簧片数n₁，第一级主簧各片的厚度h_1i，i＝1,2,…,n₁；第一级主簧首片的一半夹紧长度L₁₁，第一级主簧的初始切线弧高H_gM10，对第一级主簧末片下表面初始曲率半径R_M10b进行计算，即

II步骤：第二级主簧首片上表面初始曲率半径R_M20a计算

根据第二级主簧首片的一半夹紧长度L₂₁，第二级主簧的初始切线弧高H_gM20，对第二级主簧末片上表面初始曲率半径R_M20a进行计算，即

III步骤：第二级主簧末片下表面初始曲率半径R_M20b计算

根据第二级主簧片数n₂，厚度h_2j，j＝1,2,…,n₂；II步骤中计算得到的R_M20a，对第二级主簧末片下表面初始曲率半径R_M20b进行计算，即

IV步骤：副簧首片上表面初始曲率半径R_A0a计算

根据副簧首片的一半夹紧长度L_A1，副簧的初始切线弧高H_gA0，对副簧末片上表面初始曲率半径R_A0a进行计算，即

(2)两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的各次接触载荷的仿真计算：

A步骤：第1次开始接触载荷P_k1的仿真计算

根据两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的宽度b，弹性模量E；第一级主簧片数n₁，第一级主簧各片的厚度h_1i，i＝1,2,…,n₁，第一级主簧首片的一半夹紧跨长度L₁₁，步骤(1)中计算得到的R_M10b和R_M20a，对第1次开始接触载荷P_k1进行仿真计算，即

式中，h_M1e为第一级主簧的根部重叠部分等效厚度，

B步骤：第2次开始接触载荷P_k2的仿真计算

根据两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的宽度b，弹性模量E；第二级主簧片数n₂，第二级主簧各片的厚度h_2j，j＝1,2,…,n₂；步骤(1)中计算得到的R_M20b和R_A0a，A步骤中仿真计算得到的P_k1，对第2次开始接触载荷P_k2进行仿真计算，即

式中，h_M2e为第一级主簧和第二级主簧的根部重叠部分等效厚度，

C步骤：第2次完全接触载荷P_w2的仿真计算

根据A步骤中仿真计算得到的P_k1，B步骤中仿真计算得到的P_k2，对两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的第2次完全接触载荷P_w2进行仿真计算，即

(3)两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧的渐变夹紧刚度的仿真计算：

a步骤：第一级渐变夹紧刚度K_kwP1的仿真计算

根据第一级主簧夹紧刚度K_M1，第一级与第二级主簧的复合夹紧刚度K_M2，步骤(2)中仿真计算得到的P_k1和P_k2，对载荷P在[P_k1,P_k2]范围内的第一级渐变夹紧刚度K_kwP1进行仿真计算，即

b步骤：第二级渐变夹紧刚度K_kwP2的仿真计算

根据第一级和第二级主簧的复合夹紧刚度K_M2，主副簧的总复合夹紧刚度K_MA，步骤(2)中仿真计算得到的P_k2和P_w2，对载荷P在[P_k2,P_w2]范围内的第二级渐变夹紧刚度K_kwP2进行仿真计算，即

(4)两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性的仿真计算：

根据第一级主簧夹紧刚度K_M1，第一级和第二级主簧的复合夹紧刚度K_M2，主副簧的总复合夹紧刚度K_MA，额定载荷P_N，步骤(2)中所仿真计算得到的P_k1、P_k2和P_w2，及步骤(3)中仿真计算得到的K_kwP1和K_kwP2，对两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性进行仿真计算，即

本发明比现有技术具有的优点

由于两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧的挠度计算非常复杂，并且受板簧根部重叠部分等效厚度和渐变刚度计算及接触载荷仿真计算的制约，先前一直未能给出两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法，大都是通过试验加以确定，因此，不能满足车辆行业快速发展及悬架弹簧现代化CAD设计要求。本发明可本发明可根据各片第一级、第二级主簧和副簧的结构参数，弹性模量，骑马螺栓夹紧距，初始切线弧高，在接触载荷和渐变刚度仿真计算的基础上，对两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧挠度特性进行仿真计算。通过样机的ANSYS仿真和加载挠度试验可知，本发明所提供的两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法是正确的，为两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧特性仿真验证奠定了可靠的技术基础。利用该方法可得到准确、可靠的挠度仿真计算值，提高板簧设计水平、质量和性能及车辆行驶平顺性；同时，降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

