CN106656210B - 一种基于完备循环差集的可快速编码的type-II QC-LDPC码构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于完备循环差集的可快速编码的type‑II QC‑LDPC码构造方法，该方法是针对QC‑LDPC码编码复杂度较高和码字间最小距离不够大而导致纠错性能下降的问题，充分利用完备循环差集(CDS)的特殊性质，将完备CDS用于构造type‑II QC‑LDPC码的校验矩阵以避免短环的产生，其方法过程为：首先构造一个准双对角线结构的权重矩阵A_wt来确定校验矩阵H中每个循环子矩阵的权重，A_wt中包含0,1,2三种元素，其元素分布的位置确保了H具有准双对角线的形式且满秩；根据A_wt中的权重分配，利用完备CDS构造移位矩阵S(H)确保H中不存在四环，将S(H)用零矩阵、循环置换矩阵和权重为2的循环矩阵扩展得到校验矩阵H，H的零空间就是这种非规则type‑II QC‑LDPC码，最后根据H的结构给出了该码字的快速迭代编码算法。

Description

一种基于完备循环差集的可快速编码的type-II QC-LDPC码 构造方法

技术领域

本发明属于信号处理领域，涉及信道编码，尤其是一种基于完备循环差集的可快速编码的type-II QC-LDPC码构造方法。

背景技术

通信系统设计的目的在于能够保证信息有效可靠地传输，但传输过程中存在噪声等干扰。信道编码技术是通过在有效信息中添加少量的冗余信息来发现并纠正传输过程中噪声导致的误码，其本质是在有效性和可靠性之间找到合适的折中点。信道编码技术历经几代的发展，现已确定了以低密度奇偶校验(Low-Density Parity-parity check,LDPC)码为主的技术路线。LDPC码作为一种具有稀疏校验矩阵的线性分组码，当采用置信度传播(Belief Propagation,BP)算法迭代译码时，其性能十分逼近Shannon限。准循环低密度奇偶校验(Quasi-Cyclic Low-Density Parity-parity check,QC-LDPC)码是一种结构型LDPC码，其校验矩阵具有准循环特性，可由简单的线性移位寄存器实现编码，减少了所需存储空间，降低了硬件实现的复杂度，已成为了编码界的研究焦点。

通常，QC-LDPC的校验矩阵H是由循环子矩阵组成。当校验矩阵H中仅包含循环置换矩阵(Circulant Permutation Matrices,CPM)或零矩阵(Zero Matrices，ZM)这两种形式的循环子矩阵时，对应的码字为type-I QC-LDPC码，目前大多数文献所构造的QC-LDPC码都是属于type-I QC-LDPC码。而type-II QC-LDPC码校验矩阵H包括CMP、ZM和权重为2的循环矩阵(Weight-2Circulant Matrices,W2CM)，与type-I QC-LDPC码相比，它具有更大的最小距离上界值，最小距离与码纠错性能直接相关，最小距离值越大，码的抗干扰性越好，检错纠错能力也越强。经查阅文献可知，在目前仅有的少数研究type-II QC-LDPC码的文献中，其中有两篇构造的type-II QC-LDPC码属于规则码，其校验矩阵H中仅包含W2CM，更容易导致Tanner图中短环的产生，且校验矩阵H不是满秩的；还有一篇构造的type-II QC-LDPC码的校验矩阵H是满秩的且其子矩阵包含ZM、CPM和W2CM三种形式，但除理论分析外并无仿真结果说明。因此，目前尚未存在对非规则type-II QC-LDPC码的确定性构造的研究。

除此之外，虽然上述type-II QC-LDPC码一定程度上降低了存储复杂度，但是编码复杂度过高的问题还是没有得到有效解决。目前存在的type-II QC-LDPC码的编码是将校验矩阵H转换成生成矩阵，利用生成矩阵进行编码的过程，编码复杂度与码长的平方成正比，当码长较长时，如此高的复杂度不容小觑。完备循环差集(Cyclic Difference Sets,CDS)是组合数学中一类十分重要的设计理论，其主要性质是集合中任意两个不同元素之差也是各不相同的，将完备CDS引入到type-II QC-LDPC码的构造中可有效避免四环的产生。因此，本发明利用完备CDS，提出了一种可快速编码的非规则type-II QC-LDPC码构造方法。该方法不仅提升了码字的纠错性能，且有效地减低了编码复杂度。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种基于完备循环差集的可快速编码的type-II QC-LDPC码构造方法，通过对码字的权重矩阵和移位矩阵的巧妙设计，从而达到提升纠错性能、减小编码复杂度的目的，

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种基于完备循环差集的可快速编码的type-II QC-LDPC码构造方法，包括：

