CN106202594A - 分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法，步骤如下：建立时域体面积分方程：根据结构散射特性，被激励目标上的总电场等于入射电场与散射电场之和，入射电场为已知激励；对时域体面积分方程采用三角基函数进行时间上的离散，并采用非共形的四面体单元和三角形单元进行空间上的离散；形成待求解的矩阵方程，未知电流为介质和金属的瞬态体电流；求解矩阵方程，得到瞬态电流系数，再根据电流系数确定瞬态电磁散射参量。本发明基于不连续伽辽金方法求解的时域体面积分方程方法可以更加灵活的处理待求目标的网格离散，特别是对于存在不均匀的介质体，多面共线的金属结构，或是存在多尺度的金属介质混合目标。

Description

分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法

一 技术领域

本发明属于电磁仿真技术领域，特别是一种分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法。

二 背景技术

目标电磁散射特性的获取与分析是电磁问题中的一个非常重要研究领域，目标的电磁散射波是雷达探测、遥感观测以及地质勘测等众多应用的信息来源，散射特性的分析是这些应用系统在设计和工作时的主要依据。雷达目标的形状和体积等物理量都是通过对雷达散射截面等参数进行计算得出的，且雷达散射截面积是雷达系统对目标“可观测性”的一个重要指标。金属介质混合目标作为一种常见的物体，其电磁散射特性的分析在很多应用领域中具有特别重要的现实意义。

近年，随着宽频带电磁散射系统的快速发展，瞬态电磁散射特性的分析越来越引起科研学者和工程人员的关注。相比于其它方法，时域体面积分方程方法非常适合于金属介质目标瞬态电磁散射特性的分析,尤其适合非均匀介质目标瞬态电磁散射特性的分析(K.Aygün,B.Shanker,and E.Michielssen,“Fast time domain characterization of finite sizemicrostrip structures,”Int.J.Num.Mod Elect.Net.Dev.&Fields,vol.15,no.6,pp.439–457,2002.)。但是当分析的的金属介质目标存在高度不均匀介电常数，或者是存在多尺度或者三面共线结构的时候，网格的处理成为了普通体面积分方法面临的难题。

三 发明内容

本发明的目的在于提供一种灵活、准确的分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法，步骤如下：

步骤1，建立时域体面积分方程：根据结构散射特性，被激励目标上的总电场等于入射电场与散射电场之和，入射电场为已知激励；

步骤2，对时域体面积分方程采用三角基函数进行时间上的离散，并采用非共形的四面体单元和三角形单元进行空间上的离散；

步骤3，形成待求解的矩阵方程，未知电流为介质和金属的瞬态体电流；

步骤4，求解矩阵方程，得到瞬态电流系数，再根据电流系数确定瞬态电磁散射参量。

本发明与传统的时域体面积分方程方法相比，其显著优点是：(1)可以更加灵活和准确的分析非均匀媒质，多尺度等复杂模型等的瞬态电磁散射特性；(2)因为离散物体所需的网格不再需要共形的需求，可以灵活地拟合物体的形状以及表征介质内部的介电常数的分布情况；(3)对离散网格具有鲁棒性。

四 附图说明

图1是本发明中非共形网格示意图。

图2是本发明实施例中混合目标在不同频率点处的双站雷达散射截面RCS。

五 具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

本发明分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法，步骤如下：

步骤1，建立时域体面积分方程：根据结构散射特性，被激励目标上的总电场等于入射电场与散射电场之和，入射电场为已知激励；

令电磁波照射到混合目标上，在介质体内产生感应体电流Jv，金属表面产生感应面电流Js，根据电场边界条件，得到金属介质时域体面积分方程TD-VSIE，如下：

E(r,t)＝E^inc(r,t)+E^sca(r,t)(r∈V) (1)

[E^inc(r,t)+E^sca(r,t)]_tan＝0(r∈S) (2)

其中，E^inc表示照射在混合目标上的电磁波的入射电场，E表示总电场，E^sca表示介质目标在电磁波照射后产生的散射电场，tan表示切向分量，瞬态散射电场的表达形式为：

$E^{\mathrm{sca}}(r,t)={\∫}_{V^{\′}}\▿\▿\·\frac{{\∂}_t^{-1}J(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{4\mathrm{\π\ϵ}|r-r^{\′}|}d{V}^{\′}-{\∫}_{V^{\′}}\frac{\mathrm{\μ}{\∂}_{t}J(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{4\mathrm{\π}|r-r^{\′}|}d{V}^{\′}---\left(3\right)$

