CN106763378A - 非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法，属于悬架钢板弹簧技术领域。本发明可根据各片主簧和副簧的结构参数、弹性模量、最大许用应力、主簧和副簧的初始切线弧高设计值，在接触载荷仿真计算和最大许用载荷确定的基础上，对非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度进行仿真验算。通过实例仿真验算和样机加载挠度试验可知，表明本发明所提供的非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法是正确的。利用该方法可得到准确可靠的最大限位挠度仿真验算值，提高产品的设计水平、可靠性和使用寿命及车辆行驶安全性；同时，还可以降低设计和试验测试费用，加快产品开发速度。

Description

非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法

技术领域

本发明涉及车辆悬架板簧，特别是非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法。

背景技术

为了满足一级渐变刚度板簧的主簧强度的要求，通常使副簧尽早起作用承担载荷而降低主簧应力，即采用非等偏频一级渐变刚度板簧，其中，依据最大许用应力及最大许用载荷所对应的最大限位挠度，设置限位装置，防止板簧因受冲击载荷而断裂，提高板簧悬架的可靠性和安全性。然而，因受非等偏频一级渐变刚度板簧的主簧挠度计算、接触载荷仿真计算和最大许用载荷确定的制约，先前一直未能给出非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法，大都是凭经验对其进行设计，因此，很难得到准确可靠的最大限位挠度设计值，难以确保限位装置在冲击载荷下对板簧起保护作用，更不能满足车辆行业快速发展及现代化CAD软件开发的要求。随着车辆行驶速度和对车辆行驶平顺性和安全性的要求不断提高，对非等偏频一级渐变刚度板簧提出了更高要求，因此，必须建立一种精确、可靠的非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法，为非等偏频一级渐变刚度板簧设计、特性仿真计算及CAD软件开发奠定可靠的技术基础，确保最大限位挠度设计值满足板簧设计要求，在冲击载荷下通过限位装置真正对板簧起保护作用，防止板簧因受冲击而断裂，提高板簧的可靠性和使用寿命及车辆行驶安全性；同时，提高非等偏频一级渐变刚度板簧的设计水平、产品质量和性能，降低产品设计及试验费用，加快产品开发速度。

发明内容

针对上述现有技术中存在的缺陷，本发明所要解决的技术问题是提供一种简便、可靠的非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法，其仿真验算流程图，如图1所示。非等偏频一级渐变刚度板簧的一半对称结构如图2所示，是由主簧1和副簧2所组成的，一级渐变刚度板簧的一半总跨度，即为首片主簧的一半作用长度为L_1t，骑马螺栓夹紧距的一半为L₀，板簧的宽度为b，弹性模量为E。主簧1的片数为n，各片主簧的厚度为h_i，一半作用长度为L_it，一半夹紧长度L_i＝L_it-L₀/2，i＝1,2,…n。副簧2的片数为m，各片副簧的厚度为h_Aj，一半作用长度为L_Ajt，一半夹紧长度L_Aj＝L_Ajt-L₀/2，j＝1,2,…m。通过主簧和副簧初始切线弧高，确保副簧首片端部上表面与主簧末片端部下表面之间设置有一定的主副簧间隙δ_MA，以满足渐变刚度板簧开始接触载荷和完全接触载荷、主簧应力强度和悬架渐变刚度的设计要求，并且还应该满足板簧安装及在额定载荷下剩余切线弧高的设计要求。非等偏频一级渐变刚度板簧的空载载荷P₀，开始接触载荷为P_k，完全接触载荷为P_w；为了满足主簧应力强度的要求，使副簧尽早与主簧开始接触和完全接触而承担载荷，悬架开始接触载荷偏频f_0k与完全接触载荷偏频f_0w不相等，即设计为非等偏频一级渐变刚度板簧。依据最大许用应力及最大许用载荷所对应的最大限位挠度，设置限位装置，防止板簧因受冲击载荷而断裂，提高板簧悬架的可靠性和安全性。根据各片主簧和副簧的结构参数、弹性模量、最大许用应力、主簧和副簧的初始切线弧高设计值，在接触载荷仿真计算和最大许用载荷确定的基础上，对非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度进行仿真验算。

为解决上述技术问题，本发明所提供的非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法，其特征在于采用以下仿真验算步骤：