附图说明

为了更好地理解本发明，下面结合附图做进一步的说明。

图1是两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算流程图；

图2是两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧的一半对称结构示意图；

图3是实施例的两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性曲线。

具体实施方案

下面通过实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例：某两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧的宽度b＝63mm，骑马螺栓夹紧距的一半L₀＝50mm，弹性模量E＝200GPa。第一级主簧片数n₁＝2，第一级主簧各片的厚度h₁₁＝h₁₂＝8mm，第一级主簧首片的一半作用长度L_11T＝525mm，一半夹紧长度L₁₁＝L_11T-L₀/2＝500mm。第二级主簧片数n₂＝1，厚度h₂₁＝8mm，第二级主簧的一半作用长度L_21T＝350mm，一半夹紧长度L₂₁＝L_21T-L₀/2＝325mm。副簧片数m＝2，副簧各片的厚度h_A1＝h_A2＝13mm；副簧首片的一半作用长度L_A1T＝250mm，一半夹紧长度为L_A1＝L_A1T-L₀/2＝225mm。第一级主簧夹紧刚度K_M1＝51.4N/mm，第一级主簧与第二级主簧的复合夹紧刚度K_M2＝75.4N/mm，主副簧的总复合夹紧刚度K_MA＝172.9N/mm。第一级主簧的初始切线弧高设计值H_gM10＝103.7mm，第二级主簧的初始切线弧高H_gM20＝18.8mm，副簧的初始切线弧高H_gA0＝6mm。额定载荷P_N＝7227N。根据各片板簧的结构参数，弹性模量，骑马螺栓夹紧距，第一级主簧夹紧刚度，第一级主簧与第二级主簧和副簧的复合夹紧刚度，初始切线弧高，及额定载荷，对两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性进行仿真计算。

本发明实例所提供的两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法，其仿真计算流程如图1所示，具体仿真计算步骤如下：

(1)两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的两级主簧和副簧的初始曲率半径计算：

I步骤：第一级主簧末片下表面初始曲率半径R_M10b计算

根据第一级主簧片数n₁＝2，第一级主簧各片的厚度h₁₁＝h₁₂＝8mm，第一级主簧首片的一半夹紧长度L₁₁＝500mm，第一级主簧的初始切线弧高H_gM10＝103.7mm，对第一级主簧末片下表面初始曲率半径R_M10b进行计算，即

II步骤：第二级主簧首片上表面初始曲率半径R_M20a计算

根据第二级主簧首片的一半夹紧长度L₂₁＝325mm，第二级主簧的初始切线弧高H_gM20＝18.8mm，对第二级主簧末片上表面初始曲率半径R_M20a进行计算，即

III步骤：第二级主簧末片下表面初始曲率半径R_M20b计算

根据第二级主簧片数n₂＝1，厚度h₂₁＝8mm；II步骤中计算得到的R_M20a＝2818.6mm，对第二级主簧末片下表面初始曲率半径R_M20b进行计算，即

IV步骤：副簧首片上表面初始曲率半径R_A0a计算

根据副簧首片的一半夹紧长度L_A1＝225mm，副簧的初始切线弧高H_gA0＝6mm，对副簧末片上表面初始曲率半径R_A0a进行计算，即

(2)两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的各次接触载荷的仿真计算

A步骤：第1次开始接触载荷P_k1的仿真计算

根据两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的宽度b＝63mm，弹性模量E＝200GPa；第一级主 簧首片的一半夹紧跨长度L₁₁＝500mm，步骤(1)中计算得到的R_M10b＝1273.3mm和R_M20a＝2818.6mm，对第1次开始接触载荷P_k1进行仿真计算，即

式中，h_M1e为第一级主簧的根部重叠部分等效厚度，

B步骤：第2次开始接触载荷P_k2的仿真计算

根据两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的宽度b＝63mm，弹性模量E＝200GPa；第一级主簧首片的一半夹紧跨长度L₁₁＝500mm；第二级主簧片数n₂＝1，厚度h₂₁＝8mm，步骤(1)中计算得到的R_M20b＝2826.6mm和R_A0a＝4221.8mm，及A步骤中仿真计算得到的P_k1＝1851.3N，对第2次开始接触载荷P_k2进行仿真计算，即