1.设计一个3×L的权重矩阵A_wt，A_wt中的元素a_ij(0≤i≤2,0≤j≤J-1,a_ij∈{0,1,2})表示type-II QC-LDPC码的校验矩阵H中循环子矩阵对应的权重。设计的权重矩阵A_wt如下式所示。

式(1)中的A_wt虚线左半部分第一列的元素为(x²+y²)mod3，余下每一列的元素为[(x²+y²)+w₁/w₂/w₃]mod3，x与y为对应元素所在位置的行列坐标值。第一行对应的w₁在第3i_b(2≤i_b≤k_b)列取值为2，其余列取值为0；第二行对应的w₂取值为1；第三行对应的w₃取值为1，保证了A_wt中组成矩行的四个位置上元素不都为1。A_wt虚线右半部分具有准双对角线的形式，保证了A_wt是满秩的，那么这个权重矩阵对应的校验矩阵H也具有准双对角线的形式且满秩的，即rank(H)＝pJ，该校验矩阵H的零空间定义的码字C的码率为R＝1-J/L。

2.根据(1)式给出的权重矩阵A_wt来确定移位矩阵S(H)的每个条目的元素的个数，A_wt中非零元素的值对应于S(H)中相应条目的元素的个数，A_wt中0元素的值对应于S(H)中元素为∞。S(H)如式(2)所示。

其中，L≥3，对任意0≤j≤2,0≤l≤L-1,i∈{1,2},

表示单位矩阵的每行向右循环移位的次数。

3.将S(H)中除∞外仅包括一个元素的条目的元素值确定为0，即对应H中权重为1的循环子矩阵均确定为单位矩阵。由于A_wt中组成矩阵的四个位置上元素不都为1，那么单位矩阵在H中不会参与构成四环；根据完备CDS的性质，令p＝v＝k²-k+1，将完备CDS中的元素按升序方式从左到右从上到下分配在根据A_wt构造的S(H)中除0元素和∞外的条目中。然后将移位矩阵S(H)扩展为校验矩阵H，即0元素用单位矩阵去替换，∞用零矩阵去替换，其余元素用对应的CPM去替换，得到最终的校验矩阵H，若(3)式所示。

当

时，I(∞)代表一个p×p零矩阵0，当

时，I(0)是一个p×p单位矩阵I，当

时，

表示一个p×p的单位矩阵每行向右移

位所得的CPM。根据式(1)构造的权重矩阵可知，校验矩阵H包括下面三种形式：权重为0的ZM、权重为1的CPM和权重为2的循环矩阵

其中

4.快速编码迭代算法

本发明所构造的大小为3p×(k_b+3)p的校验矩阵H可分为两部分，即H＝[H₁H₂]，其中大小为3p×k_bp的H₁为信息子矩阵，大小为3p×3p的H₂为校验子矩阵，H₂为准双对角线结构的形式，是实现快速编码的基础部分。因此本发明构造的码字可基于校验矩阵H利用编码原理等式Hc^T＝0直接进行快速编码后得到码字c。假设将长度为(k_b+3)p的码向量分成(k_b+3)段，每段长度为p，表示为

记

为信息码向量，p＝[p₁ ^T p₂ ^T p₃ ^T]为校验码向量，其中

s_i＝[s((i-1)p+1) s((i-1)p+2) … s(iz)]^T，i＝1,2,…,k_b (5)

p_i＝[p((i-1)p+1) p((i-1)p+2) … p(ip)]^T，i＝1,2,3 (6)

将各个s_i和p_i纵向拼接起来可得

根据编码算法的原理等式Hc^T＝0可得

将(8)式用线性方程组的形式表示

其中，X₁＝Φ₁+Φ₂，X₂＝Φ₃+Φ₄。

令

可将(9)式化简为

由消元法可得校验码向量

p₁＝(X₁+X₂+I)^-1·(q₁+q₂+q₃) (11)

p₂＝q₁+X₁·p₁ (12)

p₃＝q₃+p₁ (13)