将(3)代入(1)和(2)式，则(1)和(2)式重新改写为：

$\begin{array}{c}{E}^{\mathrm{inc}}\left(r\right)=\frac{{\∂}_t^{-1}{J}_v(r^{\′},t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0({\mathrm{\ϵ}}_r-1)}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{V^{\′}}\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}{J}_v(r^{\′},t-R/c)}{R}{\mathrm{dV}}^{\′}-\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{V^{\′}}\▿\▿\·\frac{{\∂}_t^{-1}{J}_v(r^{\′},t-R/c)}{R}{\mathrm{dV}}^{\′}\\ +\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S^{\′}}\frac{{\∂}_t{J}_s(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{|r-r^{\′}|}{\mathrm{dS}}^{\′}-\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{S^{\′}}\▿\▿\·\frac{{\∂}_t^{-1}{J}_s(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{|r-r^{\′}|}d{S}^{\′}(r\∈V)\end{array}---\left(4\right)$

$\begin{array}{c}{E}^{\mathrm{inc}}\left(r\right){|}_{\tan }=[\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{V^{\′}}\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}{J}_v(r^{\′},t-R/c)}{R}{\mathrm{dV}}^{\′}-\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{V^{\′}}\▿\▿\·\frac{{\∂}_t^{-1}{J}_v(r^{\′},t-R/c)}{R}{\mathrm{dV}}^{\′}\\ +\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S^{\′}}\frac{{\∂}_t{J}_s(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{|r-r^{\′}|}{\mathrm{dS}}^{\′}-\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{S^{\′}}\▿\▿\·\frac{{\∂}_t^{-1}{J}_s(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{|r-r^{\′}|}d{S}^{\′}{]}_{\tan }(r\∈S)\end{array}---\left(5\right)$

其中，V表示介质四面体单元，S表示金属三角形单元，μ₀表示自由空间的磁导率，ε₀表示自由空间的介电常数，ε_r为介质体的相对介电常数，r为场的位置坐标，r′为源的位置坐标，c表示真空中的光速，表示对时间的积分，表示对时间的求导，▽为梯度算子。

步骤2，对时域体面积分方程采用三角基函数进行时间上的离散，并采用非共形的四面体单元和三角形单元进行空间上的离散，具体如下：

瞬态感应体电流可离散表示如下：

$J_v(r,t)=\underset{n=1}{\overset{N_v}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{N_t}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^l{T}_l\left(t\right)f_n^v\left(r\right)---\left(6\right)$

瞬态感应面电流可离散表示如下：

$J_s(r,t)=\underset{n=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{N_t}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^l{T}_l\left(t\right)f_n^s\left(r\right)---\left(7\right)$

其中：

式中，为半个SWG基函数，为半个RWG基函数，为第n个未知量在第l时刻的待求瞬态电流系数，N_v为介质空间未知量个数、N_s为金属的空间未知量个数、N_t为时间步数。

步骤3，形成待求解的矩阵方程，未知电流为介质和金属的瞬态体电流；所述形成待求解的矩阵方程，具体如下：

将式(4)和(5)式在空间上采用伽辽金测试，时间上采用点测试，可得时域体积分的矩阵方程形式：

${\stackrel{\‾}{Z}}_E^0{I}^i=V_E^i-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{Z}}_E^{i-j}{I}^j---\left(9\right)$

其中

${\stackrel{\‾}{Z}}_E^{i-j}={\left[\begin{array}{cc}{Z}_{\mathrm{DD}}^{i-j}& Z_{\mathrm{DM}}^{i-j}\\ Z_{\mathrm{MD}}^{i-j}& Z_{\mathrm{MM}}^{i-j}\end{array}\right]}_{\mathrm{mn}}---\left(10\right)$

${\left[V_E^i\right]}_m={\∫}_V{f}_m\left(r\right)\·E_m^{\mathrm{inc}}(r,\mathrm{i\Δt})\mathrm{dV}---\left(11\right)$

上述公式中，为建立场源之间联系的时域阻抗矩阵，表示介质对介质的作用，表示金属对介质的作用，表示介质对金属的作用，表示金属对金属的作用，表示第i个时间步的激励，Nt表示时间步数，Δt表示每个时间步长，I^j是第j个时间步的待求未知量的系数。