(1)末片主簧下表面和首片副簧上表面的初始曲率半径R_M0b和R_A0a的确定：

I步骤：末片主簧下表面初始曲率半径R_M0b的确定

根据主簧片数n，各片主簧的厚度h_i，i＝1,2,…,n，首片主簧的一半夹紧长度L₁，初始切线弧高H_gM0，确定末片主簧下表面初始曲率半径R_M0b，即

II步骤：首片副簧上表面初始曲率半径R_A0a的确定

根据首片副簧的一半夹紧长度L_A1，副簧初始切线弧高H_gA0，确定首片副簧上表面曲率初始半径R_A0a，即

(2)非等偏频一级渐变刚度板簧的开始接触载荷P_k的仿真计算：

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b，弹性模量E；主簧片数n，各片主簧的厚度h_i，i＝1,2,…,n，首片主簧的一半夹紧跨长度L₁，步骤(1)中所确定的R_M0b和R_A0a，对开始接触载荷P_k进行仿真计算，即

式中，h_Me为主簧根部重叠部分的等效厚度，

(3)主副簧完全接触时的末片主簧下表面曲率半径R_Mwb表达式的建立：

a步骤：主副簧完全接触时的主簧挠度f_Mw表达式的建立

根据主簧夹紧刚度K_M，主副簧夹紧复合刚度K_MA，步骤(2)中仿真计算所得到的P_k，以完全接触载荷P_w为参变量，建立非等偏频一级渐变刚度板簧在完全接触时的主簧挠度f_Mw表达式，即

式中，A、B和C为所定义的渐变挠度计算的中间参数变量，B＝-CP_k，

b步骤：完全接触时的主簧切线弧高表达式h_gMw的建立

根据主簧初始切线弧高H_gM0，a步骤中所建立的f_Mw，以完全接触载荷P_w为参变量，建立在主副簧完全接触时的主簧切线弧高表达式h_gMw，即

c步骤：完全接触时的末片主簧下表面曲率半径R_Mwb表达式的建立

根据主簧片数n，各片主簧的厚度h_i，i＝1,2,…,n，首片主簧的一半夹紧长度L₁，b步骤中所建立的H_gMw，以完全接触载荷P_w为参变量，建立主副簧完全接触时的末片主簧下表面曲率半径表达式R_Mwb，即

(4)非等偏频一级渐变刚度板簧的完全接触载荷P_w的仿真计算：

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b，弹性模量E，首片主簧的一半夹紧长度L₁，步骤(1)中所确定的R_M0b，步骤(2)中所得到的P_k和h_Me，步骤(4)中所建立的R_Mwb，以完全接触载荷P_w为参变量，建立完全接触载荷仿真计算数学模型，即

利用Matlab计算程序，求解上述数学模型，便可得到非等偏频一级渐变钢板弹簧的完全接触载荷P_w的仿真计算值；

(5)非等偏频一级渐变刚度板簧的最大许用载荷P_max的确定：

i步骤：基于主簧应力的最大许用载荷P_Mmax的计算

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b，首片主簧的一半夹紧长度L₁，最大许用应力[σ]；主簧片数n，各片主簧的厚度h_i，i＝1,2,…,n；副簧片数m，各片副簧的厚度h_Aj，j＝1,2,…,m；步骤(2)中所得到的P_k和h_Me，对基于主簧应力的最大许用载荷P_Mmax进行计算，即

式中，h_MAe为主副簧根部重叠部分的等效厚度，h_max为主簧的最大厚度板簧的厚度，h_max＝max(h_i)，i＝1,2,…,n；

ii步骤：基于副簧应力的最大许用载荷P_Amax的计算

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b，首片主簧的一半夹紧长度L₁，最大许用应力[σ]；副簧片数m，各片副簧的厚度h_Aj，j＝1,2,…,m；步骤(2)中仿真计算得到的P_k，及i步骤中所得到的h_MAe，对基于副簧应力的最大许用载荷P_Amax进行计算，即

式中，h_Amax为副簧最大厚度板簧的厚度，h_Amax＝max(h_Aj)，j＝1,2,…,m；

iii步骤：最大许用载荷P_max的确定

根据i步骤计算得到的P_Mmax，ii步骤计算得到的P_Amax，确定非等偏频一级渐变刚度板簧的最大许用载荷P_max，即

P_max＝min(P_Mmax,P_Amax)；

(6)非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度f_Mmax的仿真验算：

根据主簧夹紧刚度K_M，主副簧复合夹紧刚度K_MA，步骤(2)中所确定的P_k，步骤(4)中所确定的P_w，步骤(5)中所确定的P_max，对非等偏频一级渐变刚度板簧的最大限位挠度f_Mmax进行仿真验算，即