式中，h_M2e为第一级主簧和第二级主簧的根部重叠部分等效厚度，

C步骤：第2次完全接触载荷P_w2的仿真计算

根据A步骤中仿真计算得到的P_k1＝1851.3N，B步骤中仿真计算得到的P_k2＝2606.2N，对第2次完全接触载荷P_w2进行仿真计算，即

(3)两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧的渐变夹紧刚度的仿真计算：

a步骤：第一级渐变夹紧刚度K_kwP1的仿真计算

根据第一级主簧夹紧刚度K_M1＝51.4N/mm，第一级主簧与第二级主簧的复合夹紧刚度K_M2＝75.4N/mm，步骤(2)中仿真计算得到的P_k1＝1851N和P_k2＝2606N，对载荷P在[P_k1,P_k2]范围内的第一级渐变夹紧刚度K_kwP1进行仿真计算，即

b步骤：第二级渐变夹紧刚度K_kwp2的仿真计算

根据第一级和第二级主簧的复合夹紧刚度K_M2＝75.4N/mm，主副簧的总复合夹紧刚度K_MA＝172.9N/mm，步骤(2)中仿真计算得到的P_k2＝2606N和P_w2＝3667N，对载荷P在[P_k2,P_w2]范围内的第二级渐变夹紧刚度K_kwp2进行仿真计算，即

(4)两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性的仿真计算：

根据第一级主簧的夹紧刚度K_M1＝51.4N/mm，第一级主簧和第二级主簧的复合夹紧刚度K_M2＝75.4N/mm，主副簧的总复合夹紧刚度K_MA＝172.9N/mm，额定载荷P_N＝7227N，步骤(2)中所仿真计算得到的P_k1＝1851N、P_k2＝2606N和P_w2＝3667N，及步骤(3)中仿真计算得到的K_kwP1和K_kwP2，对两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性进行仿真计算，即

利用Matlab计算程序，仿真计算所得到的该两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性曲线，如图3所示，其中，在P_k1、P_k2、P_w2和P_N下的挠度分别为f_Mk1＝36mm，f_Mk2＝48mm，f_Mw2＝57.1mm和f_mN＝77.7mm。

通过样机的ANSYS仿真和加载挠度试验可知，本发明所提供的两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法是正确的，为两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧的初始切线弧高及最大限位挠度的仿真验证奠定了可靠的技术基础。利用该方法可得到准确、可靠的在不同载荷下的挠度仿真计算值，提高产品设计水平、质量和性能及车辆行驶平顺性；同时，降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

Claims (1)

1.两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧挠度特性的仿真计算法，其中，各片板簧以中心穿装孔对称的结构，安装夹紧距的一半为骑马螺栓夹紧距的一半；将原一级渐变刚度板簧的主簧拆分设计为两级主簧，通过两级主簧和副簧的初始切线弧高及两级渐变间隙，提高半载情况下的车辆行驶平顺性；同时，为了确保满足第一级主簧应力强度设计要求，第二级主簧和副簧适当提前承担载荷，悬架在渐变载荷下的偏频不相等，即两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧；根据各片板簧的结构参数，弹性模量，骑马螺栓夹紧距，第一级主簧夹紧刚度，第一级主簧与第二级主簧和副簧的复合夹紧刚度，初始切线弧高，及额定载荷，在各次接触载荷和渐变夹紧刚度仿真计算基础上，对两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性进行仿真计算，具体仿真计算步骤如下：

(1)两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的两级主簧和副簧的初始曲率半径计算：

I步骤：第一级主簧末片下表面初始曲率半径R_M10b计算

根据第一级主簧片数n₁，第一级主簧各片的厚度h_1i，i＝1,2,…,n₁；第一级主簧首片的一半夹紧长度L₁₁，第一级主簧的初始切线弧高H_gM10，对第一级主簧末片下表面初始曲率半径R_M10b进行计算，即

$R_{M10b}=\frac{L_{11}^2+H_{gM10}^2}{2H_{gM10}}+\underset{i=1}{\overset{n_1}{\Σ}}{h}_{1i};$

II步骤：第二级主簧首片上表面初始曲率半径R_M20a计算

根据第二级主簧首片的一半夹紧长度L₂₁，第二级主簧的初始切线弧高H_gM20，对第二级主簧末片上表面初始曲率半径R_M20a进行计算，即

$R_{M20a}=\frac{L_{21}^2+H_{gM20}^2}{2H_{gM20}};$

III步骤：第二级主簧末片下表面初始曲率半径R_M20b计算

根据第二级主簧片数n₂，厚度h_2j，j＝1,2,…,n₂；II步骤中计算得到的R_M20a，对第二级主簧末片下表面初始曲率半径R_M20b进行计算，即

$R_{M20b}=R_{M20a}+\underset{j=1}{\overset{n_2}{\Σ}}{h}_{2j};$

IV步骤：副簧首片上表面初始曲率半径R_A0a计算

根据副簧首片的一半夹紧长度L_A1，副簧的初始切线弧高H_gA0，对副簧末片上表面初始曲率半径R_A0a进行计算，即

$R_{A0a}=\frac{L_{A1}^2+H_{gA0}^2}{2H_{gA0}};$

(2)两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的各次接触载荷的仿真计算：

A步骤：第1次开始接触载荷P_k1的仿真计算

根据两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的宽度b，弹性模量E；第一级主簧片数n₁，第一级主簧各片的厚度h_1i，i＝1,2,…,n₁，第一级主簧首片的一半夹紧跨长度L₁₁，步骤(1)中计算得到的R_M10b和R_M20a，对第1次开始接触载荷P_k1进行仿真计算，即