考虑Z_DD部分，

$\begin{array}{c}{\left[{\stackrel{\‾}{Z}}_{\mathrm{DD}}^{i-j}\right]}_{\mathrm{mn}}=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_0({\mathrm{\ϵ}}_r-1)}{\∫}_V{f}_m^v\left(r\right)\·f_n^v\left(r^{\′}\right){\∂}_t^{-1}{T}_j\left(\mathrm{i\Δt}\right)\mathrm{dV}\\ +\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_V{f}_m^v\left(r\right)\·{\∫}_{V^{\′}}{f}_n^v\left(r^{\′}\right){\∂}_t{g}_j(\mathrm{i\Δt},R){\mathrm{dV}}^{\′}\mathrm{dV}\\ -\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_V{f}_m^v\left(r\right)\·{\∫}_{V^{\′}}\▿\▿\·f_n^v\left(r^{\′}\right){\∂}_t^{-1}{g}_j(\mathrm{i\Δt},R){\mathrm{dV}}^{\′}\mathrm{dV}\end{array}---\left(12\right)$

式中，

$g_j(\mathrm{i\Δt},R)=\frac{T_j(\mathrm{i\Δt}-R/c)}{R}---\left(13\right)$

R＝|r-r′|为场源基函数之间的距离。

对最后一项双梯度进行降阶，

其中，为基函数所在面或线的外法向分量。

将(14)式代入(12)式，可得：

考虑Z_MM部分,

$\begin{array}{c}{\left[{\stackrel{\‾}{Z}}_{E\left(\mathrm{MM}\right)}^{i-j}\right]}_{\mathrm{mn}}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_S{f}_m^s\left(r\right)\·{\∫}_{S^{\′}}{f}_n^s\left(r^{\′}\right){\∂}_t{g}_j(\mathrm{i\Δt},R){\mathrm{dS}}^{\′}\mathrm{dS}\\ -\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_S{f}_m^s\left(r\right)\·{\∫}_{S^{\′}}\▿\▿\·f_n^s\left(r^{\′}\right){\∂}_t^{-1}{g}_j(\mathrm{i\Δt},R){\mathrm{dS}}^{\′}\mathrm{dS}\end{array}---\left(16\right)$

对最后一项双梯度进行降阶，

将(17)式代入(16)式，得：

根据表面电流传输条件和误差电荷在远场产生的电势为0，在单元的边界强加边界条件：

$\underset{n\∈N_n}{\mathrm{\Σ}}{\hat{n}}_n\·J_n^s=0---\left(19\right)$

$\underset{n\∈N_n}{\mathrm{\Σ}}\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{l_n}{\hat{n}}_n\·{\∂}_{\mathrm{\τ}}^{-1}{J}_n^s(r^{\′},\mathrm{\τ})\frac{1}{R}{\mathrm{dl}}_n=0---\left(20\right)$

其中，N_n为与第n金属条边相邻的三角形个数。

式(19)改写为矩阵形式：

${\stackrel{\‾}{Z}}_B^0{I}^i=0---\left(21\right)$

其中，

${\left[{\stackrel{\‾}{Z}}_B^0\right]}_{\mathrm{mn}}=\frac{\mathrm{\β}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{l_m}({\hat{n}}_m\·f_m^s\left(r\right))({\hat{n}}_n\·f_n^s\left(r^{\′}\right)){\mathrm{dl}}_m---\left(22\right)$

将式(20)改写为矩阵形式：

${\stackrel{\‾}{Z}}_P^0{I}^i=-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{Z}}_P^{i-j}{I}^j---\left(23\right)$

其中，

${\left[{\stackrel{\‾}{Z}}_P^{i-j}\right]}_{\mathrm{mn}}=\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{l_m}{\hat{n}}_m\·f_m^s\left(r^{\′}\right)\·{\∫}_{l_m}({\hat{n}}_n\·f_n^s\left(r\right)){\∂}_{\mathrm{\τ}}^{-1}{g}^{i-j}{\mathrm{dl}}_{l_n}{\mathrm{dl}}_{l_m}---\left(24\right)$

