CN106208888A - 一种基于新型趋近律的无轴承异步电机滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于新型趋近律的无轴承异步电机滑模控制方法，电机转速环采用基于新型趋近律的滑模速度控制器。该控制器采用具有自变速功能的新型趋近律，利用无轴承异步电机调速系统中的转速误差构造积分滑模面，并结合电磁转矩和运动方程，提取出速度环的电流信号本发明在传统指数趋近律的基础上，引入系统状态变量的一阶范数||x||₁，解决了传统指数趋近率存在的抖振及收敛性能差的问题。采用该趋近律设计的无轴承异步电机滑模速度控制器对系统不确定扰动具有较强鲁棒性，有效的改善了无轴承异步电机调速系统的运行品质，而且控制策略简单，便于工程实现。

Description

一种基于新型趋近律的无轴承异步电机滑模控制方法

技术领域

本发明是一种基于新型趋近律的无轴承异步电机滑模变控制方法，属于电气传动控制设备技术领域。

背景技术

无轴承异步电机集电机旋转与悬浮功能为一体，具有无摩擦、磨损、无需润滑、寿命长、能实现高速、高精运行等优于普通电机优点，在高速陀螺、飞轮储能、石油化工液体输送泵、航空航天、高速硬盘等特殊领域具有无可替代的地位。然而，无轴承异步电机是一个多变量、非线性、强耦合复杂系统，当电机参数变化或受到外部较大扰动时，诸如常规的PI控制器无法满足系统稳定与高精度控制要求。

国内外学者对此进行了大量研究，一些先进的控制策略也逐渐被应用在电机系统中，如神经网络控制、模糊控制、自抗扰控制。但是，基于上述控制策略的系统设计繁杂，使用条件相对苛刻，难以在工程应用中推广。然而，隶属于现代控制范畴的滑模变结构控制策略，作为一种较为特殊的非线性控制，无需系统精确数学模型，对扰动(参数、转速、负载)等不确定因素自适应性强，具有较强鲁棒性，更重要的是物理实现简单，在交流伺服系统控制领域展现出广阔应用前景。但是，滑模变结构本质上是一种不连续开关，存在时滞及惯性等特点，使得滑动模态存在抖振，则会激发出系统未建模特性，极大地降低系统控制性能。因此，对滑模变结构控制的改进及抖振的削弱成为其研究重点。

目前，针对削弱滑模抖振问题主要有采用饱和函数取代控制系统中的切换函数，该方法在削弱滑模抖振的同时降低了系统鲁棒性和跟踪精度；采用动态滑模控制设计新的滑模面，该方法虽具有消除抖振特点，但控制器输出导数的值无法测量，目前难以实现应用；采用趋近律的方法如指数趋近律、等速趋近律等，以最常用的指数趋近律举例说明，该趋近律一定程度上减弱抖振现象，然而它是带状的切换带，系统最终为趋近于原点附近的一个抖振。另外，式中的系数ε和λ不具备随状态变量位置变化的自调整功能，无法达到最佳的收敛特性。

发明内容

本发明的目的有两个：1、提出一种新型趋近律－自变速指数趋近律，解决传统滑模变结构中固有的抖振及收敛性能差的问题，进一步提高了系统的鲁棒性。2、提出基于自变速趋近律的无轴承异步电机滑模控制器(Adaptive Variable-rated Sliding ModeController，ASMC)，解决无轴承异步电机控制系统在较大扰动(参数变化、负载突变等)下控制性能较差的问题，提高无轴承异步电机调速系统的快速性与鲁棒性。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种基于新型趋近律的无轴承异步电机滑模控制方法，电机转速环的滑模速度控制器采用具有自适应调速功能的新型趋近律，利用调速系统中的转速误差构造积分滑模面，结合电磁转矩和运动方程，得到转速环的电流信号

所述新型趋近律是在传统指数趋近律的基础上，采用系统状态变量的一阶范数||x||₁，将系统趋近速度与系统状态变量距离稳定点的远近相关联：当系统状态变量距离稳定点较远时，||x||₁较大，此时系统状态变量通过指数项λs/(1+α||x||₁)和等速趋近项-ε||x||₁sgn(s)向滑模面靠近，同时通过减小调速系数a来加快系统趋近速度；当系统状态变量运行至稳定点时，等速趋近项-ε||x||₁sgn(s)起到主导作用；||x||₁不断减小并趋近于0，使得-ε||x||₁sgn(s)为0，实现滑模运动稳定于原点。