式(11)～式(13)的线性方程组就是本发明提出的type-II QC-LDPC码的快速迭代编码算法，当已知信息码向量

和校验矩阵H时，便可由式(11)～式(13)得到校验向量p＝[p₁ ^T p₂ ^T p₃ ^T]，最终得到码向量

本发明的有益效果在于：构造的type-II QC-LDPC码的校验矩阵具有准双对角线结构，省去了将校验矩阵转H换成生成矩阵的过程，可利用H直接进行快速编码，本发明也给出了type-II QC-LDPC码的具体快速编码算法，该算法综合了稀疏矩阵和迭代两方面的优势，因此编码复杂度仅与码长呈线性比例关系，有效地降低了编码复杂度。就存储方面而言，本发明构造的type-II QC-LDPC码采用的是准循环构造法，校验矩阵H可由移位矩阵S(H)确定，所以只需对移位矩阵S(H)中的元素进行储存，存储量非常小。就纠错性能而言，W2CM的引入可使码字之间的最小距离具有更大的值，增大了码的纠错能力；Tanner图中无四环，译码时能快速收敛，且构造的是一种非规则type-II QC-LDPC码，在同等条件下，本发明基于完备CDS构造的非规则type-II CDS QC-LDPC码的纠错性能优于基于完备CDS造的规则type-II CDS QC-LDPC码及基于等差数列(Arithmetic Progression Sequence,APS)构造的type-I APS-QC-LDPC码。综上所述，本发明所提供的一种基于完备循环差集的可快速编码的非规则type-II QC-LDPC码构造方法比相关传统方法在净编码增益、编码复杂度及存储所需空间等方面均有优势，能更好地满足通信系统的要求。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为本发明方法的技术路线图；

图2为实施例1所构造的码率为0.5的非规则type-II CDS QC-LDPC(1098,549)码与其他码的性能比较图；

图3为实施例2所构造的码率为0.67的非规则type-II CDS QC-LDPC(4977,3318)码与其他码的性能比较图。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

1.结合附图1说明，对于一个v阶的加法群Z_v＝{0,1,2…,v-1}，D＝{d₁,d₂,...,d_k}为Z_v的含有k个元素的子集，Z_v中的每个非零元素在(d_i-d_j)modv运算的结果中恰好出现λ次，则D称作Z_v的一个(v,k,λ)循环差集。由定义可得循环差集的参数满足：λ＝k(k-1)/(v-1)。当λ＝1时，v＝k²-k+1，称这样的循环差集为完备循环差集，完备循环差集D中任意两个元素d_i，d_j的模v差集(d_i-d_j)modv运算结果各不相同。对于任意素数幂q＝p^m，p为一个素数，m为任意的正整数，v＝q²+q+1，对于加法群

存在一个(q²+q+1,q+1,1)完备循环差集。表1中列出了部分完备循环差集。

表1部分(v,k,1)完备循环差集(4≤k≤30)

2.结合附图1说明，设计一个3×L的权重矩阵A_wt，A_wt中的元素a_ij(0≤i≤2,0≤j≤J-1,a_ij∈{0,1,2})表示type-II QC-LDPC码的校验矩阵H中循环子矩阵对应的权重。设计的权重矩阵A_wt如下式所示。

式(1)中的A_wt虚线左半部分第一列的元素为(x²+y²)mod3，余下每一列的元素为[(x²+y²)+w₁/w₂/w₃]mod3，x与y为对应元素所在位置的行列坐标值。第一行对应的w₁在第3i_b(2≤i_b≤k_b)列取值为2，其余列取值为0；第二行对应的w₂取值为1；第三行对应的w₃取值为1，保证了A_wt中组成矩行的四个位置上元素不都为1。A_wt虚线右半部分具有准双对角线的形式，保证了A_wt是满秩的，那么这个权重矩阵对应的校验矩阵H也具有准双对角线的形式且满秩的，即rank(H)＝pJ，该校验矩阵H的零空间定义的码字C的码率为R＝1-J/L。

3.结合附图1说明，根据(1)式给出的权重矩阵A_wt来确定移位矩阵S(H)的每个条目的元素的个数，A_wt中非零元素的值对应于S(H)中相应条目的元素的个数，A_wt中0元素的值对应于S(H)中元素为∞。S(H)如式(2)所示。

其中，L≥3，对任意0≤j≤2,0≤l≤L-1,i∈{1,2},

表示单位矩阵的每行向右循环移位的次数。

4.结合附图1说明，将S(H)中除∞外仅包括一个元素的条目的元素值确定为0，即对应H中权重为1的循环子矩阵均确定为单位矩阵。由于A_wt中组成矩阵的四个位置上元素不都为1，那么单位矩阵在H中不会参与构成四环；根据完备CDS的性质，令p＝v＝k²-k+1，将完备CDS中的元素按升序方式从左到右从上到下分配在根据A_wt构造的S(H)中除0元素和∞外的条目中。然后将移位矩阵S(H)扩展为校验矩阵H，即0元素用单位矩阵去替换，∞用零矩阵去替换，其余元素用对应的CPM去替换，得到最终的校验矩阵H，若(3)式所示。