最终的Z_MM部分矩阵将变为：

$\left[{\stackrel{\‾}{Z}}_{\mathrm{MM}}^{i-j}\right]=\left[{\stackrel{\‾}{Z}}_{E\left(\mathrm{MM}\right)}^{i-j}\right]+\mathrm{\β}\left[{\stackrel{\‾}{Z}}_B^{i-j}\right]+c\left[{\stackrel{\‾}{Z}}_P^{i-j}\right]---\left(25\right)$

β和c为控制系数。一般来说，c＝-1/2，β＝α/h，其中h为离散网格的平均波长。α为和剖分尺寸相关的正值，一般取1。

考虑Z_DM部分,

考虑Z_MD部分,

步骤4，求解矩阵方程，得到瞬态电流系数，再根据电流系数确定瞬态电磁散射参量。

实施例1

为了验证本发明方法的准确性与有效性，下面给出了双层介质板中间夹着金属贴片的模型电磁散射的计算。上下介质的相对介电常数分别为2.0，4.0。介质边长为0.2m，上层介质高度为0.07m，下层介质高度为0.05m，金属片边长0.2m，金属介于两层介质之间，金属按0.07m单元剖分，上层介质0.07m剖分，下层介质0.05m剖分，如图1。激励入射角为：θ_in＝225°,瞬态电磁散射的双站RCS的计算结果与频域方法计算的结果相比较吻合较好，图2所示。

本算例中，入射电场采用调制高斯平面波，其表达式如下：

$E^{\mathrm{inc}}(r,t)={\hat{p}}^{\mathrm{inc}}\exp [-{\left(\frac{\mathrm{\τ}-t_c}{\sqrt{2}\mathrm{\σ}}\right)}^2]\cos \left(2\mathrm{\π}{f}_c\mathrm{\τ}\right)---\left(28\right)$

其中，σ＝6/(2πf_bw)，t_c＝10σ,E^inc(r,t)的频谱的中心频率为f₀＝150MHz，最高频率为300MHz，f_bw为频带宽度。时间步长Δt＝1/15lm，总时间步N_t＝300，lm是光米(light meter)，即光在自由空间中传播1m距离所花的时间。

综上所述，本发明采用时域不连续伽辽金体面积分方程方法分析金属介质混合目标的瞬态电磁散射特性，与传统的时域体面积分方程方法相比，基于不连续伽辽金方法求解的时域体面积分方程方法可以更加灵活的处理待求目标的网格离散，特别是对于存在不均匀的介质体，多面共线的金属结构，或是存在多尺度的金属介质混合目标。因为在该方法中，待求的目标可以使用非共形的网格进行离散，而不用关心网格间是否共形。

Claims (4)

1.一种分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法，其特征在于，步骤如下：

步骤1，建立时域体面积分方程：根据结构散射特性，被激励目标上的总电场等于入射电场与散射电场之和，入射电场为已知激励；

步骤2，对时域体面积分方程采用三角基函数进行时间上的离散，并采用非共形的四面体单元和三角形单元进行空间上的离散；

步骤3，形成待求解的矩阵方程，未知电流为介质和金属的瞬态体电流；

步骤4，求解矩阵方程，得到瞬态电流系数，再根据电流系数确定瞬态电磁散射参量。

2.根据权利要求1所述的分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法，其特征在于，步骤1中所述建立时域体面积分方程，具体如下：

令电磁波照射到混合目标上，在介质体内产生感应体电流J_v，金属表面产生感应面电流J_s，根据电场边界条件，得到金属介质时域体面积分方程TD-VSIE，如下：

E(r,t)＝E^inc(r,t)+E^sca(r,t) (r∈V) (1)

[E^inc(r,t)+E^sca(r,t)]_tan＝0 (r∈S) (2)

其中，E^inc表示照射在混合目标上的电磁波的入射电场，E表示总电场，E^sca表示介质目标在电磁波照射后产生的散射电场，tan表示切向分量，瞬态散射电场的表达形式为：

$E^{\mathrm{sca}}(r,t)={\∫}_{V^{\′}}\▿\▿\·\frac{{\∂}_t^{-1}J(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{4\mathrm{\π\ϵ}|r-r^{\′}|}{\mathrm{dV}}^{\′}-{\∫}_{V^{\′}}\frac{\mathrm{\μ}{\∂}_{t}J(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{4\mathrm{\π}|r-r^{\′}|}d{V}^{\′}---\left(3\right)$