进一步，所述新型趋近律的具体表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{\ϵ}\left|\right|x\left|{|}_1\mathrm{sgn}\right(s)-\mathrm{\λ}{\frac{1}{1+\mathrm{\α}\left|\right|x\left|\right|}}_{1}s\\ \underset{t\→\mathrm{\∞}}{\lim }\left|\right|x|{|}_1=0\end{array}\right.$

其中：为滑模面s的导数；sgn(s)为符号函数；为系统状态变量的一阶范数；λ>0，ε>0，α>0，n>0，均为系统参数。

进一步，所述滑模速度控制器的具体设计步骤包括：

S1，建立系统状态变量表达式：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1={\mathrm{\ω}}^{*}-\mathrm{\ω}\\ x_2={\∫}_{-\mathrm{\∞}}^t{x}_{1}dt\end{array}\right.$

其中：ω^*为系统的给定转速，ω为系统的实际转速；

S2，建立电机电磁转矩方程和运动方程：

$\left\{\begin{array}{c}{T}_e=p_1{\mathrm{\ψ}}_1{i}_{1q}\\ T_e-T_l=\frac{J}{p_1}\frac{d\mathrm{\ω}}{dt}\end{array}\right.$

其中：T_e为电磁转矩；T_l为负载转矩；J为电机转动惯量；p₁为电机转矩绕组极对数；ψ₁为气隙磁链；i_1q为转矩绕组中定子相电流q轴分量；

S3，对x₁求导，并结合电磁转矩方程和运动方程得到：

$x_1^{\′}=-{\mathrm{\ω}}^{\′}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\ψ}}_1}{J}{i}_{1q}+\frac{p_1}{J}{T}_l$

S4，增加干扰项，得到x′₁的表达式为：

$x_1^{\′}=(-\frac{p_1^2{\mathrm{\ψ}}_1}{J}+\mathrm{\Δ}\mathrm{\ζ})i_{1q}+(\frac{p_1}{J}+\mathrm{\Δ}\mathrm{\η})T_l+\mathrm{\Δ}\mathrm{\ξ}$

其中：Δζ、Δξ、Δη为不确定干扰，且 为有界常量；

S5，记b(t)为系统的总干扰因素，简化S4中的表达式得到

$x_1^{\′}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\ψ}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)$

式中：且 为有界正数；

S6，结合S1和S5，得到转速误差系统状态方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\′}=-{\mathrm{\ω}}^{\′}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\ψ}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)\\ x_2^{\′}=x_1={\mathrm{\ω}}^{*}-\mathrm{\ω}\end{array}\right.$

S7，选取滑模面：s＝x₁+cx₂；并对滑模面求导得到：

$s^{\′}=x_1^{\′}+{\mathrm{cx}}_2^{\′}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\ψ}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)+{\mathrm{cx}}_1$

其中，c为滑模面系数；

S8，结合新型趋近律的表达式和S7中的表达式，得到：

$-\mathrm{\ϵ}\left|\right|x_1|{|}_{1}sgn\left(s\right)-\mathrm{\λ}\frac{1}{1+\mathrm{\α}\left|\right|x_1|{|}_1}s=\frac{p_1^2{\mathrm{\ψ}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)+{\mathrm{cx}}_1;$

化简后得到滑模控制器的表达式为：

$i_{1q}=\frac{J}{p_1^2{\mathrm{\ψ}}_1}\left(\mathrm{\ϵ}\right|\left|x_1\right|{|}_1\mathrm{sgn}\left(s\right)+\mathrm{\λ}{\frac{1}{1+\mathrm{\α}\left|\right|x_1\left|\right|}}_{1}s+b_1\left(t\right)+{\mathrm{cx}}_1).$

本发明的有益效果：

1、本发明设计一种新型趋近律－自变速指数趋近律，实现了系统趋近速度可根据系统状态变量与平衡点的距离自适应调整的目的，大大缩短了趋近时间，有效地削弱了系统抖振，改善了滑模变结构的控制性能。

2、采用该趋近律设计的无轴承异步电机滑模速度控制器，有效的改善了无轴承异步电机调速系统的动、静态品质，增强了的系统的鲁棒性。

3、本发明控制性能稳定，工作效率高，操作简单，便于工程实现。

附图说明

图1是无轴承异步电机滑模变结构控制系统框图；

图2是本发明提出的基于自变速趋近律的滑模控制器(ASMC)与基于指数趋近律的滑模控制器(SMC)的性能分析波形图：(a)为x₁的响应过程，(b)为x₂的响应过程，(c)为趋近过程所用时间，(d)为系统相轨迹；