式中，K_kwP为渐变刚度板簧在载荷P∈[P_k,P_w]范围内的渐变夹紧刚度，

本发明比现有技术具有的优点

由于受非等偏频一级渐变刚度板簧的主簧挠度计算、接触载荷仿真计算和最大许用载荷确定的制约，先前一直未能给出非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法，大都是凭经验对其进行设计，因此，很难得到准确可靠的最大限位挠度设计值，难以确保限位装置在冲击载荷下对板簧起保护作用，更不能满足车辆行业快速发展及现代化CAD软件开发的要求。本发明可根据各片主簧和副簧的结构参数、弹性模量、最大许用应力、主簧和副簧的初始切线弧高设计值，在接触载荷仿真计算和最大许用载荷确定的基础上，对非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度进行仿真验算。通过实例仿真验算和样机加载挠度试验测试可知，本发明所提供的非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法是正确的，为给定设计结构的非等偏频一级渐变刚度板簧的最大限位挠度仿真验算提供了可靠的技术方法。利用该方法可得到准确可靠的最大限位挠度仿真验算值，确保板簧最大限位挠度设计值和限位装置满足设计要求，真正在冲击载荷下对板簧起保护作用，防止板簧因受冲击而断裂，从而提高产品的设计水平、可靠性和使用寿命及车辆行驶安全性；同时，还可以降低设计和试验测试费用，加快产品开发速度。

附图说明

为了更好地理解本发明，下面结合附图做进一步的说明。

图1是非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算流程图；

图2是非等偏频一级渐变刚度板簧的一半对称结构示意图；

图3是实施例的仿真计算得到的非等偏频一级渐变刚度板簧的挠度特性曲线。

具体实施方案

下面通过实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例：某非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b＝63mm，弹性模量E＝200GPa，最大许用应力[σ]＝800MPa；板簧跨度的一半即首片主簧的一半作用长度L_1t＝525mm，骑马螺栓夹紧距的一半L₀＝50mm。主簧片数n＝3片，各片主簧的厚度h₁＝h₂＝h₃＝8mm，各片主簧的一半作用长度分别为L_1t＝525mm，L_2t＝450mm，L_3t＝350mm；一半夹紧长度分别为L₁＝L_1t-L₀/2＝500mm，L₂＝L_2t-L₀/2＝425mm，L₃＝L_3t-L₀/2＝325mm。副簧片数m＝2片，各片副簧的厚度h_A1＝h_A2＝13mm，各片副簧的一半作用长度分别为L_A1t＝250mm，L_A2t＝150mm，一半夹紧长度分别为L_A1＝L_A1t-L₀/2＝225mm，L_A2＝L_A2t-L₀/2＝125mm。主副簧的总片数N＝n+m＝5，主簧夹紧刚度K_M＝75.4N/mm，主副簧夹紧复合刚度K_MA＝172.9N/mm。主簧初始切线弧高设计值H_gM0＝102mm，副簧的初始切线弧高设计值H_gA0＝12mm。根据各片主簧和副簧的结构参数、弹性模量、最大许用应力、主簧和副簧的初始切线弧高设计值，对该非等偏频一级渐变刚度板簧的最大限位挠度进行仿真验算。

本发明实例所提供的非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法，其仿真验算流程如图1所示，具体仿真验算步骤如下：

(1)末片主簧下表面和首片副簧上表面的初始曲率半径R_M0b和R_A0a的确定：

I步骤：末片主簧下表面初始曲率半径R_M0b的确定

根据主簧片数n＝3，各片厚度h_i＝8mm，i＝1,2,…,n，首片主簧的一半夹紧长度L₁＝500mm，初始切线弧高设计值H_gM0＝102mm，确定末片主簧下表面初始曲率半径R_M0b，即

II步骤：首片副簧上表面初始曲率半径R_A0a的确定

根据首片副簧的一半夹紧长度L_A1＝225mm，初始切线弧高设计值H_gA0＝12mm，确定首片副簧上表面初始曲率半径R_A0a，即

(2)非等偏频一级渐变刚度板簧的开始接触载荷P_k的仿真计算：

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b＝63mm，弹性模量E＝200GPa；主簧片数n＝3，各片厚度h_i＝8mm，i＝1,2,…,n；首片主簧的一半夹紧跨长度L₁＝500mm，步骤(1)中所确定的R_M0b＝1300.5mm和R_A0a＝2115.4mm，对开始接触载荷P_k进行仿真计算，即