将(3)代入(1)和(2)式，则(1)和(2)式重新改写为：

$\begin{array}{c}{E}^{\mathrm{inc}}\left(r\right)=\frac{{\∂}_t^{-1}{J}_v(r^{\′},t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0({\mathrm{\ϵ}}_r-1)}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{V^{\′}}\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}{J}_v(r^{\′},t-R/c)}{R}{\mathrm{dV}}^{\′}-\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{V^{\′}}\▿\▿\·\frac{{\∂}_t^{-1}{J}_v(r^{\′},t-R/c)}{R}{\mathrm{dV}}^{\′}\\ +\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S^{\′}}\frac{{\∂}_t{J}_s(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{|r-r^{\′}|}{\mathrm{dS}}^{\′}-\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{S^{\′}}\▿\▿\·\frac{{\∂}_t^{-1}{J}_s(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{|r-r^{\′}|}{\mathrm{dS}}^{\′}(r\∈V)\end{array}---\left(4\right)$

$\begin{array}{c}{E}^{\mathrm{inc}}\left(r\right){|}_{\tan }=[\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{V^{\′}}\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}{J}_v(r^{\′},t-R/c)}{R}{\mathrm{dV}}^{\′}-\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{V^{\′}}\▿\▿\·\frac{{\∂}_t^{-1}{J}_v(r^{\′},t-R/c)}{R}{\mathrm{dV}}^{\′}\\ +\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S^{\′}}\frac{{\∂}_t{J}_s(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{|r-r^{\′}|}{\mathrm{dS}}^{\′}-\frac{1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_{S^{\′}}\▿\▿\·\frac{{\∂}_t^{-1}{J}_s(r^{\′},t-|r-r^{\′}|/c)}{|r-r^{\′}|}{\mathrm{dS}}^{\′}{]}_{\tan }(r\∈S)\end{array}---\left(5\right)$

其中，V表示介质四面体单元，S表示金属三角形单元，μ₀表示自由空间的磁导率，ε₀表示自由空间的介电常数，ε_r为介质体的相对介电常数，r为场的位置坐标，r′为源的位置坐标，c表示真空中的光速，表示对时间的积分，表示对时间的求导，▽为梯度算子。

3.根据权利要求1所述的分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法，其特征在于，步骤2中所述对时域体面积分方程采用三角基函数进行时间上的离散，并采用非共形的四面体单元和三角形单元进行空间上的离散，具体如下：

瞬态感应体电流离散表示如下：

$J_v(r,t)=\underset{n=1}{\overset{N_v}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{N_t}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^l{T}_l\left(t\right)f_n^v\left(r\right)---\left(6\right)$

瞬态感应面电流离散表示如下：

$J_s(r,t)=\underset{n=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{N_t}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^l{T}_l\left(t\right)f_n^s\left(r\right)---\left(7\right)$

其中：

式中，为半个SWG基函数，为半个RWG基函数，为第n个未知量在第l时刻的待求瞬态电流系数，N_v为介质空间未知量个数、N_s为金属的空间未知量个数、N_t为时间步数。

4.根据权利要求1所述的分析混合目标瞬态电磁散射特性的时域不连续伽辽金方法，其特征在于，步骤3中所述形成待求解的矩阵方程，具体如下：

将式(4)和(5)式在空间上采用伽辽金测试，时间上采用点测试，得时域体积分的矩阵方程形式：

${\stackrel{\‾}{Z}}_E^0{I}^i=V_E^i-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{Z}}_E^{i-j}{I}^j---\left(9\right)$

其中

${\stackrel{\‾}{Z}}_E^{i-j}={\left[\begin{array}{cc}{Z}_{\mathrm{DD}}^{i-}j& Z_{\mathrm{DM}}^{i-j}\\ Z_{\mathrm{MD}}^{i-j}& Z_{\mathrm{MM}}^{i-j}\end{array}\right]}_{\mathrm{mn}}---\left(10\right)$

${\left[V_E^i\right]}_m={\∫}_V{f}_m\left(r\right)\·E_m^{\mathrm{inc}}(r,\mathrm{i\Δt})\mathrm{dV}---\left(11\right)$

上述公式中，为建立场源之间联系的时域阻抗矩阵，表示介质对介质的作用，表示金属对介质的作用，表示介质对金属的作用，表示金属对金属的作用，表示第i个时间步的激励，N_t表示时间步数，Δt表示每个时间步长，I^j是第j个时间步的待求未知量的系数。