当

时，I(∞)代表一个p×p零矩阵0，当

时，I(0)是一个p×p单位矩阵I，当

时，

表示一个p×p的单位矩阵每行向右移

位所得的CPM。根据式(1)构造的权重矩阵可知，校验矩阵H包括下面三种形式：权重为0的ZM、权重为1的CPM和权重为2的循环矩阵

其中

5.快速编码迭代算法

结合附图1说明，本发明所构造的大小为3p×(k_b+3)p的校验矩阵H可分为两部分，即H＝[H₁H₂]，其中大小为3p×k_bp的H₁为信息子矩阵，大小为3p×3p的H₂为校验子矩阵，H₂为准双对角线结构的形式，是实现快速编码的基础部分。因此本发明构造的码字可基于校验矩阵H利用编码原理等式Hc^T＝0直接进行快速编码后得到码字c。假设将长度为(k_b+3)p的码向量分成(k_b+3)段，每段长度为p，表示为

记

为信息码向量，p＝[p₁ ^T p₂ ^T p₃ ^T]为校验码向量，其中

s_i＝[s((i-1)p+1) s((i-1)p+2) … s(iz)]^T，i＝1,2,...,k_b (5)

p_i＝[p((i-1)p+1) p((i-1)p+2) … p(ip)]^T，i＝1,2,3 (6)

将各个s_i和p_i纵向拼接起来可得

根据编码算法的原理等式Hc^T＝0可得

将(8)式用线性方程组的形式表示

其中，X₁＝Φ₁+Φ₂，X₂＝Φ₃+Φ₄。

令

可将(9)式化简为

由消元法可得校验码向量

p₁＝(X₁+X₂+I)^-1·(q₁+q₂+q₃) (11)

p₂＝q₁+X₁·p₁ (12)

p₃＝q₃+p₁ (13)

式(11)～式(13)的线性方程组就是本发明提出的type-II QC-LDPC码的快速迭代编码算法，当已知信息码向量

和校验矩阵H时，便可由式(11)～式(13)得到校验向量p＝[p₁ ^T p₂ ^T p₃ ^T]，最终得到码向量

6.编码复杂度分析

编码复杂度分析主要是对编码过程的运算量，运算复杂度和编码所需存储的参数的分析。运算量可定义为运算过程中乘法和加法的次数，运算复杂度可定义为码长的变化所引起的运算量的变化之间的关系。由于本发明提出的type-II QC-LDPC码的直接快速迭代编码算法中的各个子矩阵都是稀疏矩阵，所以按照稀疏矩阵的方式来计算，其运算量能被很大程度地减小。本发明的快速编码算法的运算量精确值如表2所示。

表2本发明构造的type-II QC-LDPC码的快速编码算法的运算量

	乘法次数	加法次数
			p<sub>1</sub>	3RN/p	3Rn+2p<sup>2</sup>-p
p<sub>2</sub>	RN+p	RN
			p<sub>3</sub>	RN	RN

显然，从表2可以看出，计算校验码向量p的运算复杂度与码长成线性关系，即运算复杂度为O(N)，这是因为该LDPC编码算法综合了稀疏矩阵和迭代两方面的优势。就参数存储方面而言，本发明构造的type-II QC-LDPC码采用的是准循环构造法，校验矩阵H可由移位矩阵S(H)确定，所以只需对移位矩阵S(H)中的元素进行储存，存储量非常小。通过对本发明提出的编码算法的运算量，运算复杂度和编码所需存储空间的综合分析，可知该算法有效地降低了编码复杂度。

7.误比特性能分析

下面将给出两个实施例来说明并分析本发明所构造的非规则type-II CDS-QC-LDPC码的性能，仿真环境采用的是加性白噪声高斯(AWGN)信道下的二进制相移键控(BPSK)调制，置信度传播(BP)迭代译码，最大迭代次数取50次。并与基于完备CDS构造的规则type-II QC-LDPC码以及基于等差数列(Arithmetic Progression Sequence,APS)构造的规则type-I QC-LDPC码进行性能比较。

实施例1：取(183,14,1)-CDS D＝{1,2,4,25,42,53,58,67,71,97,103,150,165,177}，令p＝v＝183，k_b＝3，根据式(1)可得到一个3×6的权重矩阵A_wt如式(14)所示。