图3是本发明设计的无轴承异步电机自变速滑模控制器仿真；

图4是基于新型趋近律的无轴承异步电机滑模速度控制器设计步骤流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

如图1所示，是无轴承异步电机滑模变控制系统结构图，该控制系统由转矩部分和悬浮部分组成。转矩部分的控制过程如下：通过光电编码器检测出转速ω与给定转速ω^*比较的差值经自变速滑模速度控制器产生给定电流其和给定气隙磁链ψ^* ₁经气隙磁场定向解耦控制获得电流给定分量i^* _1sq和励磁分量i^* _1sd。i^* _1sd、i^* _1sq经坐标变换得到转矩绕组的三相给定电流i^* _1A、i^* _1B及i^* _1C，坐标变换所需要的相位角θ^*是由转差率ω_s与检测出的转子角频率ω_r相加计算得出；悬浮部分的控制如下：通过径向位移传感器检测出的位移信号x、y与位移给定x^*、y^*相比较的差值经PID调节器产生给定径向悬浮力F_x ^*、F_y ^*，其和给定气隙磁链ψ^* ₁一起经径向悬浮力模型计算得到径向悬浮力绕组的控制电流分量i^* _2sd、i^* _2sq。i^* _2sd、i^* _2sq经坐标变换得到径向悬浮力绕组的三相给定电流i^* _2A、i^* _2B及i^* _2C，坐标变换所需要的相位角是由θ^*和补偿角ρ₀ ^*决定的。通过转矩部分和悬浮部分的共同控制，实现无轴承异步电机的快速旋转与稳定悬浮。

基于新型趋近律的滑模速度控制器的设计方法如下：

步骤1：设计新型滑模趋近律

选取滑模面，对其进行性能分析；考虑如下非线性控制系统

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f(t,x)+g(t,x)u+b\left(t\right)\\ s=s(t,x)\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：x＝[x₁,x₂]^T为系统状态变量；g(t,x)≠0；b(t)为系统的不确定干扰，且 为干扰上界；u为控制器的输出。f(t,x)表示非线性系统；s(t,x)表示滑模面。

传统的指数趋近律：

$\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{\ϵ}\mathrm{sgn}\left(s\right)-\mathrm{\λ}s---\left(2\right)$

该趋近律一定程度上提高了滑动模态的运行品质，然而它是带状的切换带，系统只能趋近于原点附近的一个抖振，这种抖振增加了控制器的负担。另外，式中的系数ε，λ不具备随状态变量位置变化的自调整功能，其无法达到最佳的收敛特性。

鉴于此，本发明提出了一种新型的指数趋近律—自变速指数趋近律：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{\ϵ}\left|\right|x\left|{|}_1\mathrm{sgn}\right(s)-\mathrm{\λ}{\frac{1}{1+\mathrm{\α}\left|\right|x\left|\right|}}_{1}s\\ \underset{t\→\mathrm{\∞}}{\lim }\left|\right|x|{|}_1=0\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中：为滑模面s的导数；sgn(s)为符号函数；为系统状态变量的一阶范数；λ>0，e>0，α>0，n>0为系统参数；α表示调速系数，用于调节系统的趋近速度。

步骤2：利用所述自变速指数趋近律，针对图1系统设计自变速滑模控制器：

对于式(1)所示的非线性控制系统，选取积分滑模面为：

s＝x₁+cx₂ (4)

自变速滑模控制器设计为：

$u=g^{-1}(t,x)\[-f(t,x)-b\left(t\right)-C^{-1}\mathrm{\ϵ}\left|\right|x|{|}_1\mathrm{sgn}\left(s\right)-C^{-1}\mathrm{\λ}{\frac{1}{1+\mathrm{\α}\left|\right|x\left|\right|}}_{1}s\]---\left(5\right)$

式中，x₁、x₂为系统的状态变量，x₁＝ω^*-ω，ω^*为系统的给定转速，ω为系统的实际转速；c为滑模面系数；C＝[1 c]。

由Lyapunov稳定性理论可知，滑动模态的可达性条件为由(3)得到：

$\begin{array}{c}s\stackrel{\&CenterDot;}{s}=s(-\mathrm{\&epsiv;}|\left|x\right|{|}_{1}sgn\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;}{\frac{1}{1+\mathrm{\&alpha;}\left|\right|x\left|\right|}}_{1}s)\\ =-\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|x\left|{|}_1\right|s|-\mathrm{\&lambda;}{\frac{1}{1+\mathrm{\&alpha;}\left|\right|x\left|\right|}}_1{s}^2\\ <0\end{array}---\left(6\right)$