式中，h_Me为主簧根部重叠部分的等效厚度，

(3)主副簧完全接触时的末片主簧下表面曲率半径R_Mwb表达式的建立：

a步骤：主副簧完全接触时的主簧挠度f_Mw表达式的建立

根据主簧夹紧刚度K_M＝75.4N/mm，主副簧夹紧复合刚度K_MA＝172.9N/mm，步骤(2)中仿真计算所得到的P_k＝1911N，以完全接触载荷P_w为参变量，建立主副簧完全接触时的主簧挠度f_Mw表达式，即

式中，A、B和C是所定义的渐变挠度计算的中间参数变量，B＝-CP_k，

b步骤：完全接触时的主簧切线弧高表达式h_gMw的建立

根据主簧初始切线弧高设计值H_gM0＝102mm，a步骤中所建立的f_Mw，以完全接触载荷P_w为参变量，建立在主副簧完全接触时的主簧切线弧高表达式h_gMw，即

c步骤：完全接触时的末片主簧下表面曲率半径R_Mwb表达式的建立

根据主簧片数n＝3，各片厚度h₁＝h₂＝h₃＝8mm，首片主簧的一半夹紧长度L₁＝500mm，b步骤中所建立的H_gMw，以主副簧完全接触载荷P_w为参变量，建立在主副簧完全接触时的末片主簧下表面曲率半径表达式R_Mwb，即

(4)非等偏频一级渐变刚度板簧的完全接触载荷P_w的仿真计算：

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b＝63mm，弹性模量E＝200GPa，首片主簧的一半夹紧长度L₁＝500mm，步骤(1)中所确定的R_M0b＝1300.5mm，步骤(2)中所得到的h_Me＝11.5mm，和P_k＝1911N，步骤(3)的中所建立的R_Mw，以完全接触载荷P_w为参变量，建立非等偏频一级渐变刚度板簧的完全接触载荷仿真计算数学模型，即

利用Matlab计算程序，求解上述数学模型，便可得到该非等偏频一级渐变板簧的完全接触载荷的仿真计算值P_w＝3834N。通过与实际设计值比较可知，开始接触载荷和完全接触载荷的仿真计算值P_k＝1911N和P_w＝3834N，与实际设计值P_k＝1900N和P_w＝3800N相吻合，绝对偏差分别为11N和34N，相对偏差分别仅为0.58％和0.089％。

(5)非等偏频一级渐变刚度板簧的最大许用载荷P_max的确定：

i步骤：基于主簧应力的最大许用载荷P_Mmax的计算

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b＝63mm，最大许用应力[σ]＝800MPa；首片主簧的一半夹紧长度L₁＝500mm，主簧片数n＝3，各片厚度h_i＝8mm，i＝1,2,…,n；副簧片数m＝2，各片副簧厚度h_Aj＝13mm，j＝1,2,…,m；步骤(2)中所得到的h_Me＝11.5mm和P_k＝1900N，对基于主簧应力的最大许用载荷P_Mmax进行计算，即

式中，h_MAe为主副簧根部重叠部分的等效厚度，h_max为主簧最大厚度板簧的厚度，h_max＝max(h_i)＝8mm；

ii步骤：基于副簧应力的最大许用载荷P_Amax的计算

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b＝63mm，首片主簧的一半夹紧长度L₁＝500mm，最大许用应力[σ]＝800MPa；副簧片数m＝2，各片副簧厚度h_Aj＝13mm，j＝1,2,…,m；步骤(2)中所得到的P_k＝1911N，及I步骤中得到的h_MAe＝18.1mm，对基于副簧应力的最大许用载荷P_Amax进行计算，即

式中，h_Amax为副簧的最大厚度板簧的厚度，h_Amax＝max(h_Aj)＝13mm

iii步骤：最大许用载荷P_max的确定

根据i步骤计算得到的P_Mmax＝19439N，ii步骤计算得到的P_Amax＝17238N，确定非等偏频一级渐变刚度板簧的最大许用载荷P_max，即

P_max＝min(P_Mmax,P_Amax)＝17238N。

(6)非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度f_Mmax的仿真验算：

根据主簧夹紧刚度K_M＝75.4N/mm，主副簧的复合夹紧刚度K_MA＝172.9N/mm，步骤(2)中所确定的P_k＝1911N，步骤(4)中所确定的P_w＝3834N，步骤(5)中所确定的P_max＝17238N，对该非等偏频一级渐变刚度板簧的最大限位挠度f_Mmax进行仿真验算，即