$P_{k1}=\frac{{\mathrm{Ebh}}_{M1e}^3(R_{M20a}-R_{M10b})}{6L_{11}{R}_{M20b}{R}_{M10a}};$

式中，h_M1e为第一级主簧的根部重叠部分等效厚度，

B步骤：第2次开始接触载荷P_k2的仿真计算

根据两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的宽度b，弹性模量E；第二级主簧片数n₂，第二级主簧各片的厚度h_2j，j＝1,2,…,n₂；步骤(1)中计算得到的R_M20b和R_A0a，A步骤中仿真计算得到的P_k1，对第2次开始接触载荷P_k2进行仿真计算，即

$P_{k2}=P_{k1}+\frac{{\mathrm{Ebh}}_{M2e}^3(R_{A0a}-R_{M20b})}{6L_{11}{R}_{M20b}{R}_{A0a}};$

式中，h_M2e为第一级主簧和第二级主簧的根部重叠部分等效厚度，

C步骤：第2次完全接触载荷P_w2的仿真计算

根据A步骤中仿真计算得到的P_k1，B步骤中仿真计算得到的P_k2，对两级主簧式非等偏频型渐变刚度板簧的第2次完全接触载荷P_w2进行仿真计算，即

$P_{w2}=\frac{P_{k2}^2}{P_{k1}};$

(3)两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧的渐变夹紧刚度的仿真计算：

a步骤：第一级渐变夹紧刚度K_kwP1的仿真计算

根据第一级主簧夹紧刚度K_M1，第一级与第二级主簧的复合夹紧刚度K_M2，步骤(2)中仿真计算得到的P_k1和P_k2，对载荷P在[P_k1,P_k2]范围内的第一级渐变夹紧刚度K_kwP1进行仿真计算，即

$K_{kwP1}=\frac{P}{P_{k1}}{K}_{M1}+\frac{P-P_{k1}}{P_{k2}-P_{k1}}(K_{M2}-\frac{P_{k2}}{P_{k1}}{K}_{M1}),P\∈\[P_{k1},P_{k2}\];$

b步骤：第二级渐变夹紧刚度K_kwP2的仿真计算

根据第一级和第二级主簧的复合夹紧刚度K_M2，主副簧的总复合夹紧刚度K_MA，步骤(2)中仿真计算得到的P_k2和P_w2，对载荷P在[P_k2,P_w2]范围内的第二级渐变夹紧刚度K_kwP2进行仿真计算，即

$K_{kwP2}=\frac{P}{P_{k2}}{K}_{M2}+\frac{P-P_{k2}}{P_{w2}-P_{k1}}(K_{MA}-\frac{P_{w2}}{P_{k2}}{K}_{M2}),P\∈\[P_{k2},P_{w2}\];$

(4)两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性的仿真计算：

根据第一级主簧夹紧刚度K_M1，第一级和第二级主簧的复合夹紧刚度K_M2，主副簧的总复合夹紧刚度K_MA，额定载荷P_N，步骤(2)中所仿真计算得到的P_k1、P_k2和P_w2，及步骤(3)中仿真计算得到的K_kwP1和K_kwP2，对两级主簧式非等偏频渐变刚度板簧在不同载荷下的挠度特性进行仿真计算，即

$f_M=\left\{\begin{array}{cc}\frac{P}{K_{M1}},& 0\&le;P<P_{k1}\\ \frac{P_{k1}}{K_{M1}}+{\&Integral;}_{R_{k1}}^{P_{k2}}\frac{dP}{K_{kwP1}},& P_{k1}\&le;P<P_{k2}\\ \frac{P_{k1}}{K_{M1}}+{\&Integral;}_{P_{k1}}^{P_{k2}}\frac{dP}{K_{kwP1}}+{\&Integral;}_{P_{k2}}^P\frac{dP}{K_{kwP2}},& P_{k2}\&le;P<P_{w2}\\ \frac{P_{k1}}{K_{M1}}+{\&Integral;}_{P_{k1}}^{P_{k2}}\frac{dP}{K_{kwP1}}+{\&Integral;}_{P_{k2}}^{P_{w2}}\frac{dP}{K_{kwP2}}+\frac{(P-P_{w2})}{K_{MA}},& P_{w2}\&le;P\&le;P_N\end{array}\right..$