因此，系统可在有限时间内从任意状态到达滑模面。

以典型的非线性系统为例，分别设计指数滑模控制器(SMC)和自变速滑模控制器(ASMC)，来验证本文所提方法的优越性。其中，取C＝[1 10]，D＝[1]。X的初始状态变量设为X(0)＝[6 6]，仿真结果如图2所示。从图2可知，相对于指数滑模控制器，本发明设计的自变速指数趋近律比指数趋近律具有更快的收敛速度和较小的抖振。

如图4所示，设计基于新型趋近律的无轴承异步电机自变速滑模控制器具体包括如下：

定义系统状态变量：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1={\mathrm{\&omega;}}^{*}-\mathrm{\&omega;}\\ x_2={\&Integral;}_{-\mathrm{\&infin;}}^t{x}_{1}dt\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中：ω^*为系统的给定转速，ω为系统的实际转速。

电机电磁转矩方程和运动方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{T}_e=p_1{\mathrm{\&psi;}}_1{i}_{1q}\\ T_e-T_l=\frac{J}{p_1}\frac{{\mathrm{d\&omega;}}_r}{dt}\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中：T_e为电磁转矩；T_l为负载转矩；J为电机转动惯量；p₁为电机转矩绕组极对数；ψ₁为气隙磁链；i_1q为转矩绕组中定子相电流q轴分量。

对x₁求导，并结合式(8)，可得：

$x_1^{\&prime;}=-{\mathrm{\&omega;}}^{\&prime;}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}{i}_{1q}+\frac{p_1}{J}{T}_l---\left(9\right)$

因电机系统中有大量不确定干扰，增加干扰项后x′₁的表达式为：

$x_1^{\&prime;}=(-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&zeta;})i_{1q}+(\frac{p_1}{J}+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&eta;})T_l+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&xi;}---\left(10\right)$

其中：Δζ、Δξ、Δη为不确定干扰，且 为有界常量。

此处将b(t)记作系统(负载在内)的总的干扰因素，则上式可化简为：

$x_1^{\&prime;}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)---\left(11\right)$

式中：且 为有界正数。

结合状态方程(7)，可得转速误差系统状态方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\&prime;}=-{\mathrm{\&omega;}}^{\&prime;}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)\\ x_2^{\&prime;}=x_1={\mathrm{\&omega;}}^{*}-\mathrm{\&omega;}\end{array}\right.---\left(12\right)$

选取滑模面函数s＝x₁+cx₂，c为滑模面系数，并求导得：

$s^{\&prime;}=x_1^{\&prime;}+{\mathrm{cx}}_2^{\&prime;}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)+{\mathrm{cx}}_1---\left(13\right)$

结合式(3)、(13)得：

$-\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|x_1|{|}_{1}sgn\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;}\frac{1}{1+\mathrm{\&alpha;}\left|\right|x_1|{|}_1}s=-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)+{\mathrm{cx}}_1---\left(14\right)$

化简式(14)，得到基于新型趋近律的无轴承异步电机自变速滑模控制器为：

$i_{1q}=\frac{J}{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}\left(\mathrm{\&epsiv;}\right|\left|x_1\right|{|}_1\mathrm{sgn}\left(s\right)+\mathrm{\&lambda;}{\frac{1}{1+\mathrm{\&alpha;}\left|\right|x_1\left|\right|}}_{1}s+b_1\left(t\right)+{\mathrm{cx}}_1)---\left(15\right)$

本发明设计的自变速指数趋近律有效地解决了传统指数趋近律中存在的抖振及收敛性能差的问题，实现了系统趋近速度与状态变量间的关联，并进一步提高了系统的鲁棒性。同时，利用该新型趋近律设计的滑模速度控制器可快速追踪系统给定速度，实现转速反馈随着转速误差自适应调整运行状态及系统的无抖振运行，系统的动、静态性能得到显著的提高。本发明设计的无轴承异步电机自变速滑模控制器仿真如图3所示。

根据以上所述，便可以实现本发明。对本领域的技术人员在不背离本发明的精神和保护范围的情况下做出的其它的变化和修改，仍包括在本发明保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于新型趋近律的无轴承异步电机滑模控制方法，其特征在于，电机转速环的滑模速度控制器采用具有自适应调速功能的新型趋近律，利用调速系统中的转速误差构造积分滑模面，结合电磁转矩和运动方程，得到转速环的电流信号