式中，K_kwP为渐变刚度板簧在载荷P∈[P_k,P_w]范围内的渐变夹紧刚度K_kwP，

利用Matlab计算程序，仿真计算所得到的该非等偏频一级渐变刚度板簧的载荷挠度曲线，如图3所示；其中，在最大许用载荷P_max＝17238N下的最大限位挠度f_M＝119.2mm，与实际设计值相吻合，说明该该非等偏频一级渐变刚度板簧的结构设计参数是可靠的。

通过样机加载挠度和应力试验测试可知，当所施加载荷达到最大许用载荷的仿真计算值P_max＝17438N，该板簧挠度测试值与最大限位挠度的仿真验算值相吻合，表明本发明所提供的非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法是正确的，为非等偏频一级渐变刚度钢板弹簧设计奠定了可靠的技术基础。利用该方法可得到准确可靠的最大限位挠度仿真验算值，确保限位装置在冲击载荷下真正对板簧起保护作用，从而提高板簧的设计水平、质量、可靠性和使用寿命及车辆行驶安全性；同时，降低产品设计及试验费用，加快产品开发速度。

Claims (1)

1.非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度的仿真验算法，其中，各片板簧为以中心穿装孔对称的结构，安装夹紧距的一半为骑马螺栓夹紧距的一半；通过主簧和副簧的初始切线弧高及渐变间隙，确保满足板簧渐变刚度、悬架偏频特性和主簧应力强度设计要求，即非等偏频一级渐变刚度板簧悬架；依据最大许用应力及最大许用载荷所对应的最大限位挠度，设置一限位装置，防止板簧因受冲击载荷而断裂，提高板簧悬架的可靠性和安全性；根据各片主簧和副簧的结构参数、弹性模量、最大许用应力、主簧和副簧的初始切线弧高，在接触载荷仿真计算和最大许用载荷确定的基础上，对非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度进行仿真验算，具体仿真验算步骤如下：

(1)末片主簧下表面和首片副簧上表面的初始曲率半径R_M0b和R_A0a的确定：

I步骤：末片主簧下表面初始曲率半径R_M0b的确定

根据主簧片数n，各片主簧的厚度h_i，i＝1,2,…,n，首片主簧的一半夹紧长度L₁，初始切线弧高H_gM0，确定末片主簧下表面初始曲率半径R_M0b，即

$R_{M0b}=\frac{L_1^2+H_{gM0}^2}{2H_{gM0}}+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{h}_i;$

II步骤：首片副簧上表面初始曲率半径R_A0a的确定

根据首片副簧的一半夹紧长度L_A1，副簧初始切线弧高H_gA0，确定首片副簧上表面曲率初始半径R_A0a，即

$R_{A0a}=\frac{L_{A1}^2+H_{gA0}^2}{2H_{gA0}};$

(2)非等偏频一级渐变刚度板簧的开始接触载荷P_k的仿真计算：

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b，弹性模量E；主簧片数n，各片主簧的厚度h_i，i＝1,2,…,n，首片主簧的一半夹紧跨长度L₁，步骤(1)中所确定的R_M0b和R_A0a，对开始接触载荷P_k进行仿真计算，即

$P_k=\frac{{\mathrm{Ebh}}_{Me}^3(R_{A0a}-R_{M0b})}{6L_1{R}_{M0b}{R}_{A0a}};$

式中，h_Me为主簧根部重叠部分的等效厚度，

(3)主副簧完全接触时的末片主簧下表面曲率半径R_Mwb表达式的建立：

a步骤：主副簧完全接触时的主簧挠度f_Mw表达式的建立

根据主簧夹紧刚度K_M，主副簧夹紧复合刚度K_MA，步骤(2)中仿真计算所得到的P_k，以完全接触载荷P_w为参变量，建立非等偏频一级渐变刚度板簧在完全接触时的主簧挠度f_Mw表达式，即

$f_{Mw}-f_{Mk}+f_{Mkw}=\frac{P_k}{K_M}+\frac{1}{A}ln\frac{{\mathrm{AP}}_w+B}{{\mathrm{AP}}_K+B};$