根据(183,14,1)-CDS和(14)式的权重矩阵A_wt可得移位矩阵S(H)，S(H)扩展后的校验矩阵H的零空间可定义码率为0.5的非规则type-II CDS QC-LDPC(1098,549)码，纠错性能仿真结果和数据分别如图2和表3所示。从图2和表3可以看出，当误比特率(Bit ErrorRate,BER)为10^-6时，本发明所构造的非规则type-II CDS QC-LDPC(1098,549)码的净编码增益(Net Coding Gain,NCG)为7.82dB，且在同等条件下与规则type-II CDS QC-LDPC(1092,546)码和type-I APS-QC-LDPC(1096,548)码相比，NCG分别提升了0.42dB和0.68dB。另外，本发明所构造的非规则type-II CDS QC-LDPC(1098,549)码在信噪比为2.8dB时，BER可达到10^-7，说明译码时具有较好的收敛特性，且在BER低至10^-7无错误平层现象。

表3实施例1中构造的码型与其他码型的性能比较

码型	码长	信息位	码率	BER＝10<sup>-6</sup>的NCG
					非规则type-II CDS QC-LDPC码	1098	549	0.5	7.82dB
规则type-II CDS QC-LDPC码	1092	546	0.5	7.40dB
					规则type-I APS-QC-LDPC码	1096	548	0.5	7.14dB

实施例2：取(553,24,1)-CDS D＝{1,2,4,18,37,43,65,94,132,150,162,194,205,215,220,228,265,274,314,401,449,453,473,480},令p＝v＝553，k_b＝6，根据式(1)可得到一个3×9的权重矩阵A_wt如式(15)所示。

根据(553,24,1)-CDS和(15)式的权重矩阵A_wt可得移位矩阵S(H)，最终扩展后的校验矩阵H的零空间可定义码率为0.67的type-II CDS QC-LDPC(4977,3318)码，纠错性能仿真结果如图3所示。从图3可以看出，当BER为10^-6时，本发明所构造的非规则type-II CDSQC-LDPC(4977,3318)码的NCG为8.18dB，且在同等条件下与规则type-II CDS QC-LDPC(5226,3486)码相比具有0.38dB左右的NCG改善，比type-I APS-QC-LDPC(4980,3320)码NCG提高了0.28dB左右，且当BER接近10^-7时无错误平层现象。

表4实施例2中构造的码型与其他码型的性能比较

码型	码长	信息位	码率	BER＝10<sup>-6</sup>的NCG
					非规则type-II CDS QC-LDPC码	4977	3318	0.67	8.18dB
规则type-II CDS QC-LDPC码	4980	3320	0.67	7.80dB
					规则type-I APS-QC-LDPC码	5226	3486	0.67	7.90dB

最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。

Claims (1)

1.一种基于完备循环差集的可快速编码的type-II QC-LDPC码构造方法，其特征在于：首先构造一个准双对角线结构的权重矩阵A_wt来确定校验矩阵中每个循环子矩阵的权重，A_wt中包含0,1,2三种元素，其元素分布的位置确保了校验矩阵H具有准双对角线的形式且满秩；根据A_wt中的权重分配，利用完备循环差集构造移位矩阵S(H)确保H中不存在四环，将S(H)用零矩阵、循环置换矩阵(Circulant Permutation Matrices,CPM)和权重为2的循环矩阵(Weight-2 Circulant Matrices,W2CM)扩展得到校验矩阵H，H的零空间就是这种非规则type-II QC-LDPC码，最后根据H的结构给出该码字；

其中，所述权重矩阵A_wt为3×L的矩阵，A_wt中的元素a_ij(0≤i≤2,0≤j≤J-1,a_ij∈{0,1,2})表示type-II QC-LDPC码的校验矩阵H中循环子矩阵对应的权重；权重矩阵A_wt如下式所示：

式(1)中的A_wt虚线左半部分第一列的元素为(x²+y²)mod3，余下每一列的元素为[(x²+y²)+w₁/w₂/w₃]mod3，x与y为对应元素所在位置的行列坐标值；第一行对应的w₁在第3i_b(2≤i_b≤k_b)列取值为2，其余列取值为0；第二行对应的w₂取值为1；第三行对应的w₃取值为1；A_wt虚线右半部分具有准双对角线的形式；

其中，构造的type-II QC-LDPC码的校验矩阵可分为两部分，即H＝[H₁ H₂]，其中H₁为信息子矩阵，H₂为校验子矩阵，H₂是准双对角线结构的形式，是实现快速编码的基础部分；根据编码原理等式Hc^T＝0，利用构造的校验矩阵H直接可求得码字c；

其中，根据(1)式给出的权重矩阵A_wt来确定移位矩阵S(H)的每个条目的元素的个数，A_wt中非零元素的值对应于S(H)中相应条目的元素的个数，A_wt中0元素的值对应于S(H)中元素为∞，S(H)如式(2)所示：

其中，L≥3，对任意0≤j≤2,0≤l≤L-1,i∈{1,2},

表示单位矩阵的每行向右循环移位的次数。

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