所述新型趋近律是在传统指数趋近律的基础上，采用系统状态变量的一阶范数||x||₁，将系统趋近速度与系统状态变量距离稳定点的远近相关联：当系统状态变量距离稳定点较远时，||x||₁较大，此时系统状态变量通过指数项λs/(1+α||x||₁)和等速趋近项-ε||x||₁sgn(s)向滑模面靠近，同时通过减小调速系数α来加快系统趋近速度；当系统状态变量运行至稳定点时，等速趋近项-ε||x||₁sgn(s)起到主导作用；||x||₁不断减小并趋近于0，使得-ε||x||₁sgn(s)为0，实现滑模运动稳定于原点。

2.根据权利要求1所述的一种基于新型趋近律的无轴承异步电机滑模控制方法，其特征在于，所述新型趋近律的具体表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|x|{|}_1\mathrm{sgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;}\frac{1}{1+\mathrm{\&alpha;}\left|\right|x|{|}_1}s\\ \underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\left|\right|x|{|}_1=0\end{array}\right.$

其中：为滑模面s的导数；sgn(s)为符号函数；为系统状态变量的一阶范数；λ>0，ε>0，α>0，n>0，均为系统参数。

3.根据权利要求2所述的一种基于新型趋近律的无轴承异步电机滑模控制方法，其特征在于，所述滑模速度控制器的具体设计步骤包括：

S1，建立系统状态变量表达式：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1={\mathrm{\&omega;}}^{*}-\mathrm{\&omega;}\\ x_2={\&Integral;}_{-\mathrm{\&infin;}}^t{x}_{1}dt\end{array}\right.$

其中：ω^*为系统的给定转速，ω为系统的实际转速；

S2，建立电机电磁转矩方程和运动方程：

$\left\{\begin{array}{c}{T}_e=p_1{\mathrm{\&psi;}}_1{i}_{1q}\\ T_e-T_l=\frac{J}{p_1}\frac{d\mathrm{\&omega;}}{dt}\end{array}\right.$

其中：T_e为电磁转矩；T_l为负载转矩；J为电机转动惯量；p₁为电机转矩绕组极对数；ψ₁为气隙磁链；i_1q为转矩绕组中定子相电流q轴分量；

S3，对x₁求导，并结合电磁转矩方程和运动方程得到：

$x_1^{\&prime;}=-{\mathrm{\&omega;}}^{\&prime;}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}{i}_{1q}+\frac{p_1}{J}{T}_l$

S4，增加干扰项，得到x′₁的表达式为：

$x_1^{\&prime;}=(-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&zeta;})i_{1q}+(\frac{p_1}{J}+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&eta;})T_l+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&xi;}$

其中：Δζ、Δξ、Δη为不确定干扰，且 为有界常量；

S5，记b(t)为系统的总干扰因素，简化S4中的表达式得到

$x_1^{\&prime;}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)$

式中：且 为有界正数；

S6，结合S1和S5，得到转速误差系统状态方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\&prime;}=-{\mathrm{\&omega;}}^{\&prime;}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)\\ x_2^{\&prime;}=x_1={\mathrm{\&omega;}}^{*}-\mathrm{\&omega;}\end{array}\right.$

S7，选取滑模面：s＝x₁+cx₂；并对滑模面求导得到：

$s^{\&prime;}=x_1^{\&prime;}+{\mathrm{cx}}_2^{\&prime;}=-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)+{\mathrm{cx}}_1$

其中，c为滑模面系数；

S8，结合新型趋近律的表达式和S7中的表达式，得到：

$-\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|x_1|{|}_1\mathrm{sgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;}\frac{1}{1+\mathrm{\&alpha;}\left|\right|x_1|{|}_1}s=-\frac{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}{J}{i}_{1q}+b_1\left(t\right)+{\mathrm{cx}}_1;$

化简后得到滑模控制器的表达式为：

$i_{1q}=\frac{J}{p_1^2{\mathrm{\&psi;}}_1}\left(\mathrm{\&epsiv;}\right|\left|x_1\right|{|}_1\mathrm{sgn}\left(s\right)+\mathrm{\&lambda;}\frac{1}{1+\mathrm{\&alpha;}\left|\right|x_1|{|}_1}s+b_1\left(t\right)+{\mathrm{cx}}_1).$