式中，A、B和C为所定义的渐变挠度计算的中间参数变量，

b步骤：完全接触时的主簧切线弧高表达式h_gMw的建立

根据主簧初始切线弧高H_gM0，a步骤中所建立的f_Mw，以完全接触载荷P_w为参变量，建立在主副簧完全接触时的主簧切线弧高表达式h_gMw，即

$H_{gMw}=H_{gM0}-f_{Mw}=H_{gM0}-\frac{P_k}{K_M}-\frac{1}{A}ln\frac{{\mathrm{AP}}_w+B}{{\mathrm{AP}}_K+B};$

c步骤：完全接触时的末片主簧下表面曲率半径R_Mwb表达式的建立

根据主簧片数n，各片主簧的厚度h_i，i＝1,2,…,n，首片主簧的一半夹紧长度L₁，b步骤中所建立的H_gMw，以完全接触载荷P_w为参变量，建立主副簧完全接触时的末片主簧下表面曲率半径表达式R_Mwb，即

$R_{Mwb}=\frac{L_1^2+H_{gMw}^2}{2H_{gMw}}+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{h}_i;$

(4)非等偏频一级渐变刚度板簧的完全接触载荷P_w的仿真计算：

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b，弹性模量E，首片主簧的一半夹紧长度L₁，步骤(1)中所确定的R_M0b，步骤(2)中所得到的P_k和h_Me，步骤(4)中所建立的R_Mwb，以完全接触载荷P_w为参变量，建立完全接触载荷仿真计算数学模型，即

$6(P_w-P_k)R_{M0b}{R}_{Mwb}{L}_1-{\mathrm{Ebh}}_{Me}^3(R_{Mwb}-R_{M0b})=0;$

利用Matlab计算程序，求解上述数学模型，便可得到非等偏频一级渐变钢板弹簧的完全接触载荷P_w的仿真计算值；

(5)非等偏频一级渐变刚度板簧的最大许用载荷P_max的确定：

i步骤：基于主簧应力的最大许用载荷P_Mmax的计算

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b，首片主簧的一半夹紧长度L₁，最大许用应力[σ]；主簧片数n，各片主簧的厚度h_i，i＝1,2,…,n；副簧片数m，各片副簧的厚度h_Aj，j＝1,2,…,m；步骤(2)中所得到的P_k和h_Me，对基于主簧应力的最大许用载荷P_Mmax进行计算，即

$P_{Mmax}=\frac{h_{MAe}^{3}b\[\mathrm{\σ}\]}{3L_1{h}_{max}}-(\frac{h_{MAe}^3}{h_{Me}^3}-1)P_k;$

式中，h_MAe为主副簧根部重叠部分的等效厚度，h_max为主簧的最大厚度板簧的厚度，h_max＝max(h_i)，i＝1,2,…,n；

ii步骤：基于副簧应力的最大许用载荷P_Amax的计算

根据非等偏频一级渐变刚度板簧的宽度b，首片主簧的一半夹紧长度L₁，最大许用应力[σ]；副簧片数m，各片副簧的厚度h_Aj，j＝1,2,…,m；步骤(2)中仿真计算得到的P_k，及i步骤中所得到的h_MAe，对基于副簧应力的最大许用载荷P_Amax进行计算，即

$P_{Amax}=\frac{{\mathrm{bh}}_{MAe}^3\[\mathrm{\σ}\]}{3L_1{h}_{Amax}}+P_k;$

式中，h_Amax为副簧最大厚度板簧的厚度，h_Amax＝max(h_Aj)，j＝1,2,…,m；

iii步骤：最大许用载荷P_max的确定

根据i步骤计算得到的P_Mmax，ii步骤计算得到的P_Amax，确定非等偏频一级渐变刚度板簧的最大许用载荷P_max，即

P_max＝min(P_Mmax,P_Amax)；

(6)非等偏频一级渐变刚度板簧最大限位挠度f_Mmax的仿真验算：

根据主簧夹紧刚度K_M，主副簧复合夹紧刚度K_MA，步骤(2)中所确定的P_k，步骤(4)中所确定的P_w，步骤(5)中所确定的P_max，对非等偏频一级渐变刚度板簧的最大限位挠度f_Mmax进行仿真验算，即

$f_{Mmax}=\frac{P_k}{K_M}+{\∫}_{P_k}^{P_w}\frac{dP}{K_{kwP}}+\frac{P_{max}-P_w}{K_{MA}};$

式中，K_kwP为渐变刚度板簧在载荷P∈[P_k,P_w]范围内的渐变夹紧刚度，

$K_{kwP}=\frac{P}{P_k}{K}_M+\frac{P-P_k}{P_w-P_k}(K_{MA}-\frac{P_w}{P_k}{K}